Exames de Suficiencia Resolvidos-2021 2

Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Seja a funcao —(x+7), -7<a<0 roie{ zu, O<2<T, tal que f(x + 27) = f(x), Vx € R, cuja série de Fourier é ~ —4 2 f(x) = » (sy) cos((2n — 1)a) + (53) sen((2n — 10) . Utilize a série de Fourier de f(x) para verificar qual das alternativas, a seguir, é a correta: CO —| n+l o Se x = 0, entao, yo =-7 n=1 CO —| n+l o Se x = 0, entao, yor —_ 7% 2n-—1 2 n=1 CO —1 n+1 o Se x = 5, entao, YG =0 n=1 CO —1 n+1 o Se x = 5, entao, yor =f n=1 CO —] n+l o Se x =, entao, yor =5 n=1 ~ T Resolugao: Para x = 3 CO 1 —4 1 2 1 ~)= se 2n 1)" ) —_* ((2 -1)2) # (5) » (aa) eos (( n—W5)+ (575) seu (2n—1)> | Como T T T T f (5) =>5 cos ((2n — )5) =0 e sen ((2n — 5) =(-1)""', Vn =1,2,... temos oo 1 2 5d |(a—a) or" n=1 Dividindo ambos os lados por 2 3 (-1)"+1 _t Qn-1 4 n=1 Lf ~ Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Para x = 0, pela descontinuidade de f(z), vale lim x lim f(x jim F(@) + tim fe) _4 9 QO = Ss" Qn—1?2n Cos (0) + n-1 sen (0) n=1 Como cos (0) = 1 e sen (0) = 0 temos oo > (ea) 4-S (a= 20 <4 \(Q2n—-1)?x Multiplicando ambos os lados por 4 —1)2. 8° <= (2n — 1) 8 Portanto a alternativa correta é CO 1 _ (-1)?*4 T O° Sew= 5. enti, ont a Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Sey Lh aes Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUGAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Seja a funcao f(x) =x+cos(x), -t<a<T, tal que f(x + 27) = f(x), Vz € R. Calcule a série de Fourier de f(x). Escolha uma: = F(a o f(#) = 250 — cos(nz) n=1 oe (-1)"*1! o f(x) =cos(x) +2 Ss" [| cos(nz) n=1 °° (—1)"*1 o f(x) = cos(x) +2 Ss" [or] sen(nx) n=1 & (-1)""! o f(x) =sen(x) +2 Ss" [jor] sen(nz) n n=1 & (-1)""! o f(x) =sen(x) +2 Ss" [| cos(nx) n=1 Resolugao: Dada a funcao f(x) =x +cos(z), —7<a<m talque f(x+27)=f(x), VreER, podemos considerar f(x) = g(x) + h(x), Vx € R, onde g(x) = 2, —mt<a<qa talque g(#+27)= g(x), VraeER e h(x) =cos(x), Va eR. Pela linearidade, para cada n € N, 0 n-ésimo coeficiente da série de Fourier de f(x) 6 a soma dos n-ésimos coeficientes das séries de Fourier de g(x) e de h(x). Como g(x) é uma funcao impar de periodo 27, a sua série de Fourier é CO 9 T g(x) = Ss" bp, sen(nx), com by, = =| g(x) sen(nz) dz, n=1,2,... T JO n=1 Para cada n = 1, 2,... 2 [* 2 [* bn = - | g(x) sen(na) dx = - | xsen(nx) dx T JO T JO 2 "1 [7 =— (=) + ~ | cos(nz) ar) T n 5 nJo 2 1 7 _? (7) 04+ ga sen(n)| ) T n n 0 9 —] n+l 1 1 9(—1 n+l =— (corr uae + — sen(n7) — — sen(0)) = aap" T n n n n Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Sey Lh aes Logo a série de Fourier de g(x) é °° (-1)"+1 g(x) = 25° [| sen(nx) n=1 Como h(a) = cos(a) é uma funcao par de perfodo 27, a sua série de Fourier é co 1 [7 2 [* h(a) = ag + So an cos(nx), com dag = — h(a)dx e an =— h(a) cos(nx) dz, n=1,2,... T JO T JO n=1 Note que cos(x) = 0 + 1cos(x) + 0cos(2x) + 0cos(3a) + --- Logo os coeficientes ag = 0, aj = 1 e an = 0 para n = 2,3,... satisfazem a equacao co h(a) = ag + Ss" An COs(n2) n=1 Pela unicidade, a série de Fourier de h(x) é h(a) = cos(x) Assim Se (-1)""! f(x) = g(a) + h(x) = 25° [| sen(na) | + cos(zx) n n=1 Portanto a alternativa correta é = ray = 2 A) o f(x) = cos(x) + » h | sen(na) Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Seja a funcao f(x) =a+sen(z), -t7<a<n7, tal que f(x + 27) = f(x), Vz € R. Calcule a série de Fourier de f(x). Escolha uma: f(a) =25- |") sen(nc) Oo = ————— x Qu sen(na Se (-1)"*1! o f(x) =cos(x) +2 Ss" —— | cos(nx) n=1 n f(2) = cos(e) +2 |") sen(nc) oO = — x) = cos(x Qu n sen(na fla) = sen(x) +292 [—Y"") sen(na) ° = sen ~—— | sen x) = sen(x 2 nl sen(na f(a) = sen(x) +29 |") cos(ne) ° = sen ——_ n x) = sen(x 2 hl cos(nx Resolugao: Como a funcgao f(x) =a +sen(z), —m7<a<qa talque f(x+2r)=f(x), VreER, é uma funcao impar de periodo 27, a sua série de Fourier é CO 9 T f(x) = Soon sen(nz), com by, = =| f(x)sen(na)dz, n=1,2,... n=1 0 Para cada n = 1, 2,... 2 [* 2 [* bn = - | f(x) sen(nx) dx = -| (a + sen(x)) sen(nx) dx T JO T JO 2 T T = — (| xsen(nx) dx +f sen(z) sen(n2) a) m \Jo 0 2 "1" ™ —1 _ 1 _2 (-=ne)| 4 | cos(nir) de +/ cos((n — 1)x) — cos((n + 1)a) a) 7 n 9 nJo 0 2 2 ( mcos(nz) 1 "1 [7 1 [7 == (So 045 _= 1 = 1 - ( h O+ 72 sen(na)| >[ cos((n + 1)a) dx + [f cos((n — 1)x) a) 2 ((-1)""! 1 1 1 1)x)|"] 1 =— — + 72 sen(n7) — 72 8en(0) —5 oe | + >| cos((n — 1)a) az) 2-1"! 1 1 0 1 [7 _ AH _ 1 [sen((n+1)m) _ sen(0) +f cos((n — 1)x) dr n T n+1 n+1 T Jo 9(-1 n+1 1 T = ey" + -| cos((n — 1)a) dx nr T Jo Lf ~ Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Note que, para n = 1 | cos((n — 1)a) dx = | dx = 1 0 0 Para n = 2,3,... T —] w | cos((n — 1)a) dx = sen e) = 0 0 n—-1 0 Assim “a 2(—1)” 12pm bn = " 2(-1)r*! ———., n=2,3.... n Portanto a alternativa correta é (eae! = 9 Sy o f(x) = sen(x) + S | nl | sen(nz) Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Sey Lh aes Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUGAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Qual das seguintes alternativas representa a série de Fourier de cossenos, k > 0, de k, O<a<l f(x) = 0, Ll<au<2 Escolha uma: 2k QB ff (-1)"*! 7 == ia 2n — 1)— ) 2 o f(z) 7 tlm cos ((2n )52 , Va € (0,2) 2k QS ff (-1)""! T _< soy 2n—1)" ) 2 o f(z) 7 tbo sen ((2n )52 , Va € (0,2) ko 2k Aypf(-1yrt T =-4° Aas Qn —1)— ) 2 o f(z) Dt tf cos ((2n Jee , Va € (0,2) ko kA f(-1yr*4 ug =-4> ia 2n —1)— ) 2 o f(z) Dt [ao sen ((2n )52 , Va € (0,2) ko tke 1 o f(#) = 5 + _ » { (3) [cos ((2n — 52) + cos ((2n — L)rx)| \ , Va € (0,2) Resolugao: A série de Fourier de cossenos de periodo P = 2L de uma funcao f(x) definida no intervalo (0, L) é = nt 1 ft 2 fh nt — n __ , =_ — n = —_— —_ 5 = 1, 2, eee f(x) w+ oa cos ( =x) com ao a f(x)dx e a 7 |f f(a) cos ( a) dx, n Como k, O<a<l f(x) = 0, Ll<au<2 temos L =2e 1 ag = >| f(x) dx 2 Jo 1 1 2 =- (| kde f ode) 2 \Jo 1 k 1 = fa 2 Io _k 2 Lf ~ Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Para cada n = 1, 2,... 2 nT An -| f(x) cos (2) dx 0 2 1 2 -| k cos (Sc) ax + | Odx 0 2 1 2 nT I = k— sen (2) | nq 2 0 2k (“) = — sen {| — nT 2 Note que 2k n+l a2n =O0 e a2n-1 = Qn in) 5 n= 1,2,3,... Portanto a alternativa correta é ko 2k Aypf(-1yrt T ~* 28 ry 2n—1)Fa) >, Va € (0,2 o f(z) Dt tf cos ((2n Jee x € (0,2) Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCGAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Qual das seguintes alternativas é correta? Dada a seguinte funcao 1, -l<a<l f(t) = 0, C.c. entao Escolha uma: 1, |a|<1 A 2 | sen(w °° sen(w) cos(wax 1 5 fay 2 [MO]. femdom ad yes TT Ww 0 wW 2 0, |r| >1 “|| <1 a o fw) = V2 [ue °. [ sen(w) cos(w2) dw = m le) <1 T Ww 0 Ww 4 0, |r| >1 “ \al<1 2g o fw) = V2 ak °. [ sen(w) sen(w2) dw = m le) <1 T Ww 0 Ww 4 0, |z|>1 1, |2l|<1 ‘ 2 | cos(w °° cos(w) cos(wa 1 ° je) = 2 [2], e, | cos(w) cos(war) 5 =, |x| =1 T Ww 0 wW 2 0, |x| >1 “|| <1 a o fw) = V2 mak e. [ cos(w) cos(wa:) do = r le) <1 T Ww 0 Ww 4 0, |r| >1 Resolugao: A transformada de Fourier de uma fungao par f(x) que satisfaz as condigdes do Teorema da Existéncia da Transformada de Fourier é a 2 °° f(w) = V2 / f(x) cos(wax) dx T JO Lf ~ Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a A funcao 1, -l<a<l ror-| 0, C.c. é par, continua por intervalos em cada intervalo finito e absolutamente integravel. Logo possui transformada de Fourier e A 2 °° f(w) = V2 / f(x) cos(wax) dx T JO 9 1 oo = V2 (| cos(w2:) a+ | ode) m \Jo 1 2/1 ' = V2 — sen(u) mw\w 0 _ V2 sen(w) Va Ww Além disso, temos 2 [> f(x) = \2/ f(w) cos(wa) dw T JO 2 [*% 2 = V7 / (V2 =) cos(war) dw T Jo TT Ww 2 co _ 2/ sen(w) cos(w:) do T Jo Ww Pelo Teorema da Convergéncia, a integral converge para o ponto médio dos limites laterais de f(x) nos pontos de descontinuidade. Logo 1, |a|<1 2 [~% sen(w) cos(wx 1 2 f° sade) gy 11 yy TT 0 Ww 2 0, |r) >1 Multiplicando ambos os lados por . T a <1 rl °° sen(w) cos(wx [ome aad aja 0 wW 4 0, |r| >1 Portanto a alternativa correta é “|| <1 =~, |x 9 d ‘ 2 | sen(w °° sen(w) cos(wx 0 ftw) = 2 (I. eo [OOD at T, fal =1 T Ww 0 Ww 4 0, |r| >1 Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana UTrer lz iS vs Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCGAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Dada a seguinte funcao —-%, -a<2r<0 f(r) = 0, r<—-a Qual das seguintes alternativas é a correta? Escolha uma: —te, -—a<a2<0 o fw) = 2 | (wa) sen(wa) + cos(wa) — 1 e °° | (wa) sen(wa) + cos(wa) — 1 cos(wa) dw =) Ta, a 1 w? 0 Ww? 4 0, r<—a —Sa, -—a<2<0 o fiw) = V2 e) cos(wa) ~ sent) es [ [ cos(wa) ~ ste) sen(wr) dw =) Fa a 0, r<—a sleh lel <a o fw) = 2 | (wa) sen(wa) + cos(wa) — 1 e °° | (wa) sen(wa) + cos(wa) — 1 cos(w) dw = 2 "a, [ol=a 1 w? 0 Ww? 4 0, |z|>a we, O<a<a o fiw) = 'E fe) sen(wa) — nea) e [ fe) sen(wa) — ae) cos(wir) dw = 4 Ea _ 0, z>a ae, O<x<a o fw) = 2 | (wa) sen(wa) + cos(wa) — 1 e °° | (wa) sen(wa) + cos(wa) — 1 cos(wa) dw = ) Ta, nea 1 w? 0 Ww? 4 0, xz>a Resolugao: A transformada de Fourier de cossenos de uma fungaéo par f(x) que satisfaz as condigdes do Teorema da Existéncia da Transformada de Fourier é . 2 fe(w) = V7 / f(x) cos(wax) dx T JO A expansao par da funcao —"%, -a<2z<0 xj, O< |r| <a f(x) = é a fungdo f(x) = 2 2 0, u<-a 0, |z| >a inistério da Educacgao Lf ~ Ministérjo da Ed ~ 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a que é continua por intervalos em cada intervalo finito e absolutamente integravel. A sua transformada de Fourier de cossenos é a 2 °° fe(w) = V2 / f(x) cos(wax) dx T JO 2 a CO = V2 (| reos(we) de+ f Oar) T 0 a 2 “1 4% _ V2 (eae) i i sen(w2) ir) T Ww o w& Jo 2 | asen(wa cos(wa) |“ = [2 [ene 0p He T Ww Ww 0 2 Jasen(wa) cos(wa) — cos(0) —~ VO + 20 2 T Ww Ww Ww _ V2 (wa) sen(wa) + cos(wa) — 1 Va w Além disso, temos 2 [> f(x) = V2 / fe(w) cos(wa) dw T JO 2 [* 2 -—1 _ V2 / (V2 [e sen(wa) + cos(wa) \ cos (wr) dw wT Jo T Ww 2 Lr fe sen(wa) + cos(wa) — ‘ cos( wir) dw T Jo WwW Pelo Teorema da Convergéncia, a integral converge para o ponto médio dos limites laterais de f(x) nos pontos de descontinuidade. Logo |x], O< |r] <a 2 [% —1 >| ee) sen(wa) + cos(wa) | cos(wa) dw = a le| =a T Jo Ww 2 0, |x| >a Multiplicando ambos os lados por . Slel, lel < —|x r|<a 9 d °° —1 | ee) sen(wa) + cos(wa) | cos(war) dw = mo, \e| =a 0 wW 4 0, |r| >a Portanto a alternativa correta é Slel, lel <a o f.lw) = [2 fe sen(wa) + cos(wa) — | e [ [ee sen(wa) t cos(wa) — * cos(w)dw = % "a, [ol=a 7 WwW 0 Ww 4 0, |z|>a Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR lz \y a e C ampus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCGAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Dada a seguinte funcao —-%, -a<2r<0 f(r) = 0, r<—-a Qual das seguintes alternativas é a correta? Escolha uma: —Sa, O<a<a a 2 °° rT > fw) = V2 [econ -e i [acontea)) son(we)dw=d Te ena TT WwW 0 WwW 4 0, z>a —Sa, -—a<2<0 . 2 ee 7 °o f,(w) = V2 fae) vf fae) sen(wx) dw = “a, v=-a TT WwW 0 WwW 4 0, r<-a fe, |z| <<a o fw) = 'E fe cos(wa) = sent) ce [ [e cos(wa) — ste) son(we) dv = qe vana Tv W 0 W 7a, ta 4 0, |r| >a Te, O<a<a o fw) = V2 ee) cos(wa) ~ sent) es [ [ie cos(wa) — se) sen(wr) dw =) Fa _ 0, z>a Te, -—a<a2<0 o fw) = V2 e) cos(wa) ~ sent) es [ [ie cos(wa) — ste) sen(wr) dw =) Fa a 0, x<-—a Resolugao: A transformada de Fourier de senos de uma funcéo fmpar f(a) que satisfaz as condigdes do Teorema da Existéncia da Transformada de Fourier é . 2 £2 fs(w) = V2 / f(x) sen(wx) dx T JO A expansaéo impar da funcao —"%, -a<2x<0 . —x“, O0<|a|<a f(x) = é a fungao f(x) = 2 0, x<—a 0, |x| >a Lf ~ Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a que é continua por intervalos em cada intervalo finito e absolutamente integravel. A sua transformada de Fourier de senos é . 2 2 fs(w) = V2 / f(x) sen(wa) dx T JO 2 a co = 'E (| (—2) sen(wax) dx +f ode) T 0 a 2 (xcos(wx)|* 1 f*% = V2 (cen) — a cos(w2:) a) T Ww o w& Jo _ V2 a cos(wa) 0 sen(wa) |“ Va Ww wy _ V2 acos(wa) sen(wa) 4 sen(0) Va Ww w we? _ V2 (wa) cos(wa) — sen(wa) Va w Além disso, temos 2 [> f(x) = 7 / fs(w) sen(wa) dw T JO 2 [% 2 — _ V2 / (V2 ee) cos(wa) suien)) sen (wir) dus wT Jo T Ww 2 [© | (wa) cos(wa) — sen(wa = - | [ocean sen(wa) dw T Jo WwW Pelo Teorema da Convergéncia, a integral converge para o ponto médio dos limites laterais de f(x) nos pontos de descontinuidade. Logo -—a, |a|<a CO a a a 2 — 3 P= 2/ [ea cos(wa) sent) sen(wn) dw = 2 ? T Jo wW _@ e-a 2’ 0, |r|>a T Multiplicando ambos os lados por 3 —Sa, |jal|<a [ [i cos(wa) — sent) son(we) dv = qu tana 0) w) 74, cr=a 4 0, |r| >a Portanto a alternativa correta é ay |z| <<a 2 * 2 | (wa) cos(wa) — sen(wa °° | (wa) cos(wa) — sen(wa 7a 2=—a ° fu) = [2 [Podcoreen) — sent) ) cos( ) ( vf [eo ) cos( ) ( *) sen) a = 4 T Ww 0 Ww 74, c-a 4 0, |r| >a Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUGAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Calcule as transformadas inversa de Laplace, #~! {F} (t) e ZY~' {G} (t), das funcdes s+2 F(s) = —-—*— (s) s?+s—2’ e 6 G(s) = ————— (s) s(s? + s— 2) Escolha uma: of=e, 6 g(t) =2e-3+e% o f(t)=2e'-3+e%, e — g(t) =e o f(t) =2e'-3+e°7, e g(t) =e! of)=e%, 6 glt)=e%—3 of=e, © — glt)=2&-3 +e Resolugao: Primeiramente note que s?+s—2=(s—1)(s+2) Manipulando a funcaéo Fs), assumindo s 4 1es #4 —2 s+2 F(s) =~" — (s) s?+s—2 _ s+2 ~ (s—1)(s +2) _ it ~ s—l =f {et} A menos de um conjunto de pontos isolados, temos f(tj)=el Manipulando a funcéo G(s), assumindo s #0,s4les#-2 6 G(s) = ————__— (s) s(s? +s — 2) _ 6 ~ s(s —1)(s + 2) _A 4 B 1 C gs s-l 842 Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Precisamos resolver a equacao A(s—1)(s+2)+ Bs(s+2)+Cs(s—1)=6, Vs Equivalentemente, resolvemos o sistema de equacoées lineares A+ B+C=0 A+2B—C=0 —2A+2B-—C=6 Temos A=-3, B=2 e C=1 Pela linearidade da transformada de Laplace —3 2 1 G(s) = — + —— + ——~ (s) Ss + s—l + 5+2 =f {—3 + 2e! + et} A menos de um conjunto de pontos isolados, temos g(t) = 2e’ —3+e°7# Portanto a alternativa correta é o f(t)=e, 6, g(t) =2e°-3 +6 Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Sey Lh aes Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUGAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Calcule as transformadas inversa de Laplace, Z~! {F} (t) e Z~! {G} (t), das funcdes s F(s) = —— (9) = eye’ © 8 G(s) = (2-12 Escolha uma: tsen(4t tsenh(t 0 f(t) = git = Sem 4 2 sen(4t senh(t of) = Mg g(t) = HO 8 2 tsen(4t tsenh(t o f(t) = SM g(t) = SEND 8 2 tsen(4t tsenh(t 0 f(t) = (ty = NO 8 4 tsen(4t tsen(t 0 f(t) = gg = BHO 8 2 Resolugao: Podemos calcular as transformadas inversa de F'(s) e de G(s) usando o Teorema da Convolucao ou Integragaéo de Transformada. Mostraremos as duas maneiras de resolver, calculando a transformada inversa de F’(s) usando o Teorema da Convolucao e a transformada inversa de G(s) usando Integracao de Transformada. Manipulando a funcaéo Fs), assumindo s #4es 4 —4 s F(s) = —— (8) = Ty 6p ~l(_s_\(_4 4A \ 82 +16) \ 5? + 16 1 = 7 Z toos(4t) }-2{sen(4t) } Pelo Teorema da Convolucao 1 1 ft f(t)= 1 cos(4t) x sen(4t) = 1 [ cos(47) sen(4(t — 7)) dr 0 1 t =] [ cos(47) (sen(4t) cos(47) — cos(4t) sen(4r)) dr 0 1 t t =] (sencae) cos?(4r) dr — cos(at) | cos(4r) sen(4r) ir) 0 0 1 4 4 ’ 2(4r) |’ = (san (seutiriemtin) of cman EO) 1 /sen(4t) /sen(4t) cos(4t) — sen(0) cos(0) + sen?(4t) sen(0) a ne 4t) {| ——— — ——— 4 ( 2 ( 8 8 9 cos(4t) | 3 8 __ tsen(4t) 8 Lf ~ Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Usando Integragéo de Transformada para G(s) = #{g(t)} t CO 2 {en} - / G(3) ds t s 00 ~ 5 = "dg I (e—1Pp — 1/1 \i% — 2\8-1/], _1() 1 2 s2—1 —1f 1 — 2\s?-1 1 = af isenh(t)} A menos de um conjunto de pontos isolados t 1 t h(t wo =ssch(t) > g(t)= ‘senn(t) Portanto a alternativa correta é t sen(4t) tsenh(t) ° f(t) = — —, e, g(t) = — .—— Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Cˆampus Curitiba C´alculo 4B Professor Jorge Luis Torrej´on Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUC¸ ˜AO DAS QUEST˜OES DO EXAME DE SUFICIˆENCIA Quest˜ao: Calcule a transformada inversa de Laplace, L −1 {F} (t) da fun¸c˜ao F(s) = 200 (s2 + 4s + 5)(s2 + 25) Escolha uma: ◦ f(t) = e−t(cos(t) + 7 sen(t)) − (cos(5t) + sen(5t)) ◦ f(t) = e2t(cos(t) + 7 sen(t)) − (cos(5t) + sen(5t)) ◦ f(t) = e−2t(cos(t) + 7 sen(t)) + (cos(5t) + sen(5t)) ◦ f(t) = e−2t(cos(t) + 7 sen(t)) − (cos(5t) + sen(5t)) ◦ f(t) = e−2t(cos(t) + sen(t)) − (cos(5t) + sen(5t)) Resolu¸c˜ao: Manipulando a fun¸c˜ao F(s) F(s) = 200 (s2 + 4s + 5)(s2 + 25) = As + B s2 + 4s + 5 + Cs + D s2 + 25 Precisamos resolver a equa¸c˜ao (As + B)(s2 + 25) + (Cs + D)(s2 + 4s + 5) = 200, ∀s Equivalentemente, resolvemos o sistema de equa¸c˜oes lineares            A + C = 0 B + 4C + D = 0 25A + 5C + 4D = 0 25B + 5D = 200 Temos A = 1, B = 9, C = −1 e D = −5 Logo F(s) = s + 9 s2 + 4s + 5 − s + 5 s2 + 25 = s + 9 (s + 2)2 + 1 − s s2 + 25 − 5 s2 + 25 = s + 2 (s + 2)2 + 1 + 7 (s + 2)2 + 1 − L {cos(5t)} − L {sen(5t)} = L {e−2t cos(t)} + 7L {e−2t sen(t)} − L {cos(5t)} − L {sen(5t)} Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Cˆampus Curitiba A menos de um conjunto de pontos isolados f(t) = e−2t cos(t) + 7e−2t sen(t) − cos(5t) − sen(5t) Portanto a alternativa correta ´e ◦ f(t) = e−2t(cos(t) + 7 sen(t)) − (cos(5t) + sen(5t)) Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrejon Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Usando transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial: y+y'-—2y=6, onde, y(0)=1 e »/(0)=1. Qual das alternativas representa a solucao? Escolha uma: o y(t) =e'-3+4+3e*% o y(t) = 3e' — 3+ 3077 o y(t) = 3c -3 +e -* ° y(t) = e*! _24 et o y(t) = 3e' -3+e-7 Resolugao: Aplicando a transformada de Laplace na equacao diferencial yl" 4 y! — 2 =6 obtemos L{y"} + L{y'} —2L{y} = L{6} 6 (s°-Z{y} — sy(0) — y'(0)) + (s-Z{y} — y(0)) — 2LKy} = = 6 (s° +5- 2) L{y} =~ +(s+1)y0) +y'(0) Logo 6 s+2 Psy) = ————__ 4. 2 ** ty} s(s? + 5 — 2) + 245-2 _ _ 6 + _ st? s(s—1)(s+2) (s—1)(s +2) _A 1 B 1 C 1 1 gs s—-l s+2 s-1 Precisamos resolver a equacao A(s —1)(s+2)+ Bs(s+2)+Cs(s—1)=6, Vs Equivalentemente, resolvemos o sistema de equacoes lineares A+ B+C=0 A+2B—C=0 —2A+2B-—C=6 Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR aN, Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a ‘Temos A=-3, B=2 e C=1 Pela linearidade da transformada de Laplace —3 2 1 1 L = — + — 4+ — + —— ty} s )s-l)st2 5-1 =f {—3 +2e +e 7% 4 e'} Portanto a alternativa correta é o y(t) = 3e' —3+e°7# Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Usando transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial: y” + 16y = cos(4t), onde, y(0)=0 e y/(0)=0. Qual das alternativas representa a solucao? Escolha uma: sen (4t) t)= — ° y(t) 1 cos(4t) t)= ° y(t) 1 tsen(4t) t) = ——— ° y(t) 3 t cos(4t) t) = ——-—— ° y(t) 5 tsen(4t) t) = ° y(t) 5 Resolugao: Aplicando a transformada de Laplace na equacao diferencial y” + 16y = cos(4t) obtemos Lily 4+ 16L{y} = Lf{cos(4t)} 2 ’ 8 Ly} = sy(0) — y'(0)) +16. L{y} = =—— (s°-2{y} — sy(0) — y(0)) + 16-2{y} = =e 2 § ’ 1 ) — (s? + 16).2{y} = 5G + sy(0) + 9'(0) Como y(0) = 0e y’(0) =0 5 L = —~—__, {ty} (2+ 162 Usando Integracao de Transformada y(t) / °° 8 ~ Ly p= => d { t \ . (2 +162°° tif 1 \ie 2 \ 824+ 167 |, _1(,__1 2 s2 +16 il 4 ~— 8 \s2 + 16 1 = gf tsen(4t) } Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Cˆampus Curitiba A menos de um conjunto de pontos isolados y(t) t = 1 8 sen(4t) ⇒ y(t) = t sen(4t) 8 Portanto a alternativa correta ´e ◦ y(t) = t sen(4t) 8 Lf aN Ministério da Educagao 3 g Universidade Tecnolégica Federal do Parana [ j Ir PR te Campus Curitiba UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA eT a Calculo 4B Professor Jorge Luis Torrején Matos Professor Edson Minoru Sassaki RESOLUCAO DAS QUESTOES DO EXAME DE SUFICIENCIA Questao: Usando transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial: y" —y=cosh(t), onde, y(0)=0 e y/(0) =0. Qual das alternativas representa a solucao? Escolha uma: o y(t) = senh(t) 2 tsenh(t tsenh(t t cosh(t t cosh(t Resolugao: Aplicando a transformada de Laplace na equacao diferencial y” —y' = cosh(t) obtemos L{y"} — Lily} = L{cosh(t)} 8 (s*°-Z{y} — sy(0) —y'0)) - Zw} =a 8 (8? = 1) Zfy} = s+ sy(0) +9) Como y(0) = 0e y’(0) =0 8 L = —~—_; {y} (2 1p Usando Integracao de Transformada HOV [8 as 2{P}- [aap — 1f 1 \ie — 2\8-1)], _1(, 1 2 s?—1 1/1 — 2\s8?-1 1 = a % {senh(t)} Minist´erio da Educa¸c˜ao Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Cˆampus Curitiba A menos de um conjunto de pontos isolados y(t) t = 1 2 senh(t) ⇒ y(t) = t senh(t) 2 Portanto a alternativa correta ´e ◦ y(t) = t senh(t) 2