Limite, Continuidade e Derivadas Parciais de Função Real de Várias Variáveis - Aula 04

Cálculo Diferencial II Aula 04 Limite Continuidade e Derivadas Parciais de Função Real de Várias Variáveis Tópico 01 Limite e Continuidade VERSÃO TEXTUAL No primeiro curso de Cálculo estudouse limites e continuidades de funções reais de uma variável este tópico tem o objetivo de estender tal estudo para funções reais de várias variáveis Inicialmente serão vistos alguns pontos e conjuntos especiais necessários a formulação do conceito de limite e de outros conceitos ou resultados a serem tratados posteriormente O conceito de distância entre dois pontos é generalizado da seguinte forma sejam Pa1 a2 am e Q b1 b2 bm pontos do Rm a distância entre P e Q é indicada e dada por Se Po é um ponto do Rm e r é um número real positivo a bola aberta de centro em Po e raio r indicada por BPo r é o conjunto dos pontos P do Rm tais que dPo P r isto é Se m 2 bola aberta Bxo yo r é o conjunto dos pontos x y tais que ou seja assim a Bxo yo r é a região circular ou o disco em R2 de centro xo yo e raio r excluindo os pontos da circunferência x xo2 y yo2 r2 Se m 3 a bola aberta Bxo yo zo r é o conjunto dos pontos x y z do R3 tais que isto é daí Bxo yo r é a bola esférica do R3 de centro xo yo zo e raio r excluindo os pontos da esfera x xo2 y yo2 z zo2 r2 Seja um subconjunto A Rm um ponto é dito um ponto interior de A se para algum valor r a BP r está contida em A isto é se existe uma bola aberta de centro em P contida em A Um ponto P não necessariamente pertencendo a A é chamado de ponto de fronteira de A se para qualquer valor r a BP r contém pontos de A e do complementar de A ou seja qualquer que seja a bola aberta de centro em P contém pontos de A e do complementar de A Observe que um ponto interior de A não pode ser de fronteira e nem tão pouco um ponto de fronteira de A pode ser interior O interior de A é o conjunto de todos os seus pontos interiores e a fronteira de A é o conjunto de todos os seus pontos de fronteira Por exemplo seja A1 x y 0 x 1 e 0 y 1 então A1 é geometricamente a figura quadrada ilustrada a seguir A1 não contém os lados do quadrado sobre os eixos coordenados mas contém os lados sobre as retas x 1 e y 1 Os pontos interiores de A1 são aqueles que pertencem a A1 mas não estão sobre os lados do quadrado enquanto que a fronteira de A1 é constituída pelos lados do quadrado inclusive os que estão sobre os eixos coordenados Um subconjunto A Rm é dito um conjunto aberto se todos os seus pontos são interiores isto é A é aberto se não contém nenhum ponto de sua fronteira Por outro lado se A contém a sua fronteira dizse que A é um conjunto fechado E o conjunto A é chamado um conjunto compacto se ele é fechado e limitado ou seja é finita à distância da origem a qualquer ponto de A O conjunto A é dito conexo se quando A C D com C e D abertos e disjuntos então C e D Por exemplo os subconjuntos do R2 A2 x y 0 x 1 e 0 y 1 são abertos A3 xy x y é fechado mas não é compacto e A4 x y 0 x 1 e 0 y 1 é compacto O conjunto A1 citado inicialmente não é aberto e nem fechado Um conjunto aberto que contém um determinado ponto é chamado de vizinhança do ponto O conjunto A2 é vizinhança de cada um de seus pontos Um ponto Po é dito um ponto de acumulação de A se para qualquer valor r a BPo r contém algum ponto P A com P P0 É óbvio que Po pode pertencer ou não a A entretanto mesmo Po não pertencendo a A existem pontos de A tão perto de Po quanto se deseja Por exemplo a origem é ponto de acumulação dos conjuntos A5 x y y x e A6 x y y x ln x observe que 0 0 A5 e 0 0 A6 Uma região do Rm é um conjunto de interior não vazio em que dois quaisquer de seus pontos podem ser unidos por uma poligonal isto é uma união de segmentos de retas inteiramente contida no conjunto Uma região é dita aberta fechada ou compacta conforme ela seja um conjunto aberto fechado ou compacto respectivamente OBSERVAÇÃO O conceito de limite para uma função real de várias variáveis é análogo a tal conceito já tratado para funções reais de uma variável Assim seja Po um ponto de acumulação do domínio de uma função f A Rm R dizse que L é o limite quando P tende a Po escrevese se dado qualquer ε 0 existe δ 0 tal que Se 0 dPo P δ então P BPo δ e P P e se fP L εo então significa que dado qualquer intervalo aberto de centro em L existe uma bola aberta de centro em Po tal que fP permanece no intervalo quando P varia na bola Tal interpretação esta ilustrada na figura seguinte quando m 2 Clique aqui CLIQUE AQUI Se m 2 e xo yo é um ponto de acumulação do domínio de uma função f A R2 R a definição de limite de f em xo yo pode ser escrita na forma a seguir dizse que f A R2 R se dado qualquer ε 0 existe δ 0 tal que EXEMPLO RESOLVIDO 1 Mostrar que SOLUÇÃO A Devese mostrar que para qualquer ε 0 existe δ 0 tal que 0 δ x 3y 2 5 ε Isto é devese encontrar δ evidentemente δ dependendo de ε de tal forma que partindo da primeira desigualdade chegase na segunda Para isto considere o seguinte desenvolvimento x 3y 2 5 x 3y 7 x 1 3y 6 x 1 3y 2 x 1 3 y 2 mas x 1 δ e y 2 δ assim x 3y 2 5 δ 3δ 4δ logo se 4δ ε ou seja tomando δ temse que a primeira desigualdade implica na segunda isto porque é possível inverter os passos deste desenvolvimento Isto pode ser verificado facilmente pois sendo δ então x 1 δ e y 2 δ isto é 3 y 2 3 δ e além disso x 3y 2 5 x 1 3 y 2 portanto x 3y 2 5 ε SOLUÇÃO B b Devese mostrar que para qualquer ε 0 existe δ 0 tal que 0 δ x2 y2 5 ε Temse x2 y2 5 x2 1 y2 4 x 1x 1 y 2y 2 x 1 x 1 y 2 y 2 x 1 δ e y 2 δ Assim falta majorar as expressões x 1 e y 2 Se for considerado que δ 1 por exemplo então x 1 δ 1 1 x 1 1 1 x 1 3 x 1 3 e y 2 δ 1 1 y 2 1 5 y 2 3 y 2 5 Portanto se 0 δ 1 x2 y2 5 3δ 5δ 8δ ou seja para qualquer ε 0 tomando δ min temse 0 δ x2 y2 5 ε Isto mostra que x2 y2 5 EXEMPLO PROPOSTO 1 Provar que No conceito de limite de uma função os pontos P tais que P Po estão sempre no domínio A da função mas nenhuma restrição foi feita a respeito de como P tende a Po isto é significa que f P se aproxima de um único valor L quando P se aproxima de Po com P variando em qualquer subconjunto S de A que tem Po como ponto de acumulação Portanto se existir subconjuntos S1 e S2 de A que têm Po como ponto de acumulação e os limites de fP quando P tende a Po através de S1 e S2 são diferentes isto é então o não existe Tal esclarecimento é ainda útil para encontrar o possível valor limite de uma função num ponto EXEMPLO RESOLVIDO 2 Verificar se os limites indicados existem SOLUÇÃO A a Sejam por exemplo S1 o conjunto dos pontos do eixo X e S2 o conjunto dos pontos do eixo Y Como Y 0 em S1 e X 0 em S2 temse e assim o não existe SOLUÇÃO B b Seja S1 o conjunto dos pontos do eixo X então Seja o conjunto dos pontos do eixo Y então Seja S3 o conjunto dos pontos da curva y axr onde a 0 se a 0 S3 S1 e r 1 por exemplo se r 1 S3 é qualquer reta contendo a origem se r 2 S3 é uma parábola quadrática com vértice na origem etc então Mesmo os S1 i 123 constituírem uma infinidade de conjuntos que têm origem como ponto de acumulação e tendo sido o limite sobre qualquer S1 igual a zero não é possível concluir que o limite é zero pois não está eliminada a possibilidade de que exista algum conjunto S1 que tenha a origem com ponto de acumulação onde o limite através seja diferente de zero Então devese tentar obter δ 0 tal que 0 δ ε para qualquer ε 0 Temse mas assim EXEMPLO PROPOSTO 2 Seja Po um ponto no domínio de uma função f A Rm R dizse que f é contínua em Po se Se f não é contínua em Po então f é dita descontínua em Po EXEMPLO RESOLVIDO 3 Mostrar que a função é contínua em 0 0 SOLUÇÃO Como f00 0 por definição da função f para verificar que f é contínua em 00 resta mostrar que f xy 0 Isto é devese provar que dado qualquer ε 0 existe δ 0 tal que 0 ε Temse mas x δ y δ 1 e 1 logo δ δ 2δ Portanto existe o δ citado que é igual a EXEMPLO PROPOSTO 3 Provar que a função é contínua na origem Uma função f é dita contínua num conjunto B de seu domínio se f é contínua em todos os pontos de B Uma função f é contínua se ela é contínua em todos os pontos do seu domínio O teorema seguinte é uma generalização do teorema do valor intermediário enunciado para funções reais de uma variável vistos no primeiro curso de Cálculo do qual é omitida sua demonstração pois a mesma não faz parte dos objetivos deste texto Uma demonstração poderá ser encontrada na referência REFERÊNCIA CURSO DE ANÁLISE VOL2 Lima Elon Lages Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPQ Rio de Janeiro 1999 Teorema do Valor Intermediário Generalizado Seja f A Rm R uma função contínua num conjunto conexo B A Considere P e Q B e r R tais que fP r fQ então existe um ponto Po B tal que fPo r Alguns teoremas de limite e continuidade referentes a funções reais de uma variável continuam valendo para funções reais de várias variáveis entretanto apenas os que poderão ser de interesse futuramente têm suas demonstrações propostas nos exercícios 34 a 39 do exercitando deste tópico ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 3 e 9 são os respectivos itens a e b da questão 1 15 e 19 são os itens a e b da questão 2 21 e 25 são os itens a e b da questão 3 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar As questões 4 e 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado no período indicado na agenda do ambiente Solar Cálculo Diferencial II Aula 04 Limite Continuidade e Derivadas Parciais de Função Real de Várias Variáveis Tópico 02 Derivadas Parciais O objetivo deste tópico é introduzir o conceito de derivada para funções reais de várias variáveis juntamente com suas interpretações analítica e geométrica A fim de estender o conceito de derivada visto para função real de uma variável a uma função real f A Rm R de variáveis x1 x2xm 1 é necessário definir um tipo de derivada relativa a cada variável Assim a derivada parcial de primeira ordem de f em relação a xi i 1 2m é a função indicada e definida num ponto x1 x2xm 1 por O domínio da função é o conjunto dos pontos Px1 x2xm no domínio de f tais que existe As seguintes notações são também usadas para indicar a derivada parcial de f em relação a xi Se f é uma função real de duas variáveis x e y as derivadas parciais de f em relação a x e y são então dadas respectivamente por EXEMPLO RESOLVIDO 1 Se f é a função definida por fx y x2y 3xy y2 calcular fx SOLUÇÃO Usando a definição temse fx xy EXEMPLO PROPOSTO 1 Sendo f a função do exemplo resolvido 1 mostrar que fyx y x2 3x 2y Observe que ao ser calculada apenas a coordenada xi varia uma vez que as outras coordenadas x1 xi 1 xm são mantidas fixas assim para calcular a função f pode ser considerada como uma função apenas da variável xi então as fórmulas de derivação estabelecidas no primeiro curso de Cálculo podem ser aplicadas EXEMPLO RESOLVIDO 2 Para cada função dada calcular a derivada parcial indicada usando fórmulas de derivação SOLUÇÃO A a Temse SOLUÇÃO B b Temse SOLUÇÃO C c Temse EXEMPLO PROPOSTO 2 Se f g e h são as funções do exemplo resolvido 2 usando fórmulas de derivação mostrar que fx x y 2xy 3y gvx y x cos y cos x e Sendo f uma função real das variáveis x1 x2xm 1 a diferença fa1ai tam fa1 aiam e a variação de fa1 aiam relativa a variação t de ai i 1 2 m é a razão da variação de fa1 a2am logo se existe pode ser interpretada como a razão ou taxa instantânea de variação de f em relação a xi em a1 a2am Se f é uma função real de duas variáveis então xo yo e xo t yo estão sobre a reta paralela ao eixo X contendo xo yo neste caso é também dita a razão ou taxa instantânea de variação de f na direção do eixo X em xo yo Para interpretar geometricamente tal razão considere a superfície z fx y então dá a curva de interseção do plano y yo com a superfície por outro lado quando é calculada f é considerada como uma função de uma só variável x portanto é a declividade da reta tangente à curva no ponto Poxo yo zo Analogamente é a razão ou taxa instantânea de variação de f na direção do eixo Y em xo yo e pode ser interpretada geometricamente como a declividade da reta tangente à curva no pontoPoxo yo zo O processo de calcular derivadas parciais pode ser repetido tantas vezes quanto se queira desta forma derivadas parciais de ordem superior a primeira poderão ser obtidas sucessivamente Assim as notações indicam derivadas parciais de segunda ordem da função f por exemplo é definida por indicam exemplos de derivadas parciais de terceira ordem EXEMPLO RESOLVIDO 3 Sendo SOLUÇÃO Se xy 00 então fx xy Dx e 0 portanto fx xy Para encontrar fxx 00 podese usar fx xy para xy qualquer ou então obter antes apenas fx x0 para x qualquer Neste caso como já se tem fx xy é mais viável a primeira opção assim f xx 00 0 Usando também fx xy já calculada obtémse fxy 00 0 EXEMPLO PROPOSTO 3 Se f é a função do exemplo resolvido 3 mostrar que fyy00 0 e fyy00 1 O exemplo resolvido 3 dá uma função f onde conforme resultados obtidos nos exemplos resolvido e proposto 3 O teorema seguinte mostra que sob determinadas condições relativas a uma função f A R2 R as derivadas parciais de segunda ordem mistas de f são independentes da ordem de derivação Teorema Seja f A R2 R uma função definida numa Bxo yo r tal que fx fy fxy e também estejam definidas em Bxo yo r Se além disso xo yo então fxy xo yo fyxxo yo DEMONSTRAÇÃO Sejam h 0 e k 0 tais que então os pontos xo h yo k xo h yo e xo yo k então em Bxo yo rClique aqui CLIQUE AQUI Logo a função está definida para r Aplicando o teorema do valor médio visto no primeiro curso de Cálculo a função no intervalo de extremos xₒ e xₒ h temse para algum c1 entre xₒ e xₒ h mas logo pois Agora aplicando o teorema do valor médio a função Hy fxc1y no intervalo de extremos yₒ e yₒ k temse para algum c2 entre yₒ e yₒ k entretanto assim pois Hy Fxyc1y Agora escrevendo F na forma e seguindo um processo análogo para as expressões entre colchetes encontrase para algum d1 entre xₒ e yₒ h e algum d2 entre yₒ e yₒ h Igualando as duas expressões para Fhk obtémse Fazendo h e k tenderem a zero c1 e d1 tendem a xₒ e c2 e d2 tendem a yₒ Portanto como fxy e fyx são contínuas em xₒyₒ obtémse fxy xₒ yₒ fyx xₒ yₒ O que conclui a demonstração Corolário Se as hipóteses do teorema anterior valem num conjunto aberto B A então fxyx y fyxx y para todo x y B Embora o teorema anterior se refira a igualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas de uma função real de duas variáveis este pode ser estendido para funções f A Rm R onde m 3 desde que as hipóteses sejam analogamente formuladas Além disso o teorema pode ser aplicado a fim de que sejam obtidas igualdades de derivadas parciais de ordem superior a dois Assim se f A Rm R onde m 3 tem derivadas parciais de ordem suficientemente altas são exemplos de igualdades que poderão ser obtidas ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 23 e 26 são os respectivos itens a e b da questão 4 32 é a questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaniado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens