Matemática Financeira - Juros Compostos e Montante de Séries Periódicas

Matemática Financeira Erisson Machado Moreira 03 J Compostos Montante de Séries Periódicas Uniformes Sequência de Investimentos Capitalização 2 Série Antecipada Na renda antecipada os depósitos são efetuados no início de cada período totalizando n parcelas ou prestações iguais PRT a uma taxa unitária i referida à mesma unidade do período constante Desta forma como o depósito é feito no início do período ao final deste período ele já estará originando um montante Exemplo 02 No início de cada mês uma pessoa deposita em uma financeira durante 5 meses a quantia de R 1000 Se a financeira paga juros compostos de 3 ao mês capitalizados mensalmente Determine o montante da renda OBS Devemos lembrar também que o montante é dado por F P 1 in e que o último depósito terá rendimento normal pois foi aplicado no início do último período um mês antes do dia em que se pede o montante 0 1000 100010031 1000 X 1031 103000 1 1000 100010032 1000 X 1032 106090 2 1000 100010033 1000 X 1033 109273 3 1000 100010034 1000 X 1034 112551 4 1000 100010035 1000 X 1035 115927 5 Neste ponto final do montante O valor do montante da uma renda é igual à soma dos valores dos montantes de seus termos ou seja F 5 03 1030 106090 109273 112551 115927 O montante de renda é F 5 03 R 546841 Todo esse procedimento pode ser simplificado quando utilizamos a expressão para o cálculo do Montante da renda imediata antecipada 02 Usando a expressão 02 acima com o resultado do exemplo 02 temos F 5 003 530913 1 i 530913 1 003 F 5 003 530913 103 F 5 003 R 546840 Montante de Séries Uniformes estudaremos neste item o cálculo do montante ou valor futuro constituído por depósitos periódicos de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa Quanto à data do vencimento do 1o termo as séries podem ser a Imediata Quando ocorre o primeiro vencimento a partir do primeiro período e b Diferida Quando ocorre o primeiro vencimento a partir de uma data que não seja o primeiro período período de carência 1 Série Postecipada Na anuidade postecipada os depósitos são efetuados no final de cada período totalizando n parcelas ou prestações iguais PRT a uma taxa unitária i referida à mesma unidade do período constante Para melhor compreensão deveremos considerar o seguinte problema Exemplo 01 No fim de cada mês uma pessoa deposita em uma financeira durante 5 meses a quantia de R 1000 Se a financeira paga juros compostos de 3 ao mês capitalizados mensalmente determine o montante da renda Temos PRT 1000 i 003 am e n 5 me Esta situação é mostrada no esquema abaixo OBS Devemos lembrar que o montante é dado por F P1 in e que o último depósito não terá rendimento pois foi aplicado no dia em que se pede o montante 0 1 1000 1000 1 0031 1000 X 1031 103000 2 1000 1000 1 0032 1000 X 1032 106090 3 1000 1000 1 0033 1000 X 1033 109273 4 1000 1000 1 0034 1000 X 1034 112551 5 1000 Neste ponto final do montante 100000 O valor do montante da renda é igual à soma dos valores dos montantes de seus termos ou seja F 5 003 1030 106090 109273 112551 1000 O montante da renda é F5 003 R 5309 14 Todo esse procedimento pode ser simplificado quando utilizamos a expressão para o cálculo do Montante da renda imediata postecipada 01 PRT é o valor dos depósitos periódicos em que n é o número de períodos i é a taxa de juro Podemos recalcular o exemplo 01 acima usando a fórmula 01 F 5 003 1000 530913 F 5 003 R 530913 Matemática Financeira Erisson Machado Moreira 03A APLICAÇÃO EXERCÍCIO PROPOSTOS 01 Uma pessoa deposita em uma financeira durante 6 meses a quantia de R 5000 Se a financeira paga juros compostos de 2 ao mês determine o montante da renda nos casos seguintes a Considerando a série postecipada b Considerando a série antecipada a Fni PRT F5002 5000 5000 F5002 5000 5000 631 F5002 31550 b Fni PRT 1 i F5002 5000 1 002 5000 102 F5002 5000 102 5000 631 102 F5002 31550 102 F5002 32181 02 Um fundo de renda fixa paga juros de 4 am Um investidor fez um depósito inicial de R 10000 mais 20 depósitos mensais iguais e consecutivos o primeiro iniciando um mês após o depósito de abertura Considerando que no fim do período o fundo acusa um saldo de R 50000 calcular o valor das aplicações mensais Taxa de 4 am 004 am Cálculo da prestação PRT F P 1 i n e PTR 29778 2808880 PTR R 94327 OUTRA FORMA DE RESOLUÇÃO No enunciado do problema percebese que há duas situações diferentes Na primeira situação o investidor fez um depósito inicial único de 10000 e terá um determinado montante final após 20 meses O cálculo seria F1 P 1 in 10000 1 00420 10000 10420 10000 219112 F1 2191120 Matemática Financeira Erisson Machado Moreira 03B Na segunda situação o mesmo investidor vai fazer mais 20 depósitos mensais consecutivos um após o outro de um determinado valor desconhecido e que se quer descobrir sendo o primeiro depósito iniciandose um mês após aquele depósito único anterior Isto significa dizer que neste caso temos aqui uma série de investimentos postecipada com depósitos todos os meses É preciso usar a fórmula da série postecipada O cálculo seria F2 PRT PRT PRT F2 PRT F2 PRT 29778 Para calcular PRT lembramos que o problema diz que a soma de F1 F2 50000 Como F1 2191120 teremos 2191120 PRT 29778 50000 PRT 29778 50000 2191120 PRT 29778 2808880 PRT PRT 94327 Matemática Financeira Erisson M Moreira 03C J Compostos Séries Periódicas Sequência de Pagamentos Amortização 2 Série Antecipada Exemplo 02 Tomemos o mesmo exemplo anterior Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais antecipadas de R1000 sendo de 3 ao mês a taxa de juro Esta situação é mostrada no esquema abaixo 0 1000 1000 1 0031 1000 1031 97087 1 1000 1000 1 0032 1000 1032 94260 2 1000 1000 1 0033 1000 1033 91514 3 1000 1000 1 0034 1000 1034 88849 4 1000 1000 5 Neste ponto final do valor atual P 5 003 97087 94260 91514 88849 1000 A dívida é de P 5 003 R 471710 Todo esse procedimento pode ser simplificado quando utilizamos a expressão para o cálculo do Valor presente da série antecipada valor atual Ou podemos utilizar também a expressão Onde P é o valor presente da renda antecipada PRT é o valor dos pagamentos prestações n é o número de períodos e i é a taxa de juro Recalculemos o exemplo 02 acima usando a fórmula 02 1 i 103 P 5 003 1000 457936 103 P 5 003 1000 471674 P 5 003 R 471674 OBS o valor obtido foi maior pois como as prestações foram de forma antecipadas e com a mesma quantia do ex anterior a dívida que se poderá contrair é maior Amortização Composta para o caso de se calcular o valor de uma dívida ou de um empréstimo que será paga em prestações periódicas de quantias constantes sobre as quais incide a mesma taxa 1 Série Postecipada Pelas mesmas razões expostas quando do cálculo do montante da renda podemos encontrar a expressão para o cálculo do valor presente valor à vista da série postecipada Antes porém vejamos o Exemplo Exemplo 01 Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais postecipadas de R 1000 sendo de 3 ao mês a taxa de juro OBS Devemos lembrar que a expressão que nos dá o valor atual é dada por F P 1 in N A 1 in O cálculo do valor atual ou do principal valor presente é simplesmente uma operação inversa do cálculo do montante Esta situação é mostrada no esquema abaixo 0 1 1000 1000 1 0031 1000 1031 97087 2 1000 1000 1 0032 1000 1032 94260 3 1000 1000 1 0033 1000 1033 91514 4 1000 1000 1 0034 1000 1034 88849 5 1000 1000 1 0035 1000 1035 86261 Fazendo a soma dos valores principais valor presente de seus termos vem P 5 003 97087 94260 91514 88849 86261 A dívida é de P 5 003 R 457971 Todo esse procedimento pode ser simplificado quando utilizamos a expressão para o cálculo do Valor presente da série postecipada valor atual Pni PMT 01 ou PV PMT onde P é o valor Presente da série postecipada PRT são os pagamentos periódicos prestação n é o número de períodos i é a taxa de juro Podemos recalcular o exemplo 01 acima usando a fórmula 01 P 5 003 1000 457936 P 5 003 R 457936 03D A P L I C A Ç Ã O EXERCÍCIO RESOLVIDO Um bem cujo preço à vista é de 6000 será pago em dez prestações mensais iguais Visto que o juro composto cobrado é de 60 aa calcule o valor das prestações a considerando vencimentos no fim de cada mês b considerando vencimentos no início de cada mês Dados valor à vista P 10 004 6000 n 10 me i 60 aa PRT A taxa equivalente ao mês será 1 im12 1 ia1 1 im12 1 0601 1 im 12160 im 103994 1 im 004 im 4 a postecipada 6000 PRT 1 00410 1 004 1 00410 6000 PRT 148024 1 004 148024 6000 PRT 048024 005921 6000 PRT 811079 PRT 6000 811079 PRT 73976 b antecipada 6000 PRT 811079 104 PRT 71130 Highrisk pregnancies are Dobbs were a solids can of an echo of a highrisk pregnancy the positive a disorders and labor disruption and other complications see list 3 for details is an important part of prenatal care Xrays or fluoride other than dental xrays can injure Areas around the uterus or may เพม ะ and other highrisk pregnancies have higher incidences of complications including some conditions not always preventable special tests like ultrasound are needed to ensure the function of the fetus and that of maternal health criteria Obesity associated diabetes stroke preeclampsia seizures and kidney disease is substantial and finally the blood sugar in pregnancy Diabetics with poor control should be referred to a specialist In this regard early termination takes place the general goal is to protect the mothers health while optimizing fetal outcomes A grand multi pregnancy is the presence of more than two fetuses at the same time A great multiple pregnancy is a multiple pregnancy involving more than two fetuses Children born after 22 weeks but weighing less than 500 g are considered fetuses without a viable activity Early diagnosis of great multiples is facilitated by special ultrasound in early pregnancy and an early ultrasound screening test may detect these fetuses at an early stage Due to neglect of multiple pregnancies and multiple ant has always been prioritized For most women with multiple pregnancies care is taken so that the pregnancy has been prolonged as normal pregnancies cannot Collapse and result in early delivery With the development of ultrasound and more intensive antenatal care multiple birth rates have increased as a result of assisted reproductive technology with ongoing multiple pregnancies in natural pregnancy is 1 percent Multiple pregnancies are associated with increased incidence of preterm delivery intra partum hemorrhage diabetic Ament or Preeclampsia Deliveries do take place prematurely and the degree of prematurity is inversely proportional to the number of fetuses carried The weight of the individual fetus tends to decrease proportionally with increasing fetal number However the perinatal mortality rate increase dramatically from singletons to triplets multiple pregnancy Completion of term births among twins has increased due to advances in neonatal intensive care However complication such as preterm labor abruptio placenta PROM and congenital abnormalities are very common in multiple pregnancies and poor pregnancy outcome including a high perinatal mortality rate The weight of the individual fetus tends to decrease proportionally with increasing fetal number However the perinatal mortality rate increase dramatically from singletons to triplets multiple Pregnancy Completion of term births among twins has increased due to advances in neonatal intensive care However complication such as preterm labor abruptio placenta PROM and congenital abnormalities are very common in multiple pregnancies and poor pregnancy outcome including a high perinatal mortality rate As many as 75 of twins will be born before 37 weeks of gestation and antepartum hemorrhage occur in greater frequency in twins than in singletons Multiple pregnancies that survived beyond 28 weeks and resulted in live born infants were generally admitted into neonatal units much more frequently than infants for singleton pregnancies On the other hand some examples of pregnancy complications which are immediately life threatening and require emergency action see list 2 Complicated multiple pregnancies require early referral and delivery of remainder of pregnancy trend towards selective reduction in the number of fetuses but there are ethical and religious concerns regarding this practice in different regions of the world Twins and other multiple pregnancies should receive care from persons with special skills and facilities for multiple deliveries Care of highrisk pregnancies should be undertaken on the basis of a risk assessment based on the initial and follow up examinations and investigations It should also take into consideration local facilities available for further consultation monitoring and followup The aim of risk screening and eliminating high risk conditions that could threaten the health of the mother and fetus is to reduce the impact of preterm delivery low birth weight intra uterine death and fetal abnormalities in the community The pregnant women should be informed about risk factors and be reassured that the purpose of monitoring is to protect her health and improve the outcome of pregnancy Pregnant women can be classified for risk factors as follows Lowrisk This is the commonest group and includes those who have no known factors that are likely to endanger the mother or fetus Midrisk This group includes those who have past obstetric history such as stillbirth neonatal death and congenital fetal malformation chronic medical disorders such as diabetes epilepsy and hypertension and those whose present pregnancy has complications such as placenta previa or hypertension Highrisk pregnant women who require hospitalization include all those whose pregnancy is complicated by complications like severe toxemia hydramnios