Calculo de Volumes, Potenciais Elétricos e Comprimento de Curvas em Geometrias Diversas

PERGUNTA 1 Em muitos casos precisamos calcular áreas e volumes para dimensionar soluções em problemas aplicados Algumas formas são bem conhecidas e aparecem com certa frequência nas aplicações por exemplo o cone circular reto O volume de um cone circular reto é calculado por Vr h 13 πr2 h em que r é o raio do cone e h é sua altura Assinale a alternativa que apresenta corretamente a taxa de variação do volume em relação ao raio e à altura respectivamente a Vr 23 π r h Vh 13 π r2 b Vr 23 π r h2 Vh 13 π r2 c Vr 13 π r h Vh 23 π r2 d Vr 23 π r h Vh 13 π r2 e Vr 23 π r3 h Vh 23 π r2 PERGUNTA 2 Em problemas envolvendo partículas carregadas sujeitas a campos elétricos o potencial elétrico é importante para entendermos o comportamento de partículas sujeitas a um campo elétrico Suponhase que o potencial elétrico atuando sobre uma partícula em um ponto xy do plano seja dado por Vxy 5 25 x2 y2 Nesse caso a taxa de variação na direção do eixo x é dada pela derivada parcial de Vxy em relação à variável x Assinale a alternativa que apresenta corretamente a taxa de variação do potencial elétrico em relação à variável x a Vx 2x 25 x2 y23 b Vx 3x 25 x2 y23 c Vx 5x 25 x2 y23 d Vx 5x 25 x2 2 y23 e Vx 5x 25 2 x2 y23 PERGUNTA 3 Uma caixa de água tem formato cilíndrico com raio da base de 2 m e altura de 8 m foi construída usando metal Desejase pintar a caixa de preto para que esta absorva mais energia do sol e aqueça um pouco a água No entanto por questões estéticas decidiuse pintar uma linha helicoidal branca em volta da caixa Para isso precisamos estimar a quantidade de tinta necessária Dessa forma a quantidade de tinta depende do comprimento da curva Sabese que se uma curva é de classe então seu comprimento pode ser calculado por L ba rt dt Assinale a alternativa que apresenta corretamente o comprimento da curva rt 2cost 2sent 1π com 0 t 8π a 8π 2 1x2 b 8π 4 1x2 m c 2π 4 1x2 m d 16π m e 82π m PERGUNTA 4 Uma superfície tem a forma de um paraboloide elíptico o qual é o gráfico da função fx y x2 3y2 Considere que uma gota d água escorre por essa superfície Com base nas informações apresentadas analise as afirmativas a seguir e assinale V para as Verdadeiras e F para as Falsas I A velocidade da partícula na direção do componente y quando a partícula está passando pelo ponto P11 é 6 II A velocidade da partícula na direção do componente y pode ser obtida pela derivada parcial de fxy em relação à variável III Não se pode realizar um cálculo para descobrir a velocidade da gota com as informações disponíveis Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a F F F b F F V c V V F d V F F e V V V PERGUNTA 5 Calculando lim xyz 000 z x2 y2 z2 concluímos que o limite não existe o limite existe é 0 o limite existe é 1 o limite existe é 13 o limite existe é 33 PERGUNTA 6 Seja fR2 R dada por fxy y2 x3 Um exemplo de curva γ tal que seu traço esteja contido na curva de nível 0 é γR R2 dada por 1 t2 γR R2 dada por t t3 γR R2 dada por t2 t3 γR R2 dada por t3 t γR R2 dada por t3 f Em muitos casos precisamos calcular áreas e volumes para dimensionar soluções em problemas aplicados Algumas formas são bem conhecidas e aparecem com certa frequência nas aplicações por exemplo o cone circular reto O volume de um cone circular reto é calculado por Vrh 13 πr2h em que r é o raio do cone e h é sua altura Assinale a alternativa que apresenta corretamente a taxa de variação do volume em relação ao raio e à altura respectivamente dVdr 2 π3 rh dVdh 13 πr2 dVdr 23 πrh2 dVdh 13 πr2 dVdr 13 πrh dVdh 23 πr2 dVdr 23 πrh dVdh 13 πr2 dVdr 23 πr2h dVdh 23 πr2 Vrh πr2h 3 dVdr πh 2r 3 2 πrh 3 dVdh πr2 3 d PERGUNTA 2 Em problemas envolvendo partículas carregadas sujeitas a campos elétricos o potencial elétrico é importante para entendermos o comportamento de partículas sujeitas a um campo elétrico Suponhase que o potencial elétrico atuando sobre uma partícula em um ponto xy do plano seja dado por Vxy 5 25 x2 y2 Nesse caso a taxa de variação na direção do eixo x é dada pela derivada parcial de Vxy em relação à variável x Assinale a alternativa que apresenta corretamente a taxa de variação do potencial elétrico em relação à variável x dVdx 2x 25 x2 y23 dVdx 3x 25 x2 y22 dVdx 5x 25 x2 y23 dVdx 5x 25 x2 y22 dVdx 5x 25 x2 y2 Vxy 5 25 x2 y2 5 25 x2 y212 dVdx 2x 5 12 25 x2 y232 5 x 25 x2 y23 c PERGUNTA 3 Uma caixa de água tem formato cilíndrico com raio da base de 2 m e altura de 8 m foi construida usando metal Desejase pintar a caixa de preto para que esta absorva mais energia do sol e aqueça um pouco a água No entanto por questões estéticas decidiuse pintar uma linha helicoidal branca em volta da caixa Para isso precisamos estimar a quantidade de tinta necessária Dessa forma a quantidade de tinta depende do comprimento da curva Sabese que se uma curva é de classe então seu comprimento pode ser calculado por L ab r t dt Assinale a alternativa que apresenta corretamente o comprimento da curva rt 2cos t 2sen t tπ com 0 t 8π a 8π 2 1π2 b 8π 4 1π2 m c 2π 4 1π2 m d 16π m e 8 2π m CORREÇÃO L ab rt dt rt 2 cos t 2 sen t t π rt 2 sen t 2 cos t 1 π rt2 2 sen t2 2 cos t2 1 π2 4sen2 t cos2 t 1π2 rt 4 1π2 0 t 8π L 08π 4 1π2 dt t4 1π2 08π L 8π 4 1π2 b PERGUNTA 4 Uma superfície tem a forma de um paraboloide elíptico o qual é o gráfico da função fxy x2 3y2 Considere que uma gota de água escorre por essa superfície Com base nas informações apresentadas analise as afirmativas a seguir e assinale V para as Verdadeiras e F para as Falsas I A velocidade da partícula na direção do componente y quando a partícula está passando pelo ponto P11 é 6 II A velocidade da partícula na direção do componente y pode ser obtida pela derivada parcial de fxy em relação à variável y III Não se pode realizar um cálculo para descobrir a velocidade da gota com as informações disponíveis Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a F F F b F F V c V V F d V F F e V V V II FALSO NÃO TEMOS INFORMAÇÕES PARA CALCULAR d y d t II FALSO VIDE ACIMA III VERDADEIRO PERGUNTA 5 Calculando lim xyz 000 z sqrtx2 y2 z2 concluímos que o limite não existe o limite existe é 0 o limite existe é 1 o limite existe é 13 o limite existe é sqrt33 L lim xyz000 z sqrtx2 y2 z2 fxyz z sqrtx2 y2 z2 PARA xyz 00t TEMOS fxyz ft t sqrt00t2 t t ft 1 se t0 1 se t0 L lim t0 ft Como lim t0 ft 1 e lim t0 ft 1 O LIMITE NÃO EXISTE PERGUNTA 6 Seja f R2 R dada por fxy y2 x3 Um exemplo de curva γ tal que seu traço esteja contido na curva de nível 0 é γ R R2 dada por tt2 γ R R2 dada por tt3 γ R R2 dada por t2t3 γ R R2 dada por t3t γ R R2 dada por t3t6 TRAÇO CONTIDO NO NÍVEL 0 lmf 0 t TESTANDO A CURVA γt t2t3 ft t32 t23 t6 t6 0 lmf 0 LOGO γ R R DADA POR t2 t3