Calculo 2 - Documento 7

PERGUNTA 1 Uma partícula eletricamente carregada se move sobre uma superfície metálica que tem a forma do gráfico da função fxy 3x² 7y² Suponha que a parametrização da curva descrita pela partícula seja rt t²t³1 Assinale a alternativa que apresenta a forma de se calcular a taxa de variação da partícula descrita acima a γt 42t⁵ 12t³ 28t b γt 42t⁵ 13t³ 25t c γt 42t⁵ 12t³ 42t² d γt 41t⁶ 13t³ 28t e γt 42t⁵ 12t⁴ 28t PERGUNTA 2 O conceito de continuidade é muito importante em matemática e em suas aplicações Sabemos que funções contínuas são integráveis por exemplo Assinale a alternativa que apresenta uma função contínua no ponto 00 a fxy yx xy 00 0 xy 00 b fxy xxy xy 00 0 xy 00 c fxy x⁴ y⁴x² y² xy 00 0 xy 00 d fxy 1xy xy 00 0 xy 00 e fxy x⁴x² y² xy 00 0 xy 00 PERGUNTA 3 Uma placa metalica tem uma temperatura que varia de acordo com a expressão Txy 10 8senx² y² Para encontrar os pontos em que a temperatura é máxima ou minima é frequente o cálculo do vetor gradiente Assinale a alternativa que apresenta o vetor gradiente da função Txy a 16ycosx² y² 16xcosx² y² b 16xcosx² y² 16ycosx² y² c 16xycosx² y² 16xycosx² y² d 16xcosx² y² 16ycosx² y² e 16ycosx² y² 16ycosx² y² PERGUNTA 4 A visualização de curvas de nível é uma maneira de tentar entender o que acontece com uma superfície tridimensional com várias curvas bidimensionais Curvas de nível podem ser obtidas da interseção de uma superfície com um plano Considere a superfície que é o gráfico da função fxy x² y² e o plano de equação z 1 Nesse caso a interseção da superfície com o plano é chamada curva de nível Assinale a alternativa que apresenta o comprimento da curva descrita acima a L π2 b L 2π c L 3π d L π e L 4π 2 Temse que f é contínua em 00 se lim xy00 fxyf00 para todos os itens f00 0 a Temos lim xy00 fxy lim xy00 yxy Tomandose os caminhos γ1t t0 e γ2t 0t temse t0 quando x0 ou y0 e assim lim t0 fγ1t lim t0 0t0 lim t0 0t lim t0 0 0 e lim t0 fγ2t lim t0 t0t lim t0 1 1 Como por caminhos diferentes os limites nas diferentes estas lim xy00 fxy e portanto f não é contínua em 00 PERGUNTA 5 O centro de massa de uma lâmina metálica L descrita matematicamente no plano cartesiano como L xy R² x² y² 1 y x 0 com função densidade γxy é dada por a 115 215 b 72²30 725 2²30 c ³215 ³215 d 25 25 e 315 ⁴315 b Tomandose os mesmos caminhos definidos em a obtemos lim t0 fγ1t lim t0 ttt lim t0 12 1 e lim t0 fγ2t lim t0 00t lim t0 0t lim t0 0 0 Novamente caminhos distintos resultam em limites diferentes lim xy00 fxy f não é contínua em 00 c Temos que lim xy00 x4 y4x2 y2 lim xy00 x2 y2x2 y2x2 y2 lim xy00 x2 y2 02 02 0 f00 Portanto f é contínua em 00 PERGUNTA 6 Um estudante de Cálculo 2 comprou um doce recheado que tem formato de cone Suponha que o cone pode ser pensado como o gráfico da função fxy 2x² y² para x² y² 4 Assinale a alternativa que apresenta o volume de doce dentro do cone a V 12π3 b V 64π3 c V 8π3 d V 16π3 e V 32π3 d sendo γ1t t2 t2 estas t0 quando xy 00 Assim lim t0 fγ1t lim t0 1t2 t2 lim t0 12t2 e para γ2t t2 t2 lim t0 fγ2t lim t0 1t2 t2 lim t0 12t2 sendo os limites distintos entre si por caminhos diferentes estas lim xy00 fxy e deste modo f não é contínua em 00 ① Temos que γt ddtfrt fx dxdt fy dydt Como fxy 3x² 7y² então fx 6x fy 14y Além disso rt t² t³ 1 dxdt 2t dydt 3t² Assim γt 6x 2t 14y 3t² γt 12x t 42y t² 12 t² t 42 t³ 1 t² γt 12t³ 42t⁵ 42t² γt 42t⁵ 12t³ 42t² Alternativa C e Temos lim xy 00 x⁴ x² y² lim xy 00 x² x² y² 0 f00 limitado Portanto f é contínua em 00 Alternativas C e E 3 Pela regra da cadeia Tx x 10 8 senx² y² 8 cosx² y² x x² y² Tx 8 cosx² y² 2x 16 x cosx² y² e Ty y 10 8 senx² y² 8 cosx² y² y x² y² Ty 8 cosx² y² 2y 16 y cosx² y² Logo Txy 16 x cosx² y² 16 y cosx² y² Alternativa D 4 Sendo a curva Ci x² y² 1 então no plano z 1 C representa uma circunferência de raio R 1 1 e centrada em 00 Assim seu comprimento será L 2π R 2π 1 L 2π Alternativa B 5 sendo L em coordenadas polares yx x²y²1 xr cos θ yr sen θ com 0 r 1 π4 θ π2 está a massa M será ML γ dA L xy2 dA π4π2 01 r cos θ r sen θ 2 r dr dθ M12 π4π2 xsenθ cosθ dθ 01 r³ dr I II I se usen θ du cos θ dθ π4π2 sen θ cos θ dθ u du u²2 sen² θ 2 θπ2θπ4 12 xen² π2 xen² π4 12 1² 22² 12 1 12 12 12 14 II 01 r³ dr r⁴4 01 1⁴ 0⁴4 104 14 Assim M12 14 14 M132 Além disso Mx L yγ dA π4π2 01 r sen θ r cos θ r sen θ 2 r dr dθ Mx 12 π4π2 x sen² θ cos θ dθ 01 r⁴ dr III IV III se u sen θ du cos θ dθ π4π2 x sen² θ cos θ dθ u² du u³3 xen³ θ 3π2π4 13 xen³ π2 xen π4 13 1³ 22³ 13 1 28 13 1 24 e IV 01 r⁴ dr r⁵5 01 1⁵ 0⁵5 15 Então Mx 12 13 1 24 15 130 1 24 130 1 2122² 130 2² 2122² Agora My L x γ dA π4π2 01 r cos θ r cos θ r sen θ 2 r dr dθ My 12 π4π2 cos² θ xen θ dθ 01 r⁴ dr V feito anteriormente 15 V se u cos θ du xsen θ dθ du xen θ dθ π4π2 cos² θ xen θ dθ u² du u³3 cos³ θ 3 π4π2 13 cos³ π2 cos³ π4 13 0³ 22³ 13 24 13 2124 13 2122² Deste modo My 12 13 2122² 15 130 2122² O centro de massa x ȳ é tal que x My M 130 2122² 132 2⁵ 130 272 x 27230 e ȳ Mx M 130 2² 2122² 132 130 2² 212 2⁵ 130 2² 212 2³ ȳ 2⁵ 27230 Portanto x ȳ 27230 2⁵ 27230 Alternativa B Quando x2 y2 4 então z fxy 2x2 y2 24 22 z 4 Assim o cone tem altura 4 e o raio da sua base é tal que x2 y2 4 x2 y2 22 R 2 Portanto o seu volume será V 13π224 V 16π3 Alternativa D