Análise de Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno em Investimentos

Matemática Financeira Erisson M Moreira 0 5 Juro s Compostos Valor Presente Líquido VPL e Taxa Interna de Retorno TIR Análise de Fluxo de Caixa Dos métodos e critérios de avaliação usados para medir e analisar a rentabilidade e viabilidade de uma alternativa de investimento destacaremos o Valor Presente Líquido VPL e a Taxa Interna de Retorno TIR de um fluxo de caixa Valor Presente Líquido VPL O método do Valor Presente Líquido é um d os procedimentos mais utilizadas pelo mercado financeiro O VPL tem por objetivo determinar o efeito dos eventos futuros medindo o valor presente dos fluxos de caixas criado pelo empreendimento ao longo do tempo Ou seja o VPL é igual ao valor presente de suas parcelas futuras que são deduzidas mediante uma certa taxa de desconto A expressão que define o VPL pode ser escrita como Em que I representa o investimento inicial é o símbolo do somatório que indica a soma da data 1 até a data n dos fluxos FC mostra o F luxo de Caixa d e pagamento no t ésimo período e K é a taxa de juros custo do capital OBS A norma a ser seguida que norteará a viabilidade econômica para decidir sobre do projeto é se o VPL for positivo Exemplo 1 Se uma alternativa de investimento implica em um desembolso de R 100000 que vai gerar fluxos de caixa de 45000 por ano durante 4 anos a um custo do capital com uma taxa k requerida de 18 aa então o VPL calculado seria Resolução VPL 100 000 45000 118 45000 118 2 45000 118 3 45000 118 2 45000 118 4 45000 118 N 1 i n VPL 1 0 0000 3813559 3231830 2738839 2321050 VPL 100000 12105278 VPL 2105278 Isso quer dizer que o VPL 2105278 é positivo VPL 0 mostrando a viabilidade econômica da alternativa e consequentemente será recuperado em quatro anos obtendo uma garantia a mais de lucro de R 2105278 Critério de Decisão VPL 0 Realizar o Projeto VPL 0 Indiferente VPL 0 Não Fazer o Projeto Taxa Interna de Retorno TIR O método da TIR é também uma ferramenta bastante utilizada e constituise na t axa de retorno do projeto de investimento Por isso a TIR não tem como objetivo a análise da rentabilidade absoluta como no VPL t orna ndo a comparação de investimentos um procedimento de valor relativo 0 5 A Matem a ticamente a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é uma determinada taxa de desconto que torna nulo o seu valor presente líquido VPL Ou seja é o valor da taxa i que satisfaz a seguinte expressão OBS A norma a ser seguida que norteará a viabilidade econômica para decidir sobre do projeto é se i for maior do que k i k Exemplo 2 Tomandose o exemplo 1 anterior ou seja Se uma alternativa de investimento de PV R 100000 com fluxos de caixa de PMT 45000 por ano em 4 anos a uma taxa k 18 aa então a TIR da alternativa de investimento será calculada da seguinte maneira Montagem da equação VPL 100000 45000 1TIR 1 45000 1TIR 2 45000 1TIR 3 45000 1TIR 4 0 45000 1TIR 1 45000 1TIR 2 45000 1TIR 3 45000 1TIR 4 100000 Ou 45000 1 1 i 1 45000 1 TIR 1 1 1 i 2 1 1 i 3 1 1 i 4 100000 OBS O procedimento de cálculo manual da taxa de juros numa série de pagamentos ou recebimentos é um processo às vezes demorado e cansativo No entanto as calculadoras financeiras realizam o cálculo da taxa interna de retorno de forma simples e rápida Na falta de calculadoras a taxa pode ser aproximada através de um processo de interpolação linear Também existem outros métodos repetitivos que podem ser usados para calcular a TIR como por exemplo o método de BailyLenzi Samanez C P Matemática Financeira 4ª ediçãoPearson2007 Segue resoluções de alguns dos modelos existentes Pela calculadora financeira podemos ter HP12C f FIN 45000 CHS PMT 4 n 100000 PV i 2849 Logo a TIR de 2849 é maior que a taxa requerida 18 mostrando a viabilidade econômica da alternativa Pelo método de BailyLenzi U ma de suas equações para o cálculo da taxa de juros é p ara n x i 3 Exemplo para n 4 e i 18aa 4 x 018 072 que é 3 i h 12 n 1h 12 2n 1h em que h n PMT PV 2n1 1 PV principal PMT valor da prestação n número de prestações 0 5 B Exemplo 3 Tomandose o mesmo exemplo 1 anterior ou seja PV 100000 PMT 45000 n 4 e k 18aa i h 12 n 1h 12 2n 1h Cálculo de h h 9000 1005 2 2n1 1 h 4 45000 100000 241 1 180000 10000 25 1 h 18 04 1 126505 1 h 026505 Cálculo de i i 026505 12 4 1 026505 12 24 1 026505 i 026505 12 4 1 026505 12 24 1 026505 12 3 026505 12 2 3 026505 026505 12 079515 12 159030 i 026505 1120485 1040970 026505 107639 i 028530 i 2853 aa OBS O v alor de i 2853 é bem próximo devido aos arredondamentos d aquele encontrado pela calculadora 2849 aa Assim a TIR de 2853 é maior que a taxa requerida 18 mostrando a viabilidade econômica da alternativa Critério de Decisão TIR Taxa de Atratividade Realizar o Projeto TIR 0 Indiferente TIR 0 Não Fazer o Projeto 0 5 C Juro s Compostos Equivalência de Capitais Tomandose o mesmo exemplo vamos alterar a data focal para o terceiro mês 6 0 5 0 55 00 5000 0 1 2 3 4 Levando R5000 para a data focal 3 temos 5000 1 010 1 5000 110 R 5500 NA própria data focal 3 mantemos fixo R 5500 Tr azendo R 6 0 5 0 para a data focal 3 vem R 5 5 00 De igual modo observamos que os capitais são também equivalentes na data focal 3 pois seus valores são iguais quando atualizados para a referida data No diagrama podemos melhor visualizar R 5500 6 0 5 0 R 5 5 00 5000 R 5500 0 1 2 3 4 data focal Constatamos que ao mudar a data focal a equivalência dos capitais foi mantida Exemplo 02 Uma pessoa deve pagar 4 00 0 daqui a dois meses e 9 00 0 daqui a 6 meses Calcular a juros compostos de 5 am o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a 3 meses que liquide a dívida Dados i 5 am S 2 4 0 00 S 5 9 0 00 e X 3 0 1 2 3 6 4000 X 90 00 Como o pagamento único será feito no terceiro mês definimos esse mês como a data f ocal Assim por equivalência de capitais as duas formas de pagamento ser ão equivalentes nessa data Logo a equação de valor será V 4 0 001 00 5 1 4 0 00 10 5 V 4 2 00 777457 V 1 197457 Tomandose o mesmo exemplo vamos alterar a data focal para o terceiro mês 6 0 5 0 55 00 5000 0 1 2 3 4 Levando R5000 para a data focal 3 temos 5000 1 010 1 5000 110 R 5500 NA própria data focal 3 mantemos fixo R 5500 Tr azendo R 6 0 5 0 para a data focal 3 vem R 5 5 00 De igual modo observamos que os capitais são também equivalentes na data focal 3 pois seus valores são iguais quando atualizados para a referida data No diagrama podemos melhor visualizar R 5500 6 0 5 0 R 5 5 00 5000 R 5500 0 1 2 3 4 data focal Constatamos que ao mudar a data focal a equivalência dos capitais foi mantida Exemplo 02 Uma pessoa deve pagar 4 00 0 daqui a dois meses e 9 00 0 daqui a 6 meses Calcular a juros compostos de 5 am o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a 3 meses que liquide a dívida Dados i 5 am S 2 4 0 00 S 5 9 0 00 e X 3 0 1 2 3 6 4000 X 90 00 Como o pagamento único será feito no terceiro mês definimos esse mês como a data f ocal Assim por equivalência de capitais as duas formas de pagamento ser ão equivalentes nessa data Logo a equação de valor será V 4 0 001 00 5 1 4 0 00 10 5 V 4 2 00 777457 V 1 197457 Equivalência de capitais a J Compostos O conceito de equivalência de capitais nos juros compostos é de vital importância para a resolução de problemas na matemática financeira D ois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas são considerados equivalentes quando transportados para uma mesma data de comparação ou data focal a uma mesma taxa resultarão no mesmo valor D ois conjuntos de valores financeiros sendo equivalentes em uma determinada data de vencimento também serão equivalentes em outra data qualquer Exemplo 01 Consideremos um conjunto de 3 capitais apresentados na tabela abaixo Devemos verificar se a juros compostos de 10 am eles são equivalentes em uma outra data focal Mês de vencimento C a p i t a l 2 R 5000 3 R 5500 4 R 6050 6 0 5 0 55 00 5000 data focal 0 1 2 3 4 Transportando R5 000 para a data focal 1 temos R 454545 Levan do R 5 5 00 para a data focal 1 temos R 454545 T ra zendo R 6 0 5 0 para a data focal 1 temos R 454545 Notemos que os capitais são equivalentes na data focal 1 pois seus valores são iguais quando atualizados para a referida data Colocando no diagrama temos R 454545 6 0 5 0 R 454545 5 5 00 R 454545 5000 0 1 2 3 4 data focal Equivalência de capitais a J Compostos O conceito de equivalência de capitais nos juros compostos é de vital importância para a resolução de problemas na matemática financeira D ois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas são considerados equivalentes quando transportados para uma mesma data de comparação ou data focal a uma mesma taxa resultarão no mesmo valor D ois conjuntos de valores financeiros sendo equivalentes em uma determinada data de vencimento também serão equivalentes em outra data qualquer Exemplo 01 Consideremos um conjunto de 3 capitais apresentados na tabela abaixo Devemos verificar se a juros compostos de 10 am eles são equivalentes em uma outra data focal Mês de vencimento C a p i t a l 2 R 5000 3 R 5500 4 R 6050 6 0 5 0 55 00 5000 data focal 0 1 2 3 4 Transportando R5 000 para a data focal 1 temos R 454545 Levan do R 5 5 00 para a data focal 1 temos R 454545 T ra zendo R 6 0 5 0 para a data focal 1 temos R 454545 Notemos que os capitais são equivalentes na data focal 1 pois seus valores são iguais quando atualizados para a referida data Colocando no diagrama temos R 454545 6 0 5 0 R 454545 5 5 00 R 454545 5000 0 1 2 3 4 data focal 0 5 D APLICAÇÃO EXERCÍCIO RESOLVIDO Tomandose o exemplo 02 acima determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado no quarto mês data focal 4 para que a dívida seja liquidada Dados i 5 am 005 am S2 4000 S6 9000 e X4 0 2 4 6 4000 X 9000 Assim a equação de valor será X 4000 1 005 2 4000 11025 X 4410 816327 X 1257327