P1 Calc4 S23-2021 2

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Cálculo IV - S23 Prof. Jorge Prova I A prova está composta por 5 questões valendo 2,5 pontos cada uma, você deverá escolher 4 questões e apresentar a solução. Não serão aceitas soluções sem as devidas e corretas justificativas. 1. Seja a função f(x) = x², -π < x < π, tal que f(x + 2π) = f(x). (a) Mostre que f(x) possui a seguinte série de Fourier: f(x) = π²/3 + 4∑(n=1, ∞) ((-1)ⁿ/n²) cos(nx). (b) Utilize a série de Fourier de f(x) para verificar que: ∑(n=1, ∞) ((-1)ⁿ/n²) = -π²/12. 2. Dada a função f(x) = 2 + (-1)^[x], x ∈ R, onde [x] = n, se n ≤ x < n+1, ∀n ∈ Z. (a) Mostre que f(x) é uma função periódica e encontre o período da função. (b) Calcule a série de Fourier de f(x). 3. Encontre a série de Fourier da função obtida quando passamos a tensão v(t) = vl0sen(20πt). 4. Mostre que: ∫[0 to ∞] (sen(ω)cos(ux)/ω)du = { π/2, se |x| < 1 π/4, se |x| = 1 0, se |x| > 1 } 5. Sejam as funções f e g tais que g(t) = f(at), a > 0. Mostre que g'(w) = 1/a f'(w/a).