Lista 2 Integral de Fourier-2019 1

UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DE PARANA Departamento Académico de Matematica - DAMAT UNIVERSIDADE TEGNOLOGIGA FEDERAL DO PARANA Campus Curitiba - Sede Centro SEMESTRE CODIGO DISCIPLINA TURMA | CURSO 2019-1 MA74C CAlculo 4 B Lista de Exercicios Salas, Local e Data 1 Integral de Fourier Séries de Fourier séo ferramentas eficientes para problemas envolvendo fungdes que séo periddicas ou sdo de interesse apenas em um intervalo finito. Uma funcgéo periddica pode ser representada por uma soma de componentes discretos de frequéncia uniformemente distribuidos chamada de uma expansao de Fourier. Nesta secaéo estudaremos uma extensdo desse conceito apara incluir transientes, ou funcdes nao periddicas. Para desenvolver esta ideia, comegcamos com uma funcao periddica, comecaremos com uma fungao periddica que permita sua repeticao periddica crescer sem limites. Aceitaremos un transiente como a forma no limite de uma funcao periddica quando seu periodo se torna infinito. No processo do limite, as componentes da frequéncia discreta na série de Fourier se torna num distribuigéo de frequéncia continua, e a expanséo em séries de Fourier é substituida por uma integral de Fourier. A integral de Fourier representa um transiente na mesma forma que uma série de Fourier esta relacionada a uma funcao periddica. Posto que, muitos problemas envolvem func6es que sao nao-periddicas e sdo de interesse em todo o eixo x, perguntamos o que pode ser feito para estender o método de séries de Fourier para tais funcdes. Esta ideia vai nos levar 4 “integrais de Fourier”. 1.] Considere a onda retangular periddica f,(x) de periodo T = 2L > 2 dada por 0 see —-L<a<-l fi(~7)=4 1 se —-l<a<l 0 see l<a<L A fungao nao-periddica f é obtida a partir de fr se fizermos L — ov, isto é, . 1 se -l<a<l f(z) = lim f,(«) = Loo 0 se |r| >1 Estude o que acontece aos coeficientes de Fourier de f, a4 medida que L aumenta. Que impressao intuitiva devemos esperar se passarmos de nossa fungao particular e especial f, para uma fungao arbitraria? 2.] Consideremos uma fungao periddica qualquer f,(«) de periodo T = 2L representada por uma série de Fourier, oe nt fr(x) = ao + SS" (an COS YnX + bysenynx) onde Y= Tr n=1 Fazer a deducéo do que acontece se fizermos L > oo, o calculo feito sugeriraé que devemos esperar uma integral em vez de uma série, envolvendo coswa e senwz, com o argumento y na&o mais se restringindo aos multiplos inteiros y = y, = na/L do fator 7/L, entretanto assumindo todos os valores. Concluindo, devemos obter a forma assumida por uma integral desse tipo, conhecida como integral de Fourier. 2 A partir da Série de Fourier para a Integral de Fourier Seja f uma funcaéo nao periddica real absolutamente integravel em R e representada por 1 CO CO CO fo) = = | loosyer [~ f(@)cosrgds + sen yer [~ f(€) sen réae] dy (2.1) 7 JO —oo —oo Se considerarmos as seguintes notacdes 1 se 1 se AG) == [flees rgdé ec B)=— | Fle) senr€ag (2.2) TT —Oo T —Co obtemos uma escrita na forma CO f(x) = [ [A(y) cos ya + B(y)sen ya] dy. (2.3) chamada representacéo da funcao real f por uma integral de Fourier. Condic6es suficientes para a validade da representacao (2.3) sao dadas no seguinte Teorema. Teorema 1. (Integral de Fourier) Se a fungdo f é continua por partes em cada intervalo finito e tem derivadas a direita e derivadas 4 esquerda em cada ponto f é absolutamente integravel, entao f pode ser representada por uma integral de Fourier com seus coeficientes A(y) e B(y). Em um ponto onde f é descontinua o valor da integral de Fourier é igual 4 média dos limites esquerdo e direito de f nesse ponto. Isto é, + — lo) aT)+ f(x Mayet) = | [A(y) cos yx + B(y) sen ya] dy. (2.4) 0 3.] Encontre a representacdo da fungao real f pela integral de Fourier onde, 1 se |al|<1l f(r) = 0 se |a|>1 4.] Defina a fungao seno integral da seguinte forma, VU Se(v) = [ — dy 0 7 Escreva a seguinte a integral, 2 [ cos y x sen T JO Y em termos de senos integrais, isto é, 2 focosyaseny 1 1 — | —@— = —Se(b 1)) — —Se(b(a — 1 =f STEENT = =Se(blw + 1)) ~ “Se(b(e — 1) 2 5.] Encontre a representacéo por integral de Fourier da fungao conhecida como pulso simples, 3 se |a| <1 f(x) = 0 se |x| >1 Este exercicio 6 uma aplicacaéo da integral de Fourier que resolve a integragéo de uma funcao definida por uma integral. 6.] Utilizando fungdes pares e impares na integral de Fourier, obter a integral de Fourier de cossenos e a integral de Fourier de senos CO f(x) = | A(y)cosyady se f é fungao par 0 CO f(x) = | B(y)senyady se f é fungdo fmpar 0 7.] As representagoes por integral de Fourier ajudam no cdlculo dos valores de algumas integrais. Mostre que as integrais dadas representam as funcoes indicadas. Utilize as formulas da integral de Fourier, integral de Fourier de cossenos e integral de Fourier de senos; a integral lhe informaraé qual formula utilizar e seu valor ou resultado indicard qual funcaéo considerar. Mostre os detalhes do que fizer. oe 1 7 a ——__ cos Br dB = —e* x>0, > 0. b) [apo bods = Fe z>0, €>0 0 6+ 2 , 1/2 se O<a<l © sen c) | Bos Ba dB = 1/4 se xz=1 0 0 se x>1l 848 8 0 se «<0 ©“ cosrb + Psenx Tw d | oo dB ae se x=0 Te se x>0 ™ se 2“<0 © sen B — Bcos T e ——.—— senrbdbB=< — se x=0 ) I B? 4 0 se x«>0 f) | —_ BdB =e +0 ——; cos & = —e sempre que 2 ) 1 5 pre q (xB/2) a 0<|a|< a © cos(x3/2 — cos x se rl<— g) fC cosnsds =) 2 7 0 1-6 0 se |x| > 3 T b) [ Sen 7PSeN EP pg 5 Sen eT se O<a<q7 0 1-8, 0 see “£>T7 8.] Mostre que a representagéo integral de Fourier da fungao 2 x se O0<a2<a jae{ 0 se @>a 3 é dada por 2 2 2a cos(yx f(x) = = | (0? — 5) sen(ay) + — cos(9)| cos) m Jo Y Y y 3 Integral de Fourier em Cossenos As séries de Fourier simplificam se uma funcdéo é par ou impar. O mesmo acontece com as integrais de Fourier, e com isto podemos economizar calculos e evitar erros. Com efeito, se f tem uma representacaéo integral de Fourier e é uma fungao par, entao B(7y) = 0 em (2.2). Isto é vdlido porque o integrando de B(y) é impar. Portanto, (2.3) se reduz a uma integral de Fourier em cossenos CO 2 CO Fe) = f° A@)cosyedy sendo AQy) == | s(6) cos 7Ea8 (3.1) Observe a mudanga de A(y): se a fungao f é par o integrando ainda é par, por conseguinte, a integral de —oo até oo é igual a duas vezes a integral de 0 até oo. Como ja foi mencionado, a principal aplicagéo da representacaéo integral de Fourier 6 em equacoes diferenciais. No entanto, essas representacdes também ajudam na avaliacao de integrais, como se mostra no seguinte exercicio para integrais improprias de 0 até oo. 1.] Deduzir a integral de Fourier em cossenos da funcao real f(x) = e~** definida em x > 0 sendo k > 0 uma constante. Utilize o resultado para calcular a integral de Laplace | °° cos yx v= 0 k?+%? = 2.] Represente a fungéo fornecida na forma de integral de Fourier em cossenos 1 se O<a<b ax se O<a<b a r)= b ey= ) Fle) tj se ax2>b ) F@) {3 se «>b x 5 see O<a<l x see O<a<l x c x)= d w)=4 1-= see l<a<2 ) Fle) {3 oo ) ste) : 0 se “>2 sen x se O<a<T7 e” se O<a<T e) 1 ={ f) re) = 0 se @>T7 0 se @>T7 4 Integral de Fourier em Senos De maneira semelhante ao caso da integral de Fourier em cossenos, se f tem uma representacao integral de Fourier e é uma fungéo impar, entéo A(y) = 0 em (2.2). Isso é verdade porque o integrando de A(7) é fmpar. Portanto, (2.3) torna-se uma integral de Fourier em senos CO 2 CO fle) = [° Ba)senyedy sendo BY) == |” f(g) sen yas (4.1) Observe a mudanga de B(y) para uma integral de 0 até co a porque é par (impar vezes impar é par). Como ja foi mencionado, a principal aplicagéo da representacaéo integral de Fourier 6 em equacoes 4 diferenciais. No entanto, essas representacdes também ajudam na avaliacao de integrais, como se mostra no seguinte exercicio para integrais improprias de 0 até oo. 1.] Deduzir a integral de Fourier em senos da funcao real f(x) = e~** definida em x > 0, sendo k > 0 uma constante. Utilize o resultado para calcular a integral de Laplace [ °° yvsen yx dy = 0 k++? = 2.] Represente a fungdo f fornecida na forma de integral de Fourier em senos 1 se O0<a<b sen x se O<a<7 a r)= b ez)= ) F(@) tj se x>b ) Fle) 13 se “> 1-2? see O<a<l Tx see O<a<7 c) f(@j= d) f(x) = 0 se x>1 0 se @>T7 COs x se O<a<T7 b-2 se O0<a<b e x)= f r)= ) F(@) tS se @>T7 ) Fle) 1 se a>b 5 Propriedades das Integrais de Fourier 1.] Mostre que a integral de Fourier de cossenos, CO Fe) = f° AQ) cos ye ay implica as seguintes propriedades 1 CO C1) f(bxr) = a A(y/b) cos yx dy b>0O mudanga de escala 0 O° Oe dA 2 se C2) a«f(x)= | B*(y) sen yx dy BY=-——— e A(y) = - | Ff (€) cos 7 dg 0 dy ™ Jo 2 ar . dA C3) a f(x) -| A*(y) cos ya dy A =—72 0 ‘Y 2.] Encontre a representacéo da fungao f dada por 1 se O0<a<b f(t) = 0 se x>b na forma da integral de Fourier em cossenos logo aplique a propriedade C3) para encontrar a repre- sentacao de Fourier em cossenos da funcao, 2 x se O0<a<b f(z) = 0 se ax2>b 3.] Verifique a propriedade C2) para seguinte fungao 1 se O0<a<b f(t) = 0 se x>b 4.] Encontre as formulas para a integral de Fourier de senos semelhantes as obtidas no primeiro item. 5 6 'Transformadas de Fourier em Senos e Cossenos Uma transformada integral 6 uma transformacéo na forma de uma integral que produz a partir de funcdes dadas novas fungdes, dependendo de uma variadvel diferente. Essas transformag6es sao de interesse principal- mente como ferramentas para a resolucéo de equacoes diferenciais ordindrias, equacdes diferenciais parciais e equacoes integrais, e muitas vezes eles também ajudam no manuseio e aplicacdéo de funcoes especiais. A transformada de Laplace é deste tipo e é de longe a mais importante transformada na engenharia. O préximo na ordem de importancia sao as transformadas de Fourier. Veremos que essas transformacées podem ser obtidas a partir da integral de Fourier de uma forma bastante simples. Nesta segaéo, vamos considerar dois delas, que sdo a valores reais, e na proxima secéo um terceiro que a valores complexos. Transformadas de Fourier em Cossenos A transformada de Fourier em cossenos esta concentrada com fungées pares f. Obtemos essa transfor- macao a partir da integral de Fourier em cossenos CO 2 CO F(x) = [AG )cosyedy sendo A(y) == | s(6) cos Ede Especificamente, definindo A(y) = 2/7 f(y), onde a letra c sugere “cosseno”. Entao, escrevendo € = x na formula para A(y), obtemos ~ Q x fey == [ Fle)cos wae (6.1) logo 2 [% +x Fe) == [ fe)cosredy (6.2) A férmula (6.1) fornece a partir de f uma nova funcao, fely) chamada a transformada de Fourier em cosseno de f(x). A formula (6.2) nos devolve f(x) a partir de f.(y), portanto, chamamos f(x) a inversa da transformada de Fourier e cosseno de f(7). O processo de obter a transformacaéo fe de uma dada f também é chamado de transformada de Fourier em cosseno ou método de transformacao de Fourier em cossenos. 1.] Encontre a transformada de Fourier de cossenos da fungao 3 se O0<a<b f(t) = 0 se x>b Observe que, para f(x) = C definida no semi-intervalo positivo a transformada acima nao existe! 2.] Encontre a transformada de Fourier de cossenos da fungéo f(x) = exp(—2). 3.] Considere a seguinte fungéo definida por, 2 x see O<a<l rere { 0 se x“>1l Encontre a sua transformada de Fourier de cossenos, ¥¢|f(zx)]. 4.) A transformada de cossenos do produto 2~! sen existe? E do produto x~! cos x? Justifique. 6 5.] Seja a funcado f definida f(x) = 2 para x € R*, conclufmos que nao possui transformada de Fourier de cossenos. Justifique. 6.] Se f for absolutamente integrdvel em Rt e for continua por segdes em cada intervalo finito, entao a transformada de Fourier de cossenos de f existe. Além disso, se f e g tiverem transformadas de Fourier de cossenos, 0 mesmo ocorre com a fungao af + bg para quaisquer constantes a e 0 reais. Assim sendo, mostre que, Belaf + bg] = avclf] + b§-[g] 7.] Consideremos que f seja continua e absolutamente integrdvel em R, que f’ seja continua por secdes em cada intervalo finito e que f(x) + 0 4 medida que x — co. Entaéo mostre que , 2 Self (x)] = VsLf(@)] — y —F(0). 8.] Mostre que se f e sua primeira derivada séo nulas quando x — oo. Além disso se §,[f] é a transformada de Fourier em cossenos de f, entao " 2 2 / Self" (@)] = —V Bel f(w)] — yy —F'(0). 9.] Encontre §.[e~°”] pelas formulas envolvendo derivadas segundas. 10.] Aplicando a férmula operacional do exercicio anterior encontre a transformada de Fourier de cossenos da fungao f(x) = exp(—bx) onde b > 0. 11.] Obtenha a transformada de Fourier inversa de cossenos, §~![exp(—y)], utilizando a definicao. Transformadas de Fourier em Senos Da mesma forma, definimos B(y) = \/2/7 fs(y) onde a letra s sugere “seno”, Entao, escrevendo £ = x temos a partir de CO 2 CO fle) = f° Bo)senyxdy sendo BOy) == [ F(6)senrg de transformada de Fourier em senos de f dada pela férmula, ~ Q oo fa) == [ Fle)senyede (6.3) logo, a inversa da transformada de Fourier em senos é da dada pela férmula, 2 [~% + (a) = [2 [* Bodsenyeey (6.4) O processo de obtengaéo de fe a partir da funcao f é também chamada a transformada de Fourier em senos ou o método da transformada de Fourier em senos. Existem outras notacdes e sao as seguintes, Self] = fe, Ss|f] = fs, 1, 81 indicam as inversas de 3, $s 7 Linearidade e 'Transformada de Fourier de Derivadas Se a funcao f é absolutamente integradvel no eixo-x positivo e continua por secdes em cada intervalo finito, entaéo a transformadas de Fourier em cossenos e senos de f existe. Além disso, se f e g possuem transformadas de Fourier cosseno e seno, 0 mesmo acontece para a combinagao af + bg para qualquer constantes a e b, e por (6.1), obtemos, 2 CO Belaf +a] = y= | [af(a) + Og(a)) cosa 2% 2% =a - | f(x) cosyadx +b = | g(x) cos ya dx T JO 7 JO = a§-[f] + bS-[g] De maneira semelhante para a transformada de Fourier em senos, ¥, utilizando (6.3). Isto mostra que as transformadas em senos e cossenos séo operacées lineares sclaf + bg] = asl f] + bs -[g] (6.5) bslaf + bg] = a¥s|f] + b8sl9] (6.6) Teorema 1. (Transformada de Fourier em cossenos e senos de Derivadas) Seja f uma funcao continua e absolutamente integrdvel en todo o eixo-a, considere a funcdo derivada f’ continua por segdes em cada intervalo finito, e que f(z) > 0 quando x — oo. Entao, , 2 Self (2)] = 18s[F(2)] — y —F(0) (6.7) SsLf/(x)] = —78eLF (x) (6.8) Observagao. A formula (6.7) com f’ em vez de f fornece, quando f’ e f” satisfazem as respectivas hipéteses para f e f’ no Teorema 1., 2 Bell" (w)] = Bsls"@)] — 2F'O) logo pela formula (6.8) obtemos, i 2 2 / Self" (@)] = 1 Sel f(@)] — y —F(0) (6.9) De maneira semelhante, obtemos uma outra formula, n" 2 2 Lf (2)] = —V ELF) + yf — 7 FO) (6.10) A aplicacgéo basica de das formulas (6.9) e (6.10) para EDPs seré dada posteriormente. Para iniciar mostraremos como (6.9) e (6.10) podem ser usadas para deduzir transformagées para serem incluidas em tabelas. 1.] Encontre a transformada de Fourier em cossenos §.|f] onde f(x) = e~™ sendo a > 0. 2.] Se f for absolutamente integraével em Rt e for continua por segdes em cada intervalo finito, entao a transformada de Fourier de senos de f existe. Além disso, se f e g tiverem transformadas de Fourier de senos, 0 mesmo ocorre com a funcéo af + bg para quaisquer constantes a e b reais. Assim sendo, 8 mostre que, oslaf + bg] = av s[f] + bss[g] 3.] Consideremos que f seja continua e absolutamente integrdvel em R, que f’ seja continua por se¢gdes em cada intervalo finito e que f(x) + 0 4 medida que x — co. Entaéo mostre que SsLf'(x)] = —78elf(a)]. 4.] Mostre que se f e sua primeira derivada sao nulas quando x — oo. Além disso se §,[f] é a transformada de Fourier em senos de f, entao " 2 2 sf (@)] = 7 FO) — s/f). (6.11) 5.] Encontre §,[e~2"] pelas formulas envolvendo derivadas segundas. 6.] Encontre a transformada de Fourier em senos, §,;[f] da funcgao f(x) = exp(—72), utilizando a definicao. 7.| Encontre a resposta do problema anterior, a partir da formula operacional (6.11) 8.] Considere a fungao real f definida por, senx se O<au<T x)= I) 0 se @<T7 Encontre a §5[f]. 9.] Encontre a transformada de Fourier de senos da fungao 5 se O0<a<b f(t) = 0 se x>b Observe que, para f(z) = K definida no semi-eixo positivo a transformada obtida nao existe! Por que? 10.] Seja a funcao f definida f(x) = 1 para x € R*, conclufmos que nao possui transformada de Fourier de senos. Justifique. 11.] Considere a seguinte funcao f definida por, —l see O<a<l f(x) =¢ 1 se l<axr<2 0 se “>2 Encontre a transformada de Fourier de cossenos de f. 12.] Utilizando a seguinte notagao A 2 0° fn) = (2 [ se@)sen rede wT Jo mostre que a funcdo f(bx) tem a transformada de Fourier de senos (1/b) fs(y/b). 9 7 'Transformada de Fourier Forma Complexa da integral de Fourier As duas transformacoes na tltima secéo foram reais. Consideremos agora uma terceira chamada a trans- formada de Fourier, que 6 complexa. Obtemos esta transformagaéo a partir da integral de Fourier complexa, cuja representacao 6, 1 lo) co . f(x) = >| / f(e™@Id—Edy sendo i= V—1 (7.1) 27 J—oo J—oo Transformada de Fourier e sua Inversa Escrevendo a fungao exponencial em (7.1) como um produto de fungdes exponenciais, temos flo) =e [le [te ag] ea (7.2) x£) = = — € € . 27 J—co 27 J—co 7 A expresséo entre colchetes é uma fungao de y, é denotada por f(), e chama-se a transformada de Fourier de f; escrevendo € = x, temos io)= ef twea (7.3) = — x)e x . 7 27 J—oo Com isso, (7.2) se torna 1 Oo 3 iva xz) = = ed 7.4 fle) = ef fle ay (7.4) e chama-se a transformada de Fourier inversa de fi (7). Outra notacéo para a transformada de Fourier é f=B[f] de modo que f= $§"'[f]. O processo de obtengao da transformada de Fourier §|f] = f a partir de uma f dado é também chamada a transformada de Fourier ou método a transformada de Fourier. Condigoes suficientes para a existéncia da transformada de Fourier sao as seguintes, Teorema 1. (Existéncia da Transformada de Fourier) Se a fungao f é absolutamente integravel em R e continua por segdes em cada intervalo finito de R, entao, transformada de Fourier §[f] de f dada por Fa) = BU) = Ge [Pe de < 00 exist = x = —— x)e x< oo existe. 7 7 27 J—oo 1.] Encontre a transformada de Fourier da fungéo real f definida por, k se O<a<a f(r) = 0 se 2 €C(JO, al) 2.] Encontre a transformada de Fourier da fungao real f, definida por 1 se |al|<1l f(r) = 0 se |a|>1 10 3.] Encontre a transforma de Fourier das seguintes fungdes a) f(x) =e F! b) f(a) = ent a constante 1 c) f(@j= lz d) f(x) = sen(«*) 1 se |x| <a, a> Oconstante &) fle) = nls i) f(a) = e0s(02) 0 se |z|>a 4.] Encontre a Transformada de Fourier da fungao eW be se x«>0 f(x) = aconstante b>0 0 se 2“<0 Resp: 1/V27(b + iw). Interpretacao do Espectro A natureza da representacéo da funcgao f por, 1 oars iyx xz) = = eo" d 7.5 fl) =e [Fide ay (7.5) torna-se clara se pensarmos como uma superposicaéo de oscilagdes sinusoidais de todas as frequéncias pos- siveis, chamada de representacao espectral. Este nome é sugerido pela ética, onde a luz 6 como uma superposigao de cores (frequéncias). Na relagaéo (7.5), a “densidade espectral” f(y) mede a intensidade de f no intervalo de frequéncia entre 7 e y+ Ay (Ay pequeno, fixado). Afirmamos que, em conexéo com as vibragées, a integral aio J ora —0oo pode ser interpretada como a energia total do sistema fisico. Assim, a integral de f(y)? de um ponto a para b entrega a contribuigéo das frequéncias 7 entre a e b para a energia total. Para fazer isto aceitavel, comecamos com um sistema mecénico fornecendo uma tnica frequéncia, ou seja, o oscilador harménico (massa em uma mola) My" + Ky=0 denotamos a varidvel tempo t pela varidvel x. Multiplicado pela derivada de y obtemos d {M K My'y"+Kyy=0 @ — Swe + 5 Wwe | =0 dx | 2 2 apos integracao, 1 1 gM + sky = Ep = constante onde v = 7 denota a velocidade, primeiro somando é a energia cinética, 0 segundo a energia potencial, e Eo representa energia total do sistema. A solucéo geral da EDO que modela o oscilador harménico é, IWoxL —iwoxr 2 Kk Y = a1 coSwox + by senwox = Cre” + C_ ie“? com Wo = Vi 11 onde os coeficientes 1 1 Ci = 5 (4 _ iby), C_434= C1 = 5 (41 + ib;). Escrevemos de forma simplificada a solucao geral, y=A+B, com A=Cye™*, B=C_,e or Derivando com relacao a x obtemos, vay =A'+ B’ =iwo(A-B) Substituindo v e y na equacao da energia total Eg obtemos Lipo to la ve 2,1 2 Temos, w2 = K/M logo Mu? = K. Também, i? = —1 de modo que 1 Ey = 5K[-(A- B)* + (A+ B)?] = 2K AB = 2KC,C_, = 2K|C\|? Por conseguinte, a energia é proporcional ao quadrado da amplitude |C4|. Como pr6ximo passo, se um sistema mais complicado conduz a uma solugao periddica y = f(x) que pode ser representada por uma série de Fourier, entéo, em vez do unico termo de energia |C|? obtemos uma série de quadrados |C;,|? de coeficientes de Fourier C,,, dados por 1 [7 . Ch = >| f(xje "dz, nEZ 27 Jax Neste caso, temos um “espectro discreto” (ou “espectro pontual”) que consiste em muitas frequéncias isoladas numeraveis (infinitos, em geral), os correspondentes |C;,|? vem a ser as contribuicées para a energia total. Finalmente, um sistema cuja solugdo pode ser representado por um integral (7.4) leva 4 integral acima para a energia, como é razoavel a partir dos casos que acabamos de analisar. Linearidade e Transformada de Fourier de Derivadas Novas transformadas podem ser obtidas a partir de algumas dadas pelo, Teorema 1. (Linearidade da Transformada de Fourier) A transformada de Fourier é uma operagéo linear; isto é, dadas as fungoes f e g cuja transformadas de Fourier existem e para quaisquer constantes a e b, a transformada de Fourier de af + bg existe, e dlaf + bg] = aB[f] + b8[9] Ao aplicar a transformada de Fourier para equacoées diferenciais, a propriedade principal é que a difer- enciacgdo de fungdes corresponde a multiplicagaéo de transformadas vezes 77. Teorema 2. (Transformada de Fourier da Derivada) Considere a funcao f continua em R e f(x) > 0 quando |x| > oo. Além disso, seja f’(2) absolutamente integravel em R. Entao Sif’ (@)| = Bf (@)] (7.6) 12 Observagao. Duas aplicagdes sucessivas de (7.6) fornece SL" (@)] = HSLF(2)] = (31 (@)] Uma vez que (iy)? = —7? temos para a transformada da segunda derivada de f a formula Sif" (@)] = 7° SIF (@)] (7.7) Se procede de maneira semelhante para derivadas de ordem superior. Inicialmente utilizamos a formula (7.6) para deduzir transformadas para tabelas. A formula (7.7) serd utilizada nas aplicagdes para equagdes diferenciais. Teorema 3. (Derivadas da Transformada de Fourier) Seja f: R — C uma fungao absolutamente integravel tal que o produto x f(x) também é uma fungao absolutamente integravel, entao, _d 8 [xf(x)] (w) = 17-8 [F(#)] (w). Em geral, se f: R > C uma funcio absolutamente integravel tal que o produto x* f(x) também é uma fungao absolutamente integravel, entao, k , a 5 [2* Fa) &) =* 5 5[f@)] &). Teorema 4. (Transformada de Fourier de uma Translagaéo) Seja f: R — C uma fungao absoluta- mente integravel, entao, 5 [f(x — ©)] (w) = °° FF (x)] (@). Reciprocamente, 5c" F(2)| &) = SIF @)] (w-o). Teorema 5. (Transformada de Fourier de uma Dilatagao) Seja f: R — C uma funcao absolutamente integravel e c # 0, entao, 1 Ww BL /(cx)] @) = 5 Ur@l (2). Ic| c Em particular, 5 [f(—2)] (w) = §[f(2)] (-w). 1.] Mostre as seguintes propriedades da transformada de Fourier a) Slaf + bg] = a8[f] + b8Ig] b) S[f(t—)] =e SIF (b)] 1 . c) &[f(ct)] = joel: cE R\ {0} d) $f’) = o8If) 1; n “\n e) [flat —6)| = ae 80/9): a€R\ {0} f) BF] = ("SLL (O) 2.] Encontre a transformada de Fourier da funcdo f(x) = xexp(—x?) aplicando a férmula operacional exibida na propriedade d). 13 Convolucao A convolugao f * g das funcées reais f e g absolutamente integraveis em R e contradominio C, é definida (x)= (Fee) = | fale-v)dy= [fle yaly)ay. —~oo —oo Podemos garantir que a convolugao esta bem definida (a integral imprépria que a define converge para x € R), se por ventura as fungdes f e g fossem quadrado integraveis, isto é, CO CO / lf(a)[P? dx <oo e / |g(a)|? da < 00, —oo —oo seus quadrados também sao absolutamente integraveis. Logo também se garante a boa definicao. Além disso, a convolucéo de funcgdes absolutamente integrdveis, quando bem definida, é também uma funcéo absolutamente integravel, de forma que sua transformada de Fourier esta bem definida. O efeito 6 0 mesmo como no caso de transformadas de Laplace: tomando a convolucéo de duas fungdes e, em seguida, tomando a transformada da convolugaéo é 0 mesmo que multiplicar as transformadas de estas fungdes (e multiplicando-as pelo fator 27). A transformada de Fourier se relaciona muito bem com as convolucées; transforma convolucao de funcées em produto de fungoes. Teorema 1. (Transformada de Fourier de uma Convolugaéo) Suponhamos que as fungées f e g sejam continua por secoes, limitadas, e absolutamente integraveis em todo R e contradominio C. Entaéo 5 lf * 9] = v27 Sf] Blo] (7.8) Ao tomar a transformada de Fourier inversa em ambos os lados da formula (7.8), escrevendo f=3 (f] e, g = |g] como antes, e notando que V27 e 1//2a em (7.8) e (7.4) anulam-se mutuamente, portanto, co a . (Fe ga) =f fle) awe" de, (7.9) —Co é uma formula que vai nos ajudar na resolugéo de equacgoes diferenciais parciais, EDPs. Teorema 2. (Férmula de Parseval) Seja fy) a transformada de Fourier da fungao f, entao | @rar= [Foray —cCo —cCo Em notagao com normas temos fll = IF | Em sistemas fisicos, a quantidade |f|? representa a medida da energia, e if |? representa o espectro de poténcia de f. 1.] Suponhamos que f e g sejam continuas por intervalos, limitadas e absolutamente integraveis em R. Entao mostre que 5l(f * 9)(x)] &) = V20 BF (2)|w) Blg(z)]() 2.] Calculando a transformada inversa de Fourier no resultado do exercicio anterior, obteremos uma 14 formula que ajudara a resolver equacoes diferenciais parciais, EDPs co a . (Fe a)a)= | Flw)glw) e* de —oo 3.] Mostre ou justifique as seguintes propriedades da convolugao, considerando a e b constantes arbitrarias a) fxg=gxf b) fx(g*h)=(fxg)*h c) fe(gthj=fxgtfeh d) fx0=0«f e) fxlA4f f) f * (ag + bh) = a(f *g) + O(f * h) 4.] Justifique as seguintes relagdes 1 . a 14 a) ~=-1 b) e+e =2cosx i c) e&® —e* = Qisenx d) 5.] Encontre a transformada de Fourier pela definigéo sem utilizagéo de tabelas. Mostre os detalhes ba e€ se «r<0 k se O<a<b a) f(x) = b) f(z)= 0 se x>0 0 se for o complemento 21x € see -l<a<l k see —-l<a<l c x)= d x)= ) F@) tS se |x| >1 ) F@) . se |x| >1 x see -l<a<l x see O<a<l e) f(x)= f) f(a)= 0 se |a|>1 0 se for o complemento > Lexr<d —l se —-l<a<0 xe se — x g) f(z) = h) f(z)=4 1 se O<a<1 0 se for o complemento 0 se for o complemento 8 Transformada de Fourier de Funcoes Salto e Impulso 1.] Calcule a transformada de Fourier da fungao salto, 0 < Ua(x) = we ESE coma > 0. 1 se axe>a 2.| Escreva o resultado do exercicio anterior quando a = 0. 3.] Calcular a transformada de Fourier da fungéo impulso, h se a-eE<u<ate q(x) = com a>Q0O, 0 se w>at+ée, t<a-eE onde h é grande e positivo e ce > 0 pequena. 4.] Quando h = 1/2¢ calcular, °° . . He) = [ a.(a)de = +>, lim I{e) = +> e lim g.(@) => quando «za. 15 5.] Calcular a solugao do problema, utilizando transformada de Fourier, O,u(ax, t) = O2u(a, t) + 6(x)d(t), -0O <4%< ow, t>0 u(x, 0) = d(x), —-0o <“2%< 0 lim u(x, t) =0 |z| 00 9 Aplicacgoes das Transformadas de Fourier A maioria das equagoes diferenciais parciais que temos estudado foram previamente definidas em regides finitas (por exemplo, o fluxo de calor em uma haste unidimensional finita ou em regides limitadas de tipo bi ou tridimensionais). As solug6es obtidas dependiam das condig6es em suas fronteiras. Nesta secao estudaremos problemas que se estendem indefinidamente em pelo menos uma direcéo. Os problemas fisicos nao sao infinitos, mas com a introducéo de um modelo matematico com extensao infinita, somos capazes de determinar 0 comportamento de problemas em situac0es nas quais se espera que a influéncia das fronteiras atuais possam ser despreziveis. Resolveremos problemas com extensao infinita ou semi-infinita generalizando o método de separacao de variadveis. Comecamos por considerar a conducaéo de calor em uma dimensao, sem interferéncia de quaisquer fron- teiras. No caso mais simples, com propriedades térmicas constantes e nao ha fontes externas, a temperatura u(x, t) satisfaz a equagao de calor, Ou(x, t) —a7d?u(x, t)=0 paratodo —co<2£ <0 (9.1) Impomos uma condic¢ao inicial, u(x, 0) = f(z) (9.2) Gostariamos de utilizar (9.1) para prever a temperatura no futuro. Para problemas em uma regiao finita, condigdes de contorno s&o necessérios em ambos extremos. Frequentemente, problemas em um dominio infinito (—co < x < oo) parecem ser colocados sem quaisquer condicgoes de fronteira. No entanto, geralmente ha condicoes fisicas em -too. Mesmo que eles nao sao indicados como tal. No caso mais simples, suponha que a distribuigéo de temperatura inicial f(a) se aproxima para zero quando x — too. Isto significa que, inicialmente, para todos os x suficientemente grandes, a temperatura é de aproximadamente 0. Fisicamente, para todo o tempo a temperatura se aproxima de 0 quando x — too. u(—oo,t)=0 e u(ow, t) =0. Desta forma, o nosso problema tem condicoes de fronteira homogéneas. Método da Transformada de Fourier Suponhamos que u = u(x, t) represente uma fungado de duas varidveis, x € Ret > 0. Se fixarmos a variadvel t, a funcéo u representaria apenas uma funcao depende da varidvel © e assim podemos aplicar a transformada de Fourier com relagéo a varidvel x. Denotamos a transformada de Fourier por U(w, t), isto 6, 1 °° ( t) tw x U(w, t) = F lu(a, t w= | u(x, te L (0. ) = Flue. Ne) =e fate, 16 Pelas propriedades de transformadas de Fourier com relagéo a derivadas parciais, § [O,u(ax, t)] (w) = iw¥ [u(az, t)] (w) = iw (w, t) 5 [A2u(x, t)] (w) = (w)?F [ula, #)] (w) = —w? Uw, t) Podemos observar que, as derivadas espaciais sAo convertidas em expressoes que envolvem apenas a funcao U(w, t) multiplicada por um monédmio em w. Entretanto podemos intercambiar o sinal de integracaéo com o de derivagaéo com relacgao a varidvel t, assim, 5 [Qu(x, t)| (w) = ®U(e, t) o que significa que a varidvel t é invariante em relagaéo a transformada de Fourier. Portanto, aplicando a transformada de Fourier para euma EDP modificamos para uma EDO na variavel t. Este comportamento é o fato principal do método da transformada de Fourier para resolver EDOs. A seguir destacamos as etapas importantes deste processo, Etapa 1 Calcular a transformada de Fourier de todas as equacoes diferenciais dadas, isto é, a EDP e suas condig6es iniciais; Etapa 2 Resolva a EDO, obtendo a expressao de U(w, t); Etapa 3 Aplicar a transformada de Fourier inversa 4 U(w, t), para obter u(x, t). No caso de EDPs, use a a formula, so (fe g(a) = | Fw) Gwe" du, —oo na resolucdo de equacoes diferenciais parciais. Onde § |f(x)] (w) = F(w) e ¥[g(x)] (w) = G(w). Implementacgao do Método Equagao do Calor Resolveremos o problema de condugaéo do calor em uma barra homogénea, isolada termicamente e infinita. Este é 0 problema de valor inicial conhecido também como problema de Cauchy, Opu(ax, t) — a7? u(x, t) = 0, —-0O <4U<, t>0 u(x, 0) = f(x), —-0 <“%< 0 Suponhamos que a funcao f é continua, limitada e absolutamente integravel. Aplicamos a transformada de Fourier 4 EDP, e logo obtemos a seguinte EDO na varidvel t, O,U (w, t) — a?w?U (w, t) = 0, —-wo <wWw<o, t>0 U(w, 0) = F(w), —0o <w < 00 A solucaéo geral da EDO 6, U(w, t) = C(w)e~)"# Para obter uma solugao particular, isto o valor da constante C'(w), utilizamos a condicao inicial, F(w) = U(w, 0) = Clw) 17 Assim sendo, a soluca&o particular procurada é dada por, U(w, t) = F(w)e~ 0%)" #, Para encontrar a fungao solugéo u(x, t) do problema de Cauchy, utilizamos a transformada de Fourier inversa, 1 °° 2, 5 1 °° 24), 2 « u(x, t) = — | F(w) e (0) te ®&@dyy = — | F(w) e (9% edu, (=f Fw) oe | Pe) Este formato de solucao nao é favoradvel para aplicacées praticas. Para uma simplificagéo mais expressiva utilizamos a propriedade da transformada de Fourier de uma convolucao de fungoes para obter uma solucao que dependa da distribuigéo inicial de temperatura f(x). Observando a solucéo particular da EDO, o segundo fator do lado direito é uma fungéo Gaussiana na variavel w. Como se pode facilmente comprovar, ou vendo uma tabela de Transformadas de Fourier, a menos de constantes é a transforma da dela propria. Em termos analiticos, —ax? /2 _ i —w? /2a s le (w) = Vac Disto, se definimos a fungao g(x) da seguinte forma, 1 w g(a, t) =4/ Fa21 © 4a2t entdo G(w, t)=e @)"! com a=1/(207t) a Podemos agora escrever a solucéo particular da EDO, U(w, t) = F(w)G(w, t). Recordando que a transformada de Fourier de um produto convolucaéo é o produto de transformadas de Fourier das fungoes envolvida vezes o fator 27, isto é, F(w)G(w, t) = =F (@) * 9(@)] () w)G(w, t) = —= x) * g(x)] (w ) on g Segue de maneira natural que, U(w, t) = F(w)G(w, t) . 5 L(F * g(t) (x)| @) w, t) = F(w)G(w, t) = —= * x)| (w d ’ Jn g Considerando os extremos a relacdo acima, e aplicando a transformada de Fourier inversa, (0, 1) = (Fe glt))(2) u(x, t) = —=(f * x). ) on g Ou substituindo os valores obtidos, (0) =e ayer a u(z, t) = ———— Z)e 402%t dz V4ra2t J—oo Esta é a solucado da equacao do calor de uma barra infinita, e a Unica solucao, se entendermos por solucao uma funcao continua e limitada em t > 0. 18 Equagao da Onda A seguir implementamos o método de Fourier no problema das vibracoes transversais de uma corda infinita, homogénea de peso desprezivel, O2u(a, t) = O2u(z, t) -0O<4< ow, t>0 u(x, 0) = f(x), Opu(a, 0) = g(a) —0 <4%< oo u é limitado quando t > oo ue O,u se anulam quando |r| + co t>0 Aplicamos a transformadas de Fourier na EDP, obtemos uma EDO na variavel t, 07U(w, t) = 7 (iw)? U(w, t) —o <w<o, t>0 U(w, 0) = F(w), &U(w, 0) = G(w) —00 <wW < oo A solucao geral da EDO, é dada por, U(w, t) = A(w) coscwt + B(w) sen cwt. Para obter a solucao particular devemos obter os valores de A(w) e B(w), utilizamos as condic6es iniciais, F(w) = U(w, 0) = A(w) G(w) = 0,U(w, 0) = cw B(w) Portanto, a solucéo particular procurada é dada por, G(w U(w, t) = F(w) coscwt + CW) con ewt. cw Aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos a solucéo do problema, 1 °° G(w . u(x, t) = — / [F(w) cos cw t + CO) sen cet eb?! dus V2T J—co CW Em algumas situacoes, a integral acima pode ser calculada explicitamente. 1.] Encontre a distribuigaéo de temperatura en um barra semi-infinita nos seguintes casos com distribuigaéo de temperatura inicial zero, (a) Calor fornecido no extremo x = 0 a uma taxa de g(t); (condigéo de Neumann) (b) No extremo x = 0 é mantida a temperatura constante To. (condicao de Diriclet) Sugestao: Utilize transformada de Fourier em cossenos no item (a) e transformada de Fourier em senos no item (b). 19 2.] Encontre a solucao do problema de Dirichlet no semiplano y > 0. O2u(x,y) + Fula, y) =0, —0o <£%<0O y>0 u(x,0) = f(a), —0 <4 <0 u é limitado quando y — oo ue 0O,u se anulam quando |z| — oo. 3.] Encontre a solugao do problema de Neumann no semiplano y > 0. OPu(a, y) + Kula, y) = 0, —0 <4<M, y>OoO Oyu(x,0) = g(x), —-0 <“%< 0 u é limitado quando y > oo ue O,u se anulam quando || > oo. 4.] Encontre a solugdo do problema de valor inicial de condugéo de calor em uma barra infinita. O,u(x, t) — a8? u(x, t) = 0, -wO<@%< mw, t>0 u(x,0) = f(x), —0 <4%< oo onde u(z, t) representa a distribuicéo da temperatura e é limitada por outro lado a? é a constante de difusibilidade. 5.] Mostre a seguinte identidade °° Tg r= | eo dy = vr b>0 0 2b 6.] Mostre o valor da seguinte integral, °° 7 [ ee cos(cx)dx = Ne b>0 0 2b 7.| Mostre a identidade importante, 1 [. eo tine dp _ 1 ene /At Vv 27 J—co /2t 8.] Considere a constante b > 0. Justifique que, 2 1 2 Fle 2] (w) = ew 1/26 9.3 je] w) = (9.3) Em particular obtemos, 5 fe"/?] (w) =e. (9.4) 9.] Encontre a temperatura u(x, t) numa barra lateralmente isolada homogénea com secao transversal constante estendendo-se de x = —oo ate x = co, com tempo ¢t > 0, supondo que a temperatura inicial dada é u(x,0) = f(z), -0O <4%< ow, 20 e para todo t > 0 a solucao e sua derivada com relacao a x satisfazem, u(x,t) > 0, O,u(xz,t) +0 quando |a|— co. Como uma aplicacao, encontre u(x,t) quando, C se fal <1 f(x) = 0 se |a|>1 10.] Resolva o problema do calor enunciado no exercicio anterior utilizando a convolugao. 11.] Resolver o seguinte problema de valor inicial em EDP, (Problema de Cauchy) loo Opu(a,t) = qoeu(, t), -0O <4%< ow, t>0 u(x,0) = ef —-0o <“2%< 0 12.] Encontre a solugéo da equacao da onda A? u(x,t) = 7d? u(a, t), -0O <4%< ow, t>0 u(x,0) = f(x), OQu(x,0) =0 —00 <%< oO u é limitado quando t > oo ue O,u se anulam quando |x| > co t>0 onde f possui transformada de Fourier. 13.] Resolva o seguinte problema de valor inicial em EDPs (Problema de Cauchy) OPu(a, t) = O2u(z, t), -0O <4%< ow, t>0 1 u(x, 0) = Toa’ Oju(x, 0) = 0 —00 <%< oO u é limitado quando t > oo ue O,u se anulam quando |x| > co t>0 10 Projetos 1.] Deslocamento. Mostre que, se funcgao f tem transformada de Fourier, entaéo também o tem a fungéo f(x a b), e S{f(e — d)}(q) = e MHL F(@) FY) 2.| Utilizando o item anterior, obter a formula 1 se —b<a<b 2 2 sen by x)= implica = $[ f(x = [2 ——. f(x) 0 se |al>b P fy) = BF = y — 7 a partir da formula, 1 se b<u<ec * e thy — ete r)= implica = $l f(x = —___. I) 0 se caso contrario P PO) FN) wy 20 21 3.] Deslocamento sobre o eixo-y. Mostre que, se f(y) é a transformada de Fourier de f(x), entiao f(y —b) €a transformada de Fourier da funcao e”* f(z). 4.| Utilizando o item anterior, obtenha a formula ear se —b<a<b A 2 sen b(y — a) xr) = implica =$lf(z = 2 oN f(x) 0 se |x) >b p Ff) = BF = ya a partir da formula, 1 see —-b<a<b . . a 2 sen by 1 ={ implica f() = $LF(@)I(0) =f 2 0 se caso contrario TY e a seguinte formula, ein se b<au<c . i eib(a—7) — eic(a—7) r)= implica = Si f(x = I(@) 0 se caso contrario P FO) FO) V27 a-7 a partir da formula, 1 se b<u<e * ey — ie rt) = implica = $l f(x = —__—— H2) 0 se caso contrario P fa) FN) iyV 20 11 Resumo de Séries, Integrais e Transformadas de Fourier As séries de Fourier se relacionam com as funcoes periddicas f de periodo 2L, ou seja, as funcgdes que satisfazem f(a+T)=f(x) paratodo « paraalgum valorde T portanto f(a +nT) = f(x) para qualquer inteiro n. Essas séries tem a forma f(x) =ao + S> ln cos Ge + bp sen re (11.1) n>1 com os coeficientes chamados de coeficientes de Fourier de f, dados pelas formulas de Euler, dados por 1 ft 1 rl a= 57 |, Fle)ae an =z |, fla)cos dx (11.2) 1 L bn = | f(x) sen dx n=1,2,3,... (11.3) LJ-Lt L 22 Para o periodo 27, temos simplesmente f(x) =ao + S° (dy cos nx + bp sen nx) n>1 com os coeficientes chamados de coeficientes de Fourier de f, dados pelas formulas de Euler, dados por 1 [7 1 (7 ag = — x) dx an = — x) cosnax dx o= =f fo) ==] fle) 1 Tv bn = — f f(x) sen nx dx n =1,2,3,... T Jr As séries de Fourier tem uma importancia fundamental no tratamento de fendmenos periddicos, partic- ularmente nos modelos envolvendo equagoées diferenciais. Se a fungdo f for par, f(—x) = f(x) ou impar f(—x) = —f(x), elas se reduzem as séries de Fourier de cossenos ou as séries de Fourier de senos respectivamente. Se a funcao f for definida somente em 0 < x < JL, ela possui expansoes de meia escala com periodo 2D, a saber, uma série de cossenos e uma outra de senos. O conjunto das fungdes de cosseno e seno em (11.1) é chamado de sistema trigonométrico. Sua propriedade mais fundamental é a sua ortogonalidade em um intervalo de comprimento 2L; isto é, paro todos os inteiros m en # m, temos que 2 mre nTrx ib Mra nTx [/, c08 cos" de = 0, [sen 7 sen “de =0 e para todos os inteiros me n, [ mrx nt 1 cos ——— sen —— dx = 0. _L L L Essa ortogonalidade foi essencial na obtengao das formulas de Euler (11.2)-(11.3). As somas parciais das séries de Fourier minimizam o erro quadrado. E possivel estender as ideias e técnicas das séries de Fourier para funcdes ndo-periddicas f definidas sobre a reta dos nimeros reais; isso nos leva a integral de Fourier CO f(x) = | [A(y) cos yx + B(y) sen ya] dy (11.4) 0 onde 1 se 1° At) == | fle) cosrg ak, Bo)y=—|[ f@senr€dg (11.5) TT —oo 1 —Co ou na forma complexa 1 so f(x -—— | f(ye d 11.6 ) =e [Fine (11.6) onde f= | ferra (11.7) = —— x)e x . PY = Te A formula (11.7) transforma f em sua transformada de Fourier fea formula (11.6) é a transformada inversa. 23 Relacionam-se a isso a transformada de Fourier de cossenos A 2 oo f.(7) = V2 / f(x) cos ya dx (11.8) T Jo e a transformada de Fourier de senos ~ Q poo f(y = V2 f(x) sen yx dx (11.9) T Jo A transformada discreta de Fourier (TDF) é um método pratico de calcula-la, chamado de transformada rapida de Fourier (TRF). 24