Lista 4 e 6 Cálc 4b Laplace e Transformada Z-2019 2

UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DE PARANA T PR Campus Curitiba - Sede Centro UNIVERSIDADE TEGNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Departamento Académico de Matematica - DAMAT SEMESTRE CODIGO DISCIPLINA TURMA CURSO(S) 0.1 <A Transformada Z A transformada Z de uma sequéncia {x,}%,, ¢ definida em geral como 2 n Z[{{en]O=X@= VS, n=—0oo sempre que a soma exista, e onde z é uma varidvel complexa, ainda a ser definida. Para as sequéncias {2,,}°, que sdéo causais, isto é, In =O para n<J, a transformada Z é calculada pela formula, Sa n 2|{en}e](@ =X(2) = oF. n=0 Exercicios Propostos Confira suas respostas usando MATLAB ou MAPLE sempre que possivel. 1.] Determinar a transformada 2 da sequéncia {tn}={2"} para n>0. 2.] Mostre que, 2(-/"He)=5-— > 5 — Z)= z& _-. 2z+1 2 3.] Encontre a transformada Z da sequéncia, {2n} = {0, 2, 4, 6, 8,...}. 4.) O sinal f(t) = e~* H(t) 6 amostrado em intervalos de amostragem T. Qual é a transformada Z da sequéncia de amostras resultante? 5.] Calcule a transformada Z de cada uma das seguintes sequéncias, indicando a regiao de convergéncia, em cada caso, (a) {(1/4)"} (b) {3"} (c) {(-2)"} (dq) {-(")} (ec) {8n}. 6.] O sinal de tempo continuo f(t) = e~?”, onde y é uma constante real, é amostrado quando t > 0 em intervalos de amostragem 7’. Escreva o termo geral da sequéncia de amostras e calcule a transformada Z da sequéncia. 0.2 Propriedades da Transformada Z Nesta secao, vamos estabelecer as propriedades basicas da transformada Z que nos permitira desenvolver novos pares transformadas Z, sem ter de calculd-los diretamente usando a definicao. Como para as transformadas de Laplace, uma propriedade fundamental de transformada Z é a sua linearidade, o qual pode ser formulada como segue. Se {rn} e {yn} sao sequéncias tendo transforma 2 denotadas por X(z) e Y(z), respectivamente, e se a e @ s&o constantes quaisquer, reais ou complexas, entao Z[{azrn + Byn}](z) = o2[{n }](z) + BZ[{yn}] (2) = aX(z) + BY (z) A seguir considerar uma versao retardada da sequéncia {x,,}, denotado por {y,}, com Yn = In—-k) sendo k o numero de passos no atraso. Temos, portanto, o resultado 1 Zen} (2) = Bellen $] (2) que é conhecido como a primeira propriedade do deslocamento da transformada z. Finalmente, procuramos uma relagaéo entre a transformada Z de uma verséo avancada de uma sequéncia e a da sequéncia original. Primeiro vamos considerar um avango de um tnico passo. Se {yp} é a verséo avancada de um sé passo da sequéncia {x,,} entaéo {y,} é gerado por Yn =Ln41 para n->0O0. Temos, portanto, temos o resultado, Zl{ansi}|(z) = zX(z) — 220. (0.2.1) De um modo semelhante, é facilmente mostrado que para uma sequéncia avancado de dois passos, In+2; Zf{anso}]|(z) = 2?7X(z) — 22 a9 — 224. (0.2.2) Note-se a similaridade na estrutura entre os resultados (0.2.1) e (0.2.2), por um lado, e para aqueles da transformada de Laplace para primeira e segunda derivadas. Em geral, é facilmente provado por indugéo matematica que para uma sequéncia avancgada em k-passos, {Xn+4} k-1 Z{anen} (2) = *X (2) — YP aye! j=0 Na secao Sistemas Discretos e Equacdes de Diferencas vamos usar esses resultados para resolver equacoes de diferengas. 2 Exercicios Propostos Confira suas respostas usando MATLAB ou MAPLE sempre que possivel. 1.] A fungaéo de tempo continuo de f(t) = cosyt H(t), sendo 7 uma constante, é amostrado no sentido idealizado em intervalos T para gerar a sequéncia {cosnyT}. Determine a transformada Z da sequéncia. 2.] A sequéncia causal {x,,} é gerado por tn =(1/2)", m0. Determinar a transformada Z da sequéncia deslocada {x,,_2}. 3.] Usar a propriedade da linearidade do operador Z para confirmar, a saber zsenyT Z[{sen nyT}](z) = +a i PHN) 2? —2zcosyT +1 onde y e T sao constantes. 4.] Use a primeira propriedade de deslocamento para calcular a transformada Z da sequéncia {yp}, com termo geral, 0 see n<3 y = " In-3 se n>3 onde {z,} é uma sequéncia causal com termo geral x, = (1/2)”. Confirme o seu resultado por avaliacdo direta de Z[{yn}](z) usando a definicao de transformada Z. 5.| Determinar as transformadas Z das sequéncias (a) {(—1/5)"} (b) {cos na} 6.] Determinar a transformada Z% Z[{(1/2)"}] (2). Utilizando o resultado Z[{n}](z) = z/(z — 1), |z| > 1 obtenha a transformada Z da sequéncia {n(1/2)"}. 7.| Mostrar que, para uma constante a, zsenh a 2? — zcosha Zz h = >= b) 2 h = (a) 2[{senh na})(2) z* —2zcosha+1 (b) 2{{eosh na}](z) z2 —2zcosha+1 8.] Sequéncias sao geradas por amostragem de um sinal de tempo continuo, u(t), t > 0 causal, em intervalos uniformes de amostragem JT. Escreva uma expressao para Uy, o termo geral da sequéncia, e calcular a correspondente transformada Z quando u(t) é dada por (a) e (b) sent (c) cos 2t 3 9.] Indicamos algumas outras propriedades tteis da transformada Z, deixando a sua verificagéo para o estudante. (a) MULTIPLICACAO POR a”. Considere 2[{2,,}](z) = X(z) entdo para a constante a, temos, Z[{a" rn }](z) = X(z/a) (b) MULTIPLICACGAO POR n*. Considere 2[{x,}] = X(z) entao para k € N, temos, k d\" Zl{n'inH(2) = (2) XG) Observe que o operador —zd/dz significa, primeiro diferenciar com relagéo a z e logo multiplicar por —z. Elevando a poténcia para k significa “repetir a operacao k vezes”. (c) TEOREMA DE VALOR INICIAL. Se {z,,} é uma sequéncia com transformada Z denotada por X(z), entao o teorema do valor inicial estabelece, lim X(z) = x0 Zo (d) TEOREMA DE VALOR FINAL. Se {zp} é uma sequéncia com transformada Z denotada por X(z), entao o teorema do valor final estabelece, . . 1 lim x, = lim (1 —- :) X (z) n—- Co Zl z desde que os polos de (1 — z~!)X(z) estejam dentro da circunferéncia unitdria. 0.3 A Transformada Inversa Z Formalmente o simbolo 27 denota uma sequéncia causal {xz,} cuja transformada % é representada por X(z); isto é, Z{an}](z) = X(z) se, somentese {x,} = Z71[X(z)](n). A transformada Z, denotada as vezes por F(z), de uma determinada sequéncia { f(n)} é tnica. Portanto, a transformada Z e sua forma inversa formam um par de transformagoes: F(Z) =2 fH) ¢ {fi} = 27 [F()](n). Se o problema é obter a sequéncia {f(n)} de uma dada F(z). Existem trés métodos diferentes: o método das séries de poténcias; o método de expansao por fracgdes parciais; o método do residuo. O método de fragdo parcial é restrito ao caso em que F(z) esta na forma de uma fungao racional, enquanto os outros métodos se aplicam a uma classe maior de funcoées. Método de Séries de Poténcias Usando o método para dividir dois polindmios, F(z) é expresso na forma de uma séries de poténcias para obter F(z) =bo+ bz + boyz? + b3z7? + baz 4 foe 4 Por outro lado a transformada Z foi definida como CO F(z) =o f(n)z" = f(0) + fe "+ f2Q)2 7% + fB)2 94+ fe 4+: n=0 Uma comparagao dessas séries termo a termo mostra que existe uma correspondéncia um-a-um entre os coeficientes b,, e os valores de sequéncia necessarios f(n). Consequentemente f(n)=b, paratodo n>0 Observagao 1: Uma desvantagem desse método é que, em geral, apenas alguns dos valores da sequéncia sao obtidos e técnicas adicionais saéo necessdrias para obter uma formula geral do termo f(n). Outros métodos podem ser usados para deduzir a expanséo em série, por exemplo, o teorema binomial pode ser usado para expandir z/(z + 1) em uma série de poténcias negativas de z, ~*~ a (te) sige tye. z+1 Método da Fracoes Parciais A abordagem aqui é paralela 4 usada para obter a transformada inversa de Laplace de F'(s). Nesse caso, no entanto, trabalhamos com F'(z)/z em vez de F'(s). Por que 0 quociente F'(z)/z e nao F(z)? Examinando nossos resultados padraéo, observamos que as fungdes em z ocorrem nas seguintes formas, z z z z-l’ (z-1)?? z-e? e nao na forma de fracgaéo parcial normal 1 1 1 z-l’ (z-1)?? z-e? Método de Residuos Os métodos de expansaéo em séries de poténcias, métodos recursivos e as fracgdes parciais sao bastante limitados. A partir da definigéo da transformada Z de uma dada sequéncia { f(n)}, pode ser mostrado 1 n—-1 f(n) == 9 2” “F(z)dz, para n>0 (0.3.1) 27% Je onde € é qualquer curva fechada simples que inclua |z| = R, |z| > R é a regiao de convergéncia. Dito de outra maneira, © é qualquer curva simples, tomada no sentido positivo, que encerra todas as singularidades de F(z). Demonstracgao. Comecando com a definicgao da transformada Z, CO F(z)= S> f(in)z” |z| > Ri (0.3.2) n=0 5 multiplicamos a Equacao (0.3.2) por 2”~! e integramos ambos os lados em torno de qualquer contorno C que inclua todas as singularidades, 1 n-1 a 1 _m dz — ~ 2" 'F(z)dz= m)5 5 p=" m 0.3.3 a fe Fd => poms porns (0.3.3) m=0 Seja © um circulo do raio R, onde R > R,. Enta&o, mudanca de varidveis para z = Re’®, e dz =izdé, 1 d R°-™ 2r_. 1 se n=m 1 f gram de [ elln—m)8 ay — (0.3.4) 272 Je z 2nr Jo 0 se ném Substituir a equacao (0.3.4) na equacao (0.3.3) logo produz o resultado desejado, J ¢ 2” 1 F(z) dz = f(n) (0.3.5) 271 Je - Podemos facilmente avaliar a integral de inversao, equacéo (0.3.1), usando o teorema de residuos de Cauchy. oO Essa integral é conhecida como integral de contorno e pode ser avaliada usando o Teorema de residuos de Cauchy. Este teorema afirma que o valor da integral é a soma dos residuos de z”~! F(z) correspondentes aos poélos da funcgaéo que se encontram dentro de uma curva fechada simples @ que inclui |z| = R. Isto é, l k n-1 n-1 = — F(z)dz= R F : a;|. fn) = 5 fF) de Yi Res [2 1F(2) + a E facilmente demonstrado que os métodos de séries de poténcia e frac&o parcial sao casos especiais do método de residuos. Polos A funcao G(z) = z”-! F(z) possui um polo de ordem n em z = 21 se lim G(z) = co ZZ e o valor de (z — 21)"G(z) em z = 2 é finito e diferente de zero. Para exemplo z+2 G(z) = ——— (2) 2(z +3)? tem um polo de primeira ordem (referido como um polo simples) em z = 0 e um polo de segunda ordem em z = —3. Residuos Associado a cada polo de uma funcao esté um numero chamado residuo da funcéo no polo, que pode ser calculado a partir da formula 1 qd’ — m Rz=a = (m—ildem—t ( — a) G(s) para m>1 6 avaliado em z = a e onde m é a ordem do polo e R,~, é 0 residuo. Exercicios Propostos Confira suas respostas usando MATLAB ou MAPLE sempre que possivel. 1.] Encontre a transformada Z inversa, z zt | —— |) 2.| Encontre a transformada Z inversa, z zt | —_~____ ayes! 3.] Encontre a transformada Z inversa, 2z+1 zt | n (z + 1)(z— 3) (n) 4.] Inverta a transformada Z dada por, z Y(z) = ~=— 3 (2) 24a? onde a é uma constante real. 5.] Inverta a transformada Z dada por, z Y(z) = =———— (2) z—zt+1 6.] Encontrar a sequéncia cuja transformada Z é, 3 2 ze 4+2z°4+1 F(z)= — 3. 7.] Encontrar 2~'[G(z)] onde 1- —aT G(z) = —~b * 7 (z —1)(z-e7-*) onde a e T sao constantes positivas. 8.] Inverter as seguintes transformadas Z. Forneca o termo geral da sequéncia, em cada caso. z z z _* b) —— _~ @) >) () ap z z z d) =—— e) —— f) WX (@) 4 @) 4 0) 1 z+2 a h) 24 i () ny () 9.] Resolvendo primeiro Y(z)/z em fracées parciais, encontrar 2~ quando Y(z) é dado 7 por, (a) z (z − 1)(z + 2) (b) z (2z + 1)(z − 3) (c) z2 (2z + 1)(z − 1) (d) 2z 2z2 + z − 1 (e) z z2 + 1 (f) z z2 − 2 √ 3z + 4 [ Use: z2 + 1 = (z + i)(z − i)] (g) 2z2 − 7z (z − 1)2(z − 3) (h) z2 (z − 1)2(z2 − z + 1) (i) 10.] Calcular Z−1[Y (z)](n) quando Y (z) é dado por, (a) 1 z + 2 z7 (b) 1 + 3 z2 − 2 z9 (c) z3 + z2 + 5z5 z5 (d) 1 + z z3 + 3z 3z + 1 (e) 2z3 + 6z2 + 5z + 1 z2(2z + 1) (f) 2z2 − 7z + 7 (z − 1)2(z − 2) (g) z − 3 z2 − 3z + 2 (h) (i) 8 0.4 Sistemas Discretos e Equações em Diferenças Investigaremos a ideia de um sistema de tempo discreto linear e seu modelo, uma equação em diferenças. Mais tarde veremos que a transformada Z desempenha um papel análogo ao da transformada de Laplace em tais sistemas, proporcionando uma representação domínio-transformada do sistema. Equações em Diferenças Primeiro vamos ilustrar a motivação para o estudo de equações de diferenças por meio de um exemplo. Suponha que uma sequência de observações {xn} está sendo registrada e que recebemos a observação xn no (tempo) passo ou índice n. Poderíamos tentar processar (por exemplo, suavizar ou filtrar) esta sequência de observações {xn}, usando o sistema de realimentação em tempo discreto ilustrada na Figura 1. Figure 1: Sistema de processamento de sinais em tempo discreto Em tempo no passo n a observação xn alimenta o sistema como uma entrada, e, após combinação com o sinal de “retorno” no ponto de soma S, prossegue para o bloco etiquetado D. Este bloco é um bloco de atraso unitário, e a sua função é a de segurar o sinal de entrada até que o “relógio” avance uma etapa, a etapa n + 1. Nesta altura, o sinal de entrada é passado sem alteração para se tornar o sinal yn+1, o membro (n + 1) da sequência de saída {yn}. Ao mesmo tempo, este sinal é alimentado de volta através de um bloco de escalonamento de amplitude α para o ponto de soma S. Este processo é instantâneo, e no ponto de soma S o sinal de realimentação é subtraído da próxima observação de entrada xn+1 para proporcionar a seguinte entrada para o bloco de atraso D. O processo então repete a cada passo “relógio”. Exercícios Propostos Confira suas respostas usando MATLAB ou MAPLE sempre que possível. 1.] Encontre equações de diferenças que representam os sistemas tempo discreto mostrados na Figura 2 9 Figure 2: Sistema de Blocos do Exercício 2.] Usando métodos da transformada Z, resolver as seguintes equações de diferenças, (a) yn+2 − 2yn+1 + yn = 0 sujeito a y0 = 0, y1 = 1 (b) yn+2 − 8yn+1 − 9yn = 0 sujeito a y0 = 2, y1 = 1 (c) yn+2 + 4yn = 0 sujeito a y0 = 0, y1 = 1 (d) 2yn+2 − 5yn+1 − 3yn = 0 sujeito a y0 = 3, y1 = 2. 3.] Utilizando o método da transformada Z, resolver as seguintes equações de diferenças, (a) 6yn+2 + yn+1 − yn = 3 restrito a y0 = 0, y1 = 0 (b) yn+2 − 5yn+1 + 6yn = 5 restrito a y0 = 0, y1 = 1 (c) yn+2 − 5yn+1 + 6yn = (1/2)n restrito a y0 = 0, y1 = 0 (d) yn+2 − 3yn+1 + 3yn = 1 restrito a y0 = 1, y1 = 0 (e) 2yn+2 − 3yn+1 − 2yn = 6n + 1 restrito a y0 = 1, y1 = 2 (f) yn+2 − 4yn = 3n − 5 restrito a y0 = 0, y1 = 0. 4.] A dinâmica de um sistema em tempo discreto é determinado pela equação de diferença yn+2 − 5yn+1 + 6yn = Hn Determinar a resposta do sistema para a entrada degrau unitário Hn(t) =    0 se n < 0 1 se n ≥ 0 dado que y0 = y1 = 1. 5.] A equação de diferença para a corrente em uma rede escada particular de N ciclos é dada por R1in+1 + R2(in+1 − in) + R2(in+1 − in+2) = 0; 0 ≤ n ≤ N − 2 onde in em é a corrente no (n + 1)-ésimo laço, e R1 e R2 são resistores constantes. (a) Mostre que esta pode ser escrita como in+2 − 2 cosh α in+1 + in = 0; 0 ≤ n ≤ N − 2 10 onde R a =cosh-! (1+ os) ( 2Re (b) Resolvendo a equacao no item (a), mostre que hna—i h(n-1 i, — sen na — ig senh(n Je. 2<n<N senha 0.5 Tabela de Transformada Z Considere como constantes os simbolos 7, 7, a@ que aparecem nas diversas expressdes contidas na presente Tabela 1 {tn }n>0 Zl {arn }](z) Regiao de Convergéncia 1 se n=0 Iln= 1 zEC 0 se n>O z z Ln =a" ——. |z| > |a| z-a z = na"! ——> \2| > |al Ln = na (@—-ap Z| > |a@ In =e rt —_*__ |z} >e"? ” z-e Ft z(z —cosyT) = T > >1 fn = oeney 22 —2zcosyT +1 2 zsenyT = T >———$_$§— >1 fn = semney 22 —2zcosyT +1 2 Table 1: Pequena Tabela de Transformada Z 11 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DE PARANÁ Campus Curitiba - Sede Centro Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA CURSO 2019-1 MA74C Cálculo 4 B S21 Engs Professor Lista de Exercícios Salas, Local e Data Período Nível Félix Gómez Quarta E-108;E-101, CTA, 12/06/2019 2 Médio 1 Transformada de Laplace de Funções A ideia básica da Transformada de Laplace é a seguinte: dado um certo conjunto de funções definidas no intervalo [0, ∞[ com valores complexos, a cada função f deste conjunto associaremos uma certa função F complexa de variável complexa z, que será chamada a “Transformada de Laplace de f” e representada por F = L[f]. Esta associação será construída de tal modo que às operações diferenciais com as funções f, corresponderão operações “algébricas" com as funções F. Isto possibilitará, por exemplo transformar certas equações diferenciais em equações algébricas, e na realidade esta será nossa principal aplicação da transformada de Laplace. Como em geral, estas equações diferenciais provém da Física, vamos procurar chamar de t a variável de [0, ∞[. Assim, em vez de L[f] = F, escreveremos também L[f(t)](z) = F(z). A solução de problemas de valor inicial utilizando técnicas apresentadas anteriormente resultam muito complicadas quando a função externa ao sistema é descontínua ou periódica, situação muito frequente nos problemas práticos. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito poderosa para contornar esses problemas e manipular todas as possíveis funções externas de uma maneira uniforme e atua diretamente no cálculo da solução do problema de valor inicial sem informar nada sobre a solução geral. A existência da transformada de Laplace não é um grande problema prático, pois na maioria dos casos, podemos verificar a solução de uma EDO sem muita dificuldade. No entanto, devemos estar cientes de alguns fatos básicos. A função f tem uma transformada de Laplace se ela não cresce muito rápido. Vejamos isto de forma mais precisa. Considere a função f : [0, ∞[→ C com as seguintes condições, 1.] A função f é contínua junto com suas derivadas de ordem suficientemente grande em t exceto em alguns pontos, sendo finito o número destes em cada intervalo finito, de descontinuidade da função f e suas derivadas. 2.] Cada vez que cresce o valor de t o crescimento do módulo da função nunca é superior ao crescimento de alguma função exponencial, isto é, existem números M > 0 e σ0 ≥ 0 independentes ambas de t tal que satisfaz a “restrição do crescimento”, |f(t)| ≤ Meσ0 t para todo t ≥ 0 (1.1) o número σ0 é chamado de expoente de crescimento da função f. A restrição de crescimento (1.1) é, as vezes, chamado “crescimento de ordem exponencial”, que pode ser enganadora, uma vez que oculta o verdadeiro expoente, que por definição deve ser σ0 t, e não σ0 t2 ou algum outro. Como fung6es continuas por partes (fungao parte real e parte imagindria) sao limitadas em intervalos finitos, a relagdo (1.1) é interpretada como uma restrigdéo sobre a taxa, 0,, de crescimento de f quando t vai ao infinito. Existe exemplos de funcgdes f com valores reais, que nao satisfazem as condicdes acima ef t/2. (t—1)°, a<0O A primeira cresce muito rapido quando cresce t de forma que nao é possivel a sua restricéo de tipo exponencial; a segunda nao satisfaz a condicao de existéncia de f(0*) e a tltima funcdo nao é continua por partes em qualquer intervalo que contenha o valor t = 1. Por comodidade é de costume rotular as funcoes verificando as condicoes restritivas com de “funcdes aceitdveis”. Polindmios, fungdes trigonométricas cos mt e sen mt, funcdes exponenciais e* sio exemplos de fungoes aceitaveis. Particularmente, para quaisquer constantes Ky e K2 arbitrdrias Ky f(t) + Kog(t) sao aceitaveis se ambas funcoes f e g sao aceitaveis. Definigao. Sendo a fungao f: [0, oo[— C, define-se a transformada de Laplace de f como sendo a fungao F de varidvel complexa z = o + iw tal que 8 met P(2) = £IFO\e) = [erat (1.2) sendo Re[z] > ,, onde o, é 0 expoente de crescimento da fungao f. Como L[f] é uma funcao de varidvel complexa z e nao da varidvel de integragdo t, muitas vezes escrevemos F'(z) em vez de L[f(t)|(z) Podemos observar também que F(z) é um limite, entéo serd necessdrio tomar alguns cuidados para garantir a existéncia deste limite. A manipulacaéo das ferramentas de integracao deve ser muito criteriosa. Integragéo por partes é muito importante para funcdes que sao continuas por partes. Para a existéncia da integral da transformada existem pelo menos dois casos criticos: a funcaéo f esteja mal definida de forma que a integral M | f(t)e * dt 0 nao exista para alzum valor M. Como exemplo temos a funcao f(t) = (1 —t)~!. O segundo é que a integral imprépria pode divergir mesmo f estando bem comportada para t > 0. Evitamos todos as deficiéncias citadas escolhendo fungoes aceitaveis ou admissiveis, isto é, fungdes continuas por partes e de ordem exponencial. A condigaéo enunciada em (1.1) garante a existéncia da integral dada em (1.2). Finalmente, nao sé o resultado F(z) é chamado de transformada de Laplace, mas a operacao acima descrita, que produz F(z) a partir de um dada fungao f(t), também é chamada a transformada de Laplace. Em geral trata-se de uma transformada integral CO F(z) = [ k(z, t) f(t) dt 0 com nticleo k(z, t) = e7**. 2 Nomenclatura. As funcoes reais ou complexas de origem dependem da varidvel t e suas transformadas da varidvel z ou s, lembrar sempre isto! As fungdes do dominio da transformada s&o denotadas por letras mintisculas e suas transformadas pelas mesmas letras porém maitisculas, de modo que F(z) indica a transformada de f(t), também Y(s) indica a transformacao de y(t) e do mesmo modo U(z) indica a transformada de u(t), e assim por diante. Unicidade da Transformada de Laplace. Se a transformada de Laplace de uma determinada funcao existir, 6 determinada de forma tnica. Por outro lado, pode ser mostrado que, se duas func6des (ambos definidos no eixo real positivo) tém a mesma transformagao, estas fungdes podem nao ser distintas ao longo de um intervalo de comprimento positivo, embora possam diferir em pontos isolados. Assim, podemos dizer que a inversa de uma determinado transformada é essencialmente tinica. Em particular, se duas funcdes continuas tem a mesma transformacao, entao elas sao completamente idénticas. Veja a demonstragéo em Widder, D. V., The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941. 2 Propriedades da Transformada de Laplace A seguir vamos a enunciar algumas propriedades importantes da transformada de Laplace 1.] Linearidade. Considere duas constantes complexas quaisquer a e 3, entao temos Llaf(t) + Bg(t)|(z) = oF (z) + BG(z) (2.1) 2.] Semelhanga. Seja uma constante real \ > 0, entéo temos efi) = F (5) (2.2) z)=~F[ . r r 3.] Derivagao. Se a funcgaéo f possui uma derivada continua entao, Lif’ (t)\(z) = 2F(z) — f(0") (2.3) Generalizagao. Se a fungéo f possui derivadas continuas inclusive até a ordem n, entdo a transformada de f() esta dada por Lif (2) = 29F (2) — 2h 1 (07) = = fO-V(OF) (2.4) 4.] Retardamento. Para qualquer nimero real positivo, T temos LH, (t)f(t—7)\(z) =e F(z) (2.5) 5.] Deslocamento. Para qualquer nimero complexo 7, obtém-se Lle™ f()(2) = Fle =n) (2.6) 6.] Integragao. Considere z = s € R. Seja F(s) a transformada de f, entao, t 1 £ [1 ar| (s) = + F(s). 0 8 3 1.] Encontre a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções. (Nos exercícios aonde aparece a letra a denota uma constante) i) y = sen t ii) y = (t + a)2 iii) y = (t + a)n, n ∈ N iv) y = senh at v) y = cosh at vi) y = t2eat vii) y = sen2 at viii) y = t2 cos t ix) y = t sen 2t x) y = (2t − 3)e(t+2)/3 xi) y = et sen t 2.] Encontre a transformada de Laplace da função degrau unitário ou de Heaviside, H(t − a) = Ha(t) = ua(t) =    0 se t ≤ a 1 se t > a 3.] Considerando z = s ∈ R, justifique L[cos3 t](s) = F(s) = s(s2 + 7) (s2 + 9)(s2 + 1) 4.] Calcule a transformada de Laplace da função h(t) = eat. 5.] Calcule a transformada de Laplace das funções g(t) = cos ωt e k(t) = sen ωt. 6.] Calcule a transformada de Laplace da função f(t) = 1. 7.] Encontrar a transformada de Laplace aplicando suas propriedades, das seguintes funções; a) f(t) =    0 se t ≤ 1/2 1 + t se t ≥ 1/2 b) f(t) =    t se t < 2 2 se t > 2 c) f(t) =    sen t se t < 2π 0 se t > 2π d) f(t) =            0 se t < π/2 cos t se π/2 ≤ t ≤ 3π/2 0 se t > 3π/2 e) f(t) =                  t se t < 2 8 − 3t se 2 ≤ t ≤ 3 t − 4 se 3 < t ≤ 4 0 se t > 4 f) y = sen t cos t 4 8.] Deduzir as seguintes propriedades fundamentais das transformadas de Laplace d at a) L{-t fO}(s) = 7 F(s) b) L{e™ f(t) }(s) = F(s — a) t 1 ) L{H(t—B)F(E-B)H9) =eF(s), B>0 a) | Fear] (= LF) 0 9.] A fungao real Gama I definida por, CO T(z) -| te dt 0 Deduzir que, I(n+1) Li{t"}(s) = —at~=SséPara n> —1 Justifique porque nao valido para n < 1. 3 A Solucao de Problemas de Valor Inicial O principal objetivo da transformada de Laplace é a solucdéo de equacoes diferenciais e sistemas de tais equacdes, bem como correspondente problemas de valor inicial. A definicaéo da transformada é motivada pela propriedade de que a diferenciacaéo da fungéo f com respeito a t corresponde 4 multiplicagaéo da transformada F' por s ou z; mais precisamente, L{f'(t)}(s) = sL{f()}(s) — F(0) Lif" (t)}(s) = s°LEF(t)}(s) — sf(0) — f'(0). Por isso, tomando a transformacaéo de uma dada equacao diferencial ordinaria y +ay'+by=g(t) sendo a,b constantes; e denotando L{y}(s) = Y(s), obtém-se a equagaéo no plano-s (s* +as + b)Y(s) = L{g(t)}(s) + sy(0) + y'(0) + ay(0). (3.1) Neste estagio devemos obter a transformada, L{g(t)}(s) e podemos utilizar uma tabela. Este é 0 primeiro passo. Na segunda etapa devemos resolver a equacao obtida no plano-s algebricamente para Y(s). No terceiro passo, determinar a transformada inversa de y(t) = L~'[Y](t), que é, a solucdo do problema. Este é geralmente o passo mais dificil, e nela podemos usar novamente as tabelas. Muitas vezes vezes Y(s) serd uma fungaéo racional, logo sera necessdrio usar a reducao em frag6es parciais para que possamos obter o inversa £~'[Y](t), sempre que nao vejamos nenhuma maneira mais simples. O método de Laplace evita a determinacao da solucéo geral da EDO homogénea, e também nao precisa determinar os valores das constantes arbitraria na solucao geral a partir condig6es iniciais; em vez disso, pode-se inserir os dados diretamente na identidade (3.1). Dois fatos novos explicam a importancia pratica da transformada de Laplace. Primeiro, ele tem algumas propriedades basicas e técnicas resultantes que simplificam a determinacao de transformac6es 5 e inversas. A mais importantes destas propriedades sao listadas nas tabelas fornecidas. As informacdes sobre o uso de funcoes degrau unitario, delta de Dirac e a funcaéo convolution séo também importantes. Em segundo lugar, devido a estas propriedades, o presente método é particularmente adequado para lidar com as fung6es externas no lado direito g(t) dadas por diferentes expressdes ao longo de diferentes intervalos de tempo, por exemplo, quando g(t) é uma onda quadrada ou um impulso ou de uma forma tal como cost se O0<t<4r g(t) = 0 se R\]0, 47| 1.] Resolver cada um dos seguintes problemas de valores iniciais usando transformada de Laplace: a) yl + 2y' +y =e; y(0) = y'(0) =0 b) y’ +3y = tsenat; y(0) = —-1 c) y" + 2y! + 3y = 3t; y(0) =0, y(0) =1 d) y” —4y' + 4y = 2e' + cost; y(0) = 3/25, y’(0) = —4/25 ec) y" —2y! +y = te’ sent; y(0) = y'(0) =0 f) yl” —y" + 4y! — dy = —3e! + de"; y(0) =0, y'(0) =5, y"(0) =3 g) yf + 3y" + y" — 3y' — 2y = t, y(0) = y'(0) = y"(0) = y"(0) =0 " , _ 0 se t<2 _ hay h) y'+4y' +4y = ; y(0) =1, y'(0) =-1 e (2) get >2 i) y’+y= 41; y(a) = 77, y(n) = 20. Substituir x =t—c. j) y"” —y = —10sen 2¢; y(r) = —1, y'(7) = 0. . 0 see t<l k) y™ +y= : yl) =y'() =1, y"() = y"(1) = 0 t-1l se ¢t>l1 2.] Utilizar a transformada de Laplace para resolver a equagao: t se t<l d t a + 2y +f y(w)dw=42-t se 1<t<2 e condigéo inicial y(0) = 1 0 0 se t>2, 3.] Encontre a solugao do problema de valor inicial, y"+py+ay=f(t), yO)=b, y/(0) = be 4.] Encontre a solugdo do problema de valor inicial, W / _ t _ / — yo +y—2y=4e+1, y(0)=1, y'(0) =0 5.] Resolver o PVI, usando a transformada de Laplace, x" —5e'+6e=0; 2(0)=0, 2’(0)=1. 6 6.] Um inductor de 2 H e um capacitor de 0,02 F' estéo conectados em série com uma voltagem de 100 sen wt volts. Determine a carga q(t) no capacitor como fungéo de w se a carga inicial no capacitor e a corrente no circuito sao ambos zero. 7.| Encontre o movimento de um sistema massa-mola se a massa es deslocada 2 m e liberada do repouso. Utilizem=1, C=4kg/se K =8 N/m. 8.] Uma viga de comprimento L e peso w esta carregada. A equacao diferencial governando o deslocamento vertical como uma funcao de z, a distancia do suporte mais a esquerda, esta dada por (wv) _ YET Se a viga esta suportada a esquerda e direita, as condi¢gdes sobre a solucao sao, y(0)=0, y"(0)=0, y(L)=0, y"(L)=0 Encontre a deflexéo da viga y(x). 4 Funcoes Continuas por Partes Um dois mais importantes usos da transformadas de Laplace na teoria das EDOs acontece quando a fungéo externa ao sistema esta definida em varios ramos e em diferentes intervalos. Contornamos este inconveniente introduzindo a funcao real degrau unitario H definida por 0 se t<a H,(t) = H(t—a) = u(t) = a>0, tER (4.1) 1 see toa Suponhamos a < b. A fungao real definida da seguinte maneira, 1 se a<t<b A(t) — Ap(t) = ~ a,b>0, teR 4,2 a(t) — Holt) tj Sten pep mbzo (4.2) Observe que a expressdo f(t)[H(t) — Hy(t)] “liga” f(t) no intervalo a < t < b e “desliga” f(t) para t > b. Essas caracteristicas de f(t)Ha(t) e f(t)[Ha(t) — Hy(t)] permitem escrever uma formula simples para as diferentes funcdes continuas por partes que aparecem nas aplicacoes. 1.] Escreva a fungaéo f em termos de funcgoes salto unitdrio, onde t? se O<t<l f(t) = 1 se l<t 2.| Defina a seguinte funcgaéo em termos de saltos unitarios t see O0<t<2 fi) = 2 se 2<t 7 3.] Esboce as seguintes fung6es e escreva-as em termos da fungao salto unitdrio 0 se O<t 0 se O<t a) f(t)=<¢ 1 se 1<t<2 b) f(t)= 4 t se 1<t<2 0 se 2<t t? se 2<t 5 Transformadas de Laplace de Funcoes Periddicas Suponha que f é uma funcaéo periédica com periodo fundamental JT. Seja f continua por segdes em (0, T]. Entao, a transformada de Laplace da fungao f 6, oo (n+1)T ets(OH(s)= [et at= fe rat 0 n>0 nT Se definimos uma nova varidvel y = t — nT’, entao, T LF Hs) = Det [eM qhdy = YMA (s) n>0 0 n>0 sendo, T Ais)= [ em tay a transformada da fungao f no primeiro periodo. Como a série anterior 6 uma série geométrica, podemos simplificar a expressao final, assim a transformada de Laplace de uma fungao periddica 6, Fi (s) L{f(t)}(s) = [oe-Ts —e 1.] Encontre a transformada de Laplace da fungao periéddica conhecida como onda quadrada h see O<t<e f(t) = e f(t+2c)= f(t (1) —h se c<t< 2c ( ) (1) 2.] Encontre a transformada de Laplace da funcao periddica, 1 se O<t<l fi= e f(t+2)=f(t (1) —1 see 1<t<2 ( ) (1) 3.] Encontre a a transformada de Laplace da fungéo periddica de periodo T = 2 cuja definicgao de seu primeiro periodo é dado por 7 se O<t<l fi) = 0 se 1l<t<2 4.] Supondo que a fungao f tenha periodo T = 27, encontre a transformada de Laplace da extensao 8 periodica de sen t se O<t<q7 f= 0 see aw<t<27 5.] Nos seguintes problemas, as fung6es sao periddicas, a primeira metade do primeiro periodo é fornecido e supondo que que a funcao é zero na segunda metade de seu primeiro periodo. Esboce dois periodos de cada fungao. Encontre a transformada de Laplace da extensao periddica dessa fungoes a) f(t)=sen2t, O0<t<7/2 b) f(@)=2-t, 0<t<2 c) f(t)=1, O0<t<l d) f(t)=cost, 0<t<7/2 e) f(t)=t, O0<t<l 6 A Inversa da Transformada de Laplace Na solucao de problemas pelo método de transformada de Laplace, a dificuldade surge na procura de transformadas inversas. Embora a formula de inverséo existe, a sua avaliacao requer um conhecimento das funcoes de varidveis complexas. No entanto, para alguns problemas da fisica matematica, nao precisamos usar essa formula de inversio. Podemos evitar o seu uso, expandindo um dada transformada por o método de fragGes parciais, em termos de fragdes simples na varidveis da transformacgéo. Com estas fung6des simples, referimo-nos as tabelas de transformada de Laplace e obter as transformadas inversas. Na disciplina devemos notar que usamos a hipdtese de que ha essencialmente uma correspondéncia um-a-um entre as funcdes e as suas transformadas de Laplace. Isso pode ser estabelecido no enunciado do seguinte teorema. Teorema (Lerch) Sejam as fungdes f e g continuas por partes e de ordem exponencial. Se existe uma constante sg, tal que Lif (t)|\(s) = Lig(t)|(s) paratodo s> So, entao f(t) =g9(t) paratodo t>0, excepto possivelmente nos pontos de descontinuidade. Para uma demonstracéo podemos consultar o Kreider, D., Kuller, R., Ostberg, D., and Perkins, F., An Introduction to Linear Analysis, Addition-Wesley, Reading, Massachusetts (1966). 0 9 1.] Encontrar a transformada inversa de Laplace de cada uma das seguintes fung6des, sendo a e b constantes 1 3 1 F(s) = ———~ b) F(s) =~ F(s) = ——~ 3 ) FS) = an ) Fs) = Gap ) PO= eyo 5 1 1 d) F(s)=—4>—~=5 F(s) = ——~—, n>1 f) F(s) = ———~ ) F(s) As 52 e) F(s) Gna "= ) F(s) (says) 1 2s 387 F(s) = =————— h) F(s) =——— i) F(s) =——. 8) F)=sapaay ON PO) = 555 ) Fe)= Gap Use fragoes parciais 1 j) F(s)= aq Use: s*+1=(s* +28? +1) — 2s? 2.] Utilize os resultados aprépriados para encontrar a fungao f cuja transformada de Laplace é dada ; 1 1 _ . 1 i.| F(s) = 52 + 52° s it.] F(s) = s(s2 +1) wi] F(s) =a iw] G(s) : it. = >———_ . $s) = ———_ ‘ eS 42845 ° s(s? + 2s +5) 4e~?s . 1/2 1 1 /3 e % 1 (eye 2 (3 49 <i) Fls) — vi.] (s) 2 (¢ + ) vtit.] (s) sal 1 4s+3 ix.| F(s) = ————— J] F(s) = —— iv) FS) = oy 6s 410 v] FS) = oy aS 13 Ase~2sT 3s+1 }.| F(s) = >=——— it.) F(s) = ~=—— vi| (s) s?+2s+5 wii] (s) s?—4s—5 a 1 . 1 riti.| F(s) = s(s +1) xiv.] F(s) = 32 428 3.] Encontrar a fungaéo f cuja transformada de Laplace é dada es 1 | F(s) = —-—, }.| F(s) = —— zu. | (s) s(s +1)? nui] (s) si +4s 1 1 iw] F(s)=—2 | F(s)=—3 Lin. 5) = ——,; LL. 5) = ——,; st + 4s? st + 4s? . 1 s-1l .. 9 rai.| F(s) = esa) xruxit.| F(s) = st — 952 1 1s-l rari. (s) (s-1)6 4d) xraxiv.] (s) sal 2s 1 zxv.| F(s) = > zxvi.| F(s) = ————~ (s) (s +3)? (s) (s — 2)(s +1) 7 Fracoes Parciais Ao fazer transformadas de Laplace inversa, frequentemente somos confrontados com a razao de dois polinémios q(s)/p(s). Para ser uma transformada de Laplace, ele deve aproximar-se para 0 quando s — oo. Assim, podemos assumir que o grau de p é maior do que o grau de q. A expanséo em fracdes 10 parciais renderd imediatamente a desejada transformada de Laplace inversa. Descrevemos esta técnica no caso em que as raizes do denominador sao simples; nao ha raizes repetidas ou multiplas. Primeiro vamos fatorar o denominador p(s) = a(s — 81)(8 — 82) +++ (8 — 8n), onde s1,...,5n, Sao as n raizes distintas de p(s), também chamados os polos simples de q(s)/p(s). A expanséo em frag6es parciais de q(s)/p(s) é 8 Cc Cc Cc As) 4 (7.1) p(s) s—s, 8-82 S— Sn Os coeficientes de expansao c; da fracgéo parcial podem ser obtidos por meio de manipulag6es algébricas utilizando um denominador comum. Um método mais elegante e, por vezes, mais rdpido utiliza o singularidades s; de p(s). Para determinar c;, multiplicamos (7.1) por s — s; e, em seguida, tomar o limite quando s — s;. Todos os termos exceto c; desaparecem na direita da identidade (7.1), 5 — 8;)q(s cq = lim (s = sials) (7.2) SS; p(s) Muitas vezes, esse limite é facil de avaliar. Como s — s; é um fator de p(s) podemos cancela-lo em (7.1), e em seguida, avaliar o limite. POLOS SIMPLES. Em alguns problemas, nds podemos fazer a algebra ainda mais facil. O limite em (7.2) é 0/0 isto é, fon Sas) _ 0 SS; p(s) 0 posto que p(s;) = 0 [s = s; é raiz de p(s)]. A regra de L’H6pital serve para a avaliar as indeterminacdes 0/0 e fornece a seguinte formula, d —-(s — si)q(s) 5; c= tim ds = asi) (7.3) 548% d p'(si) —p(s) ds A equagéo (7.3) é valido apenas para polos simples. Uma, vez que temos uma expansao em fragdes parciais de uma transformada de Laplace, a sua transformada inversa pode ser facilmente obtida. Em resumo, se q(s) F(s)= = (7.4) p(s) em seguida, invertendo a relacao, (7.1) f(t) = So 2D (7.5) i= P’(si) 11 onde assumimos que p(s) tem apenas polos simples em s = si. 7.1 Fatores Lineares não Repetidos 1.] Encontre a função f(t), dada F(s) = s2 + 3s − 6 s(s − 1)(s − 2) 2.] Encontre a função f(t), dada F(s) = 1 s3 − s 3.] Para a ̸= b, encontre as funções f(t) e g(t), dadas pelas transformações a) F(s) = 1 (s − a)(s − b) b) G(s) = s (s − a)(s − b) 4.] Encontre a função f(t), dada F(s) = 8(s + 1) s(s2 + 4) 5.] Encontre a função f(t), dada F(s) = s + 5 s(s2 + 2s + 5) 6.] Para a ̸= b, encontre as funções f(t) e g(t), dadas pelas transformações a) F(s) = 1 (s2 + a2)(s2 + b2) b) G(s) = s (s2 + a2)(s2 + b2) 7.] Encontre a função deslocamento y(t) de um sistema massa-mola forçado sem atrito cuja transfor- mada de Laplace é Y (s) = F0 ω M 1 (s2 + ω2)(s2 + ω2 0), ω ̸= ω0 7.2 Fatores Lineares Repetidos 1.] Encontre a função f(t), dada F(s) = s (s − 1)2 2.] Encontre a função f(t), dada F(s) = s2 − 1 (s + 3)(s − 2)2 3.] Encontre a função f(t), dada F(s) = 1 (s − 1)2(s − 2)2 4.] Encontre a função f(t), dada F(s) = 9 (s2 + 4)2(s2 + 1)2 12 5.] Encontre a funcao f(t), dada 9s F(s) = ———__- —__ (s) (s2 + 4)2(s2 + 12 7.3 Fatores Quadraticos Repetidos Aparecem com menos frequéncia em aplicagdes que os fatores lineares repetidos. O método de expansao em fragoes parciais é aplicavel, geralmente é bastante algébrico. Em vez de seguir este método, pode-se recorrer a uma das duas alternativas 1.] Quando disponivel, uma tabela completa de transformadas de Laplace, é melhor método a ser escolhido. 2.] Programas de computagéo de manipulagéo simbdélica tais como Mathematica, Maple, Derive, Scilab, etc, podem ser utilizados para obter a expanséo em fracdes parciais ou a obtencaéo diretamente das transformada inversa de Laplace. 8 O Teorema da Convolucao A funcao t (Fe a)(t) = [ feral) ar chama-se a convolugao das fungdes f e g. Teorema. (Convolugao). Se F'(s) e G(s) sao as transformadas de Laplace de f(t) e g(t), respectiva- mente, entao, a transformada de Laplace da convolugao (f * g)(t) 6 o produto F(s)-G(s). De outra forma, LX(f * g)(t)}(s) = F(s) G(s) = L{ FO} (s)Ltg@}(s) (8.1) Anteriormente, quando se estudou as transformadas de Fourier também introduziu a convolugao das funcéo f e g de uma forma ligeiramente diferente, CO (Fege)= | fle-v)glu)ay —0oo No entanto, no contexto de transformadas de Laplace, tanto f e g sao nulas no intervalo | — oo, Of, portanto, a equacao (8.1) bem definida uma vez que f(x — y) = 0, para y > x e g(y) = 0 para y < 0. 1.] Utilizar a formula da convolugéo para encontrar a transformada inversa de Laplace de cada uma das seguintes fungées: F(s) e °5 F(s) 1 G(s) == b) G(s) = —.— F(s) = =~ a) Gs) ==" ) Gls)=—S ) F3)= 3555p 8 387 1 d) F(s) = ——> e) F(s) = ——> f) F(s) = ————., ab. ) Fis) (24 1p ) F(s) (+1 ) F(s) is aye—b) # 2.] Avaliar cada uma das seguintes express6es: a) et! x eb b) tx cosat c) senat * cos bt d) txe™ e) f(t—1)*e ‘g(t+1) f) f(—t) * g(t?) sent 13 3.] Mostrar diretamente que a) fxg=gxf b) fx(kg)=K(f*g), kER 4.] Mostre que a) fx(gth)=fegtfxh b) fx(geh)=(fxg)*h t ) 1ef= [fea d) 1x s"(t) = F(t) — F(0) 5.] Encontrar lel e lLxi1lxl 6.] Deduzir a formula para 1l*xl«*xix«---*1 had n fatores. 7.| Utilize o teorema de convolugao para encontrar a transformada inversa de Laplace da seguintes expressoes, ) ¥s)= ay b) ¥(s) . #0 a s)= = $s) = —————.,, a s?(s? +1) (s —a)(s—b) 4 1 H(s) = ———_._;> d) Y¥(s) =——s5 ) A) = Caayeea iP ) Ys) = (ayaa 2 Ss 1 1 e) (8) = 73a f) Y(s)= pap a#b 1 1 G(s) = =—>3:- = 24 0? 8) (s) Ste e+e © 7 8.] Para uma fungao arbitraria, g(t), encontre f(t) * g(t). a) f(t)=ua(t), a>0 b) f(t) =e" 9.] Calcular f * g para as seguintes fungdes a) f(t)=et, g(t) =et" b) f(t) =senbt, g(t) =e" c) f(t)=senbt, g(t) =senbt d) f(t)=t?, g(t)=e% e) f(t)=t?, g(t) =sent 9 Aplicagoes para EDPs E possivel utilizar as transformadas de Laplace para resolver equacées diferenciais parciais, particular- mente se uma das varidveis independentes variar sobre os eixos positivos. Os passos para se obter uma solucéo de uma EDP com duas varidveis sao: A: Obtenha a transformada de Laplace referente a uma das varidveis, geralmente t. Isto fornece uma EDO para a transformada da funcaéo desconhecida. Esse fato se verifica porque as derivadas desta funcéo em relacéo a outra varidvel sao levadas para a equacéo transformada. Esta ultima também incorpora as condicgoes iniciais e de fronteira. 14 B: Resolvendo essa EDO, obtenha a transformada da funcao desconhecida. C: Obtendo a transformada inversa, encontre a solucaéo do problema. Se os coeficientes da funcgao dada nao dependem de ¢, a utilizacgéo das transformada de Laplace simplificaré o problema. A fim de encontrar uma solucao de equacées diferenciais parciais lineares, os seguintes formulas e resultados sao titeis. Se representamos por L{u(z, t)}(s) = U(a, s), entao, L{Ou(a, t)}(s) = sU(az, s) — u(a, 0) L{A? u(x, t)}(s) = s? U(x, s) — su(x, 0) — Gju(z, 0) e assim por diante. Do mesmo modo, é facil demonstrar que, L{Aeu(e, )}(s)=2U(e, 8), L{@u(x, )}(s) = Ula, s),-.., £{@u(e, )}(s) =U, ») u(x s) = —U(a, s u(x s) = — U(z, s),... u(x s) = —U(z, s x ’ dx ’ ’ x ’ dx2 ’ ’ ’ x ’ dak ’ Os seguintes resultados sao uteis para aplicacces. L {ent (,)} (s) = exp (-yV/s), y>O0 2V/t S ~ 5 Ls exp(yt) errf( Vyt) ?(s) = VT y>0 {emtrnent VT fol = Fe x exp[—ht — (x? /4kt) Ls > (s) = exp{—24/(s + h)/k Sr ps) = exptny/(o+m)/R} A fungao real “errf” é definida por f(a) 2 I (—t?) dt errf(x) = —= | exp(- Vado P e a outra funcao real “errfc” é definida por, fe(«) = |- (—#2) dt = 1 —errf(z) errfc(2) = —= exp(— = 1-errf(x Vide > 1.] Considere o movimento de uma corda semi-infinita com forga externa atuando sobre ela, f(t). Um extremo esta fixado enquanto 0 outro extremo esta movendo-se livremente na diregéo vertical. Se a corda inicialmente esta em repouso, encontre a funcgéo movimento da corda governado por dPu(x, t) — a7?02u(z, t) = f(t), O0<x<ow, t>0 u(z,0)=0 Qu(z,0)=0 «x >0 u(0, t) =0 O,u(x,t)>0 quando x —- oo 15 2.] Encontre a distribuicgéo de temperatura numa barra semi-infinita. A temperatura é constante em x = 0 enquanto no outro extremo é nula a temperatura. Se a distribuicgdo inicial de calor é zero, o problema esta dado por O,u(x, t) — a?8?u(x, t) = —hu(z, t), 0<a<o, t>0, hER u(z,0)=0 «>0 u(0, t) = uo, u(a,t)>0 quando 2s —-oco 3.] Encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda eldstica sujeita as seguintes condicées: (a) A corda encontra-se inicialmente em repouso no eixo x de x = 0 a ~, (corda semi-infinita) (b) Para t > 0, a extremidade esquerda da corda x = 0 move-se segundo uma determinada forma, conforme uma onda senoidal simples sent se O<t<27 u(0, t) = f(t) = 0 se t¢€]0, 27| (c) Além disso lim u(z, t) = 0 xL—->0O Naturalmente, um corda infinita nao existe, porém o modelo proposto é capaz de descrever uma longa corda ou cordéo (com peso desprezivel) tendo a sua extremidade direita presa muito distante no eixo horizontal x. 4.] Uma barra uniforme de comprimento L esta fixada em um extremo. Considere a seguinte for¢a, representada pela funcao real definida por Uo se t>0 ft) = 0 se t<0 aplicada repentinamente no extremo x = L. Se a barra esta inicialmente em repouso, encontre o deslocamento longitudinal para um tempo t > 0. O movimento da barra esta governado pelo problema de valores iniciais e de fronteira em equacdes diferenciais parciais, OPu(a, t)—a7?02u(x, t)=0, O<ar<L, t>0, u(x, 0) = 0, Ou(x2,0)=0 x0 u(0,t)=uo, O,u(L,t)=uo/E onde E éconstante t>0 5.] Considere uma corda semi-infinita fixada no extremo x = 0. A corda inicialmente esta em repouso. Considere uma forca externa x f(x, t) = —uod (« — *) v agindo sobre a corda. Ha uma forga concentrada ug atuando no ponto x = vt. 16 O movimento da corda esta governado pelo problema de valor na fronteira OPu(a, t) — a?02u(2, t) = —uod (« — *) , «>0 t>0, v u(z,0)=0, Ou(x#,0)=0, «>0 u(0, t)=0, u(#,t) +0 quando xs —- oo 6.] Resolva o problema de Cauchy nao homogéneo para a equagéo da onda OPu(a, t)— a?02u(x, t)=q(z, th, «ER, t>0, u(x, 0) = f(x), Opu(ax, 0) = g(x), ceER 7.] Resolver a equagéo de difusiéo em uma dimensao, O,u(x, t) —a7d7u(x, t) =0, x ER, t>0, com as condigoes iniciais e de fronteira, u(z,0)=0, «>0 u(0, t) = f(t) e u(#,t) +0 quando x40, t>0 8.] Resolver a equacéo de difusio em uma dimenséo num médio finito, u(x, t) —a7d?u(x, t) =0, O<a<L, t>0, com as condigoes iniciais e de fronteira, u(z,0)=0, O0<a<L u(0,t)=A e O,u(L,t)=0, t>0 sendo A uma constante. 10 A Transformada de Laplace de Sistemas O método de transformada de Laplace também pode ser usado para resolver sistemas de EDOs, como iremos explicar em termos de aplicagoes tipicas. Consideramos um sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes, y, = any + ay2y2 + gi (t) (10.1) Yo = aoiyi + a2242 + 92(t) (10.2) Denotando por Y; = L{yi}, Yo = L{y2}, Gi = L{gi} e Go = L{g2} obtemos a partir das equac6es 17 (10.1) e (10.2) 0 seguinte sistema, sY, — yi(0) = ai1¥1 + ai2¥2 + Gi(t) sY2 — y2(0) = aa1¥i + a22¥2 + Go(t) Colocando em evidéncia as transformadas Y; e Y2 obtemos, (ai1 _ s)Yj + ay2Yo = —y1(0) _ G(s) (10.3) a21Y, + (a2 _ 8) Yo = —yp2(0) _ G(s) (10.4) Ao resolver este sistema algebricamente para Y;(s), Y2(s) e tomando a transformada inversa obtém-se a solucao y, = L-HY}, yo = L-'{Yo} do sistema dado (10.1)-(10.2). Note-se que os sistemas (10.1)-(10.2) e (10.3)-(10.4) podem ser escritos na forma de vectorial; assim definindo, y=lm wl’, A=[aj], g=[m wl’, Y=" VY)", G=(G GJ" obtemos y=Ay+g e (A-sI)Y =~-y(0)-G Muitos sistemas de EDOs de importancia pratica podem ser resolvidos pelo método de Laplace transformar em uma maneira similar, e autovalores e autovetores ja estudados na disciplina de algebra linear apareceram automaticamente na resolucao. 1.] Encontre a solugaéo do problema de valor inicial 1 1 a= xz, 2«(0)= “ —-1 -l b e a matriz fundamental deste sistema. 2.] Encontre a matrix fundamental e a solucao de 1 1 0 1 z=|0 1 1], 2(0)=]1 0 0 1 0 3.] Resolver o problema do valor inicial 1 0 2t 1 a= a+ |° , 2(0) = -1 8 3 0 4.] Encontre a solugao do sistema 1 1 t —l ge = at} O° , «(0) = -1 1 —sent 0 18 5.] Encontre a solugao do sistema 20 1 1 x =|0 2 1]{a, 2(0)=]1 0 0 -l 1 6.] Encontre a matrix fundamental de x! = Ax 1 il 0 2 0 1 a) A= b) A= c) A= —-l1 1 1 -l 1 0 1 O 2 1 2 -1 d) A= e) A= f) A= —-1 3 3 0 0 1 7.] Encontre a matriz solucéo fundamental de x’ = Ax para A dado por 4 -—3 -2 Iii a) A=|2 -1 -2 b) A=|0 2 1 3 -3 —-1 0 0 0 1 1 1 1 -1 -l c) A=]1 -1 -1 c) A=]0 0 1 0 0 O 0 -2 -3 0 1 O 13 1 e) A=|0 0 1 f) A=|o 1 -1 1 -3 8 00 1 8.] Resolver o problema de valor inicial utilizando 0 método desta segao 1 1 1 0 0 2 1 1 a) a= a +e" , «(0)= b) a= x+sent]| |, x(0) = -l1 1 0 0 1 -l 1 0 0 2 1 0 2 1 1 0 c) a= x+sent , 2«(0) = d) a= x+t , 2«(0) = 1 -l 1 1 3 0 1 0 2 1 1 1 e) a= a+t] |, 2(0)= 3 0 1 0 19 9.] Resolver os problemas de valor incial utilizando os métodos desta segao 21 0 et 0 21 0 et 1 a) a =|0 2 Of}a+]1], x(0)= 0 b) 2 =|0 2 Of]a+]1}, 2(0)= jo 0 0 -Il 0 0 0 0 -1 0 0 21 0 et 0 21 0 et 0 c) 2 =|0 2 Of]at]1i}, z(0)=]1 d) v= |0 2 OJ]za+]1}], 2(0)= jo 0 0 -Il 0 0 0 0 -1 0 1 1 1 1 et 0 -1 0 2 1 0 e) a =/]1 -1 -l]/a+]1], 2(0)=]1 f) a =/]1 1 1fa+]o}, 2(0)= Jo 0 0 0 0 0 2 0 -l 0 0 11 Projetos Propostos 11.1 Teoremas de Deslocamento Trigonométrico 1.] Seja L{f(t)}(s) = F(s). Para cada constante a, temos, Lie" f(t)}(s) = F(s—a). O enunciado anterior é conhecido como o primeiro teorema do deslocamento. Felizmente possui uma extensao util considerando c € C. Defina c=a+ib. A partir da formula de Euler, obtemos Re le**| =e“ cosbt e Im le" = e™ sen bt. (11.1) (a) Utilizando os resultados em (11.1), estabelecer as identidades, ReL ler" r(0)| (s)=L le" cos bt ro] (s) (11.2) Im ler" r(0)| (s)=L le" sen bt r(o)| (s) (11.3) (b) Utilizar a identidade (11.2) para estabelecer, L le" cos bt ro] (s) = Re [F(s —c)| (c) Utilizar a identidade (11.2) para estabelecer, £ |e" sen bt f(t] (s) = Im [F(s — 0)] (11.4) (d) Utilizar a identidade (11.3) para estabelecer, L |cos bt f(t)] (s) = Re [F(s — ib)] (11.5) 20 (e) Utilizar a identidade (11.4) para estabelecer, L |sen bt f(t)] (s) = Im [F(s — ib)] (11.6) 2.] Utilizar as identidades (11.5) e (11.6) com uma apropriada escolha da fungao real f para deduzir as seguintes transformacoes, b 8s—a at _ at _ a) £ {e sen ot} (s) = (oat b) £ {e cos bt} (s) = (saya s* — 2bs c) L {t COs bt } (s) = (2 + B22 d) L {t sen bt} (s) = (2 + B)2 11.2 Transformadas de Laplace de Séries 1.] Suponhamos que a expanséo em séries, f(t) = S> ant” <oo convergente para tER n>=0 sendo a fungao f de ordem exponencial. Entao, F(s) = L{f(t)}(s) = S> An L{t"}(s) = S> nlans”} (11.7) n>=0 n>=0 (a) Utilize a identidade (11.7) para justificar ty 1 (b) A fungao real erro “errf” esta definida por 9 t f(t) = —x errf (t) = | exp ( x ) dx Justifique a seguinte identidade L {i errf (vt) \ (s) = — arctan st Sugestao. Expandir a funcdo exp(—x”) em séries de poténcias no entorno de x = 0. (c) Justifique a seguinte identidade, e—1/4s L {sen vi} (s) = JT 9 53/2" (d) Justifique a seguinte identidade, 1 k L {7 sen keh (s) = arctan —. t 8 21