Funções Vetoriais: Definição, Operações e Aplicações

DESCRIÇÃO Aplicação do conceito de funções vetoriais PROPÓSITO Conhecer as funções vetoriais e suas operações a partir do cálculo do limite da derivada e da integral dessas funções para aplicar tais conceitos em problemas de cálculo vetorial PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas MÓDULO 2 Aplicar as operações do limite da derivada e da integral nas funções vetoriais MÓDULO 3 Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço bem como no movimento de um objeto MÓDULO 4 Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares MÓDULO 1 Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas INTRODUÇÃO O vetor é um objeto da Matemática de grande aplicação prática em diversas áreas Assim é necessário definir funções que tenham os elementos vetoriais em suas entradas ou saídas A função a variáveis reais a valores vetoriais ou simplesmente função vetorial é aquela que tem domínio no conjunto dos números reais e vetores que pertencem ao conjunto Rn como imagem Neste módulo estudaremos as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES VETORIAIS No cálculo de uma variável trabalhamos com funções que têm domínio e imagem no conjunto dos números reais Elas são denominadas funções reais à variável real ou simplesmente funções reais Há um elemento matemático de grande aplicação prática o vetor definido não apenas por seu valor módulo mas também por sua direção e seu sentido UM VETOR É REPRESENTADO POR SUAS COORDENADAS O NÚMERO DE COORDENADAS DE UM VETOR DEPENDE DO CONJUNTO AO QUAL PERTENCE CONSIDERANDO V O VETOR PERTENCENTE A RN V SERÁ REPRESENTADO POR N COORDENADAS V V1 V2 VN No exemplo v1 v2 vn são números reais que representam a projeção do vetor v na direção e no sentido de cada uma das dimensões do Rn Estamos trabalhando com coordenadas cartesianas Particularmente neste tema nosso interesse está em R2 e R3 Assim um vetor v pertencente ao R3 é representado por três coordenadas Veja a figura 1 em que o vetor v projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho vx na direção do eixo y um tamanho vy na direção do eixo z um tamanho vz Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo o sinal da coordenada será negativo Portanto o vetor v terá coordenadas vx vy vz em que vx vy e vz são números reais No caso do R2 caso particular do R3 o vetor não terá a componente vz Figura 1 Representação do vetor no espaço Assim precisamos definir funções que tenham elementos vetoriais em seus domínios eou em suas imagens Neste módulo iniciaremos com as funções que têm como imagens isto é como saídas elementos vetoriais Trabalharemos com a função que tem domínio no conjunto real e tem imagem no conjunto Rn Assim sua entrada é um número real mas sua saída é um vetor Esta função é denominada função vetorial ou de forma mais precisa função de uma variável real a valores vetoriais Uma função de uma variável real a valores vetoriais em Rn é uma função F S R Rn com n inteiro e n 1 em que S é um subconjunto dos números reais Assim para cada valor real pertencente ao domínio de F teremos como resultante uma imagem que será um vetor pertencente a Rn Logo Im F t S R Ft f1t f2t fn t Rn Como a imagem da função é um vetor cada componente desse vetor dependerá da variável de entrada Portanto a variável de entrada pode ser considerada um parâmetro e a função pode ser também representada por uma equação paramétrica Observe que a entrada da função vetorial será um número real e a saída será um vetor Veja o exemplo EXEMPLO F R R3 tal que Fm 2m 3 5m 2 m com m real Note que cada vetor da imagem dependerá do elemento do domínio que neste caso será o parâmetro m Existem funções denominadas campos vetoriais que apresentam tanto no domínio quanto na imagem vetores Assim seriam funções F Rn Rm com m e n inteiros maiores do que 1 Por exemplo F R3 R4 tal que Fx y z 2x 3y 2x 5 y 3z 4x y Perceba que as coordenadas dos elementos vetoriais da saída dependem das coordenadas dos elementos vetoriais da entrada Aqui não abordaremos este tipo de funções EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS A função vetorial pode ser representada por sua forma vetorial já exemplificada ou por sua forma paramétrica Seja Ft t S R Ft R3 Como já vimos cada componente do vetor de saída depende da variável de entrada denominada parâmetro Dessa forma a função pode ser representada por Ft x ft y gt z ht t real Observe que ft gt e ht são funções reais que relacionam cada coordenada ao parâmetro t Este tipo de equação é chamado de equação paramétrica Para funções com imagem no Rn n inteiro maior do que 1 a equação paramétrica terá n equações EXEMPLO Seja a função Ft t t2 5 ln t definida para t 0 Determine o valor de F1 e Fe SOLUÇÃO A função é uma função de variável real a valores vetoriais de R3 Ft ft gt ht Onde ft t gt t2 5 ht ln t Logo temos Ft x t y t2 5 z ln t para t real e t 0 Então F1 f1 g1 h1 1 1 5 ln 1 16 0 Portanto para uma entrada t 1 o resultado da função será o vetor 1 6 0 Para t e Fe fe ge he e e2 5 ln e e e2 51 Por fim para uma entrada t e o resultado da função será o vetor e e2 5 1 FUNÇÕES VETORIAIS E TRAÇADOS DE CURVA Para o caso de R2 e R3 a imagem da função vetorial F pode ser analisada como a trajetória de uma curva lugar geométrico em R2 ou R3 descrita pela equação paramétrica da função Em outras palavras a função vetorial definirá uma curva plana no caso de sua imagem em R2 ou uma curva espacial quando sua imagem estiver no R3 Se considerarmos que a imagem da função vetorial é um vetor com extremidade inicial na origem a trajetória da curva será definida pela extremidade final dos vetores obtidos pela imagem da função vetorial EXEMPLO Exemplo 1 Considere a função Fu u u2 definida para u R Determine a trajetória definida pela imagem da função SOLUÇÃO Tratase de uma função de variável real a valores vetoriais de R2 Repare que a componente x do vetor determinado pela imagem de F vale u e a componente y vale u2 Então se Fu x y temos a seguinte representação paramétrica Fu x u y u2 y x2 Esta é a equação de uma parábola vertical Assim a imagem da função será a parábola de equação y x2 representada a seguir Figura 2 Imagem da função Fu u u2 Conforme o valor do parâmetro u se altera a imagem obtida pela função vetorial também muda traçando uma curva que neste exemplo será uma parábola vertical de vértice na origem EXEMPLO Exemplo 2 Seja a função Ft sen t cos t 5 Determine a trajetória definida pela imagem da função SOLUÇÃO Tratase de uma função de variável real a valores vetoriais de R3 Seja Ft x y z Repare que Ft x sen t y cos t z 5 x2 y2 1 e z 5 A imagem da função representará uma circunferência pertencente ao plano z 5 Assim será uma circunferência de centro em 0 0 5 e raio 1 conforme observamos a seguir Figura 3 Imagem da função Ft sen t cos t 5 Se quisermos dar um sentido à trajetória este pode ser definido como o sentido do crescimento do parâmetro ou do decrescimento do parâmetro No caso do exemplo de Fu u u2 a trajetória da parábola é percorrida no sentido da esquerda para direita quando cresce o parâmetro u Figura 4 Sentido da trajetória pelo crescimento do parâmetro OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS Uma função de uma variável real a valores do Rn conforme definida será composta por n funções reais definindo cada uma de suas coordenadas Assim temos Ft f1t f2t fn t Rn com t real Tais funções f1 f2 fn são denominadas funções componentes da função F Como a imagem da função Ft será um vetor ela atende todas as propriedades e operações que um vetor possui Considerando que F G S R Rn pt uma função real e k uma constante real é possível definir as seguintes propriedades A SOMA Ht F G t Ft Gt Ht f1t g1t f2t g2t fnt gnt R B PRODUTO POR UM ESCALAR K Ht k F t k Ft Ht kf1t kf2t kfnt Rn C PRODUTO POR UMA FUNÇÃO REAL PT Ht p F t pt Ft Ht ptf1t ptf2t ptfnt Rn Cuidado Não existe produto multiplicação entre duas funções vetoriais D PRODUTO ESCALAR ENTRE F E G mt F G t Ft Gt mt f1t g1t f2t g2t fnt gnt m t R E PARA N 3 PRODUTO VETORIAL ENTRE F E G Ht F x G t Ft x Gt Ht ˆx ˆy ˆz f1 t f2 t f3 t g1 t g2 t g3 t EXEMPLO Exemplo 1 Considerando as funções Fu u 5 cos u u2 Gu 2 u2 sen u 3u e pu 2eu determine o valor para t 0 da função mt 2 Ft pt Gt SOLUÇÃO Se Fu u 5 cos u u2 então 2 Fu 2 u 5 2cos u 2u2 Se Gu 2 u2 sen u 3u e p u 2 eu então pu Gu 2 eu 2 u2 2 eu sen u 2 eu 3 u Portanto mu 2u 5 2 eu 2 u2 2 cos u 2 eu sen u 2 u2 2 eu 3 u Assim m0 2 0 5 2 e0 2 02 2 cos 0 2 e0 sen 0 2 02 2 e0 3 0 8 5 0 0 40 EXEMPLO Exemplo 2 Considerando as funções Fu u cos u 3u e Gu u2 sen u u determine a função Ht Ft x Gt e seu valor para tπ SOLUÇÃO Ht F x G t Ft x Gt Ht ˆx ˆy ˆz t cos t 3t t2 sen t t t cost ˆx t sent ˆz 3t t2ˆy t2cos t ˆz 3t sen t ˆx t t ˆy Ht t cost 3t sentˆx 3t3 t2 ˆy t sent t2cost ˆz Ht t cost 3t sent 3t3 t2 t sent t2cost Assim Hπ π cos π 3 π sen π 3 π3 π2 π sen π π2cosπ π 3 π3 π2 π2 TEORIA NA PRÁTICA Desejamos traçar com um computador uma curva espacial denominada toroide espiral A função vetorial que define essa curva espacial é a seguinte Ft 4 senktcost 4 senktsent cos kt com k real e 0 k 1 2 Sabendo que o módulo de Ft para t 4π vale 5 determine o valor de F8π FUNÇÕES VETORIAIS MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 2 Aplicar as operações do limite da derivada e da integral nas funções vetoriais INTRODUÇÃO Da mesma forma que definimos as operações de limite derivada e integral para uma função real também o faremos para as funções vetoriais Neste módulo definiremos então as operações de limite derivada e integral e as aplicaremos em alguns problemas de cálculo diferencial e integral Veremos que essas operações se relacionam com aquelas correspondentes às funções reais que são componentes da função vetorial LIMITE E CONTINUIDADE O limite de uma função vetorial é alcançado obtendose o limite de cada uma de suas funções componentes Assim seja Ft f1t f2t fn t Rn com t real lim ta Ft lim ta f1 t lim ta f2t lim ta fn t O limite existirá se houver o limite de todas as funções componentes A existência do limite implica que toda vez que t se aproximar do valor a a função vetorial F se aproximará do valor do limite No caso da função real a aproximação da função a seu valor do limite ocorre por valores acima ou abaixo No caso da função vetorial essa aproximação acontece por infinitos caminhos Porém existindo o limite L a função sempre tenderá ao vetor L quando t tender ao valor de a A definição foi feita para t a mas pode ser extrapolada para todos os tipos de limite para t a t a ou t Observe que o limite de cada função componente é um limite de uma função real já estudado anteriormente Assim todos os métodos e as propriedades já conhecidas podem ser utilizados A única diferença neste caso é que para a função vetorial serão resolvidos n limites diferentes cada um relacionado a uma das n funções componentes EXEMPLO Determine o limite de Ft 2t 1 2sen t t t33t2 t2 quando t tende a 0 SOLUÇÃO lim t0 Ft lim t0 2t 1 lim t0 2sen t t lim t0 t33t2 t2 Resolvendo os limites das funções componentes temos Por substituição direta lim t0 2t 1 2 0 1 1 Pelo limite trigonométrico fundamental lim t0 2sen t t 2 lim t0 sen t t 2 1 2 Pelo teorema de Leibniz lim t0 t33t2 t2 2 2 1 Portanto lim t0 Ft 12 1 ˆx 2ˆy ˆz TEOREMA DE LEIBNIZ De acordo com este teorema Todo polinômio é equivalente a seu termo de maior grau quando sua variável independente tende a mais ou menos infinito ou Todo polinômio é equivalente a seu termo de menor grau quando sua variável independente tende a 0 zero Algumas propriedades para o limite de funções vetoriais podem ser demonstradas pela definição do limite e pelas operações das funções vetoriais Por exemplo lim ta k1 Ft k2 Gt k1lim ta Ft k2lim ta Gt onde k1 e k2 são números reais lim ta Ft Gt lim ta Ft lim ta Gt lim ta Ft x Gt lim ta Ft xlim ta Gt CONTINUIDADE De forma semelhante à função real vamos definir a continuidade de uma função vetorial em um ponto do seu domínio t t0 Considerando Ft f1t f2t fn t Rn com t real e t0 um ponto do domínio da função a função Ft será contínua em t t0 se e somente se lim tt0 Ft F t0 Em outras palavras é necessário existir o limite para quando t tende a t0 e esse limite precisa ter o valor da função no ponto t t0 A função Ft só será contínua em um ponto t0 se todas as suas funções componentes forem contínuas no ponto t0 EXEMPLO Considerando a função Ft 2t 1 2sen t t t33t2 t2 para t real diferente de 0 zero e de 2 determine o valor de F0 e F2 para que a função seja contínua para todo t real SOLUÇÃO No exemplo anterior já foi obtido o limite lim t0 Ft 12 1 ˆx 2ˆy ˆz O limite existe Para que seja contínua a função deve ter valor em t 0 igual ao valor do limite no ponto Portanto temos F0 12 1 ˆx 2ˆy ˆz Para o caso de t 2 necessitamos inicialmente verificar se o limite existe Vejamos lim t 2 Ft lim t 2 2t 1 lim t 2 2sen t t lim t 2 t33t2 t2 Resolvendo os limites das funções componentes temos Por substituição direta lim t 2 2t 1 2 2 1 3 Por substituição direta lim t 2 2sen t t 2 sen 2 2 sen 2 sen 2 Pelo método da substituição de funções lim t 2 t33t2 t2 862 22 0 0 Porém t3 3t 2 t 2 t2 2t 1 Logo lim t 2 t33t2 t2 lim t 2 t2 t22t1 t2 lim t 2 t2 2t 1 4 4 1 9 Portanto lim t 2 Ft 3 sen2 9 3ˆx sen2ˆy 9ˆz O limite existe Para que seja contínua a função deve ter valor em t 2 igual ao valor do limite no ponto Assim F2 3 sen2 9 3ˆx sen2ˆy 9ˆz DERIVADA DE FUNÇÕES VETORIAIS A derivada de uma função vetorial será definida de forma similar às funções reais Assim seja Ft f1t f2t fn t Rn com t real Ft d F dt lim h0 Fth Ft h Se o limite existir a função será derivável ou diferençável e sua derivada terá o valor fornecido pelo limite Para ser derivável ou diferençável em um intervalo a função deve ser derivável para todos os pontos desse intervalo A definição anterior pode ser obtida pela derivada das funções componentes da seguinte forma Ft f1t f2t fn t Rn com t real Observe portanto que devemos empregar todas as formas e regras de derivação aprendidas para as funções reais com a única diferença de que derivaremos n funções componentes EXEMPLO Vamos obter a derivada da função Gu sec u u2 1 3eu para u π 4 SOLUÇÃO Gu g 1u g 2u g 3 u g1 u sec u g 1 u sec u tg u g2 u u2 1 g 3 u 2u g3 u 3eu g 3 u 3eu Assim Gu sec u tg u 2u 3e2 sec u tg uˆx 2u ˆy 3 euˆz G π 4 sec π 4 tg π 4 2 π 4 3e π 4 2 π 2 3e π 4 2ˆx π 2 ˆy 3e π 4 ˆz Geometricamente a derivada de Ft representará um vetor que será tangente à trajetória definida pela função vetorial Esse vetor será denominado vetor tangente à curva de Ft no ponto analisado No próximo módulo estudaremos a aplicação da derivada no cálculo do vetor e da reta tangente à trajetória definida pela função PROPRIEDADES DA DERIVAÇÃO Por meio da definição da derivada e das operações das funções vetoriais podemos obter algumas propriedades para a derivação de uma função vetorial São elas d dt Ft Gt d dt Ft d dt Gt d dt k Ft k d dt Ft k real d dt ut Ft ut Ft ut d dt Ft ut função real d dt Ft Gt d dt Ft Gt Ft d dt Gt d dt Ft x Gt d dt Ft x Gt Ft x d dt Gt d dt Fut d dt Fut ut com ut função real Regra da Cadeia EXEMPLO Exemplo 1 Considerando uma função vetorial Gt tal que para todo t de seu domínio a norma módulo de Gt seja sempre igual a uma constante k determine o valor do produto escalar de Gt d dt Gt SOLUÇÃO Como Gt é um vetor então Gt2 Gt Gt Pelo enunciado temos Gt2 Gt Gt k2 Como Gt Gt é uma constante então sua derivada é nula Usando a regra da derivada do produto escalar temos d dt Gt Gt d dt Gt Gt Gt d dt Gt 2 Gt d dt Gt 0 Logo Gt d dt Gt 0 Como o produto escalar será 0 zero o vetor Gt e o vetor Gt serão ortogonais Por fim as derivadas de ordem superior serão definidas de forma semelhante isto é a derivada de ordem n da função vetorial será obtida pelas derivadas de ordem n das funções componentes EXEMPLO Exemplo 2 Vamos obter a derivada de segunda ordem da função Gu sec u u2 1 3eu SOLUÇÃO No exemplo anterior já foi obtido que Gu sec u tg u 2u 3eu Assim Gu Gu g1 u sec u g 1 u sec u tg u g 1 u sec u tg2u sec3u g2 u u2 1 g 3 u 2u g 2 u 2 g3 u 3eu g 3 u 3eu g 3 u 3eu Portanto Gu sec u tg2u sec3u 2 3eu INTEGRAIS DAS FUNÇÕES VETORIAIS De forma semelhante à operação do limite e da derivada a integração de funções vetoriais segue a mesma definição da integração de uma função real e será calculada por meio da integração de suas funções componentes Assim seja Ft f1t f2t fn t Rn com t real definida em ab b a Ftdt b a f1tdt b a f2tdt b a fntdt Rn Portanto a integração definida de uma função vetorial terá como resultado um vetor A função será integrável se existirem todas as integrais definidas das funções componentes Também podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo e verificar que b a Ftdt Gt b a Gb Ga Onde Gt é uma primitiva de Ft isto é Gt Ft TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO b afxdx Fxb a Fb Fa EXEMPLO Considerando a função Hu u ˆx cos u ˆy sec2u ˆz para u 0 determine π 40 Hudu SOLUÇÃO π 40 Hudu π 40 u ˆx cos u ˆy sec2u ˆz du π 40u du ˆx π 40cos u du ˆy π 40sec2u du ˆz π 40 Hudu u2 2 π 4 0 ˆx sen u π 40 ˆy tg u π 40 ˆz π 40 Hudu 1 2 π 4 2 0 ˆx sen π 4 sen 0 ˆy tg π 4 tg 0 ˆz π 40 Hudu π2 32 ˆx 2 2 ˆy ˆz TEORIA NA PRÁTICA Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função Ft x t3 t2 1 y t2 8t 4 z t 8 com t 0 e as componentes medidas em metro Considere como sentido positivo da trajetória o sentido do crescimento do parâmetro t Determine o valor do módulo da velocidade e da aceleração do objeto para o instante t 2 SOLUÇÃO Como o enunciado informa a posição do objeto será dada pela imagem da função vetorial Como a velocidade será a taxa de variação instantânea da posição a velocidade será a derivada da posição em relação ao parâmetro t Portanto será derivada da função vetorial Assim temos vt Ft t3 t2 1 t2 8t 4 t 8 vt Ft 3t2 2t 2t 8 1 ms Para t 2 v2 34 22 22 8 1 8 41 ms v 2 82 42 12 64 16 1 81 9 ms Como a aceleração será a taxa de variação instantânea da velocidade a aceleração será a derivada da velocidade em relação ao parâmetro t Portanto será derivada da função vetorial Assim temos at Ft 3t2 2t 2t 8 1 at F t 6t 2 2 0 ms2 Para t 2 a2 62 2 2 0 102 0 ms2 a 2 102 22 02 100 4 0 104 226 ms2 MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 3 Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço bem como no movimento de um objeto INTRODUÇÃO A imagem de uma função vetorial pode ser analisada como o traçado de uma curva que é percorrida conforme o parâmetro varia Assim uma aplicação da função vetorial é o estudo de curvas no plano e no espaço Os vetores e as retas normais e tangenciais à curva bem como o comprimento do arco e a curvatura podem ser obtidos por meio da função vetorial Este módulo apresentará tal estudo e a aplicação do conceito na análise do movimento de um objeto VETOR E RETA TANGENTE À CURVA Como já vimos a imagem de uma função vetorial pode ser analisada como a trajetória de uma curva no plano ou no espaço Como também já analisamos a derivada da função vetorial terá a direção tangente à trajetória da curva traçada pela função Assim podemos por meio da função derivada obter um versor que definirá a direção tangente à curva no ponto F t0 Como a derivada da função é um vetor tangente à curva no ponto t0 então conforme se estuda em geometria analítica o versor que definirá a direção tangente à curva será dado por T t0 F t0 F t0 Para F t0 0 Lembrese de que o versor é um vetor unitário isto é de módulo igual a 1 Se soubermos um ponto da reta e sua direção vetor diretor poderemos definir sua equação A reta tangente à curva passa pelo ponto F t0 e tem vetor diretor dado pelo valor de F t0 Portanto a equação paramétrica da reta tangente à curva pode ser obtida por rλ F t0 λ F t0 λ real EXEMPLO Exemplo 1 Considerando a função Ft 2 sen t 2 cos t 5 definida para t 02π determine o vetor de módulo 3 tangente à curva para t π 4 SOLUÇÃO Vamos obter a derivada da função vetorial Ft 2 sen t 2 cos t 5 2 cos t 2 sen t 0 Então Ft 2 cost2 2 sen t2 0 4cost2 sen t2 2 Assim o versor tangente à curva no ponto t0 será Tt F t F t 1 22 cos t 2 sen t 0 cos t sen t 0 Para t0 π 4 T π 4 cos π 4 sen π 4 0 2 2 2 2 0 2 2 ˆx 2 2 ˆy Como o vetor u terá módulo 3 então u 3 T π 4 32 2 32 2 0 Portanto no ponto t π 4 isto é F π 4 2 sen π 4 2 cos π 4 5 2 2 5 o versor tangente será T π 4 2 2 ˆx 2 2 ˆy e o vetor pedido será u 32 2 ˆx 32 2 ˆy EXEMPLO Exemplo 2 Considerando a função Ft 2 sen t 2 cos t 5 definida para t 02π determine a reta tangente à curva para t π 4 SOLUÇÃO Vamos obter a derivada da função vetorial Ft 2 sen t 2 cos t 5 2 cos t 2 sen t 0 Obtendo a equação da reta tangente a curva temos rλ F t0 λ F t0 rt F t0 λ F t0 λ real rλ 2 sen t0 2 cos t0 5 λ 2 cos t0 2 sen t0 0 Substituindo t π 4 temos rλ 2 sen π 4 2 cos π 4 5 λ 2 cos π 4 2 sen π 4 0 rλ 2 2 5 λ 2 2 0 2 λ2 2 λ2 5 rλ x 2 λ2 y 2 λ2 z 5 λ real VETOR NORMAL E BINORMAL À CURVA Outro vetor que pode ser obtido é o vetor normal à curva no ponto t0 Qualquer vetor que apresente um produto escalar com o vetor tangente igual a 0 zero será normal à curva Lembrese de que no caso do plano só existe uma direção normal mas no caso do espaço existem infinitas direções normais Vamos usar um conceito que já foi visto em um exemplo anterior Se o módulo de um vetor for constante para todos os valores do parâmetro então o vetor será ortogonal a sua derivada Considere o versor tangente à curva Tt F t F t Como já é de nosso conhecimento por ser um versor Tt 1 para todos os valores de t assim obrigatoriamente Tt Tt 0 Portanto o vetor Tt será perpendicular ao vetor tangente Tt e então normal à curva Basta agora transformar o mesmo em um versor Definimos o versor normal principal ou vetor normal principal unitário Nt como Nt T t T t EXEMPLO Exemplo 1 Considere a função Ft 2 sen t 2 cos t 5 definida para t 02π Determine o versor normal principal à curva para t π 4 SOLUÇÃO Como calculado nos exemplos anteriores Tt F t F t cos t sen t 0 Tt cos t sen t 0 sen t cos t 0 Observe como Tt e T t são ortogonais Tt T t costsent sent tcost 00 sent cost sen t cost 0 Isso era o esperado Calculando o módulo do vetor T t temos T t sent2 cost2 02 1 Portanto o vetor unitário principal será Nt T t T t T t 1 sen t cos t 0 Para t π 4 Nt sen π 4 cos π 4 0 2 2 2 2 0 Outro vetor que pode ser definido para uma curva é o vetor binormal Bt Tt x Nt Como o vetor binormal é o resultado de um produto vetorial entre Tt e Nt ele será ortogonal à direção tangente à curva e ortogonal à direção normal principal da curva Por isso ele é denominado binormal Por ser um produto vetorial entre dois vetores ortogonais e unitários o vetor binormal também é um vetor unitário EXEMPLO Exemplo 2 Considere a função Ft 2 sen t 2 cos t 5 definida para t 02π e determine o vetor binormal à curva para t π 4 SOLUÇÃO Como calculado nos exemplos anteriores Tt F t F t cos t sen t 0 Nt sen t cos t 0 Bt Tt x Nt ˆx ˆy ˆz cos t sent 0 sent cost 0 Bt cos2t ˆz sen2t ˆz cos2t sen2t ˆz 1 ˆz Bt 00 1 COMPRIMENTO E CURVATURA DE UMA CURVA Considere uma curva em que conhecemos a equação paramétrica da trajetória dada pela função vetorial Ft Ft x ft y gt z ht t real Podemos definir uma equação que determina o comprimento da curva entre dois pontos de seu domínio Imagine uma curva C descrita pelas equações paramétricas de Ft ft gt ht com ft gt e ht contínuas para atb Caso a trajetória de C seja percorrida apenas uma vez quando t varia de a até b o comprimento da curva C entre a e b será dado por L b a Ftdt b a d dtxt 2 d dtyt 2 d dtzt 2 L b a Ftdt b aft2 gt2 ht2dt Para o caso do plano não existirá a componente z e a fórmula se reduzirá a L b a Ftdt b a d dtxt 2 d dtyt 2 dtb aft2 gt2 dt Também podemos obter uma função comprimento de arco que mede desde um ponto inicial t a st t a Ftdt t aft2 gt2 ht2dt EXEMPLO Exemplo 1 Considere a função Ft 2 sen t 2 cos t 5 definida para t 02π e determine o comprimento da curva entre t 0 e t 2π SOLUÇÃO Ft 2 sen t 2 cos t 5 2 cos t 2 sen t 0 L 2π 0 Ftdt 2π 0 2 cost2 2 sent2 02dt L 2π 0 4 cos2t 4sen2tdt 2π 0 2dt 2t2π 0 4π EXEMPLO Exemplo 2 Considere a função Ft 2 sen t 2 cos t 5 definida para t 02π e determine a função comprimento do arco que mede o comprimento da curva desde o ponto t 0 SOLUÇÃO Ft 2 sen t 2 cos t 5 2 cos t 2 sen t 0 st t 0 Ftdt t 02 cost2 2 sent2 02dt st t 04 cos2t 4sen2tdt t 02dt 2t t 0 2t Uma curva pode ser parametrizada por meio do parâmetro comprimento dos arcos A vantagem dessa parametrização é que o comprimento ficará visível na própria imagem obtida pela variação do parâmetro As curvas parametrizadas pelo comprimento de arco têm a derivada da função isto é sua velocidade com módulo 1 pois a cada variação de uma unidade do parâmetro ocorrerá a variação de uma unidade de comprimento de arco EXEMPLO Exemplo 3 Parametrize a curva definida pela função Ft 2 sen t 2 cos t 5 para t 02π por meio de seu comprimento de arco SOLUÇÃO No exemplo anterior foi obtido que st 2t assim t s2 Portanto com o novo parâmetro a equação da curva será Fs 2 sen s 2 2 cos s 2 5 Assim para obtermos dois pontos com uma diferença de comprimento entre eles de 2 unidades basta obtermos um ponto com s s0 e o outro com s s0 2 por exemplo Sua derivada será Fs 2 sen s 2 2 cos s 2 5 cos t sen t 0 Fs cos2t sen t2 0 cos2t sen2t 1 CURVATURA A curvatura indica quão rapidamente uma trajetória muda com a variação do parâmetro ou seja k d T ds CURVATURA Taxa de variação do módulo do versor tangente em relação ao comprimento do arco Conhecemos o valor de T em relação ao parâmetro t e não em relação ao comprimento s Por isso devemos usar a regra da cadeia d T dt d T ds ds dt d T ds d Tdt dsdt T t s t No entanto pelo teorema fundamental do cálculo aplicado na fórmula da função comprimento de arco temos st t a Ftdt st Ft Portanto kt T t F t Caso a curvatura seja diferente de 0 zero definimos o raio de curvatura ρt como o inverso da curvatura Logo ρt 1 kt para kt 0 Existe outra fórmula que pode ser obtida pelas definições apresentadas a partir da manipulação matemática que determina a curvatura apenas em relação à função vetorial que define a curva Observe kt F t x F t F t 3 SAIBA MAIS A demonstração dessa fórmula pode ser estudada pelas referências apresentadas ao final do tema EXEMPLO Considere a função Ft 2 sen t 2 cos t 5 definida para t 02π Determine a curvatura da curva definida pela função SOLUÇÃO Já foi calculado anteriormente para esta função que T t cos t sen t 0 sen t cos t 0 T t sent2 cost2 02 1 Além disso F t 2 sen t 2 cos t 5 2 cos t 2 sen t 0 Ft 2 cost2 2 sent2 02 2 kt T t F t 1 2 Neste exemplo por se tratar de uma circunferência a curvatura não dependeu do parâmetro isto é da posição na curva MOVIMENTO NO ESPAÇO VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Os vetores normais e tangenciais definidos no início deste módulo podem ser usados para estudarmos o movimento de determinado objeto sua velocidade e aceleração quando ele estiver percorrendo uma trajetória estipulada por uma curva plana ou espacial Agora veremos a função Ft que define a trajetória percorrida pelo objeto A velocidade é uma grandeza vetorial expressa como a taxa de variação derivada da posição com o tempo A velocidade tem direção tangencial à curva Assim vt d dtst F t F t Tt Da mesma forma a aceleração é uma grandeza vetorial obtida pela taxa de variação derivada da velocidade pelo tempo Dessa forma at v t Ft Porém vt vt Tt at d dt vt d dt vt Tt v t Tt vt Tt Como pode ser verificado a aceleração tem uma componente tangencial e uma normal ortogonal à tangencial A aceleração tangencial v t Tt que tem a direção tangencial à curva é responsável pela mudança do módulo da velocidade A aceleração normal vt Tt que é ortogonal à curva é responsável pela mudança da direção do vetor velocidade Logo at v t Tt vt Tt Entretanto kt T t F t Tt Ft kt Nt T t T t Tt Tt Nt Ft kt Nt Como vt F t então a parcela anormal terá valor vt Tt Ft Tt Ft Ft kt Nt Ft 2kt Nt Assim at d dt vt v t Tt Ft 2kt Nt Repare que a aceleração sempre estará contida no plano formado pelos vetores Tt e Nt Esse plano é denominado plano osculador Podemos manipular esta fórmula para depender apenas da função vetorial e de suas derivadas Substituindo a fórmula da curvatura kt F t x F t F t 3 Então Ft 2kt F t x F t F t Seja vt at Ft Tt v t Tt Ft 2kt Nt Ft v t Logo v t vt at F t F t F t F t Portanto at F t F t F t Tt F t x F t F t Nt Consequentemente temos aTt F t F t F t Tt e aNt F t x F t F t Nt TEORIA NA PRÁTICA Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função Ft 4t2 4t2 4t3 com t 0 Determine o módulo da velocidade da aceleração tangencial e da aceleração normal para o instante de t 1 FUNÇÃO VETORIAL MOVIMENTO NO ESPAÇO MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 4 Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares INTRODUÇÃO Já estudamos o sistema cartesiano no qual o ponto é definido pelas coordenadas x y Este módulo apresentará o sistema polar e sua aplicação ao estudo de comprimento e de área de curvas planas polares COORDENADAS E CURVAS POLARES Um sistema de coordenadas é um sistema de referência para que possamos identificar a posição de um ponto no plano ou no espaço por meio da definição de suas coordenadas Até aqui trabalhamos com coordenadas cartesianas no R2 em que as coordenadas de um ponto eram definidas por meio de x y que eram respectivamente as distâncias do ponto ao eixo y e ao eixo x Outro sistema que pode ser utilizado para as curvas no plano é o sistema de coordenadas polares Para definilo precisaremos de um ponto origem e de uma semirreta que parta dessa origem denominada eixo polar Usando os eixos cartesianos x e y colocamos a origem do sistema polar na origem do sistema cartesiano isto é no ponto O que é a interseção dos dois eixos O eixo polar será o eixo positivo do eixo x As coordenadas polares de um ponto serão A distância do ponto à origem do sistema polar representada por ρ O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar representada por θ medido no sentido antihorário Dessa forma o ponto P em coordenadas polares será representado por Pρ θ como mostra o gráfico Figura 5 Coordenadas polares Como ρ é uma distância ele será um número real não negativo porém no sistema polar também se trabalha com ρ 0 O ponto Q ρ θ será o ponto simétrico ao ponto P ρ θ O ponto Q também poderia ser representado por Q ρ θ π Consideraremos θ negativo se ele for medido no sentido horário Assim o ponto Rρ θ poderia ser representado no plano por Rρ2π θ como mostra o gráfico Figura 6 Representação dos pontos em coordenadas polares Conforme observamos diferentemente do sistema cartesiano onde cada ponto tem apenas uma representação o mesmo ponto pode ser representado de diversas formas no sistema de coordenada polar RELAÇÃO ENTRE SISTEMA POLAR E CARTESIANO Pode ser obtida uma relação entre as coordenadas cartesianas de um ponto Pxy e suas coordenadas polares Pρθ Veja Figura 7 Relação entre sistema cartesiano e polar Analisando o gráfico temos x ρ cosθ y ρ senθ Além disso ρ x2 y2 tg θ y x EXEMPLO Exemplo 1 Determine as coordenadas cartesianas do ponto P que tem coordenadas polares 1 π 6 SOLUÇÃO x ρ cosθ 1 cos π 6 3 2 y ρ senθ 1 sen π 6 1 2 Assim o ponto P terá coordenadas cartesianas 3 2 1 2 EXEMPLO Exemplo 2 Determine as coordenadas polares do ponto P que tem coordenadas cartesianas 2 2 SOLUÇÃO ρ x2 y2 22 22 22 tg θ y x 2 2 1 θ 3π 4 ou θ 7π 4 Repare que o ponto P está no quarto quadrante x positivo e y negativo Assim chegamos ao valor do θ 7π 4 Dessa forma Pρ θ 22 7π 4 Uma questão importante também poderia ter sido escolhida a coordenada Pρ θ 22 π 4 CURVAS POLARES As curvas no plano R2 que podem ter seu gráfico definido por uma equação cartesiana também são representadas por uma equação polar do tipo ρ f θ Com essa representação tais curvas são denominadas curvas polares EXEMPLO Exemplo 1 Considere a curva planar com imagem dada pela função vetorial Ft 2cos t 2 sent e determine a equação polar para essa curva SOLUÇÃO Se observarmos a equação cartesiana da curva veremos que x 2cos t y 2 sent x2 y2 4 Isso representa uma circunferência de centro em 00 e raio 2 Vamos obter agora a equação polar x2 y2 4 ρ cosθ2 ρ senθ2 ρ2 ρ 2 Portanto a equação polar será ρ 2 EXEMPLO Exemplo 2 Determine a equação cartesiana da figura no plano cuja equação polar é dada por ρ 4 cos θ SOLUÇÃO x ρcos θ cosθ x ρ Assim ρ 4 cos θ 4 x ρ ρ2 4x Porém ρ2 x2 y2 Então ρ2 x2 y2 4x x2 y2 4x x2 4x y2 0 Completando os quadrados temos x2 22x 4 y2 4 x 22 y2 4 Isso representa uma circunferência de centro 20 e raio 4 2 Para obtermos a reta tangente a uma curva polar com equação ρ fθ teremos de considerar θ como um parâmetro Assim x ρ cosθ fθcos θ y ρ senθ fθsen θ O valor do coeficiente angular da reta tangente à curva será dado por dy dx Logo dy dx dy dθ dx dθ fθ sen θfθcos θ fθ cos θfθsen θ Se dy dθ 0 com dx dθ 0 a reta terá dy dx 0 sendo uma reta horizontal Se dx dθ 0 com dy dθ 0 a reta não terá dy dx sendo uma reta vertical EXEMPLO Exemplo 3 Obtenha a equação da reta tangente à curva polar de equação ρ 2 sem θ no ponto que θ π SOLUÇÃO Vamos obter a inclinação da reta Se ρ fθ 2 senθ fθ cos θ m dy dx dy dθ dx dθ f θ sen θf θ cos θ f θ cos θf θ sen θ cos θ sen θ 2sen θcos θ cos θ cos θ 2sen θsen θ Para θ π temos dy dx cos π sen π 2sen πcos π cos π cos π 2sen πsen π 20 1 1 1 2 O ponto da curva será o ponto x fθcos θ 2 senθcosθ y fθsen θ 2 senθsenθ x 2 senπcosπ 2 01 2 y 2 senπ senπ 2 0 0 0 Consequentemente em coordenadas cartesianas a equação da reta de inclinação m 2 passando no ponto 20 será y y0 m x x0 y 2 x 2 2 x 2 y 2x 4 2x y 4 0 ÁREA E COMPRIMENTO DE UMA CURVA POLAR A área de uma curva polar definida pela equação ρfθ compreendida entre dois valores de θ é obtida pela equação A θ1 θ0 1 2fθ2dθ SAIBA MAIS Esta fórmula não será demonstrada neste módulo pois se baseia na divisão da figura em setores circulares infinitesimal e monta um somatório semelhante à soma de Riemann Caso seja de seu interesse a demonstração pode ser estudada nos livros que constam na lista de referências ao final deste tema SOMA DE RIEMANN b afxdx lim umax0 n i1f pi ui EXEMPLO Exemplo 1 Determine a área da figura definida pela equação ρ2 sen2θ para o intervalo π 4 θ π 4 SOLUÇÃO A θ1 θ0 1 2fθ2dθ π 4 π 4 1 22 sen 2θ2dθ 2 π 4 π 4 sen22θdθ Para resolver esta integral necessitamos usar a relação trigonométrica cos 2α cos2α sen2α 1 2sen2α 2cos2α 1 sen2α 1 2 1 2cos 2αecos2α 1 2cos 2α 1 2 Portanto sen22θ 1 2 1 2cos 4θ A 2 π 4 π 4 sen22θdθ 2 π 4 π 4 1 2 1 2cos 4θ dθ π 4 π 4 dθ π 4 π 4 cos 4θdθ A θ π 4 π 4 1 4sen4θ π 4 π 4 π 4 π 4 1 4senπ senπ π 2 Em relação ao comprimento da curva dada por uma equação polar utilizaremos a mesma equação já apresentada em módulos anteriores L t b a d dtx t 2 d dty t 2 dt Acontece que para as curvas polares o parâmetro será o ângulo θ Assim Lθ θ1 θ0 d dθxθ 2 d dθyθ 2 dθ θ1 θ0 d dθ fθcosθ 2 d dθ fθsenθ 2 dθ Mas d dθ fθcosθ 2 d dθ fθsenθ 2 fθcosθ fθsenθ2 fθsenθ fθcosθ2 fθ 2cos2θ 2fθfθcosθ senθ fθ 2sen2θ fθ2cos2θ 2fθfθcosθ senθ fθ2sen2θ fθ 2 fθ2 Então Lθ θ1 θ0 fθ 2 fθ2dθ EXEMPLO Exemplo 2 Determine o comprimento da curva definida pela equação ρ2senθ entre os pontos θ π 4 e θ π 4 SOLUÇÃO Se fθ ρ 2 senθ fθ 2 cosθ Portanto Lθ π 4 π 42 sen θ2 2 cos θ2dθ π 4 π 4 2 dθ 2 π 4 π 4 2 π 2 π TEORIA NA PRÁTICA Uma rosácea de 4 pétalas é definida por curva polar de equação ρ 10 cos2θ com ρ em metros e θ em radianos Um artista plástico deseja pintar essa curva em uma parede e necessita saber quantos metros quadrados de tinta será necessário para isso Determine a área coberta pela figura para ajudar o levantamento do artista plástico ÁREA DE CURVA POLAR MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Este tema apresentou e aplicou o conceito de função vetorial e de coordenadas polares No primeiro módulo definimos a função vetorial que apresenta como domínio um número real porém como imagem um vetor que pertence ao Rn Também apresentamos as operações básicas das funções vetoriais No segundo e no terceiro módulos definimos as operações de limite derivada e integral para uma função vetorial e suas aplicações ao estudo de curvas planas e espaciais bem como no movimento de um objeto Por fim no quarto módulo apresentamos o sistema de coordenadas polares que pode ser utilizado para representar curvas planas e determinar o comprimento de seus arcos e suas áreas AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS APOSTOL T M Cálculo 1 ed Barcelona Editorial Reverte SA 1985 v 1 cap 14 p 597640 GUIDORIZZI H L Cálculo 5 ed São Paulo LTC 2013 v 1 cap 13 p 422432 GUIDORIZZI H L Cálculo 5 ed São Paulo LTC 2013 v 2 cap 7 p 104132 STEWART J Cálculo 5 ed São Paulo Thomson Learning 2008 v 2 cap 10 p 665679 cap 13 p 847883 EXPLORE Pesquise mais sobre funções vetoriais na internet e nas referências bibliográficas CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES