Lista de Exercícios Sinais Dominio no Tempo-2012 1

Sinais e Sistemas no dominio do tempo Lista de Exercicios Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa 10 de abril de 2012 Resumo O objetivo desta lista é reforcar alguns aspectos da andalise de sistemas no dominio do tempo, conforme contetido ministrado na disciplina de Sinais e Sistemas. 1 Exercicios de Sinais 1. Vocé dispée apenas do sinal u(t) e de manipulacées de sinais (como, por exemplo, escala temporal, escala em amplitude, deslocamento temporal, integracao, diferenciacao, etc). A partir dessas premissas, represente os seguintes sinais. (a) x(t) = rect(t/2) (b) x(t) = rampa(t + 2) — rampa(t — 1) (c) #(t) = a(t) (a ay =f er tes 0 t<4 (e) x(t) = sign(3t) (f) a(t) = tri(t) 2. Esboce os seguintes sinais (define bem as abscissas para alguns valores): (a) x(t) = sinc(t/2) (b) x(t) = |sinct| (c) x(t) = sinc((t + 1)/2) (d) x(t) = diric(2t) (e) «(t) =rampa(t+ 2) —rampa(t—2) (f) a(t) =rampa(t + 2) — 2rampa(t — 2) (g) v(t) = d5(t) (h) x(t) = 65(t — 1) (i) x(t) = 45(2t) (j) x(t) = e~‘u(t — 2) (k) x(t) = e~‘u(t) (1) x(t) = et rect(t — 1/2) (m) x(t) = e~* rect(t — 2) (n) x(t) = aut) 3. Considere o seguinte sinal: x(t) = rampa(t)u(2 — t). Esboce: (a) «(—t) (b) #(2t) (c) #(—t) + 2(+t) (d) 2a(t — 3) (ec) —2x((t — 1)/2) 4. Defina 6(t). 5. Relacione 6(t), u(t) e rampa(t) 6. Calcule (observagao: facilita calcular tais integrais se vocé esbogé-las antes): 1 +00 3 (a) / ((t — 2)/5)at (b) / 6((t — 2)/5)at item ot (c) | 5((t — 2)/5)dt (d) / tri(t — 1)dt 3 —oo t +00 (e) / tri(t — 1)dt (f) / rect(t — 0,5) — 0,5 rect(t — 1,5)dt 7. Determine se os seguintes sinais sao ou nao periddicos. Em caso afirmativo, determine qual seu perfodo. (a) x(t) = sen(4zt) + cos(12zt) (b) x(t) = sen(7at) + cos(8zt + 7/10) (c) x(t) = cos(12t) + cos(127¢) (d) a(t) = e?™ 8. Determine as componentes par (x,(t)) e impar (x;(t)) de: (a) x(t) = 4sen(3zt) (b) x(t) = 4cos(3at) (c) x(t) = rect(t) (d) x(t) = rect(t — 2) (e) x(t) = d(t — 2) (f) a(t) = tcos(2at) 9. Calcule a energia, poténcia, ou diga se nao é possivel calcular tais grandezas, dos seguintes sinais: (a) x(t) = 2 rect(t) (b) x(t) = 2rect(t/2) (c) x(t) = 2rect((t — 2)/2) (d) x(t) = A(u(t) — u(t — 10) (e) x(t) = u(t) — u(10 —- t) (f) a(t) = rect(t) cos(27t) (g) x(t) = rect(t) cos(4zt) (h) x(t) = rect(t) sen(2zt) (i) x(t) = u(t) sen(2zt) (j) x(t) = cos(2at) (k) x(t) = e~7u(t — 2) (1) x(t) = sign(t) (m) a(t) = e*u(—t) (n) x(t) = u(t) 2 Exercicios de Sistemas 1. Considere 0 sistema RC na figura 1. + Ri | ‘ani C ear, Figura 1: Circuito RC Considere V;,(t) = Au(t) e que a carga inicial no capacitor em t = 0 é zero. (a) Determine a equacao diferencial desse sistema. (b) Determine a resposta homogénea desse sistema (Vout, (¢))- (c) Determine a resposta completa (Vout (t)) (d) Verifique (justificando) se o sistema é linear ou nao. 2 (e) Verifique (justificando) se o sistema € causal ou nao. (f) Verifique (justificando) se o sistema é invariante no tempo ou nao. Para as justificativas, manipule algebricamente a equacgao diferencial. 2. Determine a resposta do circuito anterior (figura 1) para o sinal x(t) = rect(t—0,5). Para facilitar, tente decompor x(t) em fungao de u(t). 3. Considere o sistema RC na figura 1. Considere V;,(t) = Au(t) e que a carga inicial no capacitor em t = 0 é B. (a) Determine a resposta completa (Vout (t)) (b) Verifique (justificando) se o sistema é linear ou nao. (c) Verifique (justificando) se o sistema ¢ causal ou nao. (d) Verifique (justificando) se o sistema é invariante no tempo ou nao. 4. Considere o sistema RC na figura 2, na qual a chave é fechada em t = 0. - ‘ RI c =A 2 s R20 Vout Figura 2: Circuito RC Considere que a carga inicial no capacitor em t = —oo @ zero. (a) Determine a equacao diferencial desse sistema para t > 0 (b) Determine a resposta completa (Vout (t)) para t > 0 (c) Verifique (justificando) se o sistema é linear ou nao. (d) Verifique (justificando) se o sistema ¢ causal ou nao. (e) Verifique (justificando) se o sistema é invariante no tempo ou nao. Para as justificativas, manipule algebricamente a equacgao diferencial. 5. Considere o sistema RC na figura 3, na qual a chave é fechada em t = 0. + RA Riz + = c | a tao vee Figura 3: Circuito RC Considere que a carga inicial no capacitor em t = —oo @ zero. (a) Determine a equacao diferencial desse sistema para t > 0 3 (b) Determine a resposta completa (Vout (t)) para t > 0 (c) Verifique (justificando) se o sistema é linear ou nao. (d) Verifique (justificando) se o sistema ¢ causal ou nao. (e) Verifique (justificando) se o sistema é invariante no tempo ou nao. Para as justificativas, manipule algebricamente a equacgao diferencial. 6. Considere o sistema RLC na figura 4. + ; ‘dni C | R A Wout. Figura 4: Circuito RLC paralelo Considere V;,(t) = Au(t) e que a carga inicial no capacitor em t = 0 é B. (a) Determine a equacao diferencial desse sistema. (b) Determine a resposta homogénea desse sistema (Vout, (t)). (c) Determine a resposta completa (Vout (t)) (d) Verifique (justificando) se o sistema é linear ou nao. (e) Verifique (justificando) se o sistema € causal ou nao. (f) Verifique (justificando) se o sistema é invariante no tempo ou nao. Para as justificativas, manipule algebricamente a equacgao diferencial. 7. Considere o sistema RLC na figura 5. + R L ‘an Pout C Figura 5: Circuito RLC série Considere Vin(t) = Au(t) e que a carga inicial no capacitor em t = 0 é zero. (a) Determine a equacao diferencial desse sistema. (b) Determine a resposta homogénea desse sistema (Vout, (¢))- (c) Determine a resposta completa (Vout (t)) (d) Verifique (justificando) se o sistema é linear ou nao. (e) Verifique (justificando) se o sistema € causal ou nao. 4 (f) Verifique (justificando) se o sistema é invariante no tempo ou nao. Para as justificativas, manipule algebricamente a equacgao diferencial. 8. Verifique se os seguintes sistemas sao lineares: (a) y(t) -1=2(t) (b) y(t) = a(t) dy(t) _ (c) SE + ay(t) = a(t) dy(t (d) at) + ay(t) +b = x(t) ‘ da(t ©) ff _uiriar} + ay) = dy(t () HO + asentylt)) = a(t (g) y(t) = u(a(t)) 9. Verifique se os seguintes sistemas sao invariantes no tempo: dy(t (a) at) + ay(t) +b = x(t) dy(t (b) WO + asen(y(t)) = 2(0 dy(t) _ (c) +E — ay(t) = x(t) (d) y(t) -1= a(t) (e) y(t) = cos(2rt)x(t) 10. Verifique se os seguintes sistemas sao causais: (a) y(t) = #(t/2) (b) y(t) = #(t—5) — 23-1) (c) y(t) = u(a(t)) t @) wi)= faye t+5 (©) ult) =f atr)ar 3 Exercicios de Convolucao 1. Determine a resposta ao impulso para os seguintes sistemas: dy(t (a) HO + 5y(r) = at) dy(t) .dy(t) oN) SIN 1 4 _ (b) qe +6 dt + 4y(t) = x(t) dy(t) da:(t) 2—— = — (c) 2~7 = + 8y(t) = 5 d°y(t) ,dy(t) _ da(t) 4——— —— = (ae ae at dy(t) da(t) (e) 4 qe 2x(t) — i 2. Para os sistemas anterior, determine a resposta ao degrau unitario. Lembre-se, use convo- lugao para facilitar, j4 que vocé disp6em da resposta ao impulso. Vocé também pode usar propriedades da convolugao. 3. Represente os sistemas da questao anterior por diagrama de blocos. 4. Represente os sistemas da questao anterior por diagrama de blocos usando apenas inte- gradores! 5. Para x(t) = 2 tri(t/4) « 6(t — 2), calcule: (a) #(1) (b) #(-1) (c) (0) (d) «(—oo) 6. Para x(t) = {e~**u(t)} * 6(t — 2), calcule: (a) #(1) (b) #(-1) (c) (0) (d) «(—oo) 7. Para x(t) = —5rect(t/2) « {6(¢t + 1) + d(t)}, calcule: (a) «(1/2) (b) «(—1/2) (c) #(—5/2) 8. Calcule e esboce as seguintes convolucées para os pares sinais-sistemas entre: (a) x(t) = rect(t) e h(t) = rect(t) (b) x(t) = rect(t) e h(t) = rect(t/2) (c) x(t) = rect(t — 1) e A(t) = rect(t/2) (d) x(t) = rect(t — 5) + rect(t+ 5) e h(t) = rect(t — 4) + rect(t — 4) (e) x(t) = rect(4t) e h(t) = 4d(t — 2) (f) x(t) = rect(4t) e h(t) = 46(2t) (g) x(t) = rect(4t) e h(t) = 61(t) (h) x(t) = rect(4t) e h(t) = d1(t — 1) (i) a(t) = rect(t) e h(t) = tri(t) (j) x(t) =e~*u(t) e A(t) = e u(t) (k) a(t) = rect((t — 1)/2) e h(t) = 4e-“u(t) (1) a(t) = rect((t — 1)/2) e h(t) = 6(t) — 4e~“*u(t) (m) a(t) = rect(t/2) sinc(t) e h(t) = d2(t) (n) x(t) = sinc(4t) e h(t) = d2(t) 9. Calcule a energia, poténcia, ou diga se nao é possivel calcular tais grandezas, dos seguintes sinais: (a) x(t) = 4rect(t) * d4(t) (b) x(t) = 4 tri(t) * d4(t) 6 10. Qual a operagéo matematica que representa o efeito cascata de um sistema (h(t)) e em outro sistema (h2(t)). Exemplifique tal exemplo com um sistema real. 11. Qual a operacgao matematica que representa 0 efeito aditivo de dois sistemas (h(t) e ha(t)). Exemplifique tal exemplo com um sistema real. 7