Aula 05: Diferenciabilidade, Derivada Direcional e Vetor Gradiente em Funções de Várias Variáveis

Cálculo Diferencial II Aula 05 Diferenciabilidade Derivada Direcional e Vetor Gradiente Tópico 01 Diferenciabilidade O objetivo deste tópico é estender para funções reais de várias variáveis a seguinte discussão CLIQUE AQUI PARA ABRIR Foi visto que uma função y fx é diferenciável ou derivável em num valor x0 se f x0 existe isto é se 0 Isto permite concluir que f é diferenciável em x0 se e somente se existe uma constante a tal que 0 além disso sendo f diferenciável em x0 então a f x0 Observe que a expressão entre os colchetes no último limite define a equação que é a equação da reta tangente à curva y fx no ponto x0fx0 Assim a existência da reta tangente exceto se f x0 ou f x0 depende da diferenciabilidade de f em x0 Além disso como 0 a distância fx y paralela ao eixo Y entre a reta tangente e a curva tende a zero mais rapidamente que x x0 quando x tende a x0 O conceito de diferenciabilidade para uma função de m m 2 variáveis é formulado similarmente entretanto neste estágio inicialmente é sugestivo que se dê ênfase às funções reais de duas variáveis posteriormente o conceito é estendido a uma função de m variáveis Uma função f A R2 R é dita diferenciável num ponto xo yo no interior do seu domínio se existem constantes a e b tais que Supondo que tal limite é verdadeiro isto é admitindo que f é diferenciável em xo yo é possível determinar os valores de a e b Portanto a definição anterior pode ser reformulada da seguinte forma uma função real f de variáveis x e y é diferenciável num ponto x0 y0 no interior do seu domínio se existem fxxo yo e fyxo yo além disso Fazendo x xo u e y yo v o último limite é equivalente ao seguinte limite PARADA OBRIGATÓRIA É relevante observar que a simples existência das derivadas parciais de uma função num ponto não implica na diferenciabilidade da função no ponto como mostra o exemplo resolvido 1b a seguir Dizse que uma função f A R2 R é diferenciável num conjunto B A se f é diferenciável em todos os pontos de B e f é dita diferenciável se B A EXEMPLO RESOLVIDO 1 Mostrar que a fx y x2 y 2xy é diferenciável em todo o R2 b não é diferenciável em 0 0 SOLUÇÃO ITEM A a Como fxxy 2xy 2y e fyxy x2 2x f possui derivadas parciais em todo ponto x0 y0 do R2 Além disso temse o seguinte limite pois 1 isto é é limitada e o limite da expressão entre os parênteses é igual a zero quando uv 00 Veja o exercício 34 do exercitando do tópico 1 da aula 4 Portanto f é diferenciável em todo o R2 SOLUÇÃO ITEM B logo fx 00 e fy 00 existem Entretanto não existe pois Portanto f não é diferenciável em 00 EXEMPLO PROPOSTO 1 Mostrar que a fx y xy 2xy2 é diferenciável em todo o R2 b não é diferenciável em 0 0 A função do exemplo resolvido 1b embora não seja diferenciável em 00 ela é contínua em 00 o que pode ser facilmente verificado Isto mostra que em geral continuidade de uma função de várias variáveis num ponto não implica na diferenciabilidade da função no ponto entretanto a afirmação recíproca é verdadeira conforme o teorema seguinte Teorema 1 Se uma função f A R2 R é diferenciável em x0 y0 então f é contínua em x0 y0 DEMONSTRAÇÃO Se f é diferenciável em xoyo então Seja Z a função definida por então Zxy 0 se xy xoy0o mas logo Isto mostra que f é contínua em xoyo OBSERVAÇÃO Do teorema 1 temse que se uma função não é contínua num ponto xo yo então ela não é diferenciável em xo yo Por exemplo a função g do exemplo proposto 1b deste tópico não é diferenciável em 00 pois ela não é contínua em 00 O próximo teorema estabelece critérios para que uma função seja diferenciável num ponto Teorema 2 Se uma função f A R2 R é uma função tal que fx e fy existem numa Bxo yo r e são contínuas em xo yo então f é diferenciável em x0 y0 DEMONSTRAÇÃO Sejam Z fxy e xy B x0y0r Como fazendo temse Mas aplicando o teorema do valor médio enunciado no tópico 2 da aula 7 de Matemática I para as funções G e H obtémse para c entre x e x0 e para d entre y0 e y assim Substituindo fxy fx0y0 no limite seguinte temse 0 pois 0 uma vez que 0 pela continuidade de fx em P0 e analogamente obtémse 0 O que conclui a demonstração Uma função f A R2 R é dita de classe Ck k 1 2 3 num conjunto B A se ela possui todas as derivadas parciais até a ordem k contínuas em B Assim uma função real é de classe C1 em B quando as suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas em B Seguese do teorema 2 o seguinte corolário Corolário Se f A R2 R é uma função de classe C1 num conjunto aberto B A então f é diferenciável em B A expressão fxo yo fxxo yox xo fvxo yoy yo que aparece no limite do conceito de função diferenciável num ponto define o plano contendo Qoxo yo fxo yo de equação Como a diferença fxy z tende a zero mais rapidamente que a distância quando x y xo yo isto também se expressa dizendo que numa vizinhança de xo yo a superfície dada pela função f é aproximada por tal plano Um plano nestas condições é chamado de plano tangente à superfície z fxy no ponto Qo PLANO TANGENTE É relevante a seguinte observação aparentemente a existência do plano tangente à superfície z fxy em Qo depende somente da existência de fxxo yo e fyxo yo entretanto para que se tenha a noção de proximidade citada entre o plano e a superfície é indispensável que f seja diferenciável em xo yo A razão disto é que o plano tangente deverá conter todas as retas tangentes à superfície em Qo veja o exercício 35 do exercitando do tópico 2 desta aula como é natural mas tal exigência não será possível se f não for diferenciável em xo yo conforme pode ser verificado no exercício 20 do exercitando deste tópico Se uma função z fxy é diferenciável em xo yo a função definida por dxo yo definida por É chamada de diferencial de f em x0 y0 Note que o domínio da função dxo yo é todo o R2 A diferencial tem seguinte interpretação sendo f diferenciável em xo yo então e Zu v 0 se u v 0 0 onde a função Z foi definida na demonstração do teorema 1 deste tópico fazendo x x0 u e y y0 v logo se as variações u x x0 e v y y0 de x0 e y0 respectivamente são valores próximos de zero a variação Δfxo yo fxo u yo v f xo yo de f correspondente a u e v estará próxima de dxo yofu v Sendo z fxy é comum escrever Δf x y Δz u dx e v dy assim E portanto Δ dz onde a aproximação será melhor quanto mais próximos de zero estiverem os valores de dx e dy EXEMPLO RESOLVIDO 2 Encontrar um valor aproximado para SOLUÇÃO Seja z fxy Fazendo x0 3 y0 4 dx 001 e dy 002 temse ou seja Mas logo EXEMPLO PROPOSTO 2 Determinar um valor aproximado para Os conceitos e resultados já tratados neste tópico podem ser estendidos a funções reais de m variáveis onde m 3 Assim sejam w fx1 x2xm P x1 x2xm e Poa1 a2am A função f é dita diferenciável num ponto P0 no interior do seu domínio se existem constantes c1 c2 cm tais que Além disso demonstrase que Também se f é diferenciável em P0 então f é contínua em P0 E se f possui derivadas parciais contínuas num conjunto aberto contido no seu domínio então f é diferenciável nesse conjunto isto é f é diferenciável em todos os pontos do conjunto Se f é diferenciável em P0 a diferencial de f em P0 é a função definida por E se ΔfPo fa1 x1 a2 x2 an xm fa1 a2 am isto é ΔfPo é a variação de f correspondente as variações x1 x2xm de a1 a2am respectivamente então ΔfPo dw onde a aproximação será melhor quanto mais próximos de zero estiverem x1 x2xm EXEMPLO RESOLVIDO 3 Uma caixa sem tampa na forma de um paralelepípedo retângulo deveria ter largura de 8 cm comprimento de 10 cm e altura de 12 cm no corte das faces da caixa foram cometidos erros nas dimensões de 02 cm a menos 004 cm e 006 cm a mais respectivamente Determinar uma aproximação para o erro cometido no cálculo do material usado na fabricação da caixa SOLUÇÃO Seja S cm2 a quantidade de material usada na fabricação da caixa de largura x cm comprimento y cm e altura z cm Então como a caixa não tem tampa Sxyz 2xz 2yz xy Fazendo x0 8 y0 10 z0 12 dx 02 dy 004 e dz 006 o erro cometido é exatamente ΔS 81012 o qual é aproximadamente igual a dS em 02 004 006 Como obtémse Assim o erro cometido no cálculo do material usada na fabricação da caixa é aproximadamente igual a 336 cm2 EXEMPLO PROPOSTO 3 Se a caixa do exemplo resolvido 3 tiver tampa achar uma aproximação para o erro cometido no cálculo do material usado na fabricação da caixa ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 3 é questão 1 13 é questão 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar As questões 3 até 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Diferencial II Aula 05 Diferenciabilidade Derivada Direcional e Vetor Gradiente Tópico 02 Derivada Direcional e Vetor Gradiente VERSÃO TEXTUAL Se f é uma função real de variáveis x e y sabese que fX e fy num ponto xo yo medem as taxas instantâneas de variações de f em x0 y0 nas direções dos eixos X e Y respectivamente O objetivo inicial deste tópico é introduzir uma generalização das derivadas parciais ou seja é um tipo de derivada que meça a taxa de variação instantânea de f numa direção qualquer Posteriormente será definido o vetor gradiente esse vetor tem várias aplicações importantes dentre as quais permite estender às funções reais de várias variáveis a regra da cadeia e o teorema do valor médio já visto para funções reais de uma variável no primeiro curso de Cálculo Sendo f uma função real de m variáveis x1 x2xm e u um vetor unitário do Rm a derivada direcional de f em relação a u é a função indicada e definida por O domínio de é o conjunto dos pontos Px1 x2xm no domínio de f tais que existe Além de as seguintes notações são também usadas para indicar a derivada direcional de f em relação a u fu e Duf Sejam f uma função real de variáveis x e y e u u1u2 um vetor unitário a derivada direcional de f em relação a u é então dada por A FIM DE INTERPRETAR ALGEBRICAMENTE FU Seja xoyo um ponto onde fuxoyo exista Observe que a reta L que contém os pontos xoyo e xo tu1yo tu2 é paralela ao vetor u Sendo assim fxo tu1yo tu2 fxoyo representa uma variação de fxo yo na direção do vetor u e sendo t a distância de xoyo a xo tu1yo tu2 tem se É a razão ou taxa da variação média de fxoyo para a variação de xoyo na direção de u logo É a razão ou taxa instantânea de variação de f na direção de u em xoyo PARA INTERPRETAR GEOMETRICAMENTE FUX0Y0 Considere a curva C de interseção da superfície z fxy com o plano que contém a reta L e é paralelo ao eixo Z Na figura anterior observase que a razão é a declividade da reta secante à curva C contendo os pontos xo yo fxo yo e xo tu1 tu2 f xo tu1 yo tu22 assim o limite de tal razão quando t 0 dá a declividade da reta tangente a C em xo yo fxo yo ou seja tg θ fuxo yo Na definição de derivada direcional para uma função f A R2 R fazendo u e1 10 temse E considerando u e2 01 obtémse portanto as derivadas parciais fx e fy são as derivadas direcionais de f em relação aos vetores e1 e e2 respectivamente Analogamente para uma função f A Rm R tomando u ei 0 1 0 para i 1 2 m temse Isto é a derivada parcial fxi é a derivada direcional de f em relação a ei EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a derivada direcional de fx y 2x2y y2 1 em relação e no ponto 23 SOLUÇÃO Temse mas assim EXEMPLO PROPOSTO 1 Mostrar que a derivada direcional de fx y 2xy2 x2 1 em relação e no ponto 12 é igual a Seja f A Rm R uma função com derivadas parciais num ponto Poa1 a2 am o vetor gradiente de f em P0 é indicado e definido por Em particular se f é uma função real de variáveis x e y o vetor gradiente de f em x0 y0 é dado por A notação fPo é também usada para representar o vetor gradiente de f em P0 O teorema seguinte dá a relação que existe entre a derivada direcional de uma função e o vetor gradiente da função num ponto Teorema 1 Sejam uma função f A Rm R uma função diferenciável em Po e u um vetor unitário do Rm então fuPo fPo u DEMONSTRAÇÃO Seja P0a1a2am então sendo f diferenciável em P0 Fazendo P P0 tu temse a P P0 é equivalente a t 0 b x1 a1 tu1 x2 a2 tu2 xm am tum onde u u1u2um c dP0P Logo o limite acima é equivalente ao seguinte limite ou seja daí Como fP0 u independe de t obtémse fP0 u O que conclui a demonstração PARADA OBRIGATÓRIA No tópico 1 desta aula foi verificado para uma função de duas variáveis e mencionado posteriormente para uma função de m m 3 variáveis que se uma função real f é diferenciável num ponto P0 as derivadas direcionais de f em Po existem em todas as direções dos eixos das variáveis isto é fxi existe para i 12m O teorema 1 generaliza tal fato afirmando que se f é diferenciável em Po a derivada direcional de f em Po existe em qualquer direção entretanto em geral a recíproca desta afirmação não se verifica conforme o exercício 24 do exercitando deste tópico EXEMPLO RESOLVIDO 2 Resolver o exemplo resolvido 1 usando o teorema 1 SOLUÇÃO Como fxy 2x2 y y2 1 temse fxy 4xy22 2y assim f23 242 Logo como f é diferenciável em 23 e pelo teorema 1 obtémse EXEMPLO PROPOSTO 2 Resolver o exemplo proposto 1 usando o teorema 1 O teorema 1 permite dar uma interpretação do vetor gradiente Clique aqui CLIQUE AQUI Se f A Rm R é diferenciável em P0 e u é um vetor unitário do Rm temse onde θ é a medida do ângulo entre u e fPo Desta forma o valor da fuPo depende somente do cos θ pois fPo é constante como cos θ atinge seu valor máximo quando θ 0 que é igual a um concluíse que a taxa de crescimento máxima de f em Po é fuPomáx fPo e é atingida quando calculada no sentido do fPo isto éfPo aponta no sentido em que f cresce mais rapidamente a partir do ponto Po O teorema seguinte dá uma extensão da regra da cadeia para funções reais de uma variável enunciada no primeiro curso de Cálculo em termos do vetor gradiente Teorema Regra da Cadeia 2 Sejam f A Rm R uma função definida num conjunto aberto B A e g I R Rm com gt B para todo t num intervalo aberto I Se g é diferenciável em to I e f é diferenciável em gt0 a função h t ffogt é diferenciável em to e hto f gto gto DEMONSTRAÇÃO Como f é diferenciável em gt0 temse mas e é equivalente a pois sendo a função g diferenciável em ela é contínua em assim Seja então se Sendo assim e daí mas 1 pois g é diferenciável em e 2 pois e logo por 1 e 2 h t0 f gt0g t0 Isto mostra que ht0 existe isto é h é diferenciável em e é encontrada da maneira afirmada O que conclui a demonstração Seguese do teorema 2 o seguinte corolário Corolário Se f A Rm R é diferenciável num conjunto aberto B A g I R Rm é diferenciável no intervalo aberto I e gt B para todo t I então ht fogt é diferenciável em I e ht fgt gt para cada t I Será útil reescrever a fórmula para ht do corolário anterior Clique aqui CLIQUE AQUI Seja e então e do corolário ou seja mas i 12m assim a fórmula do corolário pode ser escrita na forma No final do tópico 1 da aula 3 foram definidas as composições de funções com a função real de várias variáveis O corolário do teorema 2 dá a fórmula para a derivada da composição da definição a a fórmula da derivada da composição da definição b decorre dela Logo sendo w fu e ux1 x2xm temse w hx1 x2xm fogx1 x2xm isto é h é uma função real das m variáveis x1 x2xm para calcular para i12m considerase g como função apenas da variável xi isto é mantémse xj fixa para j i assim para i12m OLHANDO DE PERTO A regra da cadeia generalizada será tratada posteriormente no tópico 2 da aula 7 após a definição de função vetorial de várias variáveis EXEMPLO RESOLVIDO 3 Se z fx my gx ny onde f e g são funções duas vezes diferenciáveis mostrar que z é solução da equação diferencial azxx zyy 0 somente se a m2 n2 SOLUÇÃO Temse Fazendo e obtémse e assim Como obtémse Por outro lado e assim Logo azxx zyy isto é azxx zyy 0 somente se m2 n2 a EXEMPLO PROPOSTO 3 Considerando a função do exemplo resolvido 3 mostrar que zxy zyx 0 para quaisquer valores de m e n O corolário do teorema 2 deste tópico permite dar outra importante interpretação do vetor gradiente CLIQUE AQUI PARA SABER MAIS Sejam w fx1x2xm e P0 um ponto do conjunto de nível S de f correspondente ao nível w c isto é fP0 c Considere uma curva contida em S e parametrizada por uma função gt para todo t num intervalo aberto I t0 e f diferenciável em P0 Então fgt c para t I derivando os dois lados em relação a t e aplicando o corolário do teorema 2 temse para t I daí Logo se f gtₒ e gtₒ são não nulos tais vetores são ortogonais Assim se m 2 e o conjunto de nível de S é uma curva C no plano XY o vetor gtₒ é tangente à C em Pₒ portanto f Pₒ é um vetor normal à C em Pₒ Se m 3 e o conjunto de nível S é uma superfície em R3 o vetor gtₒ está no plano tangente à S em Pₒ logo fPₒ é normal ao plano tangente à S em Pₒ isto é fPₒ é normal à S O teorema seguinte estabelece uma extensão do teorema do valor médio para funções reais de uma variável visto no primeiro curso de cálculo às funções reais de m variáveis em termos do gradiente Teorema do Valor Médio Generalizado 3 Sejaf A Rm R uma função diferenciável num conjunto aberto contendo o segmento ligando dois pontos P e Q do Rm então existe um ponto P0 no segmento e entre P e Q tal que DEMONSTRAÇÃO Decorre da equação vetorial da reta que o segmento ligando P e Q é dado por St P Qt Q com 0 t 1 assim a função ht fSt com 0 t 1 dá os valores de f no segmento Aplicando o teorema do valor médio a função h no intervalo de 0 a 1 temse para algum t0 01 Por outro lado usando a regra da cadeia dada no teorema 2 deste tópico temse ht0 f St0St0 Logo igualando os dois resultados obtidos para ht0 e fazendo P0 St0 encontrase fP fQ f P0P Q pois St P Q para todo t O que conclui a demonstração ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 19 é questão 3 24b é questão 4 31 é a questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar LEITURA COMPLEMENTAR Os temas Teorema de Taylor Visite a aula online para realizar download deste arquivo Valores Extremos e Multiplicadores de Lagrange Visite a aula online para realizar download deste arquivo e Regra de Leibnitz Visite a aula online para realizar download deste arquivo complementam o estudo de derivação das funções reais de várias variáveis sendo assim é recomendável uma leitura para conhecer um pouco mais sobre derivação Fontes das Imagens