Revisão dos Conteúdos de Cálculo II

Revisão Disciplina Cálculo II Univesp Profª Renata Zotin Gomes de Oliveira Apresentamos neste texto uma revisão dos principais conteúdos abordados na disciplina de Cálculo II MCA002 São eles 1 Funções de várias variáveis domínio imagem e gráfico Curvas e superfície de nível 2 Curvas parametrizadas Limites Funções contínuas Derivação Parcial Regra da Cadeia Derivada Direcional 3 Derivadas Parciais Gradiente Máximos e Mínimos 4 Plano tangente Regra da Cadeia e Polinômio de Taylor 5 Integrais duplas e Teorema de Fubini 6 Aplicações de integral dupla 1 Funções de várias variáveis z fx y é uma função de duas variáveis x e y são as variáveis independentes e z é a variável dependente Domínio de f subconjunto do ℝ2 para os quais é possível calcular a imagem Exemplo fx y 2x xy Assim Df x y ℝ2x y Gráfico de f Gf x y z ℝ3z fx y x y D O gráfico é uma superfície em ℝ3 Dada uma função f A ℝ2 ℝ sua curva de nível 𝐤 é o subconjunto do ℝ2 definido por x y A fx y k Essas curvas podem ser retas elipses parábolas dentre outras ou até mesmo um conjunto vazio Exemplo as curvas de nível k para a função 𝑓𝑥 𝑦 1 4𝑥 2𝑦 são tais que 1 4x 2y k ou seja y k14x 2 2x k1 2 ou seja são retas paralelas de coeficiente angular 2 De modo análogo temos que uma superfície de nível k para uma função f B ℝ3 ℝ é o subconjunto do ℝ3 definido por x y B fx y z k Curvas de nível são utilizadas na elaboração de mapas topográficos e mapas meteorológicos dentre outros Elas indicam pontos do domínio que possuem a mesma imagem 2 Curvas parametrizadas No Cálculo I em geral esboçamos curvas planas quando temos y como função de x y fx ou x como função de y x gy Por exemplo construindo o gráfico de y x2 1 temos uma parábola Mas se tivermos uma partícula se movendo ao longo de uma curva C como abaixo não podemos representála por uma equação do tipo y fx pois não representa o gráfico de uma função No entanto as coordenadas x e y podem ser escritas como funções de t ou outra variável qualquer ou seja x ft e y gt A variável t é chamada parâmetro Cada valor de t determina um ponto x y ft gt e assim traça a curva C que é chamada curva parametrizada Assim podemos interpretar um ponto da curva C como a posição de uma partícula no instante t Exemplo ao traçar a curva C parametrizada por x t2 2t e y t 1 você obterá uma parábola com concavidade voltada para a direita Uma curva 𝑟 𝑎 𝑏 ℝ𝑛 pode ser escrita na forma 𝑟𝑡 𝑓1𝑡 𝑓2𝑡 𝑓𝑛𝑡 em que cada 𝑓𝑖𝑡 é uma função real A imagem de r é chamada de traço de r Se cada 𝑓𝑖𝑡 é uma função diferenciável usando o cálculo de uma variável podemos mostrar que rt f1t f2t fnt Assim rt0 f1t0 f2t0 fnt0 é o vetor tangente à curva em 𝑟t0 Aplicação slide 16 Videoaula 4 o traço de uma curva pode ser visto como a trajetória de uma partícula entre os instantes a e b neste caso para cada 𝑡 𝑎 𝑏 𝑟𝑡 nos diz a posição desta partícula no instante t o vetor rt nos diz a direção tangente à sua trajetória e em qual sentido a partícula está percorrendo esta curva nas proximidades de 𝑡 Já o módulo deste vetor rt é a velocidade vetorial que esta partícula tem no instante 𝑡 Dada a curva r a b R2 a equação da reta m tangente ao traço da curva r no ponto t0 é dada por m x y rt0 α rt0 α ℝ Comprimento de curva já vimos no Cálculo I como calcular o comprimento de uma curva dada na forma 𝑦 𝑓𝑥 para 𝑎 𝑥 𝑏 Usando o mesmo raciocínio podemos mostrar que o comprimento de uma curva parametrizada de classe 𝐶1 r a b Rn de ra até rb é dado por Lab rtdt b a Assim considerando a curva 𝑟𝑡 cos t sen t 0 t 2π temos rt sen t cos t Neste caso temos L0 2π rtdt 2π 0 Como rt sen t2 cos t2 1 Assim L0 2π 1dt 2π 0 2π unidades de comprimento O uso de curvas parametrizadas será útil para mostrar que o limite de uma determinada função não existe como veremos a seguir Limites Usamos a notação lim 𝑥𝑦𝑥0𝑦0 𝑓𝑥 𝑦 𝐿 para indicar que os valores de 𝑓𝑥 𝑦 se aproximam do número L quando o ponto 𝑥 𝑦 se aproxima do ponto 𝑥0 𝑦0 ao longo de qualquer caminho contido no domínio de f Uma função f é contínua em 𝑎 𝑏 pertencente ao domínio de f se lim 𝑥𝑦𝑎𝑏 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑎 𝑏 Exemplos a lim xy00 xy sen 1 x2y 0 pois lim xy00 xy 0 é contínua em 00 e a função gx y sen 1 x2y é limitada ou seja sen 1 x2y 1 b lim 𝑥𝑦11 𝑥𝑦 𝑦 𝑥2𝑥 lim 𝑥𝑦11 𝑦𝑥1 𝑥𝑥1 lim 𝑥𝑦11 𝑦 𝑥 1 1 1 c Para calcular lim 𝑥𝑦00 𝑥24𝑦2 𝑥2𝑦2 vamos denotar por 𝑓𝑥 𝑦 𝑥24𝑦2 𝑥2𝑦2 e consideraremos dois caminhos distintos para nos aproximarmos do ponto 00 Considerando as curvas γt t t e ρt t 2t temos que γ0 00 ρ0 Assim fγt t24t2 t2t2 3 t2 2t2 3 2 portanto lim t0 fγt 3 2 Por outro lado fρt t216t2 t24t2 15t2 5t2 3 portanto lim t0 fρt 3 Como lim t0 fγt lim t0 fρt concluímos que o limite dado não existe 3 Derivadas Parciais Seja f uma função de duas variáveis Então f x x y lim h0 fx h y fx y h e f y x y lim k0 fx y k fx y 𝑘 são chamadas respectivamente derivada parcial de f em relação a x e derivada de f em relação a y desde que os limites existam Para calcular f x trate y como uma constante e derive fx y em relação a x e para calcular f y trate x como constante e derive fx y em relação a y Assim f x representa a variação de f em relação a x quando y é mantido constante e f y representa a taxa de variação de f em relação a y quando x é mantido constante De modo análogo podemos definir derivadas de ordem superior Exemplo se fx y 4 2x2 4y2 então f x 4x e f y 8y A definição de derivada parcial para funções de três variáveis ou mais é análoga Podemos também definir as derivadas de ordem superior Máximos e Mínimos Uma função fx y tem um máximo local em um ponto a b do domínio de f se fx y fa b numa vizinhança de a b Se fx y fa b então f tem um mínimo local em a b Uma condição necessária para que f tenha máximo ou mínimo local em a b é que as derivadas parciais de primeira ordem de f anulemse nesse ponto ou seja f x a b 0 e f y a b 0 Quando isso acontece dizemos que a b é um ponto crítico de f Teste da segunda derivada Se as derivadas parciais de segunda ordem da f forem contínuas numa região D contendo o ponto o ponto crítico a b ou seja f x a b 0 e f y a b 0 então calculando 𝐷 2𝑓 𝑥2 𝑎 𝑏 2𝑓 𝑥𝑦 𝑎 𝑏 2𝑓 𝑦𝑥 𝑎 𝑏 2𝑓 𝑦2 𝑎 𝑏 podemos dizer que a Se 𝐷 0 e 2𝑓 𝑥2 𝑎 𝑏 0 então 𝑎 𝑏 é ponto de mínimo local de f b Se 𝐷 0 e 2𝑓 𝑥2 𝑎 𝑏 0 então 𝑎 𝑏 é ponto de máximo local de f c Se 𝐷 0 e então 𝑎 𝑏 nem é ponto de mínimo nem ponto de máximo de f É chamado ponto de sela Assim os pontos críticos são candidatos a pontos de máximomínimo O teste anterior nos ajudar a decidir o que realmente são Teorema de ClairutSchwarz Se f é de classe 𝐶2 então 2f x y x y 2f y x x y Gradiente e derivada direcional O vetor gradiente de uma função z fx y no ponto a b é definido por fa b f x a b f y a b Podemos mostrar que o gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível de 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 em a b De modo análogo o vetor gradiente é perpendicular às superfícies de nível da função Vetores no ℝ𝟑 𝑢 𝑥12 𝑦12 𝑧12 é chamado norma de 𝑢 em que 𝑢 𝑥1 𝑦1 𝑧1 Assim se 𝑢 121 𝑢 12 22 12 6 Produto escalar e produto vetorial O produto escalar entre dois vetores é definido por 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 Assim 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ou seja 𝜃 90𝑜 e assim 𝑢 𝑒 𝑣 são perpendiculares Dados os vetores 𝑢 𝑥1 𝑦1 𝑧1 e 𝑣 𝑥2 𝑦2 𝑧2 definimos o produto vetorial de 𝑢 por 𝑣 como sendo o vetor 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑑𝑒𝑡 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑧2 𝑖 𝑥1 𝑧1 𝑥2 𝑧2 𝑗 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑘 𝑦1𝑧2 𝑦2𝑧1𝑖 𝑥1𝑧2 𝑥2𝑧1 𝑗 𝑥1𝑦2 𝑥2𝑦1𝑘 Assim se 𝑢 e 𝑣 são paralelos as respectivas coordenadas são proporcionais e o determinante acima é nulo ou seja 𝑢 𝑣 0 Efetuando o produto escalar de 𝑢 𝑣 por 𝑢 obtemos u v u y1z2 y2z1 x1z2 x2z1 x1y2 x2y1 x1 y1 z1 0 De modo análogo se fizermos o produto escalar por 𝑣 também obtemos 0 Assim o vetor u v é perpendicular a u e a v Derivada Direcional O limite f v a b lim t0 fa b tv1 v2 fa b t lim t0 fa tv1 b tv2 fa b t Quando existe e é finito é chamado de derivada direcional da função z fx y no ponto a b na direção do vetor unitário v v1 v2 A derivada direcional f v a b pode ser chamada também de taxa de variação da função f no ponto a b e na direção do vetor 𝑣 As derivadas parciais de f em a b são derivadas direcionais particulares Considerando i 10 e j 01 temos f i a b lim t0 fa t b fa b t f x a b f j a b lim t0 fa b t fa b t f y a b ou seja as derivadas parciais f x a b e f y a b são as derivadas direcionais de f em a b nas direções i 10 e j 01 respectivamente Podemos mostrar que f v a b v fa b Assim f v a b v fa b cosθ em que 𝜃 é o ângulo entre esses dois vetores A derivada direcional terá valor máximo quando cosθ 1 ou seja θ 0 logo quando 𝑣 estiver na mesma direção do gradiente de f em a b Assim o vetor gradiente aponta na direção de máximo crescimento da função 4 Plano tangente ao gráfico de uma função A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto x0 y0 fx0 y0 é dada por z fx0 y0 x x0 f x x0 y0 y y0 f y x0 y0 que também pode ser escrita como x x0 f x x0 y0 y y0 f y x0 y0 fx0 y0 z 0 Assim a equação anterior pode ser vista como o seguinte produto escalar f x x0 y0 f y x0 y0 1 x x0 y y0 z fx0 y0 0 ou seja n f x x0 y0 f y x0 y0 1 é normal a π A equação vetorial do plano tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto x0 y0 fx0 y0 é dada por Xu v x y z x0 y0 fx0 y0 u 10 f x x0 y0 v 01 f y x0 y0 com u v ℝ Regra da Cadeia 1 Se tivermos uma função z fx y de classe 𝐶1 em que x xt y yt e βt xt yt temos que dz dt f x dx dt f y dy dt Lembrando que fx y f x f y e βt dx dt dy dt em que o primeiro é o vetor gradiente da função z fx y e o segundo é o vetor tangente à curva βt xt yt a expressão para 𝑑𝑧 𝑑𝑡 pode ser escrita como dz dt fx y βt 2 Considere agora uma função z fx y de classe 𝐶1 em que x gs t y hs t Assim z é uma função de 𝑠 e t Logo z s s t z x x y x s s t z y x y y s s t z t s t z x x y x t s t z y x y y t s t Incrementos e diferenciais Se z fx y é uma função de duas variáveis x e y os símbolos dx e dy indicam os incrementos em x e y respectivamente A diferencial da variável independente z é definida por dfx y f x x ydx f y x ydy Assim a diferencial de f no ponto a b com incrementos dx dy é dada por dfa b f x a bdx f y a bdy e corresponde a uma aproximação para o incremento que o valor da função sofre ao passarmos do ponto a b para a dx b dy A diferencial total de uma função w fx y z no ponto a b c é definida pela expressão dfa b c f x a b cdx f y a b cdy f z a b cdz e mede a variação que uma função sofre quando passamos de um ponto a b c para a h b k c u Assim fx y z fa b c f x a b cx a f y a b cy b f z a b cz c Considerando x a h y b k z c u temos h x a k y b u z c e fa h b k c u fa b c f x a b ch f y a b ck f z a b cu Polinômio de Taylor O polinômio de Taylor de ordem 1 para a função 𝑓 desenvolvido em a b é dado por Lx y fa b f x a bx a f y a by b O polinômio de Taylor de ordem 2 para a função 𝑓 desenvolvido em a b é dado por Q𝑥 𝑦 𝑓𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑎 𝑓 𝑦 𝑎 𝑏𝑦 𝑏 1 2 2𝑓 𝑥2 𝑎 𝑏𝑥 𝑎2 2 2𝑓 𝑥𝑦 𝑎 𝑏𝑥 𝑎𝑦 𝑏 2𝑓 𝑦2 𝑎 𝑏𝑦 𝑎2 O polinômio de Taylor de ordem 2 desenvolvido em 𝑎 𝑏 𝑐 é dado por Qx y z fa b c f x x a f y y b f z z c 1 2 2f x2 x a2 2f y2 y b2 2f z2 z c2 2f x y x ay b 2f x z x az c 2f y z y bz c 5 Integrais Duplas Dizemos que a função z fx y é integrável em D se existe e é finito o limite lim P0 fxi yjÁrea Rij ij em que P é a norma de uma partição P de D e 𝑅𝑖𝑗 são os retângulos da partição Notação fx ydxdy D fx ydA D Se 𝑓𝑥 𝑦 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 D fx ydxdy nos fornece o volume abaixo do gráfico de f e acima do plano xy Dada uma região limitada D no plano xy definimos área dessa região por A dxdy D Se δ δx y é uma distribuição de massa densidade de uma placa D região D no plano xy então a integral D δx ydA nos fornece a massa da placa Teorema de Fubini Se f em contínua no retângulo D a bxc d então fx ydxdy D fx ydydx fx ydxdy b a d c d c b a Se o domínio D for da forma D x y a x b e gx y hx fx ydxdy D fx ydydx hx gx b a Se o domínio D for da forma D x y c y d e gy x hy fx ydxdy D fx ydxdy hy gy d c 6 Aplicações de integral dupla Além do cálculo volume de um sólido e de massa de uma placa de domínio D podemos destacar a Momento de massa em relação ao eixo x x0 Mxx0 D δx y x x0dA b Momento de massa em relação ao eixo y y0 Myy0 D δx y y y0dA c O momento de inércia de uma placa com densidade δx y em relação ao eixo x x0 é dada por Mxx0 D δx y x x02dA d O momento de inércia de uma placa com densidade δx y em relação ao eixo y y0 é dada por Myy0 D δx y y y02dA e O centro de massa de uma placa D com densidade δx y é dado por xG 𝛅𝐱 𝐲 𝐱𝐝𝐀 𝐃 𝛅𝐱 𝐲𝐝𝐀 𝐃 yG 𝛅𝐱 𝐲 𝐲𝐝𝐀 𝐃 𝛅𝐱 𝐲𝐝𝐀 𝐃 Coordenadas polares x rcos θ 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 Jacobiano r Assim 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑓𝑟 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐷𝑟θ 𝐷𝑥𝑦 Então se a região de integração é o círculo 𝑥2 𝑦2 4 podemos descrevêla em coordenadoras polares por x rcos θ y rsen θ com 0 r 2 e 0 θ 2π Aproveite o texto para fazer uma revisão e se necessário assista novamente a algumas videoaulas Além disso reveja os exercícios que fez e tire suas dúvidas Bons estudos