P2 Calc4 S23-2021 2

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Cálculo IV - S23 Prof. Jorge Prova II A prova está composta por 5 questões valendo 2,5 pontos cada uma, você deverá escolher 4 questões e apresentar a solução. Não serão aceitas soluções sem as devidas e corretas justificativas. Observação: Para a verificação de propriedades, considere que as funções f, g, h: [0, ∞) → R sejam contínuas por intervalos e de ordem exponencial. 1. Sendo a convolução de f e g definida como (f * g)(t) = ∫_0^t f(v)g(t-v)dv, para f(t) = sen(ωt); calcule (f * f)(t), t ≥ 0 2. Mostre a propriedade associativa da convolução, ou seja f * (g * h) = (f * g) * h 3. Mostre o teorema da convolução, ou seja, L{f * g} = L{f}L{g} 4. Calcule: (a) A transformada de Laplace, L{f}(s), de f(t) = sen(ωt), t ≥ 0. (b) A transformada inversa de Laplace, L^{-1}{F}(t), de F(s) = ω / (s^2 + ω^2)^2. 5. Resolva o problema de valor inicial y'' + 4y = sen(2t) y(0) = 0, y'(0) = 2.