Slides Aplicações de Ft-2021 2

APLICAÇÕES DE LT Prof. Marcelo de Oliveira Rosa Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Sistema com 1 pólo real Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Sistema com 2 pólos complexos conjugados  Influência de α e Ωc Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Sistema com 2 pólos complexos conjugados Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Sistema com 2 pólos complexos conjugados Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Pólos reais negativos  Decaimento de h(t), t∞  Pólos reais positivos  Ampliação de h(t), t∞  Proximidade com σ = zero  Redução do fator de crescimento/decaimento de h(t) Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Re{pólos} < zero  Decaimento de h(t), t∞  Re{pólos} > zero  Crescimento de h(t), t∞  Re{pólos} = zero  h(t) estacionário, t∞  Proximidade de Re{pólos} em relação a σ = zero  Redução da taxa de decaimento/crescimento de h(t) Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Consideração de pares de pólos complexos  Conjugados complexos  Proximidade de Im{pólos} em relação a Ω = zero  Redução da frequência de oscilação/vibração de h(t) Aplicações de LT  Resposta ao Impulso  Um sistema LTI é estável se todos os seus pólos se localizarem no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s  Re{sp}<0 Aplicações de LT  Efeitos de zeros em LTI  Na freqüência  Alteração da resposta em freqüência  Exemplo: passa-alta para passa-baixa  No tempo  Presença de descontinuidades da forma δ(t)  δ(t) – o próprio x(t) na saída  Inclui derivadas de δ(t) – derivadas de x(t) na saída  Modificação da fase do sinal de entrada Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sabemos que h(t) ocorre quando x(t) = δ(t)  Na prática, não conseguimos produzir tal sinal  Podemos encontrar h-1(t) com base em h(t)  Resposta ao degrau unitário  Ação de chave liga-desliga Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Transitório  N-1(s)/D(s)  Assumindo pólos no semiplano esquerdo real  Regime permanente  H(0)/s H(0)u(t) s (0) H )s( D )s( N )s( H )s( D N )s( )s( H 1 1       Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 1 pólo real Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 2 pólos complexos conjugados  Influência de ζ (zeta) e Ωn 2 n n 2 2 n s 2 s H )s(          1 u )t( 1 1 1 2 e 1 1 2 e )t( h 2 2 t 1 2 2 t 1 1 2 n 2 n                                             Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 2 pólos complexos conjugados  Influência de ζ (zeta) e Ωn 2 n n 2 2 n s 2 s H )s(                         1 e)t 1( 1 1 e)t 1( 1 u )t( )t( h t n t n 1 n n Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 2 pólos complexos conjugados Variação de ζ Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 2 pólos complexos conjugados Variação de Ωn Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 1 pólo real  H(s) = 1 / (1 – s/p)   Magnitude do pólo  Influência do transitório  Constante de tempo do sistema (τ = – 1/p)  Exemplo: filtro RC  τ = – 1/RC Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 2 pólos complexos conjugados  Ωn (=F Ωc) controla a taxa de oscilação do transitório  Manutenção da amplitude da n-ésima oscilação.  ζ<0  Sistema instável  Pólos no semiplano direito aberto do plano s Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 2 pólos complexos conjugados  ζ<0  Sistema instável  Pólos no semiplano direito aberto do plano s Aplicações de LT  Resposta ao Degrau Unitário  Sistema com 2 pólos complexos conjugados  0<ζ<1  Pólos complexos (conjugados simétricos)  Sistema estável e subamortecido  ζ>1  Pólos reais distintos  Sistema estável e sobreamortecido  ζ=1  Pólos reais iguais  Sistema estável e amortecido criticamente Aplicações de LT  Resposta a Sinal Senoidal  Se x(t) = cos(Ω0t) u(t)  Regime permanente 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 1 2 0 2 0 )}s Im{H j( s s )} Re{H j( )s( D )s( N s s )s( D N )s( )s( Y            Aplicações de LT  Resposta a Sinal Senoidal  Se x(t) = cos(Ω0t) u(t)  Regime permanente  Sistema h(t) altera apenas amplitude e fase da componente Ωo  Não sua freqüência. Aplicações de LT  Resposta a Sinal Genérico  Transitório  N-1(s)/D(s)  Assumindo pólos no semiplano esquerdo real  Sistema BIBO  Regime permanente  ILT{Nx-1(s)/Dx(s)} é estacionário (S) D )s( N )s( D )s( N )s( H X )s( )s( D N )s( )s( Y x x 1 1 1       Aplicações de LT  Relação entre LT e FT  Avaliação de H(s) para s = σ + jΩ = zero + jΩ  Exemplo:  Quais os zeros e pólos? 4s 104 s 2s 17 s )s( H 2 2      Aplicações de LT  Relação entre LT e FT  H(s) é “tridimensional” Aplicações de LT  Relação entre LT e FT  H(s) é “tridimensional” Aplicações de LT  Relação entre LT e FT  H(s) é “tridimensional” Aplicações de LT  Diagrama de Blocos  Lembrando  Integração (no tempo)  1/s no domínio de Laplace Aplicações de LT  Diagrama de Blocos  Forma direta II + + + + bn bn-1 bn-2 b1 b0 Y(s) 1/s 1/s 1/s 1/an an-1 an-2 a1 a0 X(s) + + + + – Aplicações de LT  Diagrama de Blocos  Decomposição de H(s) em pólos e zeros N M 1 M M 1 1 p s 1 p s 1 p s z s p s z A s H )s(           + + zk Yk(s) 1/s -pk Xk(s) + + – – Aplicações de LT  Diagrama de Blocos  Decomposição de H(s) em pólos e zeros Yk(s) 1/s -pk Xk(s) + + – N M 1 M M 1 1 p s 1 p s 1 p s z s p s z A s H )s(           Aplicações de LT  Diagrama de Blocos  Decomposição de H(s) em pólos e zeros  Cascateamento de sub-blocos  Paralelismo de sub-blocos  Para pólos complexos em pares conjugados  Diagramas de segunda ordem APLICAÇÕES DE FT Prof. Marcelo de Oliveira Rosa Aplicações de FT  Resposta em freqüência  Analisar o comportamento de um sistema no domínio da freqüência  Convolução no tempo  Modulação em freqüência  Propriedades usadas  Comutação/cascata  Distribuição/paralelismo Aplicações de FT  Resposta em freqüência  Filtros  Conseqüência natural da convolução temporal  Modulação espectral  Conceitualmente  Dispositivo que amplifica a potência de algumas faixas de freqüência e atenua a potência de outras faixas de freqüência para um sinal de entrada Aplicações de FT  Filtros  Classificação padrão  Passa-baixas (low-pass)  Passa-altas (high-pass)  Passa-bandas (band-pass)  Rejeita-bandas (band-stop)  Outros  Passa-tudo (all-pass)  Notch (notch)  Equalizador (equalizer) Aplicações de FT  Filtros ideais  Elementos de um filtro  Banda passante  Banda de rejeição  Filtro ideal  Componentes da banda passante não sofrem distorção  |H(jΩ)| = 1 na banda passante  <H(jΩ) = –Ω t0  Fase linear Aplicações de FT  Filtros ideais  Filtros passa-baixa (LP) e passa-alta (HP)  Com fase linear Ωc Ωc Aplicações de FT  Filtros ideais  Filtros passa-banda e rejeita banda  Com fase linear ΩH ΩH ΩL ΩL Aplicações de FT  Filtros ideais  O mais desejado  Fase zero  Não causal  Segundo mais desejado Fase linear  Segundo mais desejado  Não causal  Pode ser aproximado por truncamento  Filtro ideal = filtro irrealizável Aplicações de FT  Filtros ideais  Resposta ao impulso  h(t)  Fase zero e fase linear Aplicações de FT  Filtros ideais  Resposta ao impulso  h(t)  Fase zero e fase linear Aplicações de FT  Filtros  Passa-baixa (LP)  Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal até Ωc e elimina as demais componentes  Exemplo de primeira ordem ∫ Ωc Ωc y(t) + – x(t) Aplicações de FT  Filtros  Passa-alta (HP)  Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal acima de Ωc e elimina as demais componentes  Exemplo de primeira ordem ∫ Ωc y(t) + – x(t) Aplicações de FT  Filtros  Passa-banda  Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e elimina as demais componentes  Exemplo de combinando HPLP  Ωca > Ωcb ∫ Ωcb Ωcb y(t) + – ∫ Ωca + – x(t) Aplicações de FT  Filtros  Rejeita-banda  Elimina as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e mantém as demais  Exemplo de combinando HP e LP em paralelo ∫ Ωc Ωc y(t) + – Ωc + – x(t) ∫ + Aplicações de FT  Filtros  Passa-baixa (LP)       j ) j( H c c Aplicações de FT  Filtros  Passa-alta (HP)       j j ) j( H c Aplicações de FT  Filtros  Passa-banda          ca cb cb ca cb ca 2 c j j j ) j( H                Aplicações de FT  Filtros  Rejeita-banda              cb ca cb ca cb ca 2 cb ca cb 2 j j j 2 j ) j( H                     Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática  A equalização compreende a manipulação diversos blocos de freqüência em um intervalo total específico.  Manipulação  atenuação ou amplificação  Seleção dos blocos  seletividade dos filtro Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática  A função biquadrática possui dois parâmetros  Ω0 e β  Amplifica/atenua um conjunto de componentes espectrais ao redor de Ω0  β controla a largura de banda e a amplificação/atenuação             2 0 0 2 2 0 0 2 j 10 2 j j 2 10 j ) j( H                    Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática  Ω em escala log e linear Aplicações de FT  Filtros  Equalizador via Biquadrática  Q-constante  Q = F0 / ΔF = Ω0 / ΔΩ  No caso, aumentando-se Ω0, aumenta-se ΔΩ  Notações  F0  freqüência central  ΔΩ  largura de banda Aplicações de FT  Filtros  Largura de banda  Bandwidth (BW)  Modo para representar um intervalo de freqüências  Restringe-se a freqüências positivas  Razões históricas Aplicações de FT  Filtros  Largura de banda  Tipos:  Largura de banda absoluta  Intervalo de freqüências com magnitude não-nula  Largura de banda nula  Intervalo de freqüências com magnitude não-nula máximo  Largura de banda em meia potência  Intervalo de freqüências com magnitude superior a metade da potência máxima Aplicações de FT  Filtros reais teóricos  Filtro passa-baixa realizável Aplicações de FT  Filtros reais teóricos  Filtro passa-alta realizável Aplicações de FT  Filtros reais teóricos  Filtro passa-banda realizável Aplicações de FT  Filtros reais teóricos  Filtro rejeita-banda realizável Aplicações de FT  Exemplos  Usando componentes RLC  Usando componentes mecânicos Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Considere os seguintes filtros  Qual a sua resposta em freqüência? Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Resposta em freqüência obtida Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Resposta em freqüência obtida Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Resposta em freqüência obtida  Sistemas distintos podem apresentar similaridade gráfica em suas respostas em freqüência  Alterando escala (Linear  logarítmica)  Melhorar distinção entre sistemas  Análise rápida de sistemas  Diagrama de Bode Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Decibel (dB)  Razão entre potências de sinais  Um dos sinais serve de referência  Psinal  potência de um sinal qualquer  Preferência  potência de referência  Se não conhecida, assumimos Preferência = 1        referência sinal 10 dB P P 10log P Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Decibel (dB)  Psinal = 2 Preferência PdB = +3 dB  Psinal = 0,5 Preferência PdB = -3 dB  Psinal = 10 Preferência PdB = +10 dB  Psinal = 0,1 Preferência PdB = –10 dB  Psinal = 100 Preferência PdB = +20 dB  Psinal = 0,01 Preferência PdB = –20 dB Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Oitava  Freqüência atual = 2  Freqüência de referência  Década  Freqüência atual = 10  Freqüência de referência Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Do teorema de Parseval  Então, a magnitude de X(jΩ) em dB é 2 sinal ) X j( P        )  X j( 20log ) j( X ) X j( log 10 P 10log P 10 dB 2 10 sinal 10 dB       Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Como utilizar em sistemas contínuos?  Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes  Após a aplicação da FT  zl  zeros de H(jΩ)  pk  pólos de H(jΩ)                                  N k 1 k M l 1 l N 0 k k k M 0 l l l p j 1 z j 1 A j a j b ) H j( Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1  Pólo real negativo único (sem repetição) Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1  Pólo real positivo único (sem repetição) – se existisse Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)  Zero real negativo único (sem repetição) Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)  Zero real positivo único (sem repetição) Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Características:  Pólo e Zero definem freqüência de quebra  Curva de magnitude  Encontro de duas assíntotas na freqüência de quebra  Uma das assíntotas possui inclinações (“roll-off”)  ±6 dB/oitava  ±20 dB/década  Curva de fase  Assíntota passa por ±π/4 em freqüência de quebra Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Diferenciador e Integrador  Zero e Pólo em jΩ = 1 rad/s Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Ganho constante (em freqüência)  H(jΩ) = +A  Magnitude  A  Fase  zero  H(jΩ) = –A  Magnitude  A  Fase  +π (ou –π) Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Pares complexos de pólos  p1 e p1*, naturalmente conjugados complexos Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Pares complexos de zeros  z1 e z1*, naturalmente conjugados complexos Aplicações de FT  Diagrama de Bode  Pares complexos de pólos e zeros  Transformação em ζ e ωn  “Overshoot”  Amortecimento e tempo de decaimento Aplicações de FT □ Exemplos Aplicações de FT  Exemplos  Usando amplificadores operacionais Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação  Processo para transmissão de múltiplos sinais de banda base em vários canais de comunicação  Sinal de banda base  Ineficiência para transmissão direta  Comunicação  Caminhos distintos para sinais distintos Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação  Modulação DSB-SC  y(t) = x(t) cos(Ωp t)  y(t)  sinal modulado  Mensagem ou sinal banda-base  cos(Ωp t)  sinal cuja envoltória carrega a mensagem  x(t)  sinal a ser transmitido  Ωp  freqüência da portadora  Ωp > 2  maior freqüência com amplitude não nula Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação  Modulação DSB-SC  Aplicando a TF, temos  Modulação no tempo  convolução na freqüência        )  X (j ) 2 X (j 1 )t cos( ) FT X j( ) j( Y p p p 1              Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação  Modulação DSB-SC Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação – Modulação  Demodulação DSB-SC  x’(t) = [y(t) cos(Ωp t)] * [filtro passa-baixa]  x’(t)  sinal reconstruído  x’(t) = m(t)  Largura de banda de m(t) deve ser restrita  Permitir que o filtro passa-baixa isole a mensagem desejada.  Sinal da portadora não é transmitido Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação  Demodulação DSB-SC Aplicações de FT  Exemplos  Sistemas de comunicação  Modulação DSB-TC  Transmissão de informação relativa à portadora  Permite o uso de circuitos detectores de envoltória  m/K < 1              )  X (j ) 2 X (j m K ) j( Y )t cos( m x )t( K )t( y p p p p p                      Aplicações de FT  Exemplos  Amostragem por Impulso  Corresponde a um trem de impulsos isolando amostras de x(t) a cada kTs segundos.                     k s s k s T kT ) t( (kT ) x kT ) t( x )t( )t( x )t( )t( y s Aplicações de FT  Exemplos  Amostragem por Impulso  Sua FT é a repetição de réplicas de X(Ω) a intervalos de Ωs radianos/seg.                               k s s k s s s ) X( 2 ) ( ) X j( 2 ( ) ) X j( 2 ) j( Y s Aplicações de FT  Exemplo  Amostragem por Impulso  Teorema da amostragem (Teorema de Nyquist)  Para que haja reconstrução correta do sinal original com freqüência máxima com amplitude não-nula Ωm (= 2π fm), a amostragem deve ser de no mínimo Ωs (= 2π fs) igual a 2 Ωm (ou 2 fm) m s   2 Aplicações de FT  Exemplo  Amostragem por Impulso  Aliasing  Espalhamento de informações de alta-freqüência sobre informações de baixa-freqüência devido a problemas de amostragem Aplicações de FT  Exemplos  Amostragem por Impulso  A reconstrução se dá a partir de um filtro passa- baixas com ganho Ts e freqüência de corte Ωs/2  Reconstrução ideal  Impraticável  Na prática, filtros passa-baixas aproximados                      nT ) t( x(nT )sinc 2 2 2 )t( x s c k s s c