Lista de Exercícios Séries Dominio da Frequencia-2012 1

Sinais e Sistemas no dominio da freqtiéncia Lista de Exercicios Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa 10 de abril de 2012 Resumo O objetivo desta lista é reforcar alguns aspectos da andlise de sistemas no dominio da freqiiéncia, usando séries e transformada de Fourier, conforme contetiido ministrado na disciplina de Sinais e Sistemas. 1 Exercicios de Série de Fourier 1. Converta a funcao g(t) = (1+ y)et4" + (1 — g)e~4** em uma representacado sem 3. 2. Calcule a série de Fourier para os sinais (determine o periodo para calculo): (a) x(t) = 4rect(4t) « 61 (t) (b) x(t) = 4rect(4t) « d4(t) (c) Sinal periddico com periodo fundamental igual a: i 1 x(t) = sign(t), |t| < 0, 1<|t|<2 3. Calcule a série de Fourier para os sinais (use os perfodos Tp apresentados): (a) x(t) = 10sen(20zt), To = 1/10 (b) x(t) = 2cos(1007(t — 0,005)), To = 1/50 (c) x(t) = —cos(500rt), To = 1/50 (d) x(t) = a fe JOT!) Ty = 1/5 (e) a(t) = rect(t) * 4d4(t), To = 4 (f) x(t) = rect(t) * d1(t), To = 1 (g) x(t) = tri(t) * d1(t), To =1 (h) x(t) = 5 {tri(t — 1) — tri(t + 1)} * d4(t), To = 4 (i) x(t) = 3sen(6rt) + 4cos(8at), To = 1 (j) x(t) = 2cos(247t) — 8 cos(30at) + 6 sen(36rt), To = 2 (k) x(t) = J", {51(A) — 61(A — 1/2)} dA, To = 1 (1) x(t) = 4cos(100zt) sen(10007t), To = 1/50 (m) a(t) = [14rect(t/8) * 12612(t)] ® [7 rect(t/5) * 8dg(t)], To = 24 (n) x(t) = [8rect(t/2) *« 5d5(t)] ® [—2 rect(t/6) * 20620(t)|, To = 20 (0) x(t) = 20cos(40zt + 7/6) Sugestao: Calcule as parcelas par e impar de x(t) e suas respectivas séries. Use também a propriedade de deslocamento no tempo. (p) Retificagao em meio onda de x(t) = sen(2zt) 1 (q) Retificagéo em onda completa de x(t) = sen(2zt) 4. Determine a funcgao temporal com base nas seguintes séries de Fourier: (a) X[k] = d[k — 2] + d[k] + d[k + 2], To =1 (b) X[k] = 10sinc(k/10), To = 1 2 Exercicios de Transformada de Fourier 1. Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais: (a) x(t) = 10sen(t) (b) x(t) = 10sen(t — 2) (c) x(t) = 10sen(2(t — 1)) (d) x(t) = 10sen(2t — 1) (e) x(t) = 5rect(2t — 1) (f) a(t) = 5rect((t/2) — 1) (g) x(t) = 5rect(2(t — 1)) (h) x(t) = 5rect((t — 1)/2) (i) x(t) = tri(t) (j) x(t) = 5sen(3t — (7/4)) (k) x(t) = 5sen(3(t + 1)) (1) x(t) = 5sen((t/3) — (7/4)) (m) a(t) = 5sen((t + 1)/3) (n) a(t) = d(t + 1/2) + d(t — 1/2) (o) x(t) = d(t— 1) —d(t +1) (p) a(t) = 4e7!*1/16 (q) x(t) = [eH em)t + Qe(—1- Prt) (r) x(t) = 2d(t) — 2d9(t — 1) (s) x(t) = 10sen(t) * 25(t + 4) (t) a(t) = rect(t) * d2(t) (u) x(t) = tri(10t) * 61 /4(t) (v) a(t) = 5sinc(2t — 1) (w) a(t) = 5sine((t/2) — 1) (x) a(t) = 5sinc(2(t — 1)) (y) a(t) =5sine((t— 1)/2) (z) x(t) = 4sinc(4t) — 2 sinc(4(t — 1/4)) — 2sinc(4(t + 1/4)) 2. Calcule as seguintes convolugoes usando transformada de Fourier (a) x(t) = rect(t) * cos(zt) (b) x(t) = rect(t) * cos(2zt) (c) x(t) = sinc(t) * sinc(t/2) (d) x(t) = sinc(t) * sinc?(t/2) (e) x(t) = e~'u(t) * sen(27t) 3. Determine a energia dos seguintes sinais: (a) x(t) = 4sinc(t/5) (b) x(t) = 2sinc?(3t) 4. Calcule as seguintes transformadas inversas de Fourier (a) X(gQ) = e4” (b) X(gQ) = 7sinc?(Q/7) (c) X(gQ) = ja [6(Q + 107) — 6(Q — 107)] . (4) X(92) = (7/20)614(2) (0) X (90) = =F + 1076(0) (f) XU = 55 (2) X(j) = 20tri(80) (h) X(gQ) = 0,375 rect (G) e@ (i) X(yQ) = e8° (j) X(gQ) = 3sinc? (=) EPO (k) X(gQ) = 96 sinc (“) e I (1) X(gQ) = rect(Q + 107) — rect(Q — 107) (m) X(j2) = 48.cos(30) (n) X(jQ) = iz sen(Q) (0) XM) = + sen(0) (p) X (9) = —J7F sen(O) (a) X (9) = Fy cos() 5. Um sinal periddico tem periodo fundamental igual a 4 segundos. Quais as duas menores freqtién- cias positivas na qual sua transformada de Fourier poderia ser nao nula? 2 3 Exercicios de Sistemas 1. Dado os sistemas: h(t) = 3e7 1 u(t) ho(t) = 6(t) — 3e 1 u(t) Determine a resposta em freqiiéncia para a associacao em cascata e em paralelo desses dois sistemas. 2. Determine a largura de banda nula para o seguinte filtro: t — 0,01 h(t) = 10 rect | ——— (1) = 10 rec ( 0,02 ) 3. Determine se os seguintes filtros sao causais ou nao causais (justificando) Q Q (a) H(jQ) = sinc (5) (b) H(gQ) = sinc (5) e I8/2 (c) H(ygQ) = rect(Q) (d) H(jQ) = rect(Q)e-? (e) HQ) =A (f) H(jQ) = Ae’® 2 10 H(jQ) = —~ h) H(jQ) = ——— (g) HUQ) == (h) HU) = 5 () H(0) = => () HO) = sag" YN 95 — 02 + 762 PON 95 — OF + 762° 4 jQ+9 H(jQ) = ———.——~e A(gQQ) = ———-—— (k) HO) = oa 560° () HO) = oa 5 760 49 A(gQ) = ——;5 4. Determine H(jQ) e esboce a resposta em freqiiéncia (magnitude e fase). Considere os pélos e zeros para facilitar 0 esboco (pode ser feito via diagrama de Bode). + + eas : + a Rt ct 5 cis 2 5 Lt 4 = 4 = bs (a) Ry = 1kQ, Cy = 1luF (b) Ry = 10Q, Cy = LyF, Ly = ImH ‘Wonrt. + + + Rt 3 Fi a e ul ; 5 cit Li ae ci (c) Ri => 1kQ, Cy = 1luF (d) Ri => 1002, Ci = 1uF, In => 1mH Figura 1: Circuitos RLC 3 5. Determine H(jQ) e classifique em passa-alta, passa-baixa, passa-banda e rejeita-banda os seguin- tes circuitos: + + ul Ri + + + r + : Ri ut u 5 a a ! a 5 u a = > Z RA 2 = cit S (a) Circuito 1 (b) Circuito 2 (c) Circuito 3 + + + + Li Ri c1 rr ee + u “a Li 2 Fl é z a 2 7 = Ri z Ci l (d) Circuito 4 (e) Circuito 5 (f) Circuito 6 Figura 2: Filtros passivos 6. Determine H(jQ) e esboce o diagrama de Bode dos seguintes circuitos: Ra a + + +4 2 } © 2 } a _ + RI _ + 3 E : E : (a) Circuito 1 (b) Circuito 2 + 7, tia i Rl ; * Ri ct ie + 7 ‘ 3 i o 5 O 2 £ O z Pa : 5 (c) Circuito 3 (d) Circuito 4 Figura 3: Filtros ativos 7. Determine H(jQ), classifique em passa-alta, passa-baixa, passa-banda e rejeita-banda e esboce o diagrama de Bode dos seguintes circuitos: 4 (a) R1 = 1kΩ, R2 = 10kΩ, C1 = 1µF, C2 = 0,1µF (b) R1 = 10kΩ, R2 = 10kΩ, C1 = 1µF, C2 = 1µF (c) R1 = 10kΩ, R2 = 1kΩ, R3 = 10kΩ, C1 = 1µF, C2 = 1µF Figura 4: Filtros passivos 8. Determine H(ȷΩ) e esboce o diagrama de Bode dos seguintes circuitos: (a) Circuito 1 (b) Circuito 2 (c) Circuito 3 Figura 5: Filtros ativos 9. Determine o diagrama de Bode dos seguintes sistemas: (a) H(ȷΩ) = ȷ20Ω 10000 − Ω2 + ȷ20Ω (b) H(ȷΩ) = ȷ20Ω − Ω2 10000 − 10Ω2 + ȷ250Ω (c) H(ȷΩ) = 10 ȷΩ + 10 ȷΩ ȷΩ + 10 (d) H(ȷΩ) = 10 ȷΩ + 10 + ȷΩ ȷΩ + 10 5