Lista 3 Integral de Fourier-2022 1

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DE PARANÁ Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT Campus Curitiba - Sede Centro SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA CURSO 2022-1 MA74C Cálculo 4B S21 Engenharias Professor Guia de Estudo Salas, Local e Data Período Nível Félix Gómez Terceira CTA; 13/04/2022 4 Médio 1 Integral de Fourier As séries de Fourier são ferramentas eficientes para problemas envolvendo funções que são periódicas ou são definidas apenas em um intervalo finito. Uma função periódica pode ser representada por uma soma de componentes de frequência discreta uniformemente distribuídos chamada de uma expansão de Fourier. Nesta seção estudaremos uma extensão desse conceito para incluir transientes, ou funções não periódicas. Para desenvolver esta ideia, começamos com uma função periódica, começaremos com uma função periódica que permita sua repetição periódica crescer sem limites. Aceitaremos um transiente como a forma no limite de uma função periódica quando seu período se torna infinito. No processo do limite, as componentes da frequência discreta na série de Fourier se torna num distribuição de frequência contínua, e a expansão em séries de Fourier é substituída por uma integral de Fourier. A integral de Fourier representa um transiente na mesma forma que uma série de Fourier esta relacionada a uma função periódica. Posto que, muitos problemas envolvem funções que são não-periódicas e são definidas em todo o eixo x, perguntamos o que pode ser feito para estender o método de séries de Fourier para tais funções. Esta ideia vai nos levar à “integrais de Fourier”. A origem da teoria de integrais de Fourier encontra-se na “Teoria Analítica do Calor de Fourier”. O argumento de Fourier, que na atualidade não seria chamado de prova, é substancialmente o seguinte. Iniciaremos no seguinte exercício com uma função especial fL de período T = 2L, chamada de onda retangular, e veremos o que acontece à sua série de Fourier se fizermos L → ∞. Exercício 1.1 (Onda Retangular). Considere a onda retangular periódica fL de período T = 2L > 2 definida por fL(x) =        0 se − L < x < −1 1 se − 1 < x < 1 0 se 1 < x < L Estude o que acontece aos coeficientes de Fourier de fL à medida que L aumenta. Que impressão intuitiva devemos esperar se passarmos de nossa função particular e especial fL para uma função arbitrária? Solução. O gráfico na Figura 1 mostra a função fL para T = 2L = 4, 8, 16, bem como a função não-periódica f, que obtemos de fL se fizermos L → ∞, isto é, f(x) = lim L→∞ fL(x) =      1 se − 1 < x < 1 0 se |x| > 1 f(x) a ee #0 2 x 2b=4 f(x) -4 0 4 x <—2f =8—> Ff &) ce -8 0 8 x }-=—_—_———_2F, = 16> fix) -101 x Figura 1: Formas de onda de fr Calculemos e vejamos o que acontece aos coeficientes de Fourier de fz, & medida que L aumenta. Como fz é par,os coeficientes b,, = 0 para todo n. Para ay, as formulas de Euler fornecem 1 st 1 1 1 — dx = — / dx = = 00 OL [, a 1 ft 1/7 2 f1 2 senw =— de => | 1- de == [ dz = — ——. an =z [, fulaenla)de => f t-eala)de =F | galo)de = 5 Esta sequéncia de coeficientes de Fourier 1 2 senwy, (a0, an} = (00, len = {> Zap é chamada de amplitude espectral de fr porque |a,| é a amplitude maxima da onda any,(x), isto 6, aplicando mdédulo lanPn(x)| = |an||Yn(@)| < lan], sendo Yn(x) = cos wna. A seguinte Figura 2 mostra esse espectro para os periodos T = 2L = 4, 8, 16. Vemos que, para valores crescentes de L, essas amplitudes tornam-se cada vez mais densas sobre a parte positiva do eixo Wn, onde w, = na/L. De fato, para T = 2L = 4, 8, 16, temos 1, 3, 7 amplitudes por “meia-onda” da fungao dn (wy) = 2 SEN Wy, onde w, = n\n) = L wn n— L? 2 representada pelas linhas pontilhadas na Figura 2. Figura 2: Espectro de Amplitudes an(ωn) Logo, para 2L = 2k, temos 2k−1 − 1 amplitudes por meia-onda, de modo que a densidade dessas amplitudes terminará por abarcar todo o eixo ωn positivo (e decairá para zero). O resultado deste exercício dá-nos uma impressão intuitiva do que devemos esperar se passarmos de nossa função especial para uma função arbitrária. A seguir, faremos o mesmo com uma função arbitrária fL de período T = 2L. Isto fornecera uma justificativa e uma sugestão para chegarmos ao resultado principal desta seção, que é uma representação integral dada no próximo Teorema 2.1 2 Da Série de Fourier para a Integral de Fourier O material desta seção foi apresentado pela primeira vez por Fourier, Cauchy e Poisson mais ou menos ao mesmo tempo. É difícil determinar quem desempenhou o papel principal, pois eles apresentaram seu trabalho oralmente à Academia de Ciências de Paris em primeira instância. Fourier apresentou um artigo em 1811 para um prêmio da Academia, e Cauchy apresentou “Théorie de la propagation des ondes” da mesma forma em 1816. Poisson não pôde concorrer a um prêmio porque era membro 3 da Academia, mas publicou seu trabalho em “Mémoire sur la théorie des ondes”. Consideremos uma fungao periddica qualquer f,,(xz) de periodo T = 2L representada por uma série de Fourier, oe nt fr (x) = ao + 2X (2 COS Wnt + by sen wns) onde wp, = Tt Pretendemos em nossa dedugao ao fizermos L — ov, o calculo feito sugerira que devemos esperar uma integral em vez de uma série, envolvendo coswx e senwz, com o argumento w na&o mais se restringindo aos multiplos inteiros w = w, = 4" do fator =, entretanto assumindo todos os valores reais. Concluindo, devemos obter uma forma de uma integral, conhecida como integral de Fourier. Se inserirmos ay, e b,, conforme dados pelas formulas de Euler, e representarmos a varidvel de integracao por €, a série de Fourier de f;() torna-se 1 L = — d ule) = 57 | ful6) as 1 & L L + ZL S> cos anc | Fr (E) cos wn€ d€ + sen anc | Fi (€) sen wn€ dé fal —L —L Fazemos agora T T T Aw = Wyt1 — Wn = (n+ 1)> TNE. =F Entao, + = Aw e podemos escrever a série de Fourier na forma 1 L = — d file) = 57 f fale) as 1 & L L + - S> (cos wns) Aw | Fr (E) cos wn€ d& + (sen snr) Aw f Fr (€) sen wn dé (2.1) n=1 WL WL Esta representacao é valida para qualquer LD fixo, arbitrariamente grande, porém finito. Facamos agora L — oo e suponhamos que a funcao nao-periddica resultante f(x) = lim fz(z) Loo seja absolutamente integravel sobre o eixo 2; isto é, o seguinte limite (finito!) existe, co 0 N / f(x) |dx = lim | f(x)| dx + lim | |f(a)| der. (2.2) —oo M--o JM N-oo Jo Entao, + — 0, e 0 valor do primeiro termo no lado direito da equacao (2.1) aproxima-se de zero. Além disso, Aw = = — 0 e parece plausivel que a série infinita em (2.1) torna-se uma integral de 0 a oo, que representa f(x). Seja f uma funcaéo nao periddica real absolutamente integravel em R e representada por 1 CO CO CO f(x) = - | leossu F(§) cosw dg +senwr | F(g) sen § dé du (2.3) 7 JO —oo —oo Se considerarmos as seguintes notacdes 1 se 1 se A(w) = - / f(é)coswédé e Blw)=— / f(€) senwe€ dé (2.4) T J—oo T J—oo 4 obtemos uma escrita na forma CO f(x) = | [Aw) coswx + B(w) sen wa dw. (2.5) 0 chamada representacao da funcaéo real f por uma integral de Fourier. E claro que nosso método meramente sugere a representacdo (2.5), embora de modo algum ele o determine; de fato, o limite da série em (2.1) 4 medida que o incremento Aw se aproxima de 0 nao é a definigéo da integral de Riemann (2.5). Condicoes suficientes para a validade da representacao (2.5) sao dadas no seguinte Teorema. Theorem 2.1 (Integral de Fourier). Se a fungao f é continua por partes em cada intervalo finito e tem derivadas a direita e derivadas a esquerda em cada ponto e se f € absolutamente integrdvel, entéo f pode ser representada por uma integral de Fourier com seus coeficientes A(w) e B(w). Em um ponto onde f é descontinua o valor da integral de Fourier € igual a média dos limites esquerdo e direito de f nesse ponto. Isto é, at) + f(a- oo Mae ie) = [ [A(w) coswax + B(w) sen we] dw. (2.6) 0 3 Aplicagoes das Integrais de Fourier A principal aplicagao das integrais de Fourier é na resolugao de EDOs e EDPs, conforme veremos para as EDPs. Entretanto, também podemos usar as integrais de Fourier na integracéo e na discussao de fungoes definidas por integral, como os exercicios resolvidos a seguir ilustram Exercicio 3.1 (Pulso Unitdrio). Encontre a representagao da fungao real f pela integral de Fourier onde, 1 se |al<1 f(x) = 0 se |al|>1 Solugao. O grafico da funcado é dado na Figura 3, fx) if __. “a 0 f x Figura 3: Fungaéo Pulso Unitario De representacao dos coeficiente da integral de Fourier (2.4), obtemos 1 se 1 € : sen w sen w Aw) == | f()coswé dg = = | cosugag = 8 = 2 —— T Joo mw J-1 m | TW 1 se 1/7 Bw) = — | f(g)senwe dg = — | sen wé dé = 0 T Joo mT J-1 5 substituindo os coeficientes em (2.5) obtemos a resposta CO 2 CO f(x) = | A(w) cosw x dw = “| me cosw x dw. (3.1) 0 T JO Ww A média dos limites esquerdo e direito de f(x) em x = 1 éiguala ft)+fG7) 140 _ 1 2 2 Q° Além disso, utilizando o resultado em (3.1) e do Teorema 2.1, obtemos (multiplicando por 7/2) zr see O0<a<l1 2 CO [ en ® cosw 2 dw = a se r=l (3.2) 0 w) 4 0 se ©>1 Mencionamos que esta integral é chamada de fator descontinuo de Dirichlet. © Exercicio 3.2 (Seno Integral). O caso x = 0 é de particular interesse. Se x = 0, entdo a partir (3.2) obtemos so | sen wy — 2 (3.3) 0 W 2 Observamos que a integral em (3.3) € 0 limite da fungdo seno integral, ’ sen Ww Se(v) -| —— dw (3.4) 0 Ww a medida que v se aproxima do co. Ou seja, VU CO Se(v) -| wae dw | en ds 0 WwW U—-> Co 0 WwW Solugao. A seguinte Figura 4 mostra o graficos da funcaéo “Se” junto com o grafico da funcao integrando. 6 y . Si(u) 2 fy | - | I | | \ | | Integrando 41 / } Se ayh \ | | e | | i 4 I | | DST | _ I I 1 a I [speed -4f-=32 -2m_-ln 0} lx .2n 3n--“An u -0,5 41+ : oT | _& = Ty 5 Figura 4: Integral do seno Se(v) e o integrando mudando v por u No caso de uma série de Fourier, os graficos das somas parciais sao curvas de aproximacao da curva da funcao peridédica representada pela série. Similarmente, no caso da integral de Fourier (2.5), as aproximacoes sao obtidas substituindo-se co pelos numeros b. Logo, a integral 2 f? senw = | —— cosw x dw (3.5) TJo Ww ¥ | J | | a=8 | a=16 a= 32 -2%1 ol 1 2, 2-10! Ll 2x 2-10! T 2x Figura 5: A integral para valores b = 8, 9, 32, mudando a por b A Figura 5 mostra as oscilacgdes proximas aos pontos da descontinuidade de f. Poderiamos esperar que essas oscilacdes desaparecessem 4 medida que a se aproximasse do infinito. Porém isso nao ocorre; com o aumento de b, elas se deslocam para mais perto dos pontos x = +1. Esse comportamento inesperado, que também ocorre em conexéo com as séries de Fourier, 6 conhecido como fenédmeno de Gibbs. E possivel explicd-lo representando a integral (3.5) em termos de seno integral, conforme se segue. Usando identidades trigonométricas, temos 2 f° coswasenw 1 f?sen(wtwe 1 ?sen(w—we 2 preourens,, 1 fPsnletvrly,,1 jsmbe—v) yg wT Jo wW wT Jo Ww wT Jo Ww 7 ae . dw dt, Fazendo uma mudang¢a de varidveis, w + wx =t eo obtemos quociente — = 7 pois, Ww dw 1 1 dt (l+a2)dw=dt => —=2-dt=— wW 1+2w t e para intervalo 0 < w < 6 corresponde o intervalo na nova varidvel 0 < t < (1+ 2)b. Na segunda dw dt integral, fazemos a seguinte substituicaéo w — wa = —t logo obtemos — = 7 De forma equivalente, Ww dw 1 1 1 dt dt (l-a)dw=-dt => —=-———-—dt = —-— ~— dt =—-— = — w l-aw (l-2)w —t ¢ e para o intervalo 0 < w < 6 corresponde para nova varidvel 0 < t < (x — 1) b. Também observamos que sen(w — wax) = sen(—t) = —sent; substituindo na relacao (3.6) 2 f° coswasenw 1 sUt#)b sent 1 s(@—De sent = | —— — dw=- — dt—— — dt T Jo W T Jo t T Jo t em termos de senos integrais, isto é, 2 f° coswasenw 1 1 2 fPeoswasene _ Lso(a(¢ 4 1)) ~ 480(b(e -1) Tr Jo Ww T T e as oscilacgdes na Figura 5 resultam das oscilagoes da Figura 4. O aumento de } corresponde a uma transformagaéo de escala sobre o eixo x e provoca o desvio das oscilagdes (ondas) em diregéo aos pontos de descontinuidade —1 e 1. © Exercicios Propostos 1.] Encontre a representacao por integral de Fourier da fungao conhecida como pulso simples, 3 se |a|<1 f(x) = 0 se |r| >1 Este exercicio 6 uma aplicagdéo da integral de Fourier que resolve a integracao de uma funcao definida por uma integral. 2.] Utilizando fungoes pares e impares na integral de Fourier, obter a integral de Fourier de cossenos e a integral de Fourier de senos CO f(x) -| A(w)coswrdw se f é fungao par 0 CO f(x) = | B(w)senwrdw se f é funcgao impar 0 3.] As representagdes por integral de Fourier ajudam no calculo dos valores de algumas integrais. Mostre que as integrais dadas representam as funcoes indicadas. Utilize as formulas da integral de Fourier, integral de Fourier de cossenos ou integral de Fourier de senos; a integral lhe informara qual formula utilizar e seu valor ou resultado indicaraé qual funcao considerar. Mostre os detalhes 8 do que fizer. °° 1 7 a ——.. cos Br d8 = — e§*; x>0, > 0. 0° B T b [ —"“ sen Ba dB = —e§*; «> 0, > 0. >) [a pgesendeds =5 é m/2 se O0<a<l °° sen (c) [ 808 os Bn dB = 1/4 se rz=1 0 86 0 se xz>l1l 0 se 2“<0 ~° coszB + Bsen xB T (d) ; T+ - B 5 se xr=0 Te” se x«>0 T 3 x se 2“<0 °° sen BG — Bcos GB 1 (e) [a sen npda=) 2 se r=0 0 se x«>0 () [eosin ds = Se >0 ——; =e sempre que 2 5 Ta cos & 5 pre q “ 0<|a|< “ © cos(«6/2) 5 COS se wh<5 (g) 1-2 Cos xB dB = T 0 0 se |az|>— 2 a 0<a< © sen 78 sen xB 9 sen & se SST 0) f Se a= 0 0 se @>T7 4.] Mostre que a representagao integral de Fourier da fungao x se O<a<a f(r) = 0 se @r>a é dada por 2 2 2a cos(7x) f(x) = - | (0? — 5) sen(ay) + — cos(«)| ——— dy ( ) T 0 ry? 7 Y 4 Integral de Fourier em Cossenos As séries de Fourier torna-se mais simples se uma funcéo é par ou impar. O mesmo acontece com as integrais de Fourier, e com isto podemos economizar calculos e evitar erros. Com efeito, se f tem uma representacao integral de Fourier e é uma fungao par, entéo B(w) = 0 em (2.4). Isto é valido porque 9 o integrando de B(w) é impar. Portanto, (2.5) se reduz a uma integral de Fourier em cossenos CO 2 CO f(x) -| A(w)coswadw sendo A(w) = - | f(§) cos w§& d& (4.1) 0 wT JO Observe a mudanga de A(w), se a funcao f é par o integrando ainda é par, por conseguinte, a integral de —oo até oo é igual a duas vezes a integral de 0 até oo. CAalculo do Valor de Integrais Como ja foi mencionado, a principal aplicacéo da representacaéo integral de Fourier 6 em equacées diferenciais parciais. No entanto, essas representacoes também ajudam na avaliacdo de integrais, como se mostra no seguinte exercicio para integrais impréprias de 0 até oo. Exercicio 4.1 (Integral de Laplace). Deduzir a integral de Fourier em cossenos da fungdo f(x) = e~** definida em x > 0 sendo k > 0 uma constante, veja a Figura 6. Utilize o resultado para calcular a seguinte integral de Laplace | COswr dus 0 ke+we | we 0 Figura 6: funcao exponencial f(a) = e~** Solugao. A partir da formula do coeficiente A(w), temos 2 T A(w) = = | e*" coswu du, 7 JO integrando por partes, k Ww —ku —ku du = ——s—3 e ——senwu + coswu }. / € COs WU we ( ke + ) Se u = 0, a expresso no lado direito é igual a —k/(k? + w?). Se u se aproxima do infinito, essa expresso se aproxima de zero devido ao fator exponencial. Portanto obtemos 2k 2 &k _ Alw) = 2 = qT 4.2 (w) wk? +we k%+w? (4.2) Substituindo isto em na integral de Fourier de cossenos, obtemos assim a representacéo da integral de Fourier de cossenos 2k [© coswax —ka =e = — —s>— dw, «£>0, k>0. f(x) 1 [ k2 + w2 , , 10 Por esta representacao, vemos que [ “Swe te com «>0, k>0 (4.3) 0 k?+w2 2k , , , , A integral em (4.3) é chamada de integral de Laplace. % Exercicios Propostos 1.] Represente a fungao fornecida na forma de integral de Fourier em cossenos 1 se O0<a<b x se O<a<b (a) f(x) = (b) f(z) = 0 se a>b 0 se xz>b x 3 see O<a<l x see O0<a<l x (c) f(x) = (d) f(x)= 1-3 see l<a<2 0 se xz>l1l 0 se “>2 sen x se O<a<T e se O<a<T7 (ec) f(x)= (f) f(@)= 0 se @>T7 0 se @>T7 5 Integral de Fourier em Senos De maneira semelhante ao caso da integral de Fourier em cossenos, se f tem uma representacao integral de Fourier e é uma funcao fmpar, entéo A(w) = 0 em (2.4). Isso é verdade porque o integrando de A(w) é impar. Portanto, (2.5) torna-se uma integral de Fourier em senos CO 2 CO f(x) -| B(w)senwxdw sendo B(w)= “| f(€) sen w€ dé (5.1) 0 T JO Observe a mudanga de B(w) para uma integral de 0 até oo a porque é par (impar vezes impar é par). CAalculo do Valor de Integrais Como ja foi mencionado, a principal aplicacéo da representacaéo integral de Fourier 6 em equacées diferenciais Parciais. No entanto, essas representagdes também ajudam na avaliacao de integrais, como se mostra no seguinte exercicio para integrais impréprias de 0 até oo. Exercicio 5.1 (Integral de Laplace). Deduzir a integral de Fourier em senos da fungdo f(x) = e~** definida em x > 0, sendo k > 0 uma constante. Utilize o resultado para calcular a seguinte integral de Laplace [ Ww sen wx d ——; dw. 0 ke + uw? Solugao. Similarmente, a partir da formula do seno, temos que 2 es 2°, Bw) = = | f(u) senwu du = - | e ““ senwudu T JO TT JO 11 Integrando por partes, io senwu du = —<—~— e7ku (= sen wu + cos wu) ke 42 Ww , Esta expressao é igual a —w/(k? + w?) se u = 0, e aproxima-se de zero quando u — oo. Portanto, 2w 2 w — Blw) - 2 —__7T 5.2 (w) wh? +w2 =k? +w? (5.2) Substituindo na integral de Fourier em senos, obtemos, portanto, a representacao da integral de Fourier de senos 9 poo ke Ww sen wx Disto, vemos que oo wsenwr , 7 2 A integral em (5.3) é chamada de integral de Laplace. % Exercicios Propostos 1.] Represente a funcgao f fornecida na forma de integral de Fourier em senos 1 se O0<a<b sen x se O<a<T7 (a) f(z)= (b) f(z) = 0 se a2>b 0 se “> 1-2? see O0<a<l T— 2x see O<a<7 (c) f(z) = (d) f(z) = 0 se xz>l1l 0 se @>T7 cos x se O<a<T b-2 se O<a<b (e) f(z) = f) f(z)= 0 se @>T7 0 se «>b 6 Propriedades das Integrais de Fourier A integral de Fourier de cossenos apresenta as seguintes propriedades, CO fle) = [Ac )cosredy implica as seguintes propriedades 1 co C1) f(bxr) = > ff A(y/b) cos yx dy b>0O mudanga de escala 0 o x dA 2% C2) a«f(x)= [ BY (7) sen yx dy Br=—7~ e Aly) = = | f(€) cos § d& 0 ry T JO oe aA C3) 2? f(x) = [ A*(y) cos ya dy A* = —-—y 0 dy Todas as propriedades acima sao de simples verificacao. 12 Exercicios Propostos 1.] Encontre a representacao da fungdéo f dada por 1 se O0<a<b f(r) = 0 se a2>b na forma da integral de Fourier em cossenos logo aplique a propriedade C3) para encontrar a representacao de Fourier em cossenos da funcao, x se O<a<b f(x) = 0 se «£>b 2.] Verifique a propriedade C2) para seguinte funcgao 1 se O0<a<b f(r) = 0 se a2>b 3.] Encontre as f6rmulas para a integral de Fourier de senos semelhantes as obtidas no primeiro item. 7 Transformadas de Fourier em Senos e Cossenos Uma transformada integral 6 uma transformacéo na forma de uma integral que produz a partir de fungdes dadas novas funcgdes, dependendo de uma varidvel diferente. Essas transformacoes sao de inte- resse principalmente como ferramentas para a resolucdéo de equacoes diferenciais ordindrias, equacdes diferenciais parciais e equac6es integrais, e muitas vezes eles também ajudam no manuseio e aplica- cao de funcoes especiais. A transformada de Laplace é deste tipo e é de longe a mais importante transformada na engenharia. O préximo na ordem de importancia sao as transformadas de Fourier. Veremos que essas transfor- macoes podem ser obtidas a partir da integral de Fourier de uma forma bastante simples. Nesta secao, vamos considerar dois delas, que séo a valores reais, e na préxima secao um terceiro que a valores complexos. 7.1 Transformadas de Fourier em Cossenos A transformada de Fourier em cossenos esta concentrada com funcoées pares f. Obtemos essa trans- formacaéo a partir da integral de Fourier em cossenos CO 2 CO f(x) = [ A(w)coswadw sendo A(w) = = | f(§) cos we d€. 0 T Jo Especificamente, definindo A(w) = \/2/7 f,(w) = \/2/m F.(w), onde a letra c sugere “cosseno”. Entao, escrevendo € = x na férmula para A(w), obtemos A 2 oo Fi(w) = fe(w) = 4/ = | f(x) coswa dx (7.1) 7 JO 13 logo 2 [= 2 x f(x) = V2 / fe(w) coswa dw = - | F.(w) cos wa dw (7.2) T JO T JO A férmula (7.1) fornece a partir de f uma nova funcio, f,(w) = F.(w) chamada a transformada de Fourier em cosseno de f(a). A formula (7.2) nos devolve f(x) a partir de f,(w) = F.(w), portanto, chamamos f(x) a inversa da transformada de Fourier e cosseno de F.(w) = fe(w). O processo de obter a transformacao fe = F. de uma dada f também é chamado de transformada de Fourier em cosseno ou método de transformacao de Fourier em cossenos. Exercicio 7.1. Encontre a transformada de Fourier de cossenos da fungao 3 se O<a<b f(x) = 0 se “£>b. Veja a seguinte Figura 7 Observe que, para f(x) = C definida no semi-intervalo positivo a transformada acima nao existe! | | 1 1 a xX Figura 7: Grafico da fungao Salto Solugao. Pela definigéo em (7.1), obtemos por integracao definida ~ 2 re 2 b fe(w) = 3/2 | coswx dx = 3 2 (=) . tT Jo T Ww Isto concorda com uma formula nas tabelas onde k = 3. © Note que, para f(x) = k = const. para 0 < x < o, essa transformada nao existe. (Por qué?) Exercicio 7.2. Encontre a transformada de Fourier de cossenos da fungaéo f(x) = exp(—2). Solugcaéo. Integrando por partes 2 pe 2 et * fele-*](w) = V2 / e *coswadx = 7S (- cosw x + WwW senw a) _ V2/n 1+ w2" Isto concorda com uma formula na Tabelas dadas, com b = 1. © 14 Exercicios Propostos 1.] Considere a seguinte funcgao definida por, x see O<a<l f(r) = 0 se “>. Encontre a sua transformada de Fourier de cossenos, ¥¢|f(x)]. 2.] A transformada de cossenos do produto «~!sen x existe? E do produto x~! cosx? Justifique. 3.] Seja a funcdo f definida f(x) = 2 para x € R*, concluimos que nao possui transformada de Fourier de cossenos. Justifique. 4.| Se f for absolutamente integrdvel em R* e for continua por secdes em cada intervalo finito, entao a transformada de Fourier de cossenos de f existe. Além disso, se f e g tiverem transformadas de Fourier de cossenos, 0 mesmo ocorre com a funcdéo af + bg para quaisquer constantes a e b reais. Assim sendo, mostre que, Selaf + bg] = a&lf] + b¥elg] 5.] Consideremos que f seja continua e absolutamente integrdvel em R, que f’ seja continua por segdes em cada intervalo finito e que f(z) + 0 a medida que x — oo. Entao mostre que } 2 Self (x)] = 1s[F(2)] — yy —F(0). 6.] Mostre que se f e sua primeira derivada séo nulas quando x — oo. Além disso se §.[f] é a transformada de Fourier em cossenos de f/f, entao " 2 2 / Belf"(@)] = -1 Eel f(@)] — y —F'0). 7.] Encontre §.[e~°”] pelas formulas envolvendo derivadas segundas. 8.] Aplicando a férmula operacional do exercicio anterior encontre a transformada de Fourier de cossenos da funcgao f(x) = exp(—bx) onde b > 0. 9.] Obtenha a transformada de Fourier inversa de cossenos, §,![exp(—7)], utilizando a definigao. 7.2 Transformadas de Fourier em Senos Da mesma forma, definimos B(y) = \/2/m fs(7) = 2/7 F.(7) onde a letra s sugere “seno”. Entao, escrevendo € = x temos a partir de CO 2 CO fle) = [° Ba)senyedy sendo BO) == |” f(g) sen rae transformada de Fourier em senos de f dada pela formula, ~ Q x Fa) = fay == | se)senreae (73) 15 logo, a inversa da transformada de Fourier em senos é da dada pela férmula, 2 fo. 2 ro f(z) = “| fs(q) sen yx dy = “| F (7) sen yx dy (7.4) T JO wT Jo O processo de obtencgao de fe a partir da funcao f é também chamada a transformada de Fourier em senos ou o método da transformada de Fourier em senos. Exercicio 7.3. Encontre a transformada de Fourier de senos da funcao 7 se O<a<b f(x) = 0 se a>b Veja a Figura 7 Solugao. Por la definigaéo dada em (7.3), obtemos por integracao definida ~ Q rb 2 (1—cosbw fs(w) = m= [ senw xdx = 74/— (——*) . T JO Tv WwW Isto concorda com uma formula dad nas tabelas onde k = 7. © Note que, para f(x) = k = const. para 0 < x < o, essa transformada nao existe. (Por qué?) Existem outras notacdes e sao as seguintes, self] =fe e osLf] = fs, ee, % as inversas de §., Ws. O que fizemos para introduzir as duas transformadas integrais de Fourier em estudo? Na verdade, nao muito: mudamos as notagdes dos coeficientes A(w) e B(w) para obtermos uma distribuigao “si- métrica” da constante 2/7 nas formulas das integrais de Fourier em cossenos e senos dadas em (4.1) e (5.1). Esta redistribuigéo 6 uma conveniéncia, mas nao é essencial. Poderiamos ter prosseguido sem ela. E que facilidade ganhamos? Mostraremos a seguir que essas transformadas de Fourier tém propriedades operacionais que lhes permitem converter derivadas em operacées algébricas. Esta é a vantagem medular para a aplicacao dessas transformadas na resolucao de equacoées diferenciais. Linearidade e Transformada de Fourier de Derivadas Se a funcao f é absolutamente integravel no eixo positivo, x, e continua por partes em cada intervalo finito, entéo a transformadas de Fourier em cossenos e senos de f existe. Além disso, se f e g possuem transformadas de Fourier cosseno e seno, 0 mesmo acontece para a 16 combinagao af + bg para qualquer constantes a e b, e por (7.1), obtemos, 2 CO Belaf + bal) = y= [ [af a) + by(e)] cos yea 2% 2% = al? | f(x) cos ya dx + nf? | g(x) cos ya dx T JO T JO = avclf] (y) + b§ <9] (7) De maneira semelhante para a transformada de Fourier em senos, §, utilizando (7.3). Isto mostra que as transformadas em senos e cossenos sao operacées lineares belaf + bg] = a¥elf] + belg] (7.5) Sslaf + bg] = a&s[f] + b8slg] (7.6) Theorem 7.4 (Transformada de Fourier em Cossenos e Senos de Derivadas). Seja f wma fungao continua e absolutamente integravel en todo R, considere a funcdo derivada f' continua por secdes em cada intervalo finito, e que f(x) +0 quando x > oo. Entdo, , 2 Self (2)] = 78slF(2)] — y/ —F(0) (7.7) Ss[f'(x)] = —7elf(~)| (7.8) Observagéo 7.5. A formula (7.7) com f’ em vez de f fornece, quando f’ e f” satisfazem as respectivas hipdteses para f e f’ no Teorema 7.4, WW / 2 / LU"(@)] = els") - / 20) logo pela férmula (7.8) obtemos, 2 BLP"(a)] =~? BLP — f27'0) (7.9) De maneira semelhante, obtemos uma outra formula, 2 Bl"(@)] = —PL@)) + 27 £0) (7.10) A aplicagao basica de das formulas (7.9) e (7.10) para EDPs sera dada posteriormente. Para iniciar mostraremos como (7.9) e (7.10) podem ser usadas para deduzir transformag6es para serem incluidas em tabelas. Exercicio 7.6. Encontre a transformada de Fourier em cossenos f,(w) onde f(x) = e~** sendo b > 0. Solugao. Antes de aplicar as formulas de derivacéo, usamos um calculo prévio, a? —bax 2 ,—bx dx? (c ) = bre 17 portanto, 2 a? " P f(0) = S5 Flo) = f"(@) Assim, a partir da formula (7.9) e da linearidade dada em (7.5) obtemos, b Sel f(x)|(w) = b? Fle "| w) = Kel f(x) (w) 2 2 = -eFeLF(M(w) - [2 FO 2 2 = —w Fels (a)](w) + by/= Portanto, 2 (0? +0) SLf(e)J(w) = of = T Finalmente, a resposta é, _ 2 b Sele *")(w) = = (3 =z) com b>0. e isso conclui o exercicio. © Exercicios Propostos 1.] Se f for absolutamente integravel em Rt e for continua por secdes em cada intervalo finito, entao a transformada de Fourier de senos de f existe. Além disso, se f e g tiverem transformadas de Fourier de senos, o mesmo ocorre com a funcao af + bg para quaisquer constantes a e b reais. Assim sendo, mostre que, oslaf + bg] = av s[f] + bss[g] 2.] Consideremos que f seja continua e absolutamente integrdvel em R, que f’ seja continua por segdes em cada intervalo finito e que f(z) + 0 a medida que x — oo. Entao mostre que SsLf'(x)] = —78elf(a)]. 3.] Mostre que se f e sua primeira derivada séo nulas quando x —> oo. Além disso se §,[f] é a transformada de Fourier em senos de f/f, entao " 2 2 SslP(x)] = \f 7 FO) — Ss F@))- (7.11) 4.) Encontre §,[e~2"] pelas formulas envolvendo derivadas segundas. 5.] Encontre a transformada de Fourier em senos, §;|f] da fungaéo f(#) = exp(—72), utilizando a definicgao. 6.] Encontre a resposta do problema anterior, a partir da formula operacional (7.11) 18 7.] Considere a fungéo real f definida por, senx se O<au<T f(x) = 0 se “<7 Encontre a §5[f]. 8.] Encontre a transformada de Fourier de senos da fungao 5 se O0<a<b f(r) = 0 se a2>b Observe que, para f(a”) = K definida no semi-eixo positivo a transformada obtida nao existe! Por que? 9.] Seja a funcdo f definida f(x) = 1 para x € R*, concluimos que nao possui transformada de Fourier de senos. Justifique. 10.] Considere a seguinte funcao f definida por, —l see O<a<l f(x%)=4 1 se 1l<a<2 0 se “>2 Encontre a transformada de Fourier de cossenos de f. 11.] Utilizando a seguinte notagao A 2 oo foo) = = [ f@) sen wae. wT Jo mostre que a funcéo f (bx) tem a transformada de Fourier de senos (1/b) fs(7/b). 8 'Transformada de Fourier A transformada de Fourier é utilizada para resolver problemas em equacoes diferenciais parciais como a vibracao de cordas infinitas e semi-infinitas, problemas da conducao do calor em barras infinitas e semi-infinitas, e o problema de Dirichlet para a equacéo de Laplace em um semiplano. As duas transformadas estudadas estao na forma reais. Consideremos agora uma terceira, chamada de transformada de Fourier, que é complexa. Obteremos essa transformada a partir da integral complexa de Fourier. Existem duas maneiras de abordar o assunto das Transformadas de Fourier, ambas as maneiras seréo comentadas Uma maneira é deduzir diretamente do das Séries de Fourier e definir as Transforma- das de Fourier em termos da matematica dos espacos lineares, aumentando cuidadosamente o perfodo T da fungao f(x). Isso levaria a série de Fourier que definida anteriormente a se tornar, no limite do periodo infinito, uma integral. Esta integral leva diretamente para a Transformada de Fourier. 19 Por outro lado, a Transformada de Fourier pode ser definida diretamente como um exemplo de transformada integral e suas propriedades comparadas e em muitos casos com as da Transformada de Laplace. E esta segunda abordagem que é favorecida aqui, com a primeira abordagem matematica ja esbogada Essa escolha é arbitraria, mas acredita-se que a abordagem mais pratica deve ser escolhida. Dito isso, textos que se concentram em aspectos computacionais como a FFT (Fast Fourier Transform), na andlise de séries temporais e em outros ramos da estatistica aplicada as vezes preferem a abordagem matematica para enfatizar a precisao. 8.1 Forma Complexa da integral de Fourier A integral de Fourier (na forma real) é CO f(x) = [ [A(w) cosw x + B(w) senw | dw 0 onde 1 se 1 se Aw) == | f(u) coswudu Bw) = — | f(u) senwudu TT —oo T —Co Substituindo A(w) e B(w) na integral para f(x), obtemos 1 CO CO f(a) =— | / f(u)[cosw ucoswa + senw usenw 2] du dw T JO —oo Pela férmula da adic&o de cossenos, o integrando trigonométrico é, cosW UCOSW x + SenW USENW X = COs(wU— wz) como o cosseno é par, temos cos(w az — wu). Obtemos, portanto 1 CO CO f(x) = _ | / f(u) cos(w a — wu) du du. (8.1) 7 JO —oo A integral entre colchetes é uma funcao par de w, que chamaremos CO F(w) -| f(u) cos(wax—wu)du pois F(—w) = F(w), —oo porque cos(wxz — wu) é uma fungéo par na frequéncia w, a fungéo f nao depende de w e integramos em relagéo a u (e nao w). Logo, a integral de F'(w) a partir de w = 0 até co é 1/2 vezes a integral de F(w) a partir de —oo até ov, isto 6, CO 1 CO | F(w) dw = >| F(w)dw, F(-w) = Flw). 0 2 Joo Portanto apos a substituigéo (observe a mudan¢a do limites de integragaéo), obtemos 1 CO CO f(z) = >) / f(u) cos(w a — wu) du du. (8.2) 277 Joo LJ 00 Dizemos que a integral da forma (8.2) com “sen” em vez de “cos” é zero, 1 CO CO — / / f(u) sen(w a — wu) du dw = 0 (8.3) 27 J—oo LJ —oo 20 Isto é verdadeiro, visto que sen(w xz — wu) é uma fungao impar de w, o que faz com que a integral entre colchetes seja uma funcaéo impar de w, que denotamos por CO G(w) = / f(u)sen(wx—wu)du=0 pois G(-—w) = —G(w) —oo a integral de G(w) a partir de —oo a o0 é zero, conforme haviamos afirmado. Consideremos agora o integrando (8.1) mais i = \/—1 vezes o integrando de (8.3), 1 CO CO fa= 5 | / f(u) cos(wa — wu) au du) 27 J—oo LJ—oo 1 CO CO +i | / fu) senor — wu) dul dw 277 J—oo LJ 00 e usemos a formula de Euler e” = cos6 +i send. (8.4) Fazendo wa — wu ao invés de 6 em (8.4) e multiplicando por f(u), obtemos f(u) cos (w x wu) +i f(u) sen(w 2 — wu) = f(u) exp(i (wa —wu)). Logo, o resultado de somar (8.1) com o produto de i por (8.3), obtemos esta transformacao a partir da integral de Fourier complexa, cuja representacao 6, 1 lo) lo) . f(x) = >| / f(we’@— dudw sendo i=vV-1. (8.5) 27 Joo J—oco Estamos agora préximos do nosso objetivo principal da presente unidade, a transformada de Fou- rier. Antes de fazer as conclusoes, vejamos mais uma forma de obter as transformada de Fourier, usando a notacéo complexa que é mais eficiente. Assim como problemas praticos em intervalos finitos levam a séries de Fourier, problemas em toda a reta | — co, oo[ levam a integrais de Fourier. Para entender essa relagéo, considere uma fungaéo f definida no intervalo | — L, L|. Sua série de Fourier, em notacéo complexa, é CO . nt f(x) = mb Creer, wn = n=—Cco onde os coeficientes Ef fayetomna > Cn = = u)e u Wn = — "OD Jor "OL A integral de Fourier aparece quando LI vai para oo. No entanto, esse limite 6 um dos mais complicados de toda a matematica porque o intervalo cresce simultaneamente 4 medida que os termos mudam. Se escrevermos w = n7/L e substituirmos os coeficientes na série, obtemos 1 co 66 L . . T f(x) = >| - / Flu) ec" dul eve ©, (8.6) Quando L —> oo, o intervalo se expande para toda a reta e os pontos w se aproximam. No limite, devemos esperar que w se torne uma varidvel continua e que a soma se torne uma integral. A distancia entre dois w sucessivos 6 Aw = 7/L, que podemos pensar como se tornando no diferencial dw no 21 limite. Portanto, esperamos o resultado 1 CO CO . . f(x) = >| / f(u) ctendu| ee?” du (8.7) 27 J—oo LJ —co Isso 6 de fato correto, embora nao fornegamos uma prova rigorosa (ver o texto, [Folland, G]). E uma verséo continua da propriedade de completude da série de Fourier. Outra maneira de estabelecer a identidade(8.7) é l “se iwe JV-1 x) = — w)e’** du -l=i 8.8 fo) = ef Fleet de , (8.8) onde F 1 /. iwu d V-1 w) = ue U —1=i. 8.9 Fe) = se [yea (8.9) O simbolo f(w) denota a transformada de Fourier de f(a). Observe que a relacao é quase invertivel: f(x) é quase a transformada de Fourier de f(w), sendo a unica diferenca o sinal de menos no expoente. As varidveis x e w desempenham papéis duplos; w é chamada de varidvel de frequéncia. 8.2 Transformada de Fourier e sua Transformada Inversa Escrevendo a fungao exponencial em (8.5) como um produto de fungdes exponenciais, temos f(x) = — [. |= [. Flue" du edu (8.10) V2T J-oo LV 27 J—co A expresso entre colchetes é uma fungao de y, é denotada por f(y), e chama-se a transformada de Fourier de f; escrevendo u = x, temos c 1 °° iwax w) = — rye” da 8.11 fe)=se | fte) (8.11) Com isso, (8.10) se torna fle) = [ fluye* de (8.12) 27 J—oo e chama-se a transformada de Fourier inversa de f(w). Outra notacao para a transformada de Fourier é f =S3(f] demodo que f= If]. O processo de obtengao da transformada de Fourier §[f] = f a partir de uma funcao f dada é também chamada a transformada de Fourier ou método a transformada de Fourier. Condig6es suficientes para a existéncia da transformada de Fourier sdo as seguintes, Theorem 8.1 (Existéncia da Transformada de Fourier). Se a fungao f é absolutamente integrdvel em R e continua por partes em cada intervalo finito de R, entao, transformada de Fourier §|f] = f 22 de f dada por ~ 1 0° f(w) = Sf (x)|(w) = — | f(aje "dx < co existe. (8.13) V 27 J—oo A expresso (8.13) envolve uma integral imprépria, que deve ser entendida no seguinte sentido, 0° . N . / f(aje“* dx = lim / f(aje“* da, (8.14) —oo M, Now J_-M onde M e N tendem independentemente para infinito. Considerar o limite com M e N independentes é importante, quando se faz caélculos com integrais imprdprias, pois néo queremos situagdes como a seguinte, co N / 2edx = lim / 2xdx = lim N? —(—N)? =0, (8.15) —oo Now J_N N-> oo e, pelo contrario, o que queremos dizer é que, neste caso, co N / 2xdx = lim / 2edx = lim N?-(-—M)?, —0oo M, N>o J-M M, N-0co a integral imprépria em (8.15) nao existe. Que tipos de funcoes f reais e complexas, devemos considerar para que as integrais no segundo membro de (8.14) existam e para que o limite exista? De inicio, exibir uma classe de fungdes para as quais (8.13) esta bem definida, e que contém a maior parte das fungdes presentes nas aplicagdes na diversas areas da engenharias. Afirmar que (8.13) esta bem definido significa que para cada w a integral converge para um nimero, e, assim, temos uma fungao f definida em R. As fungoes f: R — R esté nessa classe se satisfazem (i) a funcao f é continua por partes em cada intervalo [—M, N] (ii) a integral impropria CO / |f(x)| dz < co converge. —cCo Uma classe mais geral de fungées f para as quais (8.13) esta bem definida é 0 conjunto das fung6es f: R- R tais que as integrais improprias de f e |f| existem 6 chamado de espaco £1(R). Cada funcdo do espaco é uma funcdo £1. Isso requer que f e |f| sejam integraveis em cada intervalo [-M, N] e que os limites abaixo existam N N li d li / dx. 8.16 wl, [fede elim ff f@)lae (8.16) Observe que se f for continua por partes em cada intervalo [-M, N] e se o segundo limite em (8.16) existir, a funcdo serd L!. E mais vantajoso manipular o espaco £! pois a transformada de Fourier resulta em algo com melhores propriedades. Entretanto, chamamos a atencao para o fato de que existem fungdes que nao sao £! para as quais a expressao (8.13) converge, mas ndo absolutamente; a modo de ilustracao, a sen x fungao f(x) = ——. x Em muitas situagdes aparecem funcdes tomando valores complexos, a propria transformada de Fourier f é assim. Por esta razéo, podemos considerar as funcdes f: R > C, definidas em R e tomando valores no plano complexo C. Se f for uma tal fungao, ela podera ser escrita na forma 23 f(x) = u(x) +i v(x), onde as funcoes reais u e v serao suas partes real e imagindria, respectivamente. A sua integral sera [fo dz = [uo dx +i fo(c) dx Portanto a relacao f: R + C é uma funcao L! se suas partes real e imagindria e |f|, que sao funcoes de reais, forem £! no sentido definido anteriormente. Podemos formular uma segunda definicéo no espaco £! da seginte forma Definicdo 8.2 (Transformda de Fourier). Se a relacao f: R > C é uma fungao £1, sua transformada de Fourier f : R-C se definira por, F 1 °° iw x SLI) = fw) = — | f(a)e”* dz. [fo)|(e) = Fe) = ef te) Que tipo de funcao é a transformada de Fourier f de uma funcado f(x) de £1? A resposta é que f é continua em R, além disso, f se anula no infinito, isto é, lim f(w) =0. |w|—-oo Exercicio 8.3. Encontre a transformada de Fourier de 1 se |x) <1 f(t) = 0 se “x<-l ou «ol. Solugaéo. Usando a férmula da transformada de Fourier dada em (8.11) e integrando, obtemos A 1 oo . 1 1 . w) = — nei? de = — | 1l-e '** dz fle) = Fe ff) val ol 1 ewe (in iw ; 1 tw tw = ——(e “—e —wy 20 ( Variando a férmula de Euler, temos e = cosw+isenw, e = cosw —isenw, e, por subtracao, e’ —e = Qisenw. Substituindo esta expressao no lado direito da tiltima formula, vemos que a unidade imaginaria 7 se anula e obtemos a resposta ~ 7 senw w) = 4/ = —— jon 2 do exercicio proposto. © Podemos perguntar: a transformada de Fourier fé uma funcao que esta no espaco £!? A resposta 24 é negativa, como mostra, Exercicio 8.3 cuja transformada de Fourier é, > 7 sen w fw) = (5 get, Ww que nao se encontra no espaco L!. © Existem muitas propriedades da Transformada de Fourier. Estes envolvem teoremas de desloca- mento, transformadas de derivadas, etc. Mas elas nao séo téo amplamente utilizados simplesmente devido as restricdes na classe de funcdes que podem ser transformadas. A maioria das aplicacdes esta nos campos da “Engenharia Elétrica e Eletrénica”, que estao recheados de fungdes salto e de impulso para as quais as Transformadas de Fourier so particularmente adequadas. A seguir uma situacaéo recorrente descrita no seguinte exercicio. Exercicio 8.4. Calcule a Transformada de Fourier do “cartola” ou funcao de pulso retangular definida como segue B se |t] <L ft) = 0 se |t]}>L onde B é uma constante (amplitude do pulso) e L é€ uma segunda constante (largura do pulso) Solugao. A avaliacao da integral é bastante direta e os detalhes sao, ~ 1 0° , B fl, w) = t edt = —— | e'’* dt I ) V 20 [. I ) V 2m J-L . L . . B e7we B ew Lb ew L = — —— = = |— + — V2r WwW | L V2T | —tu aw | r—— Bol iw L ie) B 2% [eh —e wt = —_ — e —-e = a V2r iw J2r iW 21 2 B 2 senw LD = ——-— sen(w L) = \/— B ——_., V27wW Tw WwW e isso conclui o exercicio. © Matematicamente, isso é rotineiro e de pouco interesse. No entanto, os graficos de f(t) e f(w) sao exibidos lado a lado na Figura 8, e vale a pena observar e discutir o seu significado. é F t al\n @ Figura 8: A onda quadrada f(t) e sua transformada de Fourier f(w) A relagao entre f(t) e ft (w) é aquela entre uma fungao do tempo f eas frequéncias que esta fungao 25 (chamada de sinal pelos engenheiros) contém, flw). O assunto da andalise espectral é grande e secdes dele sao dedicadas a relagéo entre um espectro (geralmente chamado de espectro de poténcia) de um sinal e o proprio sinal. Este assunto tem crescido particularmente rapido desde os dias do primeiro langcamento de satélite e o advento do satélite, depois do cabo e agora a televisao digital garante seu crescimento continuo. Durante grande parte do restante deste capitulo, esse tipo de aplicacao sera sugerido, mas é claro que uma descricéo completa nao é possivel. A natureza complexa de flw) nao é um problema. A maioria das séries temporais nao é simétrica, entao o médulo de f(w) denotada por A(w) carrega a informagao de frequéncia. Exercicio 8.5. Encontre a transformada de Fourier, eW be se «£>0 f(x) = com b>0. 0 se “<0 Solugao. A partir da formula da transformada de Fourier (8.11), obtemos por integragéo A 1 oo be i w) = — ee" dx iw=— | 1 e7 (b+iw)ax °° 1 1 2 —(b + iw) 0 (ir b+iw Isto prova uma formula dada em Tabelas de Integrais de Fourier. © Exercicio 8.6. Considere uma funcao f continua por partes e absolutamente integrdvel. Escreva a transformada de Fourier f da seguinte forma, f(w) =A;(w) —iBy(w) + Py, weER onde A — | F(x)( )de (db) Byw) == [ f(a) senwed a WwW) = — x)(coswa—1)dx w= | x)senw x dx 1 CO c) Pr=— / x) dx. (©) Patel fe) Solugéo. Usando a Férmula de Euler podemos reescrever a Transformada de Fourier de uma fungéo f na seguinte forma, ey 1 °° iw x Ww) = — aye "** dx fle)=se [fe 1 CO = — x) |coswax —i senw a] dx ae | fol | 1 CO = — x) |coswa—1|—if(x)senwa + f(x) dx ae | fol |-is() f(e) 1 °° 1 °° d 1 °° d = — x) \|coswa— 1 de —i— | x) Sen w x r+—— | x) dz. =| fo =| fe) =| fo) 26 Entao, se definirmos A f(w), Br(w) e Pp como acima, temos que f(w) = Af(w) —i Bp(w) + Py, WER e assim conclui 0 exercicio. © Exercicio 8.7. Considere uma funcao f continua por partes e absolutamente integrdvel. Verifique CO CO wl <z fo if@ide ¢ |Bw| <n f |f@lae —~oo —oo Solugao. A resolucao segue dos calculos a seguir, 1 CO Ar(w =| / x) |coswa—1 da |A;)| Jan J x f(x) | 1 CO < x)| |coswa — 1| dx <e / Fel | 2 CO < — x)|\dx = L 1. se | @lae = LI e a outra desigualdade 1 CO Bry(w)| = — | x senwir dr By) =| [ F@ 1 CO < — x)| |senw «| da < [| |Fo)| enw 1 CO < x)\dx = N fla se | @lae = NII e assim se conclui 0 exercicio. © Um sinal com grafico comum é mostrado a esquerda na Figura 9. Os sinais nao tém um perfil funcional conhecido e, portanto, suas Transformadas de Fourier também nao podem ser determinadas na forma exata. No entanto, algumas caracteristicas gerais estao representadas no lado direito desta figura. Apenas o médulo pode ser desenhado desta forma, pois a Transformada de Fourier é em geral uma quantidade a valores complexos. f(t) IF(w)t U ] u m @ Figura 9: Perfil de onda t{pico f(t) e a amplitude de transformada |f(w)| = A(w) O tipo de forma que |f(w)| tem também é bastante comum. As altas frequéncias estdo ausentes, pois isso implicaria em um sinal rapidamente oscilante; da mesma forma, frequéncias muito baixas 27 também estaéo ausentes, pois isso implicaria que o sinal raramente atravessaria o eixo t. Assim, o grafico de | f(w)| situa-se inteiramente entre w = 0 e um valor finito. E claro que qualquer variacao positiva é teoricamente possivel entre esses limites, mas 0 maximo simples é o mais comum. Ha um pouco mais a ser dito sobre essas ideias, aprofundaremos quando estudemos o processamento de sinais. A primeira propriedade de transformadas de Fourier em cossenos e senos que examinaremos é sua capacidade de calcular certas integrais reais impréprias na forma fechada. A maioria dessas integrais sao diffceis de avaliar por outros meios (embora os o calculo de residuos também é uma ferramenta util mostrar os cdlculos dessas integrais). O seguinte exercicio resolvido a seguir ilustra isso. Exercicio 8.8. Considerando as transformadas cosseno e seno de Fourier da fungéo f(t) = e~", com b > 0 constante, calcule as duas integrais © coska x sen ka > dre —— dx 0 b2 +22 9 b+ x2 Solugao. Em primeiro lugar, observe que as transformadas de cosseno e seno podem ser conveni- entemente combinadas para fornecer A “A 2 co 9 oo fe(w) +ifs(w) = V-[ f(t) coswtdt +i4/ - | f(t) senwt dt T JO ™ JO = [2 [ et eiwt Gy _ = e(—b+iw)t dt T JO T JO CO — /2 1 cosy na—b+iw t=0 /2 1 /2 b+iw (V2/m)b (V/2/m)w = — ————_ = ES — wb — iw mb? + w? b? + w? b2 + w? de onde ftw) = 71D 6 fw) = GP Me MO) = page © Ise) = ga Usando as formulas para as transformadas inversas 2 [% x 2 [x f= y= | fe(w) coswt dw e fo=y- | fs(w) senwt dw, T JO mT Jo tanto de cosseno e seno respectivamente, obtemos 2 [© (\/2/m)b 2° 6b v= (v2/n)b cos(wt) dw = - | Fag €08(w t) dw = e atJo b%+w wJgo be +w : [2 p> (V3A) 2% 2/1) w 2 (2S w - +> cos(wt ds == | ——_ sen(wt) dw =e". - | b2 + w? (wt) ajo b%+w? (wt) Mudando as variaveis w por x, e t por k obtemos os resultados %° coska 1 [ —— dx = — ek 9 b?+w? 2b 28 e © x sen ka T | ag w= se, 0 b¢+w 2 e isso conclui o célculo das duas integrais. © As Transformadas de Laplace sao extremamente tteis para encontrar a solugao de equacgoes dife- renciais. Transformadas de Fourier também podem ser usadas; no entanto, as restrigdes sobre a classe de fungdes permitidas geralmente sao proibitivas. Observacaéo 8.9. Se tivermos condicg6es de usar a integral de Lebesgue, a Definicaéo 8.2 da Transfor- mada de Fourier, pode ser dada para toda funcdo de L! (isto 6, funcdes integraveis 4 Lebesgue), com a integral entendida no sentido de Lebesgue. Denotamos por C,, 0 conjunto das fungdes continuas que se anulam no infinito. Pode-se mostrar que L! e C,, sio espacos vetoriais sobre 0 corpo dos complexos, K = C e que CO fli =[ [F@)\de © [flloo = max| (0) —oo xzER definem normas em £! e Coo, respectivamente. As observacées acima podem ser resumidas afirmando que F: L' 3 Cx é um operador linear, o qual é limitado, pois ls [- \t@lae implica |Vfllc < II w)| << —= x)|dx implica <= Ih 27 Joo P “e 27 Usando a integral de Lebesgue podemos trabalhar com L', em vez de £! onde L! é 0 espaco das funcdes integraveis 4 Lebesgue em R. A vantagem é que Li cL e, além disso, L' é um espaco vetorial normado com a norma || - ||; acima, onde a integral utilizada é a de Lebesgue, e nessa norma ele é completo. Portanto L! é um espaco de Banach, e podemos provar também que C3, é um espaco de Banach. E, neste caso, temos f > LI Cy como um operador linear limitado entre dois espacgos de Banach. Foi constatado que, dada f em £1 nado se segue que a transformada @[f] esteja em L!. Logo, a teoria é um tanto assimétrica. A estrategia, sera estudar a transformada de Fourier em um subconjunto das funcdes L!. A escolha deve ser um conjunto onde § seja abundante em propriedades. Uma primeira tentativa serid 0 espago Coe das fungoes infinitamente diferencidveis de suporte compacto; uma fungao ter suporte compacto significa que existe um intervalo limitado fechado [a, 6] C R, tal que f(x) = 0, para x ¢ [a, b], isto é fora de [a, b]; é dizer a funcdo f “mora ou vive” em um subconjunto de [a, 6] chamado de suporte de f. Este conjunto denotado por a R supp(f) ={c ER: f(x) #0} C fa, 4, que significa o fecho em R do conjunto {v7 © R: f(x) FO}. 29 Entretanto, esse espaco tem a desvantagem de que a transformada de Fourier de uma funcado f € Co nao tem, em geral, suporte compacto. A verificagao de que isso é afirmativo é mostrada no Exercicio 8.10 simples a seguir, Exercicio 8.10. Calcular a transformar de Fourier da funcao, 1- a se |a| <b f(x) = onde b> 0. 0 se |r| >b Solucdo. A funcdo f nao é de classe C~®, mas tem suporte compacto. A seguir utilizando a definicéo de transformada de Fourier da fungao f obtemos f(w) = — | f(x) e* da = i (1 — fl) e * dr V 277 J—co Vv 2m J—b b 1 [ ( *) 1 b L\ _; = — 1+-— eer dn + | 1—-—)e "dz V2r Jb b V2z7r Jo b — 1]. 1 etl, 11 ewe — /or |bw2 iw bw? V2r | bw iw bw? 1 2 1 1 bw —1 | 1 2 _ *_ _ _-_ (piv __¢ = —— |—~ (1 —cosbw \/n 2 bw ( \/2n ba | ) — 2 1-cosbw — /2 1—cosbyw — «\/2n bw2 Vt bw? que pertence a classe C' e nao possui suporte compacto. © Em razdo desse resultado, escolhemos um outro subconjunto de £!, 0 espaco $ das funcdes de decrescimento rapido, que é um pouco maior que a classe Cp. A teoria da transformada de Fourier em § é mais elegante e mais simétrica. E o mais importante é que esse é o primeiro passo do estudo moderno da transformada de Fourier, onde se introduz a transformada de Fourier de umas coisas mais gerais do que as funcdes, chamadas distribuicdes, entre elas o famoso 6 de Dirac. Esse espaco S é conhecido como o espaco de Schwartz, isto é, uma funcgao f: R > C é de decrescimento rapido se ela for infinitamente diferencidvel e se lim 2«” D"f(x)=0 para m, ne Zt (8.17) |x| 00 O limite na afirmacgdéo (8.17) significa que f e suas derivadas véo mais rapido para 0, quando |x| + oo, do que as poténcias x™ vao para infinito. A condicao do limite (8.17) 6 equivalente a dizer: dados m, n € Z*, existe uma constante M(m, n), dependente de m e n, tal que |z"™ D" f(x)| < M(m, n), paratodo «ER. (8.18) Dito de outra maneira, as funcdes de § tendem para zero em -too de forma rapida, com efeito, se 30 neENeféS, C Iz" f(x)|<C = FS Tap x #0, a partir disso, f(a) — 0 quando |z| > co mais rapido que o inverso de qualquer polindmio. Logo o raciocinio anterior ajuda a mostrar a seguinte inclusdo S(R) c £. O conjunto das funcoes de decrescimento rapido é designado por 5, em homenagem ao matematico francés Laurent Schwartz, construtor da Teoria das Distribuicdes. Uma das funcdes que pertencem ao espaco $ é a funcao f(a) = exp(—a?) = ene Exercicio 8.11. Justifique que a fungdo real 2 x f(x) = exp (-7) =e? pertence ao espaco 8(R). Solugao. Podemos observar a que a funcao f possui derivadas de todas as ordens e, se para m, neEZ, x™ f(a) = p(x) exp(—2?/2) onde p(x) é um polinémio, assim a” f(x) +0 quando |z| > co e é uma fungao real limitada, assim f € S(R). Também é bastante claro que nao possui suporte compacto. ») Observagdo 8.12. O espaco de Schwartz 8 é 0 espaco ideal feito “sob encomenda” para o estudo da transformada de Fourier. Em geral, uma transformada integral é uma associacao da funcao g(w) = [lw x) f(x) dx com a fungao f para alguma funcao fixa k chamada kernel ou ntcleo, e algum intervalo fixo B de integracao. Tais operagdes séo comuns na fisica matemAatica. Assim, a transformada de Fourier é uma transformada integral com kernel ou nicleo, k(x, w) = — etre , V2 Aqui atingimos a um importante problema geral. A transformacdéo mapeia f para g; isto é, dado f obtemos g. Podemos inverter isso? Em outras palavras, dado g podemos inverter a transformacao para encontrar f? O teorema da inverséo de Fourier resolve este problema no caso de k(a, w) = — ete , V2 31 Ou seja, conhecendo a transformada de Fourier podemos recuperar a funcéo usando a formula de inversao. Outra transformada integral comum é a transformada de Laplace com kernel k(x, s) = e~**, e intervalo [0, oof. Assim, a transformada de Laplace de f é CO C[r@)l(s) = fo Fle)e™* ae. O problema de inverséo para transformadas de Laplace tem uma solucdéo andloga, mas bastante distinta da transformada de Fourier. Exercicios Propostos 1.] Encontre a transformada de Fourier da fungéo real f definida por, kK se O<a<a f(z) = 0 se «x € C(O, af) 2.] Encontre a transformada de Fourier da fungao real f, definida por 1 se |al<1l f(x) = 0 se |a|>1 3.] Encontre a transforma de Fourier das seguintes fungdes (a) f(x) =e! (b) f(#) = ea constante 1 2 (c) f(x)= lz (d) f(x) = sen(2*) 1 se |z|<a, a>O0constante (e) f(x)= (f) f(a) = cosa? 0 se |a|>a 4.] Encontre a Transformada de Fourier da fungao ee se x>0 f(x) = aconstante b>0 0 se x<0 Resp: 1/V27(b + iw). Interpretacao do Espectro A natureza da representacéo da funcgao f por, F(a) = / Fw) el” dw (8.19) Vv 27 J—oo 32 torna-se clara se pensarmos como uma superposicao de oscilagées sinusoidais de todas as frequéncias possiveis, chamada de representacado espectral. Este nome é sugerido pela ética, onde a luz é como uma superposicao de cores (frequéncias). Na relacdo (8.19), a “densidade espectral” f(w) mede a intensidade de f no intervalo de frequéncia entre wew-+ Aw (Aw pequeno, fixado). Afirmamos que, em conexdéo com as vibragoes, a integral Se 2 [fw aw —Co pode ser interpretada como a energia total do sistema fisico. Assim, a integral de | f(w)|? do ponto a para 6 fornece uma contribuicdéo das frequéncias w entre a e b para a energia total. Para fazer isto aceitavel, comecamos com um sistema mecdénico fornecendo uma tnica frequéncia, ou seja, o oscilador harménico (massa em uma mola) K K My"+Ky=0 @ yl + y=0 @ y"+upy=0, wi=FZ7 denotamos a varidvel tempo t pela varidvel x. Multiplicado pela derivada y’ obtemos d [M K My'y"+Kyy=0 @& — Swe + wl =0 dx | 2 2 apos integracao, 1 1 gue + ky = Eo = constante onde v = y’ denota a velocidade; 0 primeiro somando é a energia cinética, o segundo a energia potencial, e Eo representa energia total do sistema. A solugéo geral da EDO que modela o oscilador harménico é, IWwox wort 2 K y(x) = a1 coswox + 6 senwox = Ce" + C_je com Wy = 75 onde os coeficientes 1 1 Cl = 5 (a _ ib1), C_41= C1 = 5 (a1 + iby). Escrevemos de forma simplificada a solucao geral, y(xz) =A+B, com A=Cye™?, B=C_ye Derivando com relacéo a x obtemos, v=y' (x) = A’ + B’ = iuy(A— B) Substituindo a velocidade v e 0 deslocamento y na equacéo da energia total Eg obtemos 1 2,1, 0 1 . 2 2,1 2 Ey = 5M + ahy = 3M (wo) (A-—B)*+ gk(A + B) Temos, wi = K/M logo Mwé = K. Também, i? = —1 de modo que 1 Ey = 5K|-(4 — B)? + (A+ BY] = 2K AB = 2KC\C_1 = 2K (C1)? 33 Por conseguinte, a energia Fy € proporcional ao quadrado da amplitude |C\|. Como préximo passo, se um sistema mais complicado levar a uma solugéo periddica y = f(x) que pode ser representada por uma série de Fourier, entao, ao vez do unico termo da energia |C|? obtemos uma série de quadrados |C,,|? de coeficientes de Fourier C;,, dados por 1 [7 . Ch = >| f(aje "dz, neZ. 20 Jax Neste caso, temos um “espectro discreto” (ou “espectro pontual”) que consistindo em um nt- mero contavel de frequéncias isoladas (infinitos, em geral), com os |C;,|? correspondentes sendo as contribuig6es dadas a energia total. Finalmente, um sistema cuja solucao pode ser representado por uma integral (8.19) leva a integral anterior para a energia, como é razoavel a partir dos casos que acabamos de analisar. Linearidade e Transformada de Fourier de Derivadas Novas transformadas podem ser obtidas a partir de algumas dadas pelo, Theorem 8.13 (Linearidade da Transformada de Fourier). A transformada de Fourier é uma ope- racao linear; isto é, dadas as funcdes f eg cuja transformadas de Fourier existem e para quaisquer constantes a e b, a transformada de Fourier de af + bg existe, e Slaf + bg] = a8[f] + 6819] Demonstracao. Isto se verifica porque a integracéo é uma operacaéo linear, de modo que utili- zando a definicaéo de transformada de Fourier, obtemos 1 °° tw x 3 la x)+b r)|(w -— | la xr) +b x) |e dx Fla) + bale)]() == [ [asa) + bale) = 4——= x)e xt — x)e x V 20 —Co V QT —oo g = a8[f(x)](@) + 63l9(x)]() onde a e b sao constantes arbitrarias, e isto mostra a conclusao. 0 Ao aplicar a transformada de Fourier para equacoes diferenciais, a propriedade principal é que a diferenciacaéo de funcdes corresponde a multiplicacéo de transformadas vezes iw. Theorem 8.14 (Transformada de Fourier da Derivada). Considere a funcéo f continua em R e f(x) > 0 quando |x| > oo. Além disso, seja f'(x) absolutamente integrével em R. Entdéo Sif’ (@)| = H8[f(@)] (8.20) Demonstragao. Da definicéo de transformada de Fourier, temos / 1 °° / tw x Sif (x)|(w) = —= / aye '”* dx. lw) =f se) 34 Integrando por partes, obtemos CO BL Ne) = | Fede] = (ie) [faye de 21 6 —oo Como f(a) — 0 quando |x| > oo, temos o resultado desejado, a saber, SL f'(2)|(w) = 0 + wS[f(x)](w) = ws[f(e)](). Observagao. Duas aplicagdes sucessivas de (8.20) fornece SL" (@)] = HSLF(2)] = (31 (@)] Uma vez que (iy)? = —7? temos para a transformada da segunda derivada de f a formula Sif" (@)] = -V° SIF (@)] (8.21) Se procede de maneira semelhante para derivadas de ordem superior. Inicialmente utilizamos a formula (8.20) para deduzir transformadas para tabelas. A férmula (8.21) sera utilizada nas aplicagoes para equacoes diferenciais. Exercicio 8.15. Encontre a transformada de Fourier da fungao h(x) = re”, Solugéo. Usemos a formula da derivada dada em (8.20). Pela formula, 1 2 h(x) =e” com b>0 © eo?) (w) = = e#?/4b (zx) Ble" |) =e Portanto, aplicando a transformada _ 92 _ cl —92\! BM@we) =8[2e“]w) = 5 [-F (“||| & _ 1 _22\! _ 1. 92 — 38 (« ) (w) = ~ 9 tes le (w) 1 . 1 —w?/4 = —-iw— =e 2° V2 = _ tw ew. 2/2 obtemos a resposta do exercicio. © Exercicio 8.16. Encontre a transformada de Fourier da funcao, x? —2x2/2 f(x) = exp -z) =e , «ER Solugdo. A transformacéo de uma gaussiana é novamente uma gaussiana! Para obter a transfor- 35 mada de Fourier, completamos o quadrado no expoente, ry 1 /. —a?/2 -iwe Ww) = — e€ e€ dx flw) = Fe . _ i °° - 2 2, 2 = sal. exp ((@ + iw) /2) dx - exp (i WwW /2) 1 / °° 2 2 — e¥ /2 dy. ee /? Vv 27 Joo y 1 2 2 = — V2V/re¥ 2? =e /2, V 20 vn onde y = x+iw. Essa mudanga de varidveis nao é realmente justa porque iw é complexa, mas pode ser justificada como uma “mudanga de contornos”, como é feito em qualquer curso de andlise complexa. A ultima etapa usa a formula so / eo? dp = Vr —oo que pode ser verificada como um exercicio com a seguinte sugestao: esta é uma funca&o que nao pode ser integrada por formula de Calculo elementar. Entéo use o seguinte truque. Transforme a integral dupla x. x, | e” dx [ e * dy 0 0 em coordenadas polares e vocé tera uma funcao que pode ser integrada facilmente. © Theorem 8.17 (Derivadas da Transformada de Fourier). Seja f: R — C uma fungdo absolutamente integravel tal que o produto x f(x) também é uma fungdo absolutamente integrével, entao, _d § [x f(x)](w) =17 SIF (#)] (w). Ww Em geral, se f: R > C uma fungao absolutamente integrével tal que o produto x* f(x) também é uma funcdo absolutamente integravel, entao, k , a 5 [2* Fa) &) =* 5 5[f@)] &). Demonstragaéo. Aplicando a derivada a definigao de transformada de Fourier, —SU@Me) = ef fey(-iaye*a — x)|(w) = —= x)(—ix)e x dw 27 J—oo Multiplicando pela unidade imaginaria i = /—1 e o resultado 1 = (—7)(i)a ambos a lados da derivada anterior, i SUF @)Me) = ef ofl) de = 8[rF(0)] (6) dw 27 J—oo como requerido. Para a segunda derivada, utilizamos o resultado anterior “Selo l(e) = # les @w)] = +L [~ ap(oy(-inye*a — x)|(w) = — [§laf(x)](w)] = - = xf (x)(—ix) e xt dus? dw 1/27 J—co 36 Multiplicando pelo quadrado da unidade imaginaria i = /—1 e 0 resultado 1 = (—7)(i)a ambos a lados da derivada anterior, i? sipeayiw) =? $L [™ aya? sry ao dw? a 2m J—oo =e [PH ae? de = Fe Foe) 27 J—oo e assim podemos continuar e usando finalmente o principio de inducéo matematica obtemos o resultado requerido. O Theorem 8.18 (Transformada de Fourier de uma Translagéo). Seja f: R > C uma fungéo absolu- tamente integrdvel, entdao, 5 [f(x —c)] (w) =e °° F[F()] (w). Reciprocamente, 5c" F(2)| &) = SIF @)] (w-o). Demonstragao. Fazendo g(x) = x — c logo pela definigaéo da transformada de Fourier, Bl) =8@- ol) == [ flw-de*ra x)|(w) = x —c)|(w) = — x—c)e x. g 277 J—oo A seguir fazemos uma mudanga de variaveis t = x — c para obter, Bly @e) = [side ae. 27 Joo Portanto, juntando esses resultados, obtemos 1 20 ; BIf(x — oJ(w) = Tin I. fhe" dt =e S[f(x)](w) conforme o requerido. oO Theorem 8.19 (Transformada de Fourier de uma Dilatacgdo). Seja f: R > C uma fungdo absoluta- mente integravel e c #0, entdo, 1 Ww 5 [f(cx)] w) = jo fw —). c| c Em particular, 5 [f(—2)] (w) = §[f(2)] (-w). Demonstracao. Como é usual neste tipo de prova, a técnica é simplesmente calcular a transfor- mada de Fourier usando sua definigéo. Fazendo isso, obtemos Bly@)|e) = = | flere” a x)|(w) = —= cx )e xt d 27 Joo onde g(x) = f(cx) com c £0. Agora basta substituir t = ax para obter, se c > 0 11 2 iw = —-—= the '@'l" dt lala) == | He 37 esec<0 al oo Blot) =~ fle Entao, juntando esses resultados, obtemos Blow) =e [perl at =~ S(F (w/o) lc] V2r Joo Ic| como requerido. oO As demonstracgoes de outras propriedades seguem linhas semelhantes, mas como ja foi mencionado varias vezes a transformada de Fourier se aplica a um conjunto restrito de fungdes com um ntimero correspondentemente menor de aplicac6es. Seja f(w) a transformada de f(x) e seja g(w) a transformada de g(x). Ent&o temos a seguinte tabela Funcao Transformada de Fourier () Sata) iw Fle) ji) ef) i“ Fw) x f(a To (iii) = f(w—a) i f(w) (iv) e'** f(a) ce! F(w) (v) af(x) + bg(«) a fw) + bg(w) . 1 s/w (i) fax) “7 (2) Tabela 1: Tabela de Propriedades de Transformadas de Fourier Exercicios Propostos 1.] Mostre as seguintes propriedades da transformada de Fourier (a) $laf + bg] = aB[f] + O8[g1 (b) SIf(E- 9] =e SIF) 1 . (c) 3f(ct)] = joe’: cE R\ {0} (d) Sif’) = sf] 1 , on (ec) &[flat—6)] = ie 80/4), ae R\ {0} (f) SIF ()] = ("3 O) 2.] Encontre a transformada de Fourier da funcao f(x) = 2 exp(—2x?) aplicando a férmula operaci- onal exibida na propriedade (d). Convolucgao A convolugaéo f * g das fungées reais f e g absolutamente integraveis em R e contradominio C, é definida por so so (x)= (Fee) = | fale-v)dy= [fle yaly)ay. 38 Podemos garantir que a convolugaéo esta bem definida (a integral imprdépria que a define converge para x € R), se por ventura as fungoes f e g fossem quadrado integraveis, isto é, CO CO | li@Par<co ef \g(v)/Pde < ox, —Co —cCo seus quadrados também sao absolutamente integraveis. Logo também se garante a boa definicao. Além disso, a convolucéo de fungées absolutamente integraveis, quando bem definida, é também uma funcgao absolutamente integravel, de forma que sua transformada de Fourier esta bem definida. O efeito 6 0 mesmo como no caso de transformadas de Laplace: tomando a convolucao de duas fungdes e, em seguida, tomando a transformada da convolucéo é o mesmo que multiplicar as transfor- madas de estas fungdes (e multiplicando-as pelo fator 27). A transformada de Fourier se relaciona muito bem com as convolucoes; transforma convolucao de fungdes em produto de funcoes. Theorem 8.20 (Transformada de Fourier de uma Convolugéo). Suponhamos que as fungdes f e g sejam continua por partes, limitadas, e absolutamente integrdveis em todo R e contradominio C. Entao 5[f * 9) = v27 BLS] Slo] (8.22) Demonstragao. Pela definigéo da convolucao, 1 co lo) ot Bf « g)\(x)| (w -— | / x—p)dpe '”* dx. (F< M@)) =f [fea -) Trocando a ordem de integragéo, temos BF Nol) == [~ [~ f@ste-vyeF avd * r)| (w) = r—pije Lap g 27 J—oo J 00 Pig Ao invés de xz, fagamos agora x — p = gq como uma nova varidvel de integracéo. Entéo, rx =p+qe Bf dole)= = [~ [ so@a@e#e daap 27 J—oo Joo Esta integral dupla pode ser escrita como um produto de duas integrais e fornece o resultado desejado 1 °° iw p “e iw q of x Ww) = — / Ee d / e- dq [f « 9] () Jan J x f(r) py 99) 1 = —=|v2r [f(2)] ()| [V22 Sl9(@)]()] = V2 SIF (@)]&) Sig@)]w) V 27 e assim esta concluida a prova. O Ao tomar a transformada de Fourier inversa em ambos os lados da férmula (8.22), escrevendo f =3i fle. g = Sg] como antes, e notando que V27 e 1/27 em (8.22) e (8.12) anulam-se mutuamente, portanto, oo (Fe g)a)= [ flw)gw)e** de, (8.23) —0oo é uma formula que vai nos ajudar na resolucaéo de equagées diferenciais parciais, EDPs. 39 9 ‘'Transformada de Fourier e Equagoes Diferenciais Parciais Os dois tipos de equacgoes diferenciais parciais, parabdlicas e hiperbdlicas, quando resolvidas usando Transformadas de Laplace. Notou-se que as Transformadas de Laplace naéo eram adequadas para a solucéo de equacgoes diferenciais parciais elipticas. Lembre-se do motivo disso. Transformadas de Laplace sao ideais para resolver problemas de valor inicial, mas PDEs elipticas geralmente nao envolvem a varidvel tempo e sua solucaéo nao produz funcgoes de evolucéo. Talvez a EDP eliptica mais simples seja a equacao de Laplace (Ag = 0) que, juntamente com ¢ ou sua derivada normal dada na fronteira, fornece um problema de valor de fronteira. As solugGes nao séo periddicas nem eles problemas de valor inicial. As Transformadas de Fourier, como definidas até agora, requerem que as varidveis tendem a zero em-+too e estas sdéo frequentemente suposigdes naturais para equacées elipticas. Ha também dois novos recursos que agora seréo introduzidos antes que os problemas sejam resolvidos. Em primeiro lugar, equacoes diferenciais parciais como, A¢ = 0 envolvem derivadas idénticas em xz, y e, para A tridimensional também o é para a varidvel z. E légico, portanto, traté-los todos da mesma maneira. Isso leva a ter que definir Transformadas de Fourier bi e tridimensionais. Mais uteis para propositos praticos, porém, sao os problemas no dominio finito e sao estes que podem ser resolvidos com uma modificagéo da Transformada de Fourier. A parte nao natural da Transformada de Fourier é a imposicéo de condigdes no infinito, e as modificacdes sugeridas acima tém a ver com a substituicao destas por condigdes em valores finitos. Introduzimos, portanto, a Transformada de Fourier finita (nao confundir com a TRF - Transformada Rapida de Fourier). Isso é introduzido em uma dimensaéo para maior clareza; as Transformadas de Fourier finitas para duas e trés dimensdes seguem quase imediatamente. Se x for restrito a ficar entre, a e b, entéo a transformagao apropriada do tipo Fourier seria b . | f(aje*?* da. a Isso seria entao aplicado a um problema de engenharia ou ciéncia aplicada onde a < x < b. A versao bidimensional pode ser aplicada a um reténgulo R= {(2, y) ER: a<arK<b, e<y<al e é definido por [ [ f(a, y) et? * *#Y da dy. ec Ja Além do aspecto positivo de eliminar problemas de convergéncia para (x, y) muito distantes da origem, a Transformada de Fourier finita infelizmente traz uma série de aspectos negativos também. A primeira dificuldade esta nas condigdes de contorno que devem ser satisfeitas e que infelizmente ja nao estao infinitamente distantes. Eles podem e tém uma influéncia consideravel na solugao. Voltaremos a mais algumas dessas diferencas na proxima secaéo, enquanto isso vamos resolver um exercicio. Exercicio 9.1. Encontre a solucdéo para a equacdao diferencial de Laplace bidimensional 07 o(x, y) + HF O(a, y) = 0, -wo<a4<ow, y>QJ, 40 com OrO(x, y), G(x, y) +0 quando |(x, y)| = x? +y? > co 1 se |a| <1 0 se |z|>1 Use transformada de Fourier em x. Solugaéo. A partir da definigéo de transformada de Fourier a 1 °° iwe@ WwW, y) = = x, ye *" dx ie N= Te | oe v) entao | Golw, ye de = (= fo ye" de) = & Hw, y) Vf27 —oo y , y V/ 27 J—oo ? y ’ Também, utilizando integracao por partes CO — | 07o(x y) evi? de = Orpen te +iw [a ge” dx V2r Jo * , V2 * _ co CO 1 . —iwn of ( ) twa gy = —— /iwde —wW x, y)e x Vv 27 b —oo y —oo = —w" o(w, y). Usamos as condicg6es em que tanto ¢ quanto sua derivada em x decaem para zero quando x — oo. Portanto, se tomarmos a Transformada de Fourier da equacao diferencial de Laplace na questao, — /- Zola y) + dla y)| e'** dr =0 / D7 00 x 9 y ’ ou seja, obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes 2 27 _ Jj,o(w y)—w ow y)=0, y>O. e seu conjunto base {e~“’¥, e”¥} do espaco solugao e portanto a solucao geral é dada por, dw, y) = Cre’Y+ Che onde C e C> sao constantes arbitrarias. As condigo6es de fronteira fornecem, Bw, 0) == [™ oe, ede = [ payer#* de = Fl) w, 0) = — x, O)e C= — xr)e x= f(w 277 J—co 277 J—co e quando ¢(x, y) + 0 temos que a transformada de Fourier b(w y)= — /- b(a, yye’* dx +0 quando y— oo , V 27 J—oo 41 pois vale a seguinte desigualdade y < |y| < /x? + y? > oo. Quando db(w, y) > 0ew ER para y > & (grande), temos as seguintes possibilidades, (a) Sew > 0 devemos obter Cy = 0 e C2 = f(w) (b) Se w <0 devemos obter Cz = 0 C; = f(w) entao a solucao geral sera, d(w, y) = fw)e"*l". Agora, podemos aplicar a condigéo em y = 0 Bw, 0) = = | oe, vetF de = [payer ae w, 0) = —= x, O)e t= — x 27 J—oo 27 J—oo V2n J-1 V2 aw 1 sen Ww = sen WwW ~ = — 2—__ = — ——_ = ae ~ 7 =F) de onde a 2 senw jwy= yz T WwW e portanto dw, y) = (2 senw july T WwW Para inverter isso, precisamos do equivalente da Transformada de Fourier do teorema da convo- lucéo. Para ver como isso funciona para Transformadas de Fourier, considere a convolucado das duas fungoes gerais f eg (7 * 9) (t) = / f(w) g(w) e?* dw —0oo Agora, e~!|¥ 6 a Transformada de Fourier da funcdo, isto é, zy =| |? at] wre e a transformada de ¢(x, 0) é lw, 0) =F [1] @) = fw) = [2 ) = w) = f(w) = 4/— — , T WwW 42 portanto, pelo teorema da convolucao, 1 [- ~ iw 1 [- 2 SCNW july i x = — w, yye** dw = —= = — e MVE" day d(x, y) Jan oe) Jax |ooVa w 1 oo 2 Yy . = — § [1] (w) F 4/= +z | (w) ** dw om |. [1] @) tw a2+y? (w) CO = (7 *«g(-, y)) (x) = / f(x —T)g(7, y) dr “Convolugaéo de fungdes” —Co oo 2 sy 2 o f(x —T) = x —T)\/—>—s dt = 4/-— “~~ dr [il ) mT +y? wud. T+ y? 2 °° T 2 1 1 -\-9/ dr = ry | pop? ap I T” dio (wT)? +y nm J-4(x@—T)? +y 2 x-1 x+1 = /— |jarctan | ——— ]} + arctan | —— ]}], T y Y onde usamos a férmula de integrais com denominador quadratico, 1 1 x lovz dx = — arctan (=) +C, ar+ax a a e assim obtemos a solucaéo procurada. © 10 Processamento de Sinal Sem duvidas que a aplicacgéo mais prolifica da transformada de Fourier esta no campo do processamento de sinais. Como este 6 um ramo da engenharia elétrica, uma andalise aprofundada esta fora de lugar aqui, mas alguma discussao é Util. Para comecar, voltamos 4 forma complexa da série de Fourier e revisitamos explicitamente as estreitas conex6es entre a série de Fourier e as formas finitas de transformadas de Fourier. A partir da forma complexa da séries de Fourier, oe . fle) = So ene” n=—0oo com coeficientes, 1 T . T . Cn = >| f(a)e i * dx & wey -| f(x)e'"* dx 21 —T —T Assim 27 c,, é a transformada de Fourier finita de f(a) no intervalo [—7, 7] e a “inversa” é a série de Fourier para f(x). Se c, 6 dado como uma sequéncia, entéo f(x) é facilmente encontrado. (Na pratica, a sequéncia c, consiste em apenas alguns termos.) O valor f(x) resultante é obviamente periddico, pois é a soma dos termos do tipo cne’”” para varios n. Portanto, a Transformada de Fourier finita desse tipo de funcao periddica é uma sequéncia de nimeros, geralmente quatro ou cinco no maximo. Este tratamento tedérico das Transformadas de Fourier finitas estAé apenas a um pequeno passo para a andalise de sinais periddicos do tipo visto em osciloscépios de raios catédicos. Segue um exemplo ilustrativo simples. 43 Exercicio 10.1. Considere a simples fungao “cartola” f(x) definida por 1 se «€ (0, a] f(x) = 0 se x € C0, a]. Encontre sua Transformada de Fourier finita e a Transformada de Seno de Fourier finita. Solugao. A Transformada de Fourier finita desta funcaéo é simplesmente . Tv Tw . T . e? Nx / f(the?”™ dx = [ e'™ dr = | —T 0 an 0 1 —int que pode ser escrito de varias maneiras, e’"” = (—1)" e e-?™ = (—1)", logo nT . 2sen (*) 1 2 ; in 2k4+1 n Por outro lado, wT : T T wT [ e ("dr = | (cosnaz —isennx) dx = | cos nx dx -if sen nx dx 0 0 0 0 A transformada Seno finita é um objeto mais natural de encontrar, isto é, 7 1 2 [ sen(nx) dx = —(1 — (-1)") =oea7 ™ keEZ e isso conclui o exercicio. © Utilizamos o Exercicio 10.1 resolvido para ilustrar a transigéo das Transformadas de Fourier finitas para as Transformadas de Fourier propriamente ditas. A Transformada de Fourier finita inversa da fungao f(x) como definida no Exercicio 10.1 temos, 1 1 1 2 = —(1-(-1)” S C,=— —(1-(-1)" men ral ( )”) " a= ink ( .") assim a série de Fourier é dada por, 2° 1 Q& 1-(-1)" , f(x) = my cre = my — eine O<aK<n n=—0o n=—0o No entanto, embora f(x) seja definida apenas no intervalo [0, 7], a série de Fourier é periddica, periodo 27. Portanto, representa uma onda quadrada mostrada na Figura 10. 44 f(x) 0 it x Figura 10: A onda quadrada Claro, x € [0, a] entao f(x) é representado como uma “janela” para emprestar uma frase de at . séries temporais e andlise de sinais. Se escrevermos x = Tr entao fazemos L — oo: recuperamos a transformacéo que nos levou da série de Fourier para as Transformadas de Fourier. No entanto, o que temos na Figura 11 é um sinal tipico. A Transformada de Fourier deste sinal tomado como um todo obviamente nao existe porque as condigdes em -+too na&o sao satisfeitas. No caso de um sinal real, portanto, o uso da Transformada de Fourier é possivel restringindo a atengéo a uma janela, que é uma faixa finita de t. Isso dA origem a uma representacgaéo em série (série de Fourier) da Transformada de Fourier do sinal. Esta série tem um periodo que é ditado pela largura (geralmente gerada artificialmente) da janela. f(x) X Figura 11: Grafico de Séries de Tempo Os coeficientes de Fourier fornecem informag6es importantes sobre as frequéncias presentes no sinal original. Esta é a razao fundamental para usar esses métodos para examinar sinais de aplicacdes tao diversas como medicina, engenharia e sismologia. Matematicamente, o caminho a seguir é através da introducao da funcao delta de Dirac como segue. Nés temos isso CO . . B15 to)](w) = [9 (t= to) eth dt =e —oo 45 e o resultado inverso implica que Fle 1 4](w) = 2nd (w — wo) De onde podemos encontrar a transformada de Fourier de uma dada série de Fourier (escrita na forma exponencial complexa) por avaliagéo termo a termo, desde que tais operagdes sejam legais em termos de definir o delta de Dirac como o caso limite de um pulso retangular infinitamente alto, mas infinitesimalmente fino da unidade de area. oe . Ox So Fem! n=—0o de modo a Sif ()] (w) ay S> F, coat _ S- F, Fein 4] n=—0o n=—0o que implica CO Sf (t)|\(w) & 2a S> Fi), 6 (w — nwo) n=—0o Agora, suponha que CO f(t)}= So d(t—nT) n=—0o ou seja, f(t) é um trem infinito de fungoes delta de Dirac igualmente espacadas (chamadas de fungéo Shah pelos engenheiros elétricos e eletrdnicos), entao f(t) é certamente periddica (de periodo T’). Claro que nao é continuo por partes, mas se seguirmos os processos limitantes cuidadosamente, podemos encontrar uma representagaéo em série de Fourier de f(t) como ee . OQ) So Fein! n=—Cco onde wo = 27/T, com 1 rT/2 1 TP 1 F, = =| feo! dt = =| 5(t) eof dt = — para todos n € Z. Portanto temos o resultado, CO 1 CO Sl f(t)|(w) = 2a S> r d (w — nwo) = wo S> d(w— nwo). n=—0oo n=—0oo O que significa que a transformada de Fourier de uma sequéncia infinita de funcdes delta de Dirac igualmente espacadas (funcao Shah) é outra sequéncia de fungées delta de Dirac igualmente espagadas CO CO s| S> sunny] = wo S> 6 (w— nwo). N=—o0o N>=— Oo E este resultado que é amplamente utilizado por engenheiros e estatisticos ao analisar sinais usando amostragem. Matematicamente, é interessante notar que com T = 27 (wo = 1) encontramos um invariante sob a transformacao de Fourier. 46 Se f(t) e F(w) sao um par de transformada de Fourier, entaéo a quantidade CO p= | |fopat —Co é chamada de energia total. Esta expressdo é uma transferéncia 6bvia de f(t) representando uma série temporal. (As tentativas de andlise dimensional sao infrutiferas devido a presenga de um di- mensional no lado direito. Isso é irritante para fisicos e engenheiros, muito irritante!) A quantidade |¥(w)|? 6 chamada de densidade espectral de energia e 0 grafico disso em relagao a w é chamado de energia espectro e continua a ser um guia muito Util sobre como o sinal f(t) pode ser pensado em termos de sua decomposigéo em frequéncias. O espectro de energia de sen(kt), por exemplo, é um unico pico no espago w correspondente a frequéncia 27/k. O espectro de energia constante onde todas as frequéncias estaéo presentes em igual medida cor- responde ao sinal de “ruido branco” caracterizado por um chiado quando se torna audivel. As duas quantidades | f(a)|? e a densidade espectral de energia sAo conectadas pela versdo para transformadas do teorema de Parseval (as vezes chamado de teorema de Rayleigh, ou identidade de Plancherel). Theorem 10.2 (Férmula de Parseval-Plancherel). Seja f(w) a transformada de Fourier da funcao f, e CO | @P de < cx —0oo entao °° 2 er. \I2 [eae =f fw)P aw —0oo —oo Em notacgao com normas temos fll = IF I Demonstragao. A prova é direta a partir da seguinte integral, [sera [10 [Flee dvat = = wy)e a) —oo —oo 27 J—oo 1 “ -F °° iwt -—_ | fw / F(t)el@*t dt dw Fae FO [10 CO KX =>~— = | fle) fle) dw —cCo onde f(t) é o conjugado complexo de f(t). A troca de signos integrais é justificada desde que seus valores permanecam finitos. U Em sistemas fisicos, a quantidade | f|? representa a medida da energia, e if |? representa o espectro de poténcia de f. A maioria das aplicacgoes deste teorema esta diretamente no campo do processamento de sinais, mostramos um exercicio resolvido usando a definigéo de densidade espectral de energia. Exercicio 10.3. Determine as densidades espectrais de energia para as seguintes funcoes, B se |t] <L et se t>0 (a) f= (b) f()= 0 se |t]>L 0 se t<0 AT Solucgdo. A densidade espectral de energia |F(w)|? é encontrada a partir de f(t) primeiro encon- trando sua Transformada de Fourier. Ambos os calculos séo essencialmente de rotina. (a) Pela definigaéo da transformada de Fourier obtemos, 1 °° wt $(w) = — / the?" dt w= [ro ok = if eoiwt gp — BL eit V2r J-L V2r —W aa B22 2B = —— sen(w L) = —— sen(w L) aww W Jon Entao obtemos a seguinte densidade espectral, 4B? 2 2 w)|* = —s sen*(w L IB) P = 55 sen*(w) (b) Pela aplicacao da transformada de Fourier Bu) = [™ pipe tar = [mera V 2m J—oo V2r Jo 1 en (otiw)t | 1 en (btiwyt|™ Van —(b+iw)|, Var (b+iw)|, 1 1 1 1 1 b-itw = -— —_ (-1) = — — = 2 2? b>0 V2r b+ iw Vir b+iw V/2n b+w Consequentemente obtemos a seguinte densidade espectral, =~ lb-iw b+iw 1 B+? 1 1 2 IB)" = 5) 8) = Te Pau in (Paw On Paw 27 b? +w? be +w 2m (b? + w?) Qn be +w e isso conclui o exercicio. © Ha outro aspecto do processamento de sinal que deve ser mencionado. A maioria dos sinais nao sdo deterministicos e devem ser estudados usando técnicas estatisticas como amostragem. E por amostragem que uma série temporal que é dada na forma de um sinal analédgico (uma linha ondulada como na Figura 11 é transformada em uma série digital (geralmente uma série de zeros e uns). A Transformada de Fourier 6 um meio pelo qual um sinal pode ser dividido em frequéncias componentes, do espaco ¢ ao espaco w. Isso nao pode ser feito diretamente, pois as séries temporais nao obedecem convenientemente as condicdes em pmoo que permitem que a Transformada de Fourier exista formalmente. A funcao de auto covariancia é a convolucao de f consigo mesma e é uma medida da concordancia (ou correlagéo) entre duas partes do sinal tempo t separadas. Acontece que a funcaéo de auto covariancia da série temporal é, porém, bem comportada no infinito e geralmente é essa funcdéo que esta sujeita a decomposicao espectral diretamente (analégica) ou via amostragem (digital). A analise de séries temporais digitais é agora um assunto muito importante devido ao computador onipresente (digital). Todos experimentaremos sinais de televisao digital nos préximos anos; esta é a mais recente manifestacao da andlise de sinal digital. 48 Nesta pequena introducéo o que esperamos ter alcancado é uma apreciacao da importancia das Transformadas de Fourier e das séries de Fourier para o assunto. A seguir resolvemos outro exercicio que demonstra uma maneira ligeiramente diferente de ilustrar a relagéo entre as Transformadas de Fourier finita e a forma padrao. Na de engenharia elétrica se define a fungao janela por W(a) onde 1 0 se |x} >= lel > 5 1 1 W(x) = 4 = se |x| == ()=45 se [l= 5 1 |a| < : se |r| <= 2 cuja imagem se mostra na Figura 12. Isso é quase o mesmo que a funcao “cartola” ou funcao salto definida anteriormente e descubra a sutil diferenca W(x) X -4 % Figura 12: A funcéo Janela W O uso desta fungéo em Transformadas de Fourier converte imediatamente uma Transformada de Fourier em uma Transformada de Fourier finita como segue 1 Lr z—4(b+a) . 1 7 . — WwW | —2s—— rye * dx = — | rye '@* dx. =|. ( 2040) Fa) = | to Podemos verificar que se fazemos a substituicao ~- 22 3(b +a) b-a quando, 1 x —4(b+a) b—a b+a —<t= —2 => — < % —- — = «¢>bd. 2 b—a 2 2 e de maneira equivalente 1 a—(b+a) 1 1 1 t= —2 — «< -= = —-=(b <—=(b- => <a ba 5 x —5(b+a) <—5(b—a) L<4, entao t > 1/2 corresponde a x > be t < —1/2 corresponde a x < a. 49 O que essa abordagem faz é deslocar o processo de inverter uma Transformada de Fourier finita em termos de séries de Fourier para calcular — |* 5 (w) e*® dus V 27 Joo v onde §,,,(w) é a Transformada de Fourier da versao “janelada” de f(x). Nao seré surpresa apreender que o calculo dessa integral é tao diffcil (ou facil) quanto inverter diretamente a Transformada de Fourier finita. A escolha esta entre trabalhar diretamente com séries de Fourier ou trabalhar com 3 (w) que envolve séries de fungdes generalizadas ou distribuicgoes. Exercicios Propostos 1.] Suponhamos que f e g sejam continuas por intervalos, limitadas e absolutamente integraveis em R. Entaéo mostre que 5l(f * 9)(x)] &) = V270 BF (2)|~) Blg(z)]() 2.] Calculando a transformada inversa de Fourier no resultado do exercicio anterior, obteremos uma formula que ajudara a resolver equacoes diferenciais parciais, EDPs oo a . (fs g)(x) = | Fle)glw) el de —oo 3.] Mostre ou justifique as seguintes propriedades da convolucao, considerando a e b constantes arbitrarias (a) fxg=g*f (b) fx(g*h)=(f*g)*h (c) fe(gt+h)a=fegt fh (d) fxO=0%f (ec) felAf (f) fx (ag + bh) = a(f *g) + 0(f *h) 4.] Justifique as seguintes relagdes 1 . a 14 (a) ~=-i (b) e+e = 2cosx i (c) é&” —e * = 2isenz (d) 50 5.] Encontre a transformada de Fourier pela definigaéo sem utilizagaéo de tabelas. Mostre os detalhes ba e€ se «<0 k se O<a<b a L)= b ey= (a) f{@) 0 se x>0 (>) P(@) 0 se for o complemento 21x e€ see —-l<a<l k see —-l<a<l (c) f(x)= (d) f(z) = 0 se |a|>1 0 se |a|>1 x see -l<a<l x see O0<a<l (ec) f(x)= (f) f(z) = 0 se |az|>1 0 se for o complemento + Lear<cd —l se —-l<a<0 re se — x (g) f(x) = (bh) f(@#)=4 1 se O<a2<1 0 se for o complemento 0 se for o complemento 11 Transformada de Fourier de Funcoes Salto e Impulso Nesta secao, determinaremos as transformadas de Fourier da funcéo “salto” e da fungao impulso, fungdes que ocorrem com frequéncia na matematica aplicada e na fisica matematica. A fungao salto unitdrio de Heaviside é definida por 0 se 2<a AH (a — a) = Ua(x) = (11.1) 1 se x>a conforme mostrado na Figura 13. H(x-a) | —_——_ I I I I I I I I I I I 0 a X Figura 13: A funcdo salto unitdrio de Heaviside A transformada de Fourier da fungaéo degrau unitario de Heaviside pode ser facilmente calculada. 51 Consideramos o primeiro intento, Ua(w) = 5 {ule — a)| (w) = — /. u(x —a)e*”* dx a(w) = = Vv 27 J—oo 1 °° Wa = — e- dx = oo V2 [ Esta integral nao existe. No entanto, podemos provar a existéncia desta integral definindo uma nova funcao 0 r<a Ug(a) e~P* = u(x — a) e-8* = e B® xr> a. Esta nova funcao é evidentemente a funcdéo degrau unitario quando 3 > 0. Assim, encontramos a transformada de Fourier da funcéo degrau unitario como _ — jj — ae8* 5{u(e a)| (w) lim $[u(e a)e ]@) 1 °° Bu twa = lim — | u(a —a)e Pe '@* dx B30 V2T J—co ( ) 1 [* (-G+iw)e = lim —— / e dx B30 V2r Ja 1 et aw = — —— 11.2 V27r tw ( ) Para a = 0, 1 1 a &|uo(x)|(w) = — — = —-——. 11.3 Mo) = eS (11.3) Uma funcado impulso é definida por h se x€la—e,atel p(x) = 0 se x € C(la—e, a +e[) onde h é grande e positivo, a > 0 e e 6 uma pequena constante positiva, como mostrado na Figura 14. Este tipo de funcéo aparece em aplicacdes pradticas; a modo de ilustracéo, uma forca de grande magnitude pode agir em um periodo de tempo muito curto. 52 P(x) h 0 a-E aate x Figura 14: A funcao impulso p(x) A transformada de Fourier da funcéo impulso é dada por, Bf) ]@) = | payei#? ae 27 J—oo 1 i h _iwe d = — e x Vv 2m Ja-e _— h ewe (Gan _ eve) V2r tw 2heE _jua (=e) =—e ——_}. V2 WE Agora, se escolhermos o valor de h para ser 1/2¢, entéo o impulso definido por CO He) = | p(w) ae —oo torna-se are J d 1 I Ee) = / —_ = (e) oe ue que é uma constante independente de ¢. No limite quando ¢ — 0, esta fungao particular p-(#) com h = (1/2) satisfaz lim p-(z) =0 quando a0 é—0 lim I(e) = 1. my 1) Assim, chegamos ao resultado d(a—a)=0 quando a0 CO / d(a —a)dx =1. (11.4) —cCo Esta é a fungao delta de Dirac que foi definida anteriormente em outras disciplinas. Agora definimos a transformada de Fourier de 6(x) como limite da transformada de p-(x). Consideramos entao 53 em que notamos que, pela regra de L’Hospital, lim = S* = 1, é—0 WE Quando a = 0, obtemos 1 &/6(x)| (w) = ——= @)]) = Exercicio 11.1 (Desaceleracaéo dos néutrons). Considere o seguinte problema fisico u(t, x) — O?u(t, x) = 6(t)d(2) (11.5) u(0, x) = d(x) (11.6) lim u(t, x) =0 (11.7) |x| 00 Solugao. Este é 0 problema de um meio infinito que retarda os néutrons, no qual esta localizada uma fonte de néutrons. Aqui u(t, x) representa o numero de néutrons por unidade de volume por unidade de tempo e 6(t)d(x) representa a fungao fonte. Seja a(t, w) a transformada de Fourier de u(t, x). Entao a transformagao de Fourier da equagéo (11.5) produz A solugéo disso, apds aplicar a condigao U(0, w) = 1/27 , é Portanto, a transformada inversa de Fourier fornece a solucao do problema (veja o texto de Sneddon (1951), pagina 215). Exercicios Propostos 1.] Calcule a transformada de Fourier da fungao salto, 0 se 4<a Ua(x) = com a>0. 1 se 2xera 2.| Escreva o resultado do exercicio anterior quando a = 0. 3.] Calcular a transformada de Fourier da fungéo impulso, h se a-eE<u<a+t+e q(x) = com a>Q0O, 0 se w>at+ée, X<a-eE onde h é grande e positivo e ce > 0 pequena. 4.] Quando h = 1/2¢ calcular, CO H(e)= | q.(u)du=---, limI(e)=--- e limg.(x)=--- quando as a. —oo é—0 e— 30 54 5.] Calcular a solução do problema, utilizando transformada de Fourier, ∂tu(x, t) = ∂2 xu(x, t) + δ(x)δ(t), −∞ < x < ∞, t > 0 u(x, 0) = δ(x), −∞ < x < ∞ lim |x|→∞ u(x, t) = 0 12 Aplicações das Transformadas de Fourier A maioria das equações diferenciais parciais que temos estudado foram previamente definidas em regíões finitas (por exemplo, o fluxo de calor em uma haste unidimensional finita ou em regíões limitadas de tipo bi ou tridimensionais). As soluções obtidas dependiam das condições em suas fronteiras. Nesta seção estudaremos problemas que se estendem indefinidamente em pelo menos uma direção. Os problemas físicos não são infinitos, mas com a introdução de um modelo matemático com extensão infinita, somos capazes de determinar o comportamento de problemas em situações nas quais se espera que a influência das fronteiras atuais possam ser desprezíveis. Resolveremos problemas com extensão infinita ou semi-infinita generalizando o método de separação de variáveis. Começamos por considerar a condução de calor em uma dimensão, sem interferência de quaisquer fronteiras. No caso mais simples, com propriedades térmicas constantes e não há fontes externas, a temperatura u(x, t) satisfaz a equação de calor, ∂tu(x, t) − α2∂2 t u(x, t) = 0 para todo − ∞ < x < ∞ (12.1) Impomos uma condição inicial, u(x, 0) = f(x) (12.2) Gostaríamos de utilizar (12.1) para prever a temperatura no futuro. Para problemas em uma região finita, condições de contorno são necessários em ambos extremos. Frequentemente, problemas em um domínio infinito (−∞ < x < ∞) parecem ser colocados sem quaisquer condições de fronteira. No entanto, geralmente há condições físicas em ±∞. Mesmo que eles não são indicados como tal. No caso mais simples, suponha que a distribuição de temperatura inicial f(x) se aproxima para zero quando x → ±∞. Isto significa que, inicialmente, para todos os x suficientemente grandes, a temperatura é de aproximadamente 0. Fisicamente, para todo o tempo a temperatura se aproxima de 0 quando x → ±∞. u(−∞, t) = 0 e u(∞, t) = 0. Desta forma, o nosso problema tem condições de fronteira homogêneas. Método da Transformada de Fourier Suponhamos que u = u(x, t) represente uma função de duas variáveis, x ∈ R e t ≥ 0. Se fixarmos a variável t, a funcão u representaria apenas uma função depende da variável x e assim podemos aplicar a transformada de Fourier com relação à variável x. Denotamos a transformada de Fourier por 55 U(w, t), isto 6, 1 °° Ww x d U(w, t) = F lu(a, t w= | u(x, the ai (. ) = Flue. Ne) =e fate. Pelas propriedades de transformadas de Fourier com relacao a derivadas parciais, § [Oru(x, t)] (w) = iwF (u(x, t)] (w) = iw (w, t) 5 [A2u(x, t)] (w) = (w)?F [ula, #)] (w) = —w? Uw, t) Podemos observar que, as derivadas espaciais sao convertidas em expressGes que envolvem apenas a fungao U(w, t) multiplicada por um monémio em w. Entretanto podemos intercambiar o sinal de integracao com o de derivacaéo com relacao a varidvel t, assim, 5 [Qu(x, t)| (w) = ®U(e, t) o que significa que a varidvel t é invariante em relacao a transformada de Fourier. Portanto, aplicando a transformada de Fourier para euma EDP modificamos para uma EDO na varidvel t. Este com- portamento é o fato principal do método da transformada de Fourier para resolver EDOs. A seguir destacamos as etapas importantes deste processo, Etapa 1 Calcular a transformada de Fourier de todas as equacoes diferenciais dadas, isto é, a EDP e suas condicoes iniciais; Etapa 2 Resolva a EDO, obtendo a expressao de U(w, t); Etapa 3 Aplicar a transformada de Fourier inversa 4 U(w, t), para obter u(x, t). No caso de EDPs, use a a formula, so (fe g(a) = | Fw) Gwe" du, —cCo na resolucdo de equacoes diferenciais parciais. Onde § |f(x)] (w) = F(w) e ¥[g(x)] (w) = G(w). Implementacao do Método Equagao do Calor Resolveremos o problema de condugao do calor em uma barra homogénea, isolada termicamente e infinita. Este é o problema de valor inicial conhecido também como problema de Cauchy, O,u(x, t) — a8? u(x, t) = 0, -0O <4%< ow, t>0 u(x, 0) = f(x), —-0o <“2%< 0 Suponhamos que a funcao f é continua, limitada e absolutamente integravel. Aplicamos a transformada de Fourier 4 EDP, e logo obtemos a seguinte EDO na variavel t, O,U (w, t) — a?w?U (w, t) = 0, -—0 <wW<o, t>0 U(w, 0) = F(w), —00 <wW < oo 56 A solucao geral da EDO é, U(w, 0) = C(w)e7 ee)" # Para obter uma solugao particular, isto o valor da constante Cw), utilizamos a condicao inicial, F(w) = U(w, 0) = C(w) Assim sendo, a solucao particular procurada é dada por, U(w, 0) = F(w)e)*, Para encontrar a funcgao solugdo u(x, t) do problema de Cauchy, utilizamos a transformada de Fourier inversa, u(x, t) = Jt /. F(w)e() tel duy , V 27 J—oo Este formato de solucéo nao é favordvel para aplicacdes praticas. Para uma simplificacéo mais expressiva utilizamos a propriedade da transformada de Fourier de uma convolugao de fungdes para obter uma solucao que dependa da distribuigao inicial de temperatura f(x). Observando a solucao particular da EDO, o segundo fator do lado direito é uma funcéo Gaussiana na varidvel w. Como se pode facilmente comprovar, ou vendo uma tabela de Transformadas de Fourier, a menos de constantes é a transforma da dela propria. Em termos analiticos, P lenor/?) _ 1 -u2/20 Ja Disto, se definimos a fungéo g(a) da seguinte forma, 1 n g(x) =4/ F021 © 4a?t entéo G(w) = e ()"t com a= 1/(2a? t) a Podemos agora escrever a solucao particular da EDO, U(w, t) = F(w)G(w). Recordando que a transformada de Fourier de um produto convolucao é 0 produto de transformadas de Fourier das fungdes envolvida vezes o fator 27, isto é, F(w)G(w) = = Ife) * 9(e)] (w) w)G(w) = — x) * g(x) (w V2 J Segue de maneira natural que, U(w, t) = F(w)G(w) 5 (f(x) * g(x)] (w) w, t) = F(w)G(w) = — x) * g(x) (w ’ on g Considerando os extremos a relacdo acima, e aplicando a transformada de Fourier inversa, (0, 1) = (Fe g)(e) u(x, t) = —=(f *g)(z). ’ J2Qn g 57 Ou substituindo os valores obtidos, (0,1) = [™ payee a ulx = x)e 4a+t x V4ra2t J—oo Esta é a solucaéo da equacaéo do calor de uma barra infinita, e a tinica solucao, se entendermos por solucéo uma funcao continua e limitada em t > 0. Equagao da Onda A seguir implementamos o método de Fourier no problema das vibragoes transversais de uma corda infinita, homogénea de peso desprezivel, OPu(a, t) = 7O2u(z, t) -wO<@%< mw, t>0 u(x, 0) = f(x), Ou(ax, 0) = g(a) —0 <4 <0 u é limitado quando t > oo ue O,u se anulam quando |z| > co t>0 Aplicamos a transformadas de Fourier na EDP, obtemos uma EDO na varidvel tf, O2U(w, t) = 2 (iw)? U(w, t) —o <w<o, t>0 U(w, 0) =F(w), &U(w, 0) = G(w) —0o <wW < oo A solucao geral da EDO, é dada por, U(w, t) = A(w) coscwt + B(w) sen cwt. Para obter a solugdo particular devemos obter os valores de A(w) e B(w), utilizamos as condigdes iniciais, F(w) = U(w, 0) = A(w) G(w) = 0,U (w, 0) = cw B(w) Portanto, a solucao particular procurada é dada por, G(w U(w, t) = F(w) coscwt + CW) con ewt. cw Aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos a solucéo do problema, 1 o G(w . u(x, t) = — / [F(w) cos cw t + CO) sencwt| eb?! dus V2T J—co CW Em algumas situac6es, a integral acima pode ser calculada explicitamente. Exercicios Propostos 1.] Encontre a distribuigéo de temperatura en um barra semi-infinita nos seguintes casos com dis- tribuicgdo de temperatura inicial zero: 58 (a) Calor fornecido no extremo x = 0 a uma taxa de g(t); (b) No extremo x = 0 é mantida a temperatura constante Tp. 2.] Encontre a solucao do problema de Dirichlet no semiplano y > 0. OPu(a,y) + u(x, y) = 0, —0o0 <4 <0o y>OoO u(x,0) = f(x), —-0 <“%< 0 u é limitado quando y > oo ue O,u se anulam quando || > oo. 3.] Encontre a solugao do problema de Neumann no semiplano y > 0. OPu(a, y) + Hula, y) = 0, -—0 <4< aM, y>0o0 Oyu(x, 0) = g(x), -w<r< ow u é limitado quando y > co ue 0O,u se anulam quando |z| > oo. 4.] Encontre a solugdo do problema de valor inicial de condugéo de calor em uma barra infinita. Opu(2x, t) — a7? u(a, t) = 0, -0O <4%< ow, t>0 u(x,0) = f(a), —-0 <“%< 0 onde u(z, t) representa a distribuicéo da temperatura e é limitada por outro lado a? é a constante de difusibilidade. 5.] Mostre a seguinte identidade CO j= | et dy = vr b>0 0 2b 6.] Mostre o valor da seguinte integral, °° 1 [ ee cos(cx)dx = VR ct /ab? b>0 0 2b 7.| Mostre a identidade importante, 1 °° 4. 1 2 _ eo tM dp = et /At Von [. 1 Vu 8.] Considere a constante b > 0. Justifique que, —ba? /2 _ i —w? /2b s le (w) = Te (12.3) Em particular obtemos, 8 ler?| (w) = eo), (12.4) 59 9.] Encontre a temperatura u(z, t) numa barra lateralmente isolada homogénea com segéo trans- versal constante estendendo-se de x = —oo ate x = oo, com tempo t > 0, supondo que a temperatura inicial dada é u(x,0) = f(z), -0O <4%< ow, e para todo t > 0 a solucao e sua derivada com relacao a x satisfazem, u(x,t) > 0, O,u(xz,t) +0 quando |a|— co. Como uma aplicagao, encontre u(x,t) quando, C se fal <1 f(x) = 0 se |a|>1 10.] Resolva o problema do calor enunciado no exercicio anterior utilizando a convolugao. 11.] Resolver o seguinte problema de valor inicial em EDP, (Problema de Cauchy) Log Opu(a, t) = qorulz, t), -wO<@%< mw, t>0 u(x,0) = eo —0 <4%< oo 12.] Encontre a solugéo da equacao da onda OP u(x,t) = c?87 u(x, t), -wO<@%< mw, t>0 u(x,0) = f(x), Ou(x,0) =0 —0 <4%< oo u é limitado quando t > oo ue O,u se anulam quando |z| > co t>0 onde f possui transformada de Fourier. 13.] Resolva o seguinte problema de valor inicial em EDPs (Problema de Cauchy) OPu(a, t) = O?u(z, t), -wO<@%< mw, t>0 1 u(a, = Opu(x, 0) = 0 —0 <4%< oo u é limitado quando t > oo ue O,u se anulam quando |z| > co t>0 13 Projetos 1.] Deslocamento. Mostre que, se fungéo f tem transformada de Fourier, entaéo também o tem a fungao f(x — b), e B{ f(x — b)} =e {f(2)} 60 2.| Utilizando o item anterior, obter a formula 1 se —b<a<b 2 2 sen by r)= implica = $\f(x - (225 f(a) tj ae pliea fq) = Ise] = = a partir da formula, 1 se b<au<e 5 e thy — eter r)= implica = $|f(x)] = ———_- I) 0 se caso contrario P £0) F(2)] iy 20 3.] Deslocamento sobre o eixo-y. Mostre que, se f(y) é a transformada de Fourier de f(z), entao f(y —b) é a transformada de Fourier da funcao e”* f(z). 4.] Utilizando o item anterior, obtenha a formula ear se —b<a<b A 2 sen b(y — a) x)= implica = $l f(x = [2 ea») f(a) t ae pliea fq) = 81f(@)] = y= a partir da formula, 1 see —b<a<b . . a 2 sen by r= —impliea f() = ${f(@)) = $22 0 se caso contrario TY e a seguinte formula, elon se b<a<c 4 i eib(a-7) — eiela-7) xr) = implica = $[ f(x)) = —S I) 0 se caso contrario P LO) LF) V2 a-¥ a partir da formula, 1 se b<a<c 4 e thy — eter xr) = implica = $/f(2)) = ——_—————- FH) 0 se caso contrario P fa) F(@)] iyV 20 14 Resumo de Séries, Integrais e Transformadas de Fourier As séries de Fourier se relacionam com as funcgoes periddicas f de periodo 2L, ou seja, as fungdes que satisfazem f(a+T)=f(x) paratodo « paraalgum valorde T portanto f(a +nT) = f(x) para qualquer inteiro n. Essas séries tem a forma f(x) =ao + S> lan cos a + bp sen er (14.1) L L n>1 61 com os coeficientes chamados de coeficientes de Fourier de f, dados pelas formulas de Euler, dados por 1 se 1 st nTx ao = xl, f(x) dx An = cl, f(x) cos — dx (14.2) 1 st nTx n= > | f(x) sen —— dx n= 1,2,3,... (14.3) L Jt L Para o periodo 27, temos simplesmente f(x) =a9 + S> (ay cos nx + by, sen nz) n>1 com os coeficientes chamados de coeficientes de Fourier de f, dados pelas formulas de Euler, dados por 1 [7 1 (7 = — d =— / d ao = 5 [ 1) x dn = = _ f(a) cos na x 1 Tv mn == | f(x) sen nx dx n =1,2,3,... T Jan As séries de Fourier tem uma importancia fundamental no tratamento de fendmenos periddicos, particularmente nos modelos envolvendo equacoes diferenciais. Se a funcao f for par, f(—x) = f(x) ou impar f(—x) = —f (zx), elas se reduzem As séries de Fourier de cossenos ou as séries de Fourier de senos respectivamente. Se a funcao f for definida somente em 0 < x < L, ela possui expans6es de meia escala com periodo 2L, a saber, uma série de cossenos e uma outra de senos. O conjunto das fungdes de cosseno e seno em (14.1) é chamado de sistema trigonométrico. Sua propriedade mais fundamental é a sua ortogonalidade em um intervalo de comprimento 2L; isto é, paro todos os inteiros m en #~ m, temos que / " cos cos Wt dx = 0 / " sen sen “** da = 0 _L L Lo -L L Lo e para todos os inteiros m en, / L MmTx NTL d 0 cos —— sen —— dx = 0. _L L L Essa ortogonalidade foi essencial na obtengao das formulas de Euler (14.2)-(14.3). As somas parciais das séries de Fourier minimizam o erro quadrado. E possivel estender as ideias e técnicas das séries de Fourier para funcdes ndo-periddicas f definidas sobre a reta dos nimeros reais; isso nos leva a integral de Fourier CO f(x) = | [A(y) cos yx + B(y) sen ya] dy (14.4) 0 onde 1 se” 1 se At) == [ flé)cos 1g a6, Bo)=— | fle)senredg (145) T J—oo T J—oo ou na forma complexa 1 so xr) = —= f(y)e™ d 14.6 fl) = sf Flyer ay (14.6) 62 onde fo) = [tae ae (14.7) 7 27 J—co A férmula (14.7) transforma f em sua transformada de Fourier fea formula (14.6) é a transfor- mada inversa. Relacionam-se a isso a transformada de Fourier de cossenos A 2 £2 f.(7) = V2 / f(x) cos ya dx (14.8) 7 Jo e a transformada de Fourier de senos ~ 2 x f(y = V2 / f(x) sen yx dx (14.9) 7 Jo A transformada discreta de Fourier (TDF) é um método pratico de calculd-la, chamado de trans- formada rapida de Fourier (TRF). 63