Cálculo de Área e Integração por Partes - Aula 03

Cálculo Integral I Aula 03 Cálculo de área volume e integração por partes Tópico 01 Área de uma Região no Plano Em cursos de Geometria Plana estudase área de regiões poligonais e circulares Neste parágrafo será introduzido com a utilização da integral definida o conceito de área de certas regiões planas mais gerais Inicialmente será visto um caso particular da área de uma região onde faz parte da fronteira da região isto é a curva fechada que limita a região o gráfico de duas funções em que x é a variável independente posteriormente será abordado o caso em que faz parte da fronteira da região o gráfico de duas funções em que y é a variável independente O conceito de área será num curso posterior estendido a figuras não necessariamente planas chamadas de superfícies Em geometria plana calculase a área de qualquer região poligonal tomandose como base a definição da área de um triângulo Recorrendo a um processo de limite esse procedimento pode ser usado para definir a área de um círculo de raio r DEFININDO A ÁREA DE UM CÍRCULO DE RAIO R Assim considerando um polígono regular de n lados inscrito no círculo A figura seguinte ilustra o círculo e um polígono com um valor particular de n Na Figura temse n5 Observe a parte sombreada na cor laranja é o que falta na região poligonal para cobrir o círuculo O polígono pode ser decomposto em n triângulos isósceles e sua área é a soma das áreas dos n triângulos Se bn é a base de cada triângulo e hn é a altura correspondente a esta base a área An do polígono é dada por sendo A a área do círculo como o polígono está contido no círculo temse e intuitivamente percebese que ao considerar polígonos com um maior número de lados An estará mais próxima de A As figuras seguintes ilustram um aumento do valor de n As figuras ilustram um aumento de n5 para n10 observe o polígono de dez lados ocupando uma parte maior do cículo do que o polígono de cinco lados Assim é natural definir a área do círculo como o limite da área do polígono se o número de seus lados tende a mais infinito ou seja suposto que e temse que é a fórmula usada em geometria plana para encontrar a área do círculo Um método análogo ao que foi usado para motivar a definição da área de um círculo pode ser adotado para chegar na definição da área de uma região plana mais geral ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA MAIS GERAL A princípio considere o tipo de região R entre as retas x a e x b acima do eixo X e abaixo da curva y fx onde f é uma função contínua em ab e f x 0 para todo x em ab As figuras ilustram algumas regiões do tipo definido considerando gráfico de f observe que sendo fx 0 o gráfico de f interceptar o eixo X em ab mas não pode seccionar Inicialmente seja a divisão do intervalo ab em n subintervalos regulares onde isto é cada subintervalo tem comprimento igual a Como f é contínua em cada subintervalo pois f é contínua em ab pelo teorema de Wierstrass visto no módulo anterior de Cálculo f tem valor mínimo absoluto em seja esse valor mínimo A união dos n retângulos com base nos subintervalos isto é com largura igual a e altura igual a define uma região poligonal Rn contida em R Na Figura estão ilustrados na cor cinza os três primeiro retângulos iésimo e nésimo retângulo na região poligonal Rn Se An é a área de Rn e A é o número que deverá ser definido como a área de R então comparando as figuras das regiões Rn e R concluíse que onde a igualdade ocorre se f é constante em ab Intuitivamente percebese que aumentando o número n de retângulos isto é diminuindo Rn aproximase mais da região R As figuras ilustram aumentos de n em dobro a partir de n2 observe a diminuição da cor laranja à medida que n aumenta esta é o que falta para a região poligonal cobrir a região R Logo é natural definir a área de R por ÁREA DE UMA REGIÃO R A PARTIR DE UMA REGIÃO POLIGONAL NÃO NECESSARIAMENTE INSCRITA EM R OU DE BASES COM O MESMO VALOR Seja onde é o comprimento do iésimo subintervalo de uma divisão qualquer de é um valor arbitrário em e A figura ilustra uma região poligonal con n 12 e retângulos não necessariamente inscritos em R ou de bases com o mesmo valor Conforme foi mencionado no tópico 1 da aula 1 devido a continuidade de f no intervalo ab f é integrável em ab assim os dois limites encontrados existem e têm o mesmo valor que é a integral definida de f em ab ou seja O exemplo seguinte ilustra aplicação da última definição EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a área da região limitada pela parábola y 4 x2 e os eixos coordenados no primeiro quadrante SOLUÇÃO A região está ilustrada figura seguinte Como a região é o tipo descrito a sua área A é dada por EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que a área da região limitada pela parábola y x2 o eixo X e a reta x 2 é igual a 83 ÁREA DE UMA REGIÃO NUMA FAIXA VERTICAL Um conceito análogo de área pode ser dado a regiões bem mais gerais que a anterior Sendo assim considere a região R entre as retas x a e x b abaixo da curva y fx e acima da curva y gx onde f e g são funções contínuas em ab e gx fx para todo x em ab A figura ilustra uma região do tipo definido justamente com os dois primeiros retângulos o iésimo retângulo resultante da divisão do intervalo ab enunciada a seguir Seja uma divisão de ab em n subintervalos em que cada subintervalo tenha comprimento e considere um valor qualquer em Cada subintervalo está associado ao retângulo da base e altura logo a soma das áreas desses n retângulos é que é uma aproximação do número A que se deseja definir como a área de R quanto maior for o valor de n de forma que esteja diminuindo melhor será esta aproximação assim definese a área de R por Como f e g são contínuas em ab f g é contínua em ab logo este limite existe e é a integral de f g em ab ou seja OBSERVAÇÃO Observe que a região usada para definir área inicialmente é um caso particular deste último tipo de região basta considerar gx 0 para todo x em ab Nesta formulação assim como na anterior para definir o valor de A dizse que foram considerados os elementos de área paralelos ao eixo Y isto é os elementos retangulares de base e altura ÁREA DE UMA REGIÃO NUMA FAIXA HORIZONTAL Sejam p e q funções definidas por xpy e xqy contínuas em cd e com para todo y em cd Seja R a região entre as curvas xqy e xpy e entre as retas y c e y d A figura ilustra uma região do tipo definido juntamente com o primeiro retângulo o iésimo e nésimo retângulo da região poligonal enunciada a seguir Tomando agora uma região poligonal associada a R que seja a união de elementos de área paralelos ao eixo X ou seja elementos retangulares de base e altura definese a área de R por onde é o comprimento do iésimo subintervalo de uma divisão qualquer de é um valor arbitrário em e Como a função p q é contínua em cd o valor de A existe e é a integral de p q em cd ou seja Os exemplos seguintes ilustram aplicações das duas últimas definições EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a área da região limitada pela parábola x y2 e a reta x y 2 SOLUÇÃO A região R está ilustrada na figura seguinte juntamente com elementos de área paralelos aos eixos X e Y A área de R pode ser calculada escolhendo os elementos de área paralelos ao eixo Y neste caso a região R deve ser decomposta nas subregiões à esquerda e à direita da reta x 1 indicadas na figura Sendo assim a área A de R é a soma das áreas das subregiões ou seja Considerando os elementos de área paralelos ao eixo X a área de R pode ser calculada através de uma única integral ou seja EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Uma região é limitada pela parábola y 1 x2 e a reta x 2y 1 Calcular a área da região usando elementos de área paralelos aos dois eixos coordenados e provar que seu valor é 2748 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular a área da região R dada a R é limitada pelos eixos coordenados e a parte da curva onde b R é limitada pela curva e as retas x 1 e y 1 SOLUÇÃO A a A região e os elementos de área estão ilustrados na figura seguinte Escolhendo os elementos de área paralelos ao eixo Y a área A de R é Considerando elementos de área paralelos ao eixo X a área A de R é Como até este momento não se sabe determinar a integral indefinida de não é possível encontrar o valor de A através desta última escolha SOLUÇÃO B bA região está ilustrada na figura seguinte Escolhendo os elementos de área paralelos ao eixo Y a área A de R é dada por Como até este momento não se sabe encontrar a integral indefinida de não é possível achar o valor A através desta escolha Então considerando os elementos de área paralelos ao eixo X obtémse EXERCÍCIO PROPOSTO 3 Mostrar que a área da região limitada pelas retas e a curva é igual ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é um trabalho constituído por DUAS questões retiradas de exercícios do exercitando de acordo como segue 1ª Questão questão 07 2ª Questão questão 36 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo LEITURA COMPLEMENTAR No texto Massa Momentos e Centro de Massa Visite a aula online para realizar download deste arquivo aparecem algumas aplicações em Física da integral definida É recomendável pelo menos uma leitura atenciosa desse texto Cálculo Integral I Aula 03 Cálculo de área volume e integração por partes Tópico 02 Volume de um Sólido Em cursos de Geometria no Espaço estudase volume de alguns sólidos particulares como paralelepípedo esfera cone etc Usando a integral definida este parágrafo estuda o volume de um grupo de sólidos mais gerais do qual os sólidos tratados em Geometria no Espaço fazem parte Este tópico é iniciado definindo o tipo de sólido que caracteriza o grupo conhecido como sólido de seções planas paralelas conhecidas em seguida será definido o volume desse tipo de sólido posteriormente será destacado um tipo de sólido de seções planas paralelas conhecidas chamado de sólido de revolução O parágrafo é finalizado com um método alternativo para calcular o volume de um sólido de revolução chamado de método dos invólucros cilíndricos Um sólido cilíndrico ou simplesmente um cilindro é um sólido limitado por dois planos paralelos e por uma superfície cilíndrica gerada pelo deslocamento de um segmento tendo seus pontos extremos nos planos e se movendo perpendicularmente aos planos A figura ilustra um cilindro de base B e altura h O volume de um cilindro é definido como o produto da área da base pela altura onde a base do cilindro é a região nuns planos interior a curva descrita por um dos pontos extremos do segmento e a altura do cilindro é o comprimento do segmento Para definir a área de uma região plana foi usado como base à definição da área de um retângulo com um método análogo é possível definir o volume de um tipo de sólido tendo como base à definição do volume de um cilindro OBSERVAÇÃO Seja S um sólido qualquer uma seção plana de S é uma região plana obtida pela interseção de S com um plano Duas seções planas de S são ditas paralelas se estas são as interseções de S com dois planos paralelos Sólido de seções planas paralelas conhecidas O tipo de sólido que será considerado é aquele em que a área de cada seção plana do sólido pode ser estabelecida como uma função real de uma variável Um sólido com tais características é dito um sólido de seções planas paralelas conhecidas A figura ilustra um sólido de seções planas paralelas conhecidas destacando algumas seções planas na cor cinza Volume de um sólido de seções planas paralelas conhecidas Seja S um sólido de seções planas paralelas conhecidas e suponha que todas as seções estão em planos perpendiculares a um eixo R e entre os planos em a e b Considere Ar a área de cada seção plana onde a r b e a função A é contínua em ab Considere ainda uma divisão do intervalo ab em n subintervalos ri1 ri i 1 2 n onde a r0 e b rn e i ri1 ri Então o volume do cilindro de base com área A i e altura ir ri ri1 dado por A i ir é aproximadamente igual ao volume da fatia do sólido S entre as seções planas por ri1 e ri assim o volume V do sólido que é a soma dos volumes das n fatias associadas aos subintervalos ri1 ri é aproximadamente igual a soma dos volumes dos n cilindros associados aos subintervalos isto é Melhores aproximações serão obtidas quanto maior for o valor de n e menor for cada ir assim definese o volume do sólido S por onde máx ir i 1 2 n Como a função A é contínua em ab este limite existe e é a integral da função A em ab ou seja O exemplo seguinte ilustra a aplicação desta definição EXEMPLO RESOLVIDO 1 A base de um sólido é a região triangular limitada pelo eixo Y e as retas x y 1 e x y 1 Encontrar o volume do sólido em que cada seção plana perpendicular a Ao eixo X é um semicírculo b Ao eixo Y é um quadrado SOLUÇÃO A a A figura seguinte dá uma ilustração do sólido destacando a sua base na cor laranja e duas seções planas na cor cinza Para cada x com 0 x 1 o raio de cada semicírculo é assim a área Ax da seção plana do sólido em x é Logo o volume do sólido é SOLUÇÃO B b A figura seguinte dá uma ilustração do sólido destacando sua base na cor laranja e três seções planas na cor cinza O lado de cada quadrado da seção plana perpendicular a parte positiva do eixo Y é igual a 1 y 0 1 y logo a área Ay da seção plana correspondente em y é Ay 1 y2 para 0 y 1 e o lado de cada quadrado da seção plana perpendicular a parte negativa do eixo Y é 1 y 0 1 y logo a área Ay da seção plana correspondente em y é Ay 1 y2 para 1 y 0 Logo o volume do sólido é EXERCÍCIO PROPOSTO 1 A base de um sólido é a região do exemplo anterior Se cada seção plana do sólido perpendicular ao eixo X é um triângulo equilátero provar que o volume do sólido é igual a Sólido de revolução Um grupo de sólidos de seções planas paralelas conhecidas muito comum é aquele em que cada seção plana perpendicular a uma reta é um círculo ou uma coroa circular um sólido de tal grupo é obtido girando uma região em torno de uma reta onde a reta não contém pontos interiores da região mas pode interceptar a região na sua fronteira Devido a isto esse sólido é chamado de sólido de revolução e a reta é dita o eixo de revolução da região ou eixo do sólido de revolução As figuras seguintes ilustram à esquerda a região e à direita o sólido de revolução correspondente destacando algumas seções planas O exemplo seguinte ilustra como encontrar o volume de um sólido de revolução quando o eixo de revolução é um dos eixos coordenados ou uma reta paralela a um dos eixos coordenados EXEMPLO RESOLVIDO 2 Seja R a região limitada pela curva y 2x x2 e o eixo X Calcular o volume do sólido de revolução S obtido quando R gira em torno a Do eixo X b Da reta y 1 c Do eixo Y d Da reta x 3 SOLUÇÃO A a A região e o sólido estão ilustrados nas duas figuras seguintes As seções planas de S perpendiculares ao eixo X ou seja o eixo de revolução em x com 0 x 2 são círculos de raios iguais a y 2x x2 logo de área Assim o volume de S é SOLUÇÃO B b Um esboço do sólido está na figura seguinte Cada seção plana de S perpendicular à reta y 1 no ponto x 1 com 0 x 2 é uma coroa circular entre as circunferências de raios iguais a 0 1 e y 1 2x x2 1 logo sua área Ax em x 1 é a área do círculo de raio 2x x2 1 menos a área do círculo de raio 1 ou seja Assim o volume do sólido S é SOLUÇÃO C c Um esboço do sólido está na figura seguinte Cada seção plana perpendicular ao eixo Y em y com 0 y 1 é uma coroa circular entre as circunferências de raios iguais a e logo sua área em y é Portanto o volume de S é SOLUÇÃO D d Um esboço do sólido está na figura seguinte Cada seção plana de S perpendicular à reta x 3 em 3 y com 0 y 1 é uma coroa circular entre as circunferências de raios iguais a logo sua área Ay em 3yé Portanto o volume de S é EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Seja a região limitada pela reta x 1 e a curva acima do eixo X Provar que o volume do sólido de revolução obtido quando a região gira em torno a Do eixo X é b Da reta y1 é c Da reta y1 é d Do eixo Y é e Da reta x1 é O exemplo seguinte ilustra como encontrar o volume de um sólido de revolução quando o seu eixo é uma reta não paralela a nenhum dos eixos coordenados EXEMPLO RESOLVIDO 3 Seja R a região limitada pela parábola y x2 e a reta y x Achar o volume do sólido de revolução S obtido quando R gira em torno da reta y x SOLUÇÃO A região R e o sólido S destacando três seções planas na cor cinza estão ilustrados nas duas figuras seguintes Cada seção plana de S perpendicular à reta y x com 0 x 1 é um círculo de raio igual a distância da reta a um ponto da parábola assim o raio é igual a logo sua área é Para encontrar o volume Axdr de uma fatia do sólido resta achar o elemento de comprimento ao longo da reta y x neste caso considere a figura à direita Como temse Portanto o volume de S é EXERCÍCIO PROPOSTO 3 Seja R a região limitada pela reta x y 0 e a parábola cúbica y x3 Mostrar que o volume do sólido de revolução obtido quando R gira em torno da reta x y 0 é Invólucro cilíndrico Em seguida será visto um método alternativo para calcular o volume de um sólido de revolução chamado de método do invólucro cilíndrico Antes são necessárias algumas considerações Um invólucro cilíndrico é um sólido gerado pela revolução de um retângulo em torno de uma reta paralela a um de seus lados tal reta é chamada de eixo do invólucro cilíndrico Assim um invólucro cilíndrico é um sólido entre dois cilindros de mesmo eixo A figura ilustra um invólucro cilíndrico entre os cilindros de raio r1 e r2 a altura h O volume de um invólucro cilíndrico de altura h entre os cilindros de raios r1 e r2 com r1 r2 é o volume do cilindro de raio r2 menos o volume do cilindro de raio r1 assim o volume do invólucro cilíndrico é É possível achar o volume de um sólido de revolução tendo como base o volume do invólucro cilíndrico devido a isto esse método é chamado de método dos invólucros cilíndricos Método dos invólucros cilíndricos Para ilustrar o método do invólucro cilíndrico será considerado um tipo particular de região para outras regiões mais gerais o procedimento é análogo Seja a região R limitada pelo eixo X as retas x a e x b e a curva y fx onde a 0 f é uma função contínua em ab e fx 0 para todo x em ab Girando R em torno do eixo Y obtémse um sólido de revolução S As figuras seguintes ilustram a região e o sólido de revolução O volume de S pode ser determinado tomandose como base os volumes dos invólucros cilíndricos gerados pela revolução em torno do eixo Y dos elementos retangulares de R paralelos ao eixo Y Para achar o volume de S usando tal método adotase o seguinte procedimento considere uma divisão de ab em n subintervalos xi1 xi i 1 2 n e então o volume do invólucro cilíndrico gerado pela revolução em torno do eixo Y do elemento retangular de base ix xi xi 1 e altura f i é dado por sendo assim a soma dos volumes dos n invólucros cilíndricos é uma aproximação para o volume V de S isto é Melhores aproximações serão obtidas quanto maior for o valor de n e menor for cada ix logo V é dado por O exemplo seguinte ilustra o cálculo de volume usando o método dos invólucros cilíndricos EXEMPLO RESOLVIDO 4 Seja R a região limitada pelos eixos coordenados a reta e a curva Encontrar o volume do sólido de revolução S obtido quando R gira em torno do eixo Y SOLUÇÃO A região R e o sólido S estão ilustrados nas figuras seguintes Como o sólido é gerado por uma região do tipo definido no desenvolvimento da última fórmula esta pode ser aplicada para achar o volume de S Assim o volume V de S é dado por Pelo método das seções planas paralelas o volume de S é A segunda integral de V até o presente momento não pode ser calculada usando o teorema fundamental do Cálculo daí a dificuldade de aplicar o método das seções planas paralelas para solucionar este exemplo EXERCÍCIO PROPOSTO 4 Usar o método do invólucro cilíndrico para resolver os itens d e e do exercício proposto 2 deste tópico ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é a continuação do trabalho iniciado no tópico anterior constituído por UMA questão retirada de exercícios do Exercitando de acordo como segue 3ª Questão questões 01 e 16 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo LEITURA COMPLEMENTAR Nos textos Trabalho Visite a aula online para realizar download deste arquivo e Pressão de Fluidos Visite a aula online para realizar download deste arquivo clique nos nomes para abrir aparecem algumas aplicações em Física da integral definida É recomendável pelo menos uma leitura atenciosa desse texto Cálculo Integral I Aula 03 Cálculo de área volume e integração por partes Tópico 03 Integral por Partes Já deve ter sido observado que o conceito de diferencial é um instrumento poderoso no cálculo integral Aqui será visto como a fórmula da diferencial do produto de duas funções pode ser usada numa das técnicas de integração que é conhecida como integração por partes e muito utilizada no cálculo integral Os métodos de integração em geral constituem uma oportunidade do aluno solidificar e ampliar seu conhecimento no cálculo integral o que será instrumento básico não só na continuidade deste curso como também de forma substancial em cursos posteriores a este Sejam u e v funções de x e deriváveis então e daí Integrando os dois lados da última equação obtémse a fórmula de integração por partes dada por Observe que esta fórmula não resolve de imediato o problema de calcular a tal integral passa a depender da que em certos casos para uma escolha conveniente de u e dv é mais fácil de calcular do que a integral proposta O método é ilustrado nos exemplos seguintes EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a SOLUÇÃO Sejam então Logo usando a fórmula de integração por partes temse EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que No exemplo resolvido 1 a primeira constante de integração C1 resultante da integral não aparece no resultado final da integral em geral isto sempre ocorre A fim de provar tal afirmação observe que Portanto é desnecessário colocar a constante de integração no momento em que for encontrada a função v a partir de dv Isto será posto em prática a partir do segundo exemplo As integrais indefinidas das funções hiperbólicas inversas são resolvidas usando integração por partes O exemplo seguinte ilustra o procedimento EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular SOLUÇÃO Sejam então Assim EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Provar que É possível que no cálculo de uma integral seja necessário efetuar mais de uma integração por partes como ocorre no exemplo seguinte EXEMPLO RESOLVIDO 3 Resolver SOLUÇÃO Sejam então Assim obtémse Considere agora então daí Substituindo temse onde EXERCÍCIO PROPOSTO 3 Provar que É possível também que na integração por partes haja o aparecimento da integral proposta no decorrer dos cálculos o exemplo seguinte mostra como proceder EXEMPLO RESOLVIDO 4 Encontrar SOLUÇÃO Sejam então Assim Considere agora então daí Como à direita da equação aparece a integral proposta somando esta integral nos dois lados da equação temse ou seja onde EXERCÍCIO PROPOSTO 4 Demonstrar que Resta enfatizar que determinadas escolhas de u e dv podem dificultar ainda mais o cálculo da integral proposta por exemplo no exemplo resolvido 2 se for considerado obtémse assim A integral à direita é mais difícil de resolver que a integral proposta logo esta escolha é inconveniente Ocorre também que certas escolhas não levam a nenhum resultado satisfatório por exemplo no exemplo resolvido 3 temse para calcular a integral à direita se for considerado obtémse Isto é Portanto este último resultado não determina o valor da integral ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é a continuação do trabalho iniciado no tópico anterior constituído por DUAS questões retiradas de exercícios do Exercitando de acordo como segue 4ª Questão questão 03 5ª Questão questão 21 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Fontes das Imagens