Calculo 2 - Documento 4

PERGUNTA 1 A temperatura em uma placa é modelada pela função z fxy xy2 xy sendo que a placa é descrita por P xy R2 0 x 10 0 y 10 Uma partícula se desloca sobre essa placa pela curva γ01 R2 dada por γt t3 2t 2t A taxa de variação de temperatura sofrida por essa partícula no instante t 1 vale dzdt t1 10 dzdt t1 60 dzdt t1 0 dzdt t1 1 dzdt t1 7 PERGUNTA 3 Seja fR2 R dada por fxy x2 y3 usando o polinômio de Taylor de ordem 1 de f desenvolvido em 21 e considerando duas casas decimais o valor que melhor aproxima f136 1110 entre as alternativas é 566 546 506 596 606 PERGUNTA 7 Seja f R2 R dada por fxy e2x seny3 Denotando por P1xy e P2xy os polinômios de Taylor de f desenvolvidos em 00 de ordem 1 e 2 respectivamente podemos afirmar que P100 P200 f1100 1200 P11100 1200 f1100 1200 P21100 1200 P1xy P2xy f1100 1200 P11100 1200 f1100 1200 P21100 1200 P100 P200 Inicialmente fx 2x fy 3y² Assim para xy 21 f21 2² 1³ 4 1 5 fx 21 22 4 fy 21 31² 3 O polinômio de Taylor de ordem 1 será pxy f21 fx 21x2 fy 21y1 pxy 5 4x2 3y1 pxy 5 4x 8 3y 3 pxy 4x 3y 6 E assim f136 1110 p136 1110 4136 31110 6 263 3310 6 260 99 18030 17930 596 Alternativa D Inicialmente g f o Ψ fΨst s² t²st g s³t s t³ Assim g gs gt 3 s² t t³ s³ 3 s t² e então g12 3 1² 2 2³ 1³ 3 1 2² g12 6 8 1 12 g12 14 13 Alternativa A Temse dzdt zx dxdt zy dydt de modo que zx x xy² xy y² y zy y xy² xy 2xy x E como em γt x t³ 2t y 2t então dxdt 3 t² 2 dydt 2 Logo dzdt y² y3 t² 2 2 x y x2 E para t 1 x 1³ 21 3 y 21 2 Portanto dzdtt1 2² 23 1² 2 2 3 2 32 4 23 2 12 32 6 5 15 2 30 30 60 Alternativa B Temse Dt rt st 4cost 2sen2t2 2sent 3cos2t212 de modo que pela regra da cadeia dDdt 12 4cost 2sen2t2 2sent 3cos2t212 24cost 2sen2t4sent 4cos2t 22sent 3cos2t2cost 6sen2t Para t pi cospi 1 senpi 0 sen2pi 0 cos 2pi 1 logo dDdttpi 12 42 3212244 232 12 1sqrt16 9 32 12 12 1sqrt2544 dDdttpi 225 Alternativa B Como I VR VR1 cuitas pela regra da Cadeia e do produto dIdt ddt vR1 v ddt R1 dIdt dVdt R1 v 1 R2 dRdt Temse dVdt 004 dRdt 005 e ainda R 40 I 08 V 4008 V 32 Assim dIdt 004 401 32 402 005 dIdt 1100 140 3240 140 1100 dIdt 11000 11000 21000 dIdt 0002 As Alternativa B Sendo dTdt dVdt k e de P nR T v1 segue que dPdt nR ddt T v1 dPdt nR dTdt v1 T ddt v1 dPdt nR k 1v T 1 v2 dVdt dPdt nR k 1v T v2 k dPdt nRk 1v Tv2 Alternativa C Temos fx 2e2x seny3 fy e2x cosy3 3y2 ²fx² 4e2x seny3 ²fy² e2x seny3 9y4 cosy3 6y ²fxy 2e2x cosy3 3y2 Assim para xy 00 fx 2 e20 sen03 0 fy e20 cos03 3 02 0 ²fx² 4 e20 sen03 0 ²fy² e20 sen03 9 04 cos03 6 0 0 ²fxy 2 e20 cos03 3 02 0 E ainda f00 e20 sen03 0 Desta modo o polinômio de Taylor de ordem 1 será P1xy f00 fx00 x 0 fy00 y 0 P1xy 0 E o de ordem 2 P2xy f00 fx00 x 0 fy00 y 0 12 ²fx²00x 02 2 ²fxy00x 0y 0 ²fy²00y 02 P2xy 0 12 0 2 0 0 P2xy 0 Portanto P1xy P2xy Alternativa C