Calculo 2 - Lista 3

PERGUNTA 1 Em muitos problemas de engenharia é comum usar a distância entre partes estruturais para projetar adequadamente soluções e o caso mais simples de cálculo de distâncias é a distância entre dois pontos A propósito a distância entre dois pontos Ax1 y1 z1 e Bx2 y2 z2 no espaço é dada por d x2x1² y2y1² z2z1² Sabendo disso e que o ponto que minimiza a função também minimiza d² assinale a alternativa que apresenta corretamente a fórmula para encontrar os pontos críticos do quadrado da função distância entre o ponto C111 e o plano x y z 1 a ¼ ¼ ¼ b 13 13 13 c 13 13 13 d ½ ½ e 15 15 PERGUNTA 2 Considere a função f R² R dada por f x y 0 se x² y² 1 2x²y² se x² y² 1 Podemos afirmar que a f não possui pontos de mínimo global b o ponto p de coordenadas 00 é o único ponto crítico de f c fx 10 2 e fy 12 0 d o ponto p de coordenadas 00 é ponto de máximo global e fx 12 2 e fy 12 4 Multiplicadores de lagrange função lambdarestrição Calcular parciais e igualar a zero isolando o lambda Substituir na restrição e encontrar os valores PERGUNTA 4 Uma placa de metal está no chão e uma formiga anda sobre a placa Uma criança pega uma lupa e direciona a luz solar para um ponto da placa a fim de esquentála e ver como a formiga irá se mover A temperatura da placa é dada pela expressão Tx y 10 8x² 2y² A formiga está nessa placa no ponto 1 1 Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que a formiga deve se mover de modo a andar na direção de menor aumento da temperatura a 4 16 b 1616 c 16 4 d 16 4 e 44 PERGUNTA 5 A Função de CobbDouglas é uma função amplamente utilizada em economia para representar a relação entre dois ou mais fatores de produção e o produto Consideremos a função de CobbDouglas F que representa o valor bruto de produção de uma fábrica Seja F dada por Fxyz 1001x035 y03 z035 com 0 x 10 0 y 10 0 z 10 em que x representa investimento em capital de baixa tecnologia y representa investimento em pessoal e z representa investimento em capital de alta tecnologia Qual a taxa de variação em relação ao investimento em capital de baixa tecnologia quando é investido 1 uma unidade de valor em cada uma das três frentes a 075075 b 035035 c 1001 d 01001 e 065065 PERGUNTA 6 Na indústria siderúrgica é muito comum trabalhar com metal e com aquecimento de peças Suponhase que uma placa metálica tem uma temperatura que varia de acordo com a expressão Tx y 10 8x² 2y² Assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação que deve ser resolvida para encontrar o ponto máximo da função temperatura a 4x 16y 00 b 16x 4y 00 c 4x 4y 00 d x y 00 e 16x 16y 00 PERGUNTA 7 Uma concha usada na cozinha tem a forma de um paraboloide elíptico o qual é o gráfico da função f x y 3x² 3y² Ao mergulhar a concha em uma panela com óleo e puxála para cima retirandoa da panela uma gota de óleo escorre pela superfície da concha Assinale a alternativa que apresenta corretamente a forma de calcular a velocidade da gota de óleo na direção do vetor unitário v ab quando a partícula está passando pelo ponto P11 a a b b 6a 6b c a 3b d 6a 2b e 3a 2b PERGUNTA 3 A função f R2 R é uma função diferenciável em todo seu domínio Sabendo que a curva de nível 1 de f coincide com o traço da curva γ R R2 e que o gradiente de f no ponto 11 dado por f11 21 uma equação possível para a reta tangente à curva de nível 1 de f no ponto 11 é dada por a r21 λ21 λ R b r21 λ11 λ R c r11 λ12 λ R d r11 λ11 λ R e r11 λ21 λ R Como f11 21 e que fab Fxab Fyab Lembrando Curva de nível é ortogonal ao gradiente vetor direção γx ab derivada da curva Então f11γx0 0 Ortogonal produto escalar zerado 21ab0 2a b 0 b2a γx ab a2a a12 Vetor direção 12 Ponto origem 11 Logo r 11 λ12 c PERGUNTA 4 Uma placa de metal está no chão e uma formiga anda sobre a placa Uma criança pega uma lupa e direciona a luz solar para um ponto da placa a fim de esquentála e ver como a formiga irá se mover A temperatura da placa é dada pela expressão Txy 10 8x2 2y2 A formiga está nessa placa no ponto 11 Assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor que aponta na direção em que a formiga deve se mover de modo a andar na direção de menor aumento da temperatura a 416 b 1616 c 164 d 164 e 44 Maior aumento Gradiente F Menor aumento Gradiente F Calcular parciais Tx11 0 16x 0 x1 y1 16 Ty11 0 0 4y x1 y1 4 Assim F11 16 4 maior aumento F11 164 menor aumento d PERGUNTA 5 A Função de CobbDouglas é uma função amplamente utilizada em economia para representar a relação entre dois ou mais fatores de produção e o produto Consideremos a função de CobbDouglas F que representa o valor bruto de produção de uma fábrica Seja F dada por Fxyz 1001x035 y03 z035 com 0 x 10 0 y 10 0 z 10 em que x representa investimento em capital de baixa tecnologia y representa investimento em pessoal e z representa investimento em capital de alta tecnologia Qual a taxa de variação em relação ao investimento em capital de baixa tecnologia quando é investido 1 uma unidade de valor em cada uma das três frentes a 075075 b 035035 c 1001 d 01001 e 065065 Baixa tecnologia X Pessoal Y Alta tecnologia Z Variação em relação a X quando XYZ 111 FX FX 111 1001 035 X065 y03 z035 X1 Y1 Z1 1001 035 1 1 1 035035 b PERGUNTA 6 Na indústria siderúrgica é muito comum trabalhar com metal e com aquecimento de peças Suponhase que uma placa metálica tem uma temperatura que varia de acordo com a expressão Txy108x22y2 Assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação que deve ser resolvida para encontrar o ponto máximo da função temperatura a 4x 16y 00 b 16x 4y 00 c 4x 4y 00 d x y 00 e 16x 16y 00 Calcular gradiente e igualar a 00 pontos críticos fxy Fx Fy 16x 4y 00 Assim 16x4y 00 B PERGUNTA 7 Uma concha usada na cozinha tem a forma de um paraboloide elíptico o qual é o gráfico da função fxy 3x2 3y2 Ao mergulhar a concha em uma panela com óleo e puxála para cima retirandoa da panela uma gota de óleo escorre pela superfície da concha Assinale a alternativa que apresenta corretamente a forma de calcular a velocidade da gota de óleo na direção do vetor unitário v ab quando a partícula está passando pelo ponto P11 a a b b 6a 6b c a 3b d 6a 2b e 3a 2b Derivada direcional Dvfxy fxyv Fx Fyab 6x 6yab 6x a 6y b x1 y1 6a 6b