Taxas de Juros: Diferenças entre Nominal e Efetiva

Tema 3 Taxas de juros efetiva equivalente bruta e líquida Qual a diferença entre taxa de juros nominal e efetiva Antes de começar o estudo desta aula vamos relembrar as definições de taxas de juros nominal e proporcional Taxa nominal representada pela letra j Taxa proporcional Vamos agora estudar um pouco mais profundamente as taxas de juros principalmente face às características do regime de capitalização composto Cálculo do Valor Futuro e dos Juros a partir de Taxas Nominais no Regime de Capitalização Composto Seja um capital P aplicado a uma taxa nominal j aplicada durante um certo número de períodos de capitalização n Podemos determinar o valor futuro desse capital conforme a fórmula a seguir Onde P capital aplicado F n valor futuro do capital após n períodos de aplicação n número de períodos de aplicação do capital k quantidade de períodos de capitalização no prazo referenciado na taxa nominal j taxa de juros nominal O valor jk também é chamado de taxa proporcional Vamos conferir alguns exemplos para fixar o entendimento Exemplo 1 Qual o valor futuro de um capital de R 500000 aplicado durante 18 meses a uma taxa de 24 aa Do enunciado do exemplo temos P 5000 F 18 n 18 número de períodos de capitalização k 12 taxa de juros anual e capitalização mensal existem 12 meses em 1 ano j 24 aa 024 Determinando F 18 F 18 P 1 j k n 5000 1 02412 18 714123 Logo F 18 R 714123 Caso deseje realizar este cálculo em sua HP12C proceda conforme abaixo informado lembrese de utilizar a taxa de juros em na HP12C Teclas Visor Comentário CLEAR 00000 Limpar os registradores financeiros 5000 50000000 Inserir o valor de P com sinal negativo 24 ENTER 12 20000 Inserir juros nominais por período de capitalização 18 180000 Inserir o número de períodos de capitalização 71412312 Resultado de F 18 Exemplo 2 Qual o número de períodos de aplicação de um capital de R 1500000 aplicado a uma taxa de 8 aa capitalizado trimestralmente que resulta em um valor futuro de R 2000000 Do enunciado do exemplo temos P 15000 F n 20000 n número de períodos de capitalização k 4 taxa de juros anual e capitalização trimestral existem 4 trimestres em 1 ano j 8 aa 008 Determinando n F n P 1 j k n 20000 15000 1 0084 n n ln 2000015000 ln 1 0084 1453 Logo n 1453 trimestres aproximadamente 3 anos e 2 meses Caso deseje realizar este cálculo em sua HP12C proceda conforme abaixo informado Teclas Visor Comentário CLEAR 00000 Limpar os registradores financeiros 15000 15000000 Inserir o valor de P com sinal negativo 20000 200000000 8 ENTER 4 20000 Inserir juros proporcionais para o cálculo 150000 Resultado de n Note que a calculadora arredondou o valor de n para o número inteiro imediatamente superior a 1453 Taxa Efetiva Como vimos no tópico anterior a taxa de juros nominal j não pode ser diretamente utilizada nos cálculos pois o prazo no qual ela é referenciada não é igual ao período de capitalização Na realidade utilizamos a taxa proporcional jk nos exemplos acima Uma pergunta surge no entanto qual seria a taxa efetiva que produziria o mesmo valor futuro de uma taxa de juros nominais Em outras palavras dada uma taxa nominal de 18 aa capitalizada mensalmente qual seria a taxa efetiva anual que aplicada ao capital inicialmente aplicado resultaria no mesmo valor futuro Vamos resolver um exemplo para entender o que se passa Exemplo 1 Você possui um capital de R 1200000 e deseja aplicar este dinheiro durante um ano a uma taxa nominal de 18 aa capitalizada mensalmente Qual a taxa efetiva que produz o mesmo resultado anterior Como a taxa nominal é de 18 aa capitalizada mensalmente podemos escrever que o valor futuro ao final de 12 meses será F 12 P 1 j k n 12000 1 01812 12 1434742 Agora vamos determinar uma taxa de juros anual que aplicada durante um período isto é um ano transforme R 1200000 em R 1434742 1434742 12000 1 i1 i 01956 1956 aa Note então que a taxa nominal 18 aa capitalizada mensalmente equivale a uma taxa efetiva de 1956 aa Uma forma de se obter a taxa efetiva para um determinado período seria simplesmente capitalizar a taxa proporcional pelo número de períodos desejado i 1 j k n 1 Onde i taxa de juros efetiva j taxa de juros nominal k quantidade de períodos de capitalização no prazo referenciado na taxa nominal n número de períodos de capitalização para a aplicação da taxa efetiva No exemplo acima i 1 j k n 1 1 01812 12 1 019561956 Notem que j 18 aa capitalizados mensalmente k 12 pois a taxa nominal é anual com capitalização mensal n 12 pois desejamos saber a taxa efetiva no período de um ano 12 meses Vamos fazer mais alguns exemplos para fixar os conceitos Exemplo 2 Qual a taxa efetiva que corresponde a uma taxa nominal de 18 aa capitalizada semestralmente Note que neste exemplo a taxa nominal é capitalizada semestralmente e não mensalmente como no exemplo anterior Vamos resolver este problema aplicando diretamente a fórmula da taxa efetiva acima mostrada i 1 j k n 1 1 0182 2 1 01881 1881 Observe que o K 2 pois 01 ano possui 2 semestres E note que o período de capitalização da taxa de juros nominal possui influência no valor da taxa de juros efetiva Veja uma comparação dos dois resultados na tabela abaixo Taxa nominal Taxa efetiva 18 aa capitalizado mensalmente 1956 aa 18 aa capitalizado semestralmente 1881 aa Exemplo 3 Determine a taxa de juros efetiva de um financiamento com prazo de 360 dias feito a uma taxa de 18 aa capitalizado diariamente considere o ano comercial de 360 dias Neste problema temos j 18 aa capitalizado diariamente k 360 taxa de juros anual capitalização diária existem 360 dias em 1 ano comercial n 360 dias i i 1 j k n 1 1 018360 360 1 01972 1972 Para realizar este cálculo na HP12C proceda como se segue Teclas Visor Comentário CLEAR 00000 Limpar o visor 018 ENTER 360 00005 Calcular a taxa proporcional a partir da nominal 1 10005 Calcular 1 00005 360 11972 Calcular 1005 360 1 01972 Calcular 11972 1 isto é calcular a taxa decimal 100 197164 Calcular 01972 100 isto é a taxa percentual Deste modo a taxa efetiva é i 1972 aa Taxa Equivalente Neste tópico vamos comparar taxas de juros efetivas tentando determinar a equivalência entre elas O que são taxas equivalentes São taxas que ao incidirem sobre um mesmo capital durante um mesmo número de períodos levam a valores futuros idênticos no regime de capitalização composto Vamos resolver um exemplo para clarear o assunto Exemplo 1 Suponha que uma pessoa aplique R 300000 durante 12 meses a uma taxa efetiva de 25 aa Qual seria a taxa efetiva mensal equivalente Inicialmente vamos dar nomes aos dados do exemplo i a 25 aa 025 taxa de juros efetiva anual i m taxa de juros efetiva mensal desejo calcular esta taxa P R 300000 capital inicial ou valor presente n a 1 período de aplicação do capital na taxa de juros efetiva anual n m 12 período de aplicação do capital na taxa de juros efetiva mensal F valor futuro idêntico para as duas taxa de juros A questão deseja que você calcule i m tal que o valor de P aplicado durante 12 meses àquela taxa mensal seja idêntico ao valor de P aplicado durante 1 ano à taxa i a Observe no diagrama abaixo a aplicação das duas taxas Vamos então aos cálculos Inicialmente vamos determinar F F P 1 i a n a 3000 1 025 1 3750 Deste modo o valor futuro do capital será F R 375000 Determinação da taxa efetiva mensal equivalente Deste modo a taxa efetiva mensal equivalente será im 188 am Uma maneira alternativa seria im 1 ian m 1 100 im 1 ianm 1 100 im 1 025112 1 100 188 am Como resolver este problema na HP12C Neste caso inicialmente obteremos o valor de F a partir de P i a e n a Depois obteremos o valor de i m a partir de F P e n m Veja a sequência de teclas Teclas Visor Comentário CLEAR 00000 Limpar os registradores financeiros 3000 3000000 Inserir o valor de P com sinal negativo 25 2500 Inserir o valor de i a em porcentagem 1 1000 Inserir o valor de n a 37500000 Obter o valor de F CLEAR 00000 Limpar os registradores financeiros 3000 3000000 Inserir o valor de P com sinal negativo 3750 37500000 Inserir o valor de F 12 120000 Inserir o valor de n m 18769 Obter o valor de i m já em porcentagem Note que como utilizamos quatro casas decimais no visor da HP12C necessitamos arredondar este valor para duas casas decimais a fim de obter o valor de i m anteriormente calculado Na realidade podemos calcular diretamente taxas de juros efetivas equivalentes através da fórmula abaixo 1 i a 1 i s 2 1 i t 4 1 i m 12 1 i d 360 Onde i a taxa efetiva anual i s taxa efetiva semestral i t taxa efetiva trimestral i m taxa efetiva mensal i d taxa efetiva diária Exemplo 2 Determine as taxas semestrais trimestrais mensais e diárias equivalentes a uma taxa efetiva anual de 15 Utilizando a equação acima teremos 1 015 1 i s 2 1 i t 4 1 i m 12 1 i d 360 Resolvendo para cada uma das incógnitas Ou alternativamente i s 1 015 612 1 100 724 as i t 1 015 312 1 100 356 at i m 1 015 112 1 100 117 am i d 1 015 1360 1 100 00388 am Taxa Bruta x Taxa Líquida Você já parou para observar seu extrato de aplicações financeiras Notou que as duas últimas colunas se referem a rendimento bruto e rendimento líquido Qual a diferença entre eles A primeira coluna rendimento bruto é calculada sem considerar o imposto de renda retido Neste caso temos a taxa de juros bruta do investimento A segunda coluna rendimento líquido é calculada levando em conta o imposto de renda retido na fonte por seu banco Neste caso temos a taxa de juros líquida do investimento Vamos observar um pequeno exemplo para ilustrar o que foi dito Uma pessoa aplicou R 700000 durante um mês recebendo R 720000 ao final do período Considerando uma alíquota de IR de 15 sobre o rendimento mensal determine a taxa bruta e a taxa líquida desse investimento A taxa bruta é calculada diretamente a partir do que foi aplicado e do que foi recebido Taxa bruta 7200 7000 1 00286 286 A taxa líquida ao contrário deve levar em consideração o IR de 15 015 sobre o rendimento mensal como abaixo mostrado Rendimento mensal 7200 7000 200 IR 200 015 30 Rendimento líquido Rendimento bruto IR 200 30 170 Taxa líquida Rendimento líquido Valor aplicado 170 7000 00243 243 Como esperado o valor do rendimento líquido 243 é menor que o valor do rendimento bruto 286 Taxa Real x Taxa Aparente Finalmente devemos estar atentos ao rendimento real de nossas aplicações financeiras O rendimento real é aquele que desconta o efeito da inflação no período Este rendimento é medido pela taxa de juros real O rendimento aparente não leva em conta o efeito da inflação no período Este rendimento é medido pela taxa de juros aparente A relação entre as taxas de juros aparente i ap real i re e de inflação I é dada pela fórmula abaixo Castanheira 2010 i re 1 i ap 1 I 1 Exemplo 1 Uma aplicação financeira rendeu 10 em um ano Sabendo que a taxa de inflação neste período foi de 6 determine o rendimento real dessa aplicação Do enunciado do problema i ap 10 010 I 6 006 i re Aplicando a fórmula acima teremos i re 1 i ap 1 I 1 1 010 1 006 1 00377 377 Note que de fato a inflação comeu parte do rendimento da aplicação financeira Exemplo 2 Uma aplicação financeira rendeu 4 em um ano Sabendo que a taxa de inflação neste período foi de 6 determine o rendimento real dessa aplicação Do enunciado do problema i ap 4 004 I 6 006 i re Aplicando a fórmula acima teremos i re 1 i ap 1 I 1 1 004 1 006 1 00189 189 Nesta situação o aplicador teve prejuízo uma vez que seu investimento rendeu abaixo da inflação Este é o significado de i re 189 ter sido um número negativo