Cálculo Integral I: Integral Definida e Imprópria - Aula 02

Cálculo Integral I Aula 02 Integrais Definida e Imprópria Tópico 01 Integral Definida VERSÃO TEXTUAL Este tópico estuda a integral definida tratase de um processo para calcular um tipo de soma com uma infinidade de parcelas tal soma é usada para determinar a área de uma região no plano o volume de certos sólidos e aplicações em Física tais como o centro de massa de uma lâmina o cálculo de trabalho e força devida à pressão de fluidos tais aplicações em Física estarão à disposição do estudante como textos complementares no final dos tópicos das aulas 3 e 4 Inicialmente o tópico trata do conceito de integral definida e suas propriedades posteriormente será visto um resultado conhecido como teorema fundamental do Cálculo que estabelece as condições suficientes para que a integral definida possa ser calculada através de uma integral indefinida A integral definida não encerra suas aplicações neste texto ela é usada ainda para calcular comprimento de curvas além disso é usada em outras integrais a serem estudadas futuramente chamadas de integrais curvilíneas integrais múltiplas e integrais de superfície A integral definida como a derivada é também um limite de uma expressão envolvendo uma função Antes de enunciar o conceito de integral definida é necessário construir os elementos a serem utilizados A primeira etapa referese a construção de uma soma que é o elemento central da definição Seja f uma função limitada no intervalo fechado a b isto é existe uma constante m0 tal que fx m para todo x ab Considere uma divisão D de a b em n subintervalos x0 x1 x1 x1 xn1 xn onde a x0 x1 x2 xn 1 xn b Considere ainda Δix i 1 2 n o comprimento do iésimo subintervalo xi1xi ou seja Δ1x x1 x0 Δ2ix x2 x1 Δnx xn1 x0 e α xi1 xi Então a referida soma é dada por e é chamada de soma de Riemann da função f relativa a divisão D e aos valores RIEMANN Georg Friedrich Bernhard Riemann 18261866 matemático alemão É comum chamar o conjunto dos valores que determinam uma divisão de a b em subintervalos uma partição de a b OBSERVAÇÃO Observe que para uma dada função f e um determinado intervalo a b sobre o qual f é limitada uma soma de Riemann de f depende da divisão ou da partição de a b que for considerada e da escolha dos valores em cada subintervalo Ao considerar uma divisão de a b fazse de forma que o número de subintervalos possa crescer de maneira ilimitada então a próxima etapa é fazer o número de parcelas da soma de Riemann tender a de forma que o comprimento de cada subintervalo tenda a zero para isto seja isto é é o comprimento do maior subintervalo da divisão então a etapa estará concluída considerando o seguinte limite Estabelecer que o mencionado limite existe e é igual a L escrevese significa dado qualquer existe tal que para qualquer divisão de a b com e qualquer escolha de vale a desigualdade OBSERVAÇÃO É relevante observar que o limite acima difere dos limites tratados no módulo anterior de Cálculo entretanto é possível mostrar que este quando existe é também único a prova está sugerida no exercício 54 do exercitando deste tópico Quando o limite existe dizse que f é integrável em a b e neste caso o número L é chamado de integral definida de f em a b ou simplesmente a integral de f em a b e é indicado pelo símbolo ou seja PARADA OBRIGATÓRIA Os dois conceitos de integrais dados têm significados distintos pois a integral indefinida é uma função enquanto que a integral definida é um número entretanto a seguir será demonstrado que sob determinada condição na maioria das vezes o valor da integral definida pode ser obtido através da integral indefinida No símbolo são usadas as seguintes designações é o símbolo da integral definida a é o limite inferior integração e b é o limite superior de integração e a expressão fx é o integrando Historicamente o símbolo representa um S alongado inspirado na primeira letra da palavra latina summa que significa soma usado para enfatizar que a integral definida representa uma soma Uma questão que surge é sob que condições uma função é integrável num intervalo fechado um resultado dado em textos mais avançados estabelece que se uma função é contínua num intervalo fechado então ela é integrável nesse intervalo Assim quando se deseja encontrar o valor da integral definida de uma função contínua f num intervalo fechado a b basta achar esse valor para uma particular divisão de a b e uma escolha particular de em cada subintervalo da divisão pois devido a unicidade do valor da integral o valor é o mesmo para qualquer outra divisão e escolha de O exemplo seguinte ilustra o procedimento EXEMPLO RESOLVIDO 1 Achar o valor da integral de fx3 x2 no intervalo 1 4 SOLUÇÃO Como f é contínua em 1 4 f é integrável em 1 4 assim o valor da integral é o mesmo para qualquer divisão de 1 4 e qualquer escolha de nos subintervalos da divisão Considere por exemplo a divisão de 1 4 em n subintervalos de comprimentos iguais a x ou seja isto é E seja o extremo superior de cada subintervalo da divisão isto é daí Sendo assim onde foi usado que logo simplificando o lado direito da última igualdade achase Portanto como é equivalente a obtémse EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Provar que No conceito de integral definida o valor de a foi considerado como limite inferior e de b como o limite superior de integração quando se deseja fazer uma permuta dos limites de integração a e b definese desde que f seja integrável em ab E a integral com os limites de integração iguais é definida como igual a zero isto é A integral definida tem as seguintes propriedades clique aqui PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 1 onde c é uma constante e f é integrável em ab 2 onde f e g são integráveis em ab 3 onde f é integrável em ab e a c b 4 onde f e g são integráveis em ab e fx gx para todo x ab As demonstrações das propriedades 1 a 4 decorrem das definições de integral definida e função integrável A seguir a propriedade 1 será demonstrada as demonstrações das demais estão sugeridas no exercício 49 do exercitando deste tópico Demonstrações das propriedades clique aqui DEMONSTRAÇÕES DAS PROPRIEDADES Como f é integrável em ab dado qualquer ε 0 existe δ 0 tal que para qualquer divisão de ab com Δ δ e qualquer escolha de α xi1 xi i1 2 n temse É óbvio que se c0 vale a propriedade então supondo c0 obtémse as seguintes desigualdades equivalentes e Como a última desigualdade vale para ε1cε que é positivo e arbitrário pois ε é positivo e arbitrário e o δ mencionado temse Logo cf é integrável em a b e a propriedade está demonstrada O processo de calcular uma integral definida através da definição é muito trabalhoso e na maioria das vezes é bastante difícil A seguir será visto o procedimento para obter o valor da integral definida de uma função contínua através da sua integral indefinida esse é o processo normalmente usado Antes será demonstrado o seguinte resultado básico Teorema do Valor Médio para Integrais 1 Seja f uma função contínua em a b então existe pelo menos um valor em a b tal que DEMONSTRAÇÃO Sendo f contínua em a b pelo teorema de Wierstrass visto no módulo anterior de Cálculo f tem valores mínimo e máximo absolutos em a b Considere e os valores mínimo e máximo absolutos de f em a b respectivamente então Assim se é o comprimento do iésimo subintervalo de uma divisão qualquer de a b temse onde é um valor qualquer em Somando de 1 até n os membros correspondentes destas desigualdades obtémse Tomando o limite com temse que dividindo por ba resulta em Assim pelo teorema do valor intermediário visto no módulo anterior de Cálculo existe pelo menos um valor tal que O que conclui a demonstração Sendo f uma função contínua em a b f é contínua em a x para todo logo existe e é um único valor que depende de x considerouse a letra t para indicar a variável de integração não a letra x como é comum a fim de que não haja equívoco com o limite superior da integral assim define uma função cujo domínio é o intervaloa b Lema Sejam f uma função contínua em á b e para todo DEMONSTRAÇÃO Sejam x ab e Δx uma variação de x tal que x Δx ab então Pelo teorema do valor médio para integrais existe α x x Δx tal que logo ou seja e assim O limite do lado direito desta última igualdade é igual a fx pois sendo x α x Δx temse além disso f é contínua em todo x ab logo do teorema 2 do tópico 3 da aula 3 obtémse Por outro lado o limite do lado esquerdo é portanto para todo x em ab O que conclui a demonstração Teorema Fundamental do Cálculo 2 Seja f uma função contínua em a b então onde F é qualquer integral de fx DEMONSTRAÇÃO Sendo pelo lema para todo x em a b então a função é uma integral de f em a b daí se F é qualquer integral de f em a b pelo corolário do teorema 2 enunciado no tópico 2 da aula 7 temse onde C é uma constante Como temse C Fa logo ou seja O que conclui a demonstração A diferença geralmente é indicada por escrevendose Vale enfatizar que o teorema fundamental do Cálculo estabelece se f é contínua em a b então uma função F citada no teorema pode e deve ser obtida da igualdade O exemplo seguinte ilustra a aplicação do teorema fundamental do Cálculo EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular as seguintes integrais SOLUÇÃO a Como fx 3 x2 é contínua em 1 4 e temse Observe a igualdade deste valor com o obtido no exemplo resolvido 1 deste tópico b Como fx sen2xcos2x sec4x é contínua em e obtémse EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Mostrar que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é um trabalho constituído por TRÊS questões retiradas de exercícios do exercitando de acordo como segue 1ª Questão questão 17 2ª Questão questão 35 3ª Questão questão 39 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Cálculo Integral I Aula 02 Integrais Definida e Imprópria Tópico 02 Integral Imprópria O conceito de integral definida foi dado no tópico 1 desta aula para uma função limitada num intervalo fechado este tópico tem o objetivo de usar limite para estender o conceito de integral definida quando a função não é limitada ou para intervalos não necessariamente fechados Inicialmente considere as integrais impróprias em que os intervalos de integração são ilimitados isto é apenas um dos valores extremos do intervalo de integração é finito ou nenhum dos dois extremos é finito Vejamos a como se dá INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 1 Se f é integrável em ab para todo a integral de f em é definida por 2 Se f é integrável em ab para todo a integral de f em é definida por 3 Se f é integrável em qualquer intervalo fechado a integral de f em é definida por Quando cada limite existe dizse que a integral imprópria é convergente e que a função é integrável impropriamente no intervalo correspondente caso contrário a integral imprópria é dita divergente EXEMPLO RESOLVIDO 1 Verificar se cada uma das seguintes integrais é convergente ou divergente SOLUÇÃO a Temse assim Logo a integral imprópria é convergente b Temse mas e Logo a integral imprópria é divergente EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que Considere agora as integrais impróprias em que os intervalos de integrações são limitados Tais integrais têm a mesma notação da integral definida o que as identifica serem impróprias é que a função do integrando não está definida em pelo menos um dos limites de integração ou valor entre os limites Por exemplo a integral é imprópria pois não está definida em zero COMPREENDA MAIS 1 Se f é integrável em atb para todo t com a integral de f em ab é definida por 2 Se f é integrável em abt para todo t com a integral de f em ab é definida por 3 Dados um intervalo ab e um valor c com sejam e integrais impróprias no sentido das duas últimas definições então é também uma integral imprópria e é definida por ou então Como anteriormente se cada integral definida e cada limite existem dizse que a integral imprópria é convergente e que a função é integrável impropriamente no intervalo correspondente caso contrário a integral é divergente EXEMPLO RESOLVIDO 2 Determinar se cada uma das seguintes integrais impróprias converge ou diverge SOLUÇÃO a Temse Sendo e obtémse Portanto a integral é convergente b Temse mas Logo a integral é divergente EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Provar que as duas integrais seguintes divergem Às vezes deixando de considerar que certas integrais são impróprias ocorrem resultados incorretos por exemplo a integral é imprópria pois não está definida em 0 logo ambos os limites não existem logo a integral é divergente entretanto se a integral for calculada sem levar em consideração que não está definida em 0 será obtido Evidentemente que este último resultado está incorreto pois sendo positiva em 11 para x 0 a integral se existisse não poderia ser negativa Veja o exercício 50a do exercitando do tópico 1 desta aula ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é a continuação do trabalho iniciado no tópico anterior e é constituído por DUAS questões retiradas de exercícios do Exercitando de acordo como segue 4ª Questão questão 11 5ª Questão questão 15 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Fontes das Imagens