Calculo 2 Doc 3

PERGUNTA 1 Na indústria siderúrgica é muito comum trabalhar com metal e com aquecimento de peças Suponhase que uma placa metálica tem uma temperatura que varia de acordo com a expressão Txy 10 8x² 2y² Assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação que deve ser resolvida para encontrar o ponto máximo da função temperatura a 16x 16y 00 b 4x 16y 00 c 16x 4y 00 d 4x 4y 00 e x y 00 PERGUNTA 2 A distância entre dois pontos Ax₁ y₁ z₁ e Bx₂ y₂ z₂ no espaço é dada por d x₂ x₁² y₂ y₁² z₂ z₁² Sabendo disso e sabendo também que o ponto que minimiza a função exposta minimiza d² assinale a alternativa que apresenta corretamente a fórmula para encontrar os pontos críticos do quadrado da função distância entre o ponto Cabc e o plano x y z 1 a 2x 2y 2c 2a 2 2y 2x 2c 2b 2 00 b 2x 4y 2c 2a 2 2y 4x 2c 2b 2 00 c 4x 2y 2c 2a 2 4y 2x 2c 2b 2 00 d 4x 2y 2c 2a 2 4y 2x 2c 2b 2 00 e 4x 4y 2c 2a 2 4y 4x 2c 2b 2 00 PERGUNTA 3 Uma placa de metal está no chão e uma formiga anda sobre a placa Uma criança pega uma lupa e direciona a luz solar para um ponto da placa a fim de esquentála e ver como a formiga irá se mover A temperatura da placa é dada pela expressão Txy 10 8x² 2y² A formiga está nessa placa no ponto 11 Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que a formiga deve se mover de modo a andar na direção de menor aumento da temperatura a 44 b 416 c 1616 d 164 e 164 PERGUNTA 4 A Função de CobbDouglas é uma função amplamente utilizada em economia para representar a relação entre dois ou mais fatores de produção e o produto Consideremos a função de CobbDouglas F que representa o valor bruto de produção de uma fábrica Seja F dada por Fxyz 1001 x035 y03 z035 com 0 x 10 0 y 10 0 z 10 em que x representa investimento em capital de baixa tecnologia y representa investimento em pessoal e z representa investimento em capital de alta tecnologia Qual a taxa de variação em relação ao investimento em capital de baixa tecnologia quando é investido 1 uma unidade de valor em cada uma das três frentes a 065065 b 075075 c 1001 d 01001 e 035035 PERGUNTA 5 Considere a função f R² R dada por fxy 0 se x² y² 1 e 2 x² y² se x² y² 1 Podemos afirmar que a f não possui pontos de mínimo global b dfdx12 2 e dfdy12 4 c o ponto p de coordenadas 00 é o único ponto crítico de f d o ponto p de coordenadas 00 é ponto de máximo global e dfdx10 2 e dfdy12 0 PERGUNTA 6 Considere f R² R dada por fxy 7 x² y² 2x 2y Podemos afirmar que a o ponto p 11 é ponto de máximo local de f b o ponto p 00 é ponto de máximo global de f c o ponto p 11 é ponto de mínimo global f d o ponto p 11 é ponto de máximo global f e o ponto p 00 é ponto de máximo local de f mas não é máximo global PERGUNTA 7 A função f R² R é uma função diferenciável em todo seu domínio Sabendo que a curva de nível 1 de f coincide com o traço da curva y R R² e que o gradiente de f no ponto 11 dado por f11 2 1 uma equação possível para a reta tangente à curva de nível 1 de f no ponto 11 é dada por a r 11 λ 2 1 λ R b r 2 1 λ 11 λ R c r 2 1 λ 2 1 λ R d r 11 λ 12 λ R e r 1 1 λ 11 λ R Txy 10 8x2 8y2 Pontos críticos Txy 00 Tx 16x Ty 16y Logo Txy 16x 16y 00 A PERGUNTA 3 Uma placa de metal está no chão e uma formiga anda sobre a placa Uma criança pega uma lupa e direciona a luz solar para um ponto da placa a fim de esquentála e ver como a formiga irá se mover A temperatura da placa é dada pela expressão Txy 10 8x² 2y² A formiga está nessa placa no ponto 11 Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que a formiga deve se mover de modo a andar na direção de menor aumento da temperatura a 44 b 4 16 c 1616 d 164 e 16 4 DERIVADA DIRECIONAL fv fxyvv Txy 10 8x² 8y² Txy 16x 16y Tv Txyvcosθv Txycosθ MENOR AUMENTO cosθ É MÍNIMO θ 180 v Txy T11 16 16 v 16 16 p 11 p 17 17 v não muda de direção com p₃ 54 4 A Plano P x y z 1 z 1 x y xy 1 x y P Distância ao quadrado dpc2 x02 yb2 1xyc2 fxy fx 2x0 21xyc1 2x 20 2x 2y 2c 2 fx 4x 2y 20 2c 2 fy 2yb 21xyc1 2x 4y 2b 2c 2 Minimizar f 00 4x 2y 20 2c 2 2x 4y 2b 2c 2 00 D 1 unidade em cada x y z 1 ρ 111 Fxyz 1001 x035 y03 z035 Capital de baixa tecnologia x Fx 035 1001 x065 y03 z035 Em ρ Fx 035 1001 1065 103 1035 Fx 035 1001 035035 E PERGUNTA 6 Considere f R2 R dada por fxy 7 x2 y2 2x 2y Podemos afirmar que a o ponto p 11 é ponto de máximo local de f b o ponto p 00 é ponto de máximo global de f c o ponto p 11 é ponto de mínimo global f d o ponto p 11 é ponto de máximo global de f e o ponto p 00 é ponto de máximo local de f mas não é máximo global fxy 7 x2 y2 2x 2y Pontos críticos fxy 00 fxy 2x2 2y2 00 2x20 x1 2y20 y1 Ponto crítico 11 Hessiana H ²fx² ²fxy ²fxy ²fy² 2 0 0 2 det H11 22 4 11 é máximo ou mínimo ²fx² 11 2 0 11 é máximo fxy 7 x² 2x 1 y y² 2y 1 1 9 x1² y1² f11 9 11 é máximo global pois x1² y1² 0 xy R² D PERGUNTA 7 A função f R² R é uma função diferenciável em todo seu domínio Sabendo que a curva de nível 1 de f coincide com o traço da curva γ R R² e que o gradiente de f no ponto 11 dado por f11 2 1 uma equação possível para a reta tangente à curva de nível 1 de f no ponto 11 é dada por a rt1 λ2 1 λ R b r 2 1 λ11 λ R c r 2 1 λ 2 1 λ R d r 11 λ 12 λ R e r 1 1 λ 11 λ R Gradiente numa curva de nível gxy qualquer Logo o vetor da tangente é perpendicular ao gradiente v 0b v f11 0 0b 21 0 2 0 b 0 b 20 v 020 0 12 Reta ς ρ λ v λ R ρ 11 ς 11 λ 12 D