Problemas Propostos 6 1-2021 2

Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Cˆampus Curitiba C´alculo 4B Professor Edson Minoru Sassaki Erwin Kreyszig - Matem´atica Superior para Engenharia, Vol 1, 9ª Ed. PROBLEMAS PROPOSTOS 6.1 TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE Dada F(s) = L (f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. (L, n, k, a, b s˜ao constantes.) 30. 2s + 16 s2 − 16 35. 8 s2 + 4s 37. 1 (s − √ 3)(s + √ 5) 40. 1 (s + a)(s + b) APLICAC¸ ˜OES DO PRIMEIRO TEOREMA DO DESVIO (DESVIO S) Nos Problemas 41-46, encontre a transformada. Nos Problemas. 47-54, encontre as transformadas inversas. Mostre os detalhes do que fizer. 49. √ 8 (s + √ 2)3 51. 15 s2 + 4s + 29 Tabela 6.1 Algumas Fun¸c˜oes f(t) e Suas Transformadas de Laplace L (f) f(t) L (f) f(t) L (f) 1 1 1/s 7 cos ωt s s2 + ω2 2 t 1/s2 8 sen ωt ω s2 + ω2 3 t2 2!/s3 9 cosh at s s2 − a2 4 tn (n = 0, 1, · · · ) n! sn+1 10 senh at a s2 − a2 5 ta (a positivo) Γ(a + 1) sa+1 11 eat cos ωt s − a (s − a)2 + ω2 6 eat 1 s − a 12 eat sen ωt ω (s − a)2 + ω2 Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA ed ars PROBLEMAS PROPOSTOS 6.2 Transformadas de Laplace de Derivadas (1) Lf!) =s2(f) — f(0) (2) Lf") = 8° Lf) —s f(0) — f'(0) OBTENGAO DE TRANSFORMADAS POR DERIVAGAO Usando (1) ou (2), encontre #(f) se f(t) for igual a: 1. tek 2. t cos dt 5. senh? at PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessario, utilize uma expansao em fragdes parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.) 10. y/ + 4y =0, y(0) = 2,8 12. y’—y'—-6y=0, = (0) = 6, -y"(0) = 18 14. yl" a Ay! + Ay = 0, y(0) = 2, 1, y’ (0) = 3, 9 16. x" + ky! — 2k?y = 0, y(0)=2, y/(0) =2k Transformada de Laplace da Integral Facgamos F'(s) representar a transformada de uma fungao f(t), que é continua por intervalos para t > 0 e satisfaz a restricao de crescimento (2) da Secao 6.1. Entao, paras >0,s>ket>0, ‘ 1 ‘ 1 (4) L (| f(t) ir) = —F(s), portanto, | f(r)dr= 2! (<r) 0 8 0 8 OBTENGAO DAS TRANSFORMADAS POR INTEGRAGAO Usando o Teorema 3, encontre f(t) se “(f) for igual a: 10 28. ———> 3 — 7 8? 1 30. ——; st + 8? 32 2 " 53 +98 Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Edson Minoru Sassaki Erwin Kreyszig - Matematica Superior para Engenharia, Vol 1, 92 Ed. PROBLEMAS PROPOSTOS 6.1 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Encontre as transformadas de Laplace das seguintes fungdes. Mostre os detalhes do que fizer. (a, b, k, w, 0 sao constantes. ) 2. (t? — 3)? 7. cos(wt + 6) Restricgao de crescimento (2) |f(t)| < Me™ 24. (Nao-existéncia) Mostre que e’” nao satisfaz a uma condicao da forma (2).