Calculo 2 - Documento 6

PERGUNTA 1 O centro de massa de uma lâmina metálica L descrita matematicamente no plano cartesiano como L xy R²x² y² 1 x 0 y 0 com função densidade γxy xy² é dada por 0 5π8 54 0 15π96 58 0 15π8 548 0 48π15 45 0 15π48 54 PERGUNTA 2 Em muitas situações não é viável contar a quantidade de pessoas em uma região Por isso é usual estimar a densidade populacional média e multiplicala pela área da região Se a densidade populacional não for constante então deverá ser ponderado o número médio de pessoas pela área ou seja a quantidade de pessoas pode ser encarada como uma integral da densidade populacional Suponha que a densidade populacional em determinada cidade é dada por ρxy 400e x²y² em que x² y² 36 Assinale a alternativa que apresenta a população dessa cidade 0 a P 200π1 e36 0 b P 300π1 e36 0 c P 300π1 e36 0 d P 400π1 e36 0 e P 400π1 e6 PERGUNTA 3 1 Uma pessoa foi até uma sorveteria e pediu algumas bolas de sorvete Ao olhar para uma bola achou que ela tinha o formato de um paraboloide que poderia ser descrito pela equação z 1 x² y² Dessa forma a quantidade de sorvete depende do volume entre esse paraboloide e o plano xy A pessoa usou um palito plano para pegar um pouco de sorvete O corte que ela fez na bola pode ser considerado como um plano de equação z 1 y Assinale a alternativa que apresenta o volume de sorvete apanhado pelo palito 0 a v π32 0 b v π31 0 c v π30 0 d v 2π31 0 e v π33 PERGUNTA 4 Uma empresa produz peças em formato de anéis circulares bem finos Sabese que o preço de produção dessas peças é proporcional à sua massa Um cliente pretende calcular a massa de um anel cujo raio externo é 5 o raio interno é 1 e sua densidade é dada por ρxy x² y Assinale a alternativa que apresenta a massa do anel descrito 0 a M 7π 0 b M 8π 0 c M 6π 0 d M 4π 0 e M 5π 2 x rcosθ e y rsenθ prθ 400 er2 p 06 400 er2 r dr dθ 02π 200 e36 200 dθ 200 e36 200 2π 400π 1 e36 PERGUNTA 5 Um estudante de Cálculo 2 viu que o dente do seu cão caiu Ao olhar para o dente percebeu que ele tinha o formato de um paraboloide que poderia ser descrito pela equação z 4 x² y² Dessa forma o peso do dente depende do volume entre esse paraboloide e o plano xy Diante do exposto assinale a alternativa que apresenta o volume do dente 0 a V 3π3 0 b V 4π3 0 c V 4π2 0 d V 2π3 0 e V 2π2 3 Região de interseção 1 y 1 x² y² x² y² y Círculo de raio 12 centrado em 0 12 x rcosθ e y rsenθ r senθ 0 r 12 e 0 θ 2π V 02π 012 1 rsenθ 1 r² r dr dθ 02π 012 r r²senθ r r³ dr dθ 02π r²2 r³ senθ3 r²2 r⁴4012 dθ 02π 164 1senθ24dθ θ64 cosθ2402π 2π64 124 0 124 2π64 124 π32 PERGUNTA 6 O valor médio de uma função fxy é definido por 1 fxy dA em que  é a área sobre a qual a integral está definida Uma placa de metal de comprimento 2 e largura 4 tem sua temperatura dada por Txy 20 4x² y² Assinale a alternativa que apresenta a temperatura média da placa 0 a 2213 0 b 2263 0 c 2245 0 d 2243 0 e 2233 4 x rcosθ y rsenθ prθ r r cos²θ senθ 1 r 5 e 0 θ 2π M 02π 15 r² cos²θ rsenθ r dr dθ 02π r⁴4 cos²θ r³3 senθ15 dθ 02π 254 cos²θ 553 senθ 14 cos²θ 13 senθ dθ 02π 6 cos²θ 55 13 senθ dθ 6 02π cos²θ dθ 55 13 02π senθ dθ 6π 0 6π PERGUNTA 7 Considere uma placa triangular descrita no plano cartesiano por T xy R²0 x 10 y x com função densidade yxy xy O momento da placa em relação ao eixo x 12 vale numericamente 0 116 0 38 0 380 0 0 0 1 5 x rcosθ y rsenθ x² 2y² 4 0 θ 2π r² cos²θ 2r² sen²θ 4 r² r² sen²θ 4 r 41 sen²θ 21 sen²θ V 02π 021sen²θ 4 r² 1 sen²θ r dr dθ 02π 2r² r⁴4 1 sen²θ021sen²θ dθ 02π 81 sen²θ 41 sen²θ dθ 4 02π 2π 2 2 4π2 7 m ₀¹ ₀ˣ xy2 dydx ₀¹ xy²4₀ˣ dx ₀¹ x³4 dx x⁴16₀¹ 116 1 centro de massa x ȳ 1m x γxydA 1m y γxydA onde m L γxydA m 01 1y²0 xy² dx dy 01 1y²2 y² dy 01 y²2 y⁴2 dy y³6 y⁵1001 16 110 115 x 15 01 1y²0 x² y² dx dy 15 01 1y²³ y²3 dy 15 0π2 cos² θ32 sen² θ cos θ dθ3 153 0π2 cos⁴ θ 1 cos² θ dθ 153 π32 15π96 ȳ 15 01 1y²0 xy³ dx dy 15 01 1y²2 y³ dy 15 y⁴8 y⁶1201 15 18 112 15 124 58 x ȳ 15π96 58 6 A 24 8 T 18 04 20 4x² y² dx dy 18 04 20 y²x 4x³302 dy 18 04 40 2y² 323 dy 18 40 323y 2y³304 18 160 1283 1283 20 163 163 60 323 283 8283 2243