Prova 4 Transformada Z-2023 1

2023.01 – EN34A/QM35B MÉTODOS DE MATEMÁTICA APLICADA – P4 TRANSFORMADA Z RA:2202620 RA: ▢▢▢▢▢▢▢▢ r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 Turma:_________ Valor: 3,0 pontos • Caderno de questões personalizável pelo RA; • Qualquer resultado ou propriedade da apostila¹ de Transformada Z da professora Simone Venturi pode ser utilizado, desde que referenciado; • A resolução pode ser manuscrita e/ou computrscita; • Atente à originalidade da sua solução: ela fará parte da avaliação; • Enviar toda sua resolução em um único arquivo em PDF² – a legibilidade do arquivo gerado é responsabilidade do aluno; • Data limite para o envio exclusivamente pelo Classroom: 03/07/2023; Problema: Considere a seguinte equação de recursão definida por (r₁ + 1)xₙ₊₂ + r₂xₙ₊₁ + r₃xₙ = r₄ − r₅n, { x₀ = r₆ x₁ = r₇ em que rᵢ são os correspondentes dígitos do seu RA³. a) Calcule, explicitamente, os termos x₂, x₃ e x₄ da sequência gerada recursivamente por esta equação; b) Obtenha a equação subsidiária para X(z) = Z{xₙ} aplicando a transformada Z em ambos os lados da equação e valendo-se das propriedades da linearidade [pág. 27, Teorema 2.14] e da Translação [pág. 38, Teorema 2.25]; c) Resolva a equação subsidiária obtida em (b) e encontre os quatro primeiros termos da expansão de X(z) em uma série de potências na forma X(z)=x₀+x₁z⁻¹+x₂z⁻²+x₃z⁻³+... [pág. 57, Seção 3.1] d) Encontre a solução geral da equação determinando a transformada Z inversa de X(z); utilize o método das Frações Parciais [pág. 60, Seção 3.2] e os resultados tabelados [pág. 125]. ¹ Disponível em: https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/1887/1 CT_PROFMAT_M.Venturi%20Simone_2016.pdf ². Nessa ferramenta on-line e gratuita é possível converter e unir diversos arquivos de imagem em um único PDF: https://jepg2pdf.com/pt/ ³. Por exemplo, caso seu RA seja 7521903, você tem r₁ = 7, r₂ = 5, r₃ = 2, r₄ = 1, r₅ = 9, r₆ = 0, r₇ = 3 e o problema a ser resolvido seria 8xₙ₊₂ + 5xₙ₊₁ + 2xₙ = 1 − 9n { x₀ = 0 x₁ = 3. 1