Cálculo Integral II: Parametrização de Curvas e Integrais Curvilíneas

Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 01 Parametrização de Curva Uma curva já foi definida de várias formas em Cálculo Diferencial I como gráfico de uma equação de duas variáveis ou de uma função real de uma variável real em Cálculo Integral I como gráfico de uma equação polar em Cálculo Diferencial II como a imagem de uma função vetorial de uma variável chamada de parametrização da curva ainda em Cálculo Diferencial II num texto de apoio Superfície e Curva como a interseção de duas superfícies dadas por equações de três variáveis No restante das aulas deste Módulo uma curva será usada somente na forma parametrizada assim é necessário parametrizar uma curva se ela não estiver na forma parametrizada e fazer as discussões necessárias para estabelecer a base para as integrais sobre curva Seja C uma curva parametrizada por uma função f A R Rn n 2 3 então a curva C é dita a contínua Se a função f é contínua em seu domínio A b suave ou lisa se a função f tem derivada contínua em A c suave por partes ou lisa por partes se a função f é contínua e deixa de ter derivada contínua em apenas um número finito de valores em A A partir deste momento ao ser mencionado que C é uma curva suave por partes significa que C pode ser formada somente por uma parte suave isto é C é suave ou pode ser constituída por um número finito de partes suaves Geometricamente uma curva suave por partes pode ser uma curva quebrada isto é apresentando cantos em um número finito n 1 de pontos A figura ilustra uma curva com cinco partes suaves Considere uma curva contínua C ou arco de curva parametrizada por f A R Rn n 2 3 onde A a b os pontos de C correspondentes a u a e u b são chamados de ponto inicial e ponto final de C respectivamente A curva C é dita fechada quando seus pontos inicial e final coincidem Dizse que a curva C é simples se ela não se autointercepta com provável exceção nos pontos extremos ou seja para u1 e u2 em ab ou ab com u1 u2 implica que fu1 fu2 OLHANDO DE PERTO Por exemplo a circunferência e a elipse são curvas fechadas simples a lemniscata é fechada mas não é simples o laço na última das quatro figuras a seguir não é fechado e nem é simples VEJA AS FIGURAS Definese o sentido da curva C como a forma em que C é descrita à medida que seu parâmetro u cresce isto é o sentido de C é do seu ponto inicial para seu ponto final desde que tais pontos existam Isto significa que se C é uma curva suave por partes parametrizada por f uisto é C é definida por f e tem parâmetro u então o vetor tangente f u à C em cada ponto varia no sentido de C à medida que u cresce no domínio de f Pode ocorrer com o crescimento do parâmetro que alguma parte de C possa ser descrita mais de uma vez isto é um ponto que descreve C percorre uma parte de C num sentido até uma certa posição e volta ou então percorre uma parte de C mais de uma vez no mesmo sentido caso C seja fechada nestas condições dizse que tal curva não está descrita uma única vez VEJA AS FIGURAS Dada uma curva caso seja determinado um sentido para a curva dizse que ela está orientada Assim sob o aspecto da orientação uma curva tem duas caracterizações distintas Particularmente uma curva C simples fechada contida no R2 é dita orientada positivamente se ela está parametrizada de forma que seja descrita no sentido antihorário caso contrário dizse que a curva está orientada negativamente EXEMPLO RESOLVIDO 1 Mostrar que as curvas parametrizadas por fu u u2 para 2 u 2 e gt t t2 para 2 u 2 são iguais mas têm orientações opostas SOLUÇÃO As equações paramétricas da curva C1 parametrizada por f são x u e y u2 eliminando o parâmetro temse y x2 assim a curva parametrizada por f é o gráfico da equação y x2 com 2 u 2 Analogamente a curva C2 parametrizada por g é o gráfico da equação y x2 com 2 u 2 Logo foi provado que f e g são parametrizações da mesma curva Os pontos inicial e final de C1 são f2 24 e f2 24 respectivamente Os pontos inicial e final de C2 são g2 24 e g2 24 respectivamente Portanto foi demonstrado que C1 e C2 têm orientações opostas EXEMPLO PROPOSTO 1 Provar que são iguais as curvas parametrizadas por ft sen t cos t com 0 t 2π e gu cos u sen u com 0 u 2π Sejam C1 e C2 curvas parametrizadas por f A1 R Rn n 2 3 e f A2 R Rn n 2 3 respectivamente então as curvas C1 e C2 têm a mesma trajetória se existe uma função α A2 R R tal que αA2 A1 isto éA1 é imagem de A2 através de α e gt f αt para todo t A2 A figura a seguir ilustra a situação quando n 2 OLHANDO DE PERTO Observe que C1 e C2 são iguais pois C1 e C2 têm o mesmo conjunto de pontos entretanto C1 e C2 têm parametrizações diferentes e parâmetros distintos desde que α não seja a função identidade além disso C1 e C2 podem ter orientações contrárias A função α A2 R R é chamada de função de mudança de parâmetro TEOREMA Sejam C1 e C2 curvas orientadas suaves e com a mesma trajetória onde a função mudança de parâmetro α é tal que α é contínua e não se anula no seu domínio A2 então C1 e C2 têm a A mesma orientação se e somente se αt 0 para todo t A2 b Orientações opostas se e somente se αt 0 para todo t A2 DEMONSTRAÇÃO Sejam f e g parametrizações de C1 e C2 respectivamente então considerando gtfat temse gt f at at Logo at0 se e somente se os vetores fat e gt tangentes a C e C2 são paralelos de mesmo sentido isto é at 0 se e somente se C1 e C2 têm a mesma orientação Também at 0 se e somente se os vetores tangentes a C1 e C2 são paralelos de sentidos opostos ou seja at 0 se e somente se C1 e C2 têm orientações opostas O que conclui a demonstração Corolário Se C e são curvas suaves e parametrizadas por f u com a u b e gt fa b c com a t b respectivamente então C e têm a mesma trajetória porém com orientações opostas DEMONSTRAÇÃO Que C e têm a mesma trajetória decorre da definição onde at a b t Sendo at a b t temse que at 1 0 para todo t a b logo pelo teorema C e têm orientações opostas O que conclui a demonstração A partir deste momento a curva que tem a mesma trajetória da curva orientada C mas com orientação oposta será indicada por Se a curva C é o gráfico de uma equação da forma y gx com a x b então um conjunto de equações paramétricas de C pode ser dado por x u e y gx de maneira que uma parametrização de C é definida por fu u gu com a u b Analogamente se a curva C é o gráfico de uma equação da forma x hy com c y d então uma parametrização de C é dada por fu hu u Os exemplos 2 e 3 a seguir ilustram como fazer a parametrização de curvas de equações cartesianas EXEMPLO RESOLVIDO 2 Determinar uma parametrização para a parte da parábola C dada por y x2 2 com 2 x 2 usando a primeira coordenada como parâmetro Achar uma parametrização de SOLUÇÃO Usando a primeira coordenada como parâmetro as equações paramétricas de C são xu e yu22 daí fu uu22 com 2 x 2 Pelo corolário uma parametrização de é gt f2 2 t ft t t22 com 2 t 2 EXEMPLO Achar uma parametrização da parte da parábola cúbica C dada por y x3 1 com 1 x 2 usando a primeira coordenadas como parâmetro E encontrar uma parametrização de EXEMPLO RESOLVIDO 3 Encontrar uma parametrização para a curva C do exemplo resolvido 2 usando a segunda coordenada como parâmetro SOLUÇÃO Na equação y x2 2 colocando x como função de y temse que com 2 y 2 dá a parte C1 de C à esquerda do eixo Y e com 2 y 2 dá a parte C2 de C à direita do eixo Y Observe que fu com 2 u 2 parametriza Logo EXEMPLO PROPOSTO 3 Encontrar uma parametrização para a curva C do exemplo proposto 3 usando a segunda coordenada como parâmetro Parametrizações de segmentos de reta serão úteis inclusive para obter parametrizações de polígonos como triângulo retângulo etc EXEMPLO RESOLVIDO 4 Mostrar que a função vetorial ft 1 tA tB com 0 y 1 é uma parametrização do segmento que vai da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B SOLUÇÃO Conforme foi visto em Cálculo Diferencial II uma equação vetorial da reta contendo as extremidade de A e B é dada por onde P é um ponto arbitrário da reta mas e logo substituindo em daí isto é com é uma parametrização da reta indicando os vetores apenas por A e B escrevese ft 1 tA tB Para obter um segmento da reta basta considerar t variando num intervalo isto é como f0 A e f1 B temse que ft 1 tA tB com 0 t 1 EXEMPLO PROPOSTO 4 Mostre que a função definida por com é uma parametrização do segmento de reta da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B Curvas polares podem ser parametrizadas usando a coordenada polar como parâmetro de acordo como no exemplo a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 5 Achar uma parametrização da pétala da rosácea r 2 sen 2θ no primeiro quadrante SOLUÇÃO As equações paramétricas da rosácea tendo θ como parâmetro são obtidas substituindo r nas relações x r cos θ e y r sen θ ou seja x2 sen 2 θ cos θ e y 2 sen 2θ sen θ são as equações paramétricas Somente a pétala é obtida fazendo Portanto a função EXEMPLO PROPOSTO 5 Determinar uma parametrização da pétala superior da rosácea r 2 cos 2θ Conforme foi visto no texto de apoio indicado no tópico 1 da aula 1 de Cálculo Diferencial II a interseção de duas superfícies definidas por equações de três variáveis pode definir uma curva no espaço uma parametrização da curva pode ser obtida usando uma das variáveis como parâmetro de acordo como no exemplo a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 6 Determinar uma parametrização do arco da curva do ponto 100 ao ponto 011 SOLUÇÃO A curva é dada por podese usar x como parâmetro fazendo x t obtémse z 1 t2 e uma vez que y z y 1 t2 Logo x t y 1 t2 e z 1 t2 são equações paramétricas da curva portanto ft t 1 t21 t2 é uma parametrização da curva Como f0 0 1 1 e f1 1 0 0 a função ft t 1 t21 t2 com 0 t é uma parametrização do arco de 011 a 001 usando a função de mudança de orientação dada no corolário do teorema desta seção pág 369 temse que gt f0 1 t 1 t 2t t2 2t t2 com é uma parametrização do arco EXEMPLO PROPOSTO 6 Calcular uma parametrização do arco da curva dada do ponto 100 ao ponto 001 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 14 17 21 e 26 são os respectivos itens a até d da questão 1 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões 2 até 5 do trabalho serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 02 Integral de Linha em Relação ao Comprimento de Arco VERSÃO TEXTUAL Na aula 1 foi considerada a integral de uma função real sobre uma região do plano ou espaço cartesiano este tópico introduz um outro tipo de integral de uma função real só que agora é sobre uma curva do plano ou espaço cartesianos Dentre as aplicações dessa integral em Física por exemplo pode ser mencionado o cálculo da massa dos momentos e centro de massa de um fio na forma de uma curva Sejam C uma curva definida pela função f A R Rm m 2 3 e contínua em ab Considere uma divisão de ab em n subintervalos ti 1 t1 com i 1 2 n onde a to e b tn além disso sejam αi ti 1 t1 e Δis o comprimento do arco de C correspondente ao intervalo ti 1 t1 Inicialmente seja C R2 dada por ft f1t f2t com a t b e considere xi f1αi e yi f2αi Sendo B R2 R uma função cujo domínio contém a curva C considere a soma Se para qualquer partição de ab e αi ti 1 t1 esta soma tem um único valor limite quando Δs máx Δis i 1 2 n 0 dizse que esse valor limite é a integral de linha ou a integral curvilínea de g em relação a s sobre C indicase por Seja agora C R3 parametrizada por ft f1t f2 t f3t com a t b e considere xi f1 αi yi f2 αi e zi f3 αi Sendo g B R3 R uma função contínua cujo domínio contém a curva C temse a soma Se para qualquer divisão de ab e αi ti 1 t1 esta soma tem um único valor limite quando Δs máx Δis i 1 2 n 0 dizse que esse valor limite é a integral de linha ou a integral curvilínea de g em relação a s sobre Cindicase por O teorema seguinte estabelece as condições para que a integral curvilínea de uma função possa ser calculada através de uma integral definida TEOREMA 1 Seja g B Rm R m 23 uma função contínua sobre uma curva suave C parametrizada por f t com a t b então onde P xy ou P xyz conforme seja m 2 ou m 3 respectivamente DEMONSTRAÇÃO A demonstração será feita no caso em que C R2 caso C R3 a demonstração e análoga Considerando uma partição de ab em n subintervalos ti1ti i12n e Como f é continua em ab logo contínua em ti1t1 existe ti1ti tal que Sejam um valor qualquer em ti1t1 xif1 e yif2 Logo sendo temse Por outro lado como as funções g e f são contínuas e a função comprimento de arco s tem derivada contínua em ab o limite da soma quando existe e é a integral de gf f em ab isto é Portanto para concluir a demonstração basta provar que sn e Sn têm o mesmo limite quando ou seja que Snsn pode ser arbitrariamente pequeno para n suficientemente grande e suficientemente pequeno Sendo gof contínua em ab logo uniformemente contínua em ab conforme teorema 2 do texto complementar 2 indicado no final do tópico 3 da aula 3 de Cálculo Diferencial I para qualquer tal que para cada divisão de ab em que assim mas sendo f contínua em ab f é limitada em ab isto é existe m 0 tal que f m assim Como é qualquer pode ser considerado arbitrariamente pequeno e assim a demonstração está concluída EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular onde C é a curva parametrizada por ft 2 2 cos t 3 2 sen t com 0 t 2π SOLUÇÃO Como a função p gxy x2 y2 e a curva C satisfazem as hipóteses do teorema 1 temse pois ft 2 assim EXEMPLO PROPOSTO 1 Calcular a integral da função do exemplo resolvido 1 sobre a curva parametrizada por gt 2 2 cos t 3 2 sen t com 0 t 2 π O teorema seguinte dá as condições para que o valor da integral curvilínea seja independente da parametrização da curva TEOREMA 2 Sejam C1 e C2 curvas suaves e com a mesma trajetória Se g B Rm R m 2 3 é uma função contínua sobre C1 logo também contínua sobre C2 então DEMOSTRAÇÃO Sejam f a b R Rm e α c d R R parametrizações de C1 e C2 respectivamente então existe α c d R R tal que α c d a b e ht fα t para t cd pois C1 e C2 têm a mesma trajetória A integral de g sobre é dada por Se C1 e C2 têm a mesma trajetória e αt0 em cd isto é α é crescente em c d então αca e αd b Logo fazendo uαt na última integral obtémse Mas em cd pois αt0 em cd logo Se C1 e C2 têm orientações opostas σt 0 em cd ou seja σé decrescente em cd daí σc b e σd a Assim fazendo u σt em temse sendo gof contínua em a b logo uniformemente contínua em a b conforme teorema 2 do texto complementar 2 indicado no final do tópico 3 da aula 3 de Cálculo Diferencial I para qualquer ε 0 existe δ 0 tal que Para cada divisão de a b em que assim mas sendo f contínua em a b f é limitada em ab isto é existe m 0 tal que f m assim Como é qualquer ε pode ser considerado arbitrariamente pequeno e assim a demonstração está concluída Observe que a definição de integral curvilínea e a fórmula dada no teorema 1 para calcular o valor da integral curvilínea referemse a uma curva constituída somente por uma parte suave A integral curvilínea sobre uma curva suave por partes é definida como a soma das integrais sobre cada uma das partes suaves EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 11 a 00 e de 00 a 23 SOLUÇÃO 1 Sejam C1 e C2 as partes de C que vão de 11 a 00 e de 00 a 23 respectivamente A equação da reta que contém os pontos 00 e 11 é y x logo uma parametrização de é dada por fu u u com 0 u 1 Analogamente uma parametrização de C2 é dada por gu com 0 u 2 Assim pelo teorema 2 e logo SOLUÇÃO 2 Conforme exemplo resolvido 4 do tópico 1 desta aula a função ft 1 tA tB com é uma parametrização do segmento da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B Assim uma parametrização para C1 é dada por ft 1 t 1 1 t0 0 1 t 1 t com 0 t 1 e uma parametrização para C2 é dada por gt 1 t 0 0 t2 3 com 0 t 1 onde C1 e C2 são como na primeira solução Logo e portanto EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 02 a 20 e de 20 a 31 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 100 a 010 e de 010 a 001 SOLUÇÃO Sejam C1 e C2 as partes de C que vão de 100 a 010 e de 010 a 001 respectivamente Usando a função ft 1 tA tB com 0 T 1 para parametrizar o segmento da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B temse que uma parametrização para C1 é dada por ft 1 t1 0 0 t0 0 0 1 t 0 0 com 0 t 1 e uma parametrização para C2 é dada por gt 1 t0 1 0 t0 0 1 0 1 t t com 0 T 1 Logo e portanto EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 100 a 001 e de 001 a 010 Uma aplicação imediata da integral curvilínea em relação ao comprimento de arco referese ao cálculo da massa de um fio de espessura desprezível na forma de uma curva Se um fio é representado por uma curva suave C e a densidade do fio em qualquer ponto xy é uma função contínua ρ de x e y podese mostrar que pode ser interpretado como a massa do fioÉ possível chegar ainda aos seguintes conceitos Conceito 01 Momentos de massa do fio em relação aos eixos X e Y são dados por respectivamente Conceito 02 Centro de massa do fio são dados por Conceito 03 Momentos de inércia do fio em relação aos eixos X e Y e em relação à origem são dados por respectivamente ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 4 e 8 são os respectivos itens a e b da questão 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente SolarAs questões 3 até 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 03 Integral de um Campo Vetorial sobre uma Curva No tópico anterior foi introduzida a integral de uma função real de duas ou três variáveis sobre uma curva do plano ou espaço cartesianos respectivamente Este tópico mostra como usar esse tipo de integral para considerar a integral de campo vetorial de duas ou três variáveis sobre uma curva no plano ou espaço cartesianos respectivamente Uma aplicação dessa integral em Física por exemplo é o cálculo do trabalho realizado por uma força para deslocar uma partícula numa determinada trajetória tal procedimento foi visto no curso anterior de Cálculo Integral no caso particular em que o movimento da partícula é retilíneo Seja F B Rm Rm m 2 3 um campo vetorial cujo domínio contém uma curva suave orientada C Rm Considere T um campo vetorial unitário e tangente a C em cada ponto Pxy ou Pxyz conforme seja m 2 ou m 3 respectivamente e suponha que T varia ao longo de C no sentido em que C está orientada A projeção de F em cada direção tangente a C dada por FTP FP TP é uma função real definida em C O elemento vetorial de arco da curva C que é indicado pelo símbolo dr é definido por drTds onde s é o parâmetro comprimento de arco A integral da função FT em relação a s sobre C é dita a integral do campo vetorial F sobre a curva C e é indicada por ou seja Seja F um campo contínuo sobre uma curva orientada suave C e f a b R Rm uma parametrização de C O campo T dado por para cada t a b onde ft 0 é unitário tangente a C e varia de acordo com a orientação de C assim ds ft e dr ft dt Portanto do teorema 1 do tópico anterior temse mas FT ft ft F ft Ttft F ft ft logo onde df ft dt Se ocorrer que ft 0 para um número finito de valores t a b nos pontos correspondentes de C definese FT 0 assim a última formulação para calcular a integral de F sobre C pode ainda ser considerada EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral do campo Fx y xy x y sobre a curva C parametrizada por gt t 1 t2 1 para 0 t 1 SOLUÇÃO Temse assim Embora a integral curvilínea de uma função real em relação à s sobre uma curva orientada não mude de valor com a mudança de parametrização mesmo com a reversão da orientação da curva isto não ocorre com a integral de um campo vetorial O teorema seguinte estabelece tal fato TEOREMA Sejam C1 e C2 curvas orientadas suaves e com a mesma trajetória Se F B Rm Rm m 2 3 é um campo vetorial contínuo sobre C1 logo sobre C2 então a se C1 e C2 têm a mesma orientação b se C1 e C2 têm orientações opostas DEMOSTRAÇÃO Sejam f a b R Rm e h c d R Rm parametrizações de C1 e C2 respectivamente e α c d R R defina por uαt uma função de mudança de parâmentro então ht fαt com t cd A integral do campo F sobre C1 é dada por Se C1 e C2 têm a mesma orientação αt 0 em cd αca e αd b logo usando α para mudar da variável u para t nesta última integral O que demonstra o item a Se C1 e C2 têm orientações opostas αt 0 em cd αc b e αd a logo procedendo como anteriormente O que conclui a demonstração do teorema EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral do campo Fx y x y x y sobre a circunferência x2 y2 4 orientada negativamente SOLUÇÃO Sejam x 2cost e y 2sen t então ft 2cost 2 sent com 0 t 2Π é uma parametrização da circunferência c orientada positivamente Sendo a circunferência orienteada negativamente temse EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral do campo Fx y z xyz 2x2y 3yz2 sobre a circunferência C obtida pela interseção do cilindro x2 y 2 4 com o plano z 1 onde C está orientada positivamente quando observada do plano XY Sendo Fx y px y q x y um campo vetorial contínuo sobre uma curva orientada e suave C onde C é parametrizada por ft f1t f2t com a t b temse As integrais definidas à direita da última igualdade são chamadas de integrais curvilíneas das funções p em relação a x sobre C e q em relação a y sobre C respectivamente ou seja tais integrais são indicadas e dadas por Desta forma temse as definições das integrais curvilíneas de uma função real em relação a x e em relação a y sobre uma curva Fazendo dr dx dy temse Fx y dr px y dx q x y dy assim Agora sendo Fx y z px y z q x y z r x y z um campo vetorial contínuo sobre uma curva orientada e suave C onde C é parametrizada por ft f1t f2t f3t com a t b analogamente define se as integrais curvilíneas das funções p q e r em relação a x y e z sobre C que são respectivamente indicadas e dadas por e Fazendo dr dx dy dz temse Fx y z px y zdx qx y zdy rx y zdz isto permite escrever que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO As questões 3 até 5 restantes do trabalho desta aula serão indicadas no tópico seguinte desta aula Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 04 Integral de um Campo Vetorial Independente do Caminho Para um campo vetorial F B Rm Rm as seguintes notações são utilizadas significa a integral do campo sobre a curva C orientada do ponto M até o ponto N particularmente se m 2 e C R2 é uma curva fechada simples e orientada representa a integral sobre C orientada positivamente e indica a integral sobre C orientada negativamente Seja o campo vetorial F B Rm Rm m 2 3 dizse que a integral independe da curva C ou independe do caminho C em B se para qualquer outra curva S em B ligando M a N temse OLHANDO DE PERTO O teorema seguinte estabelece as condições necessárias e suficientes para que a integral de um campo vetorial seja independe do caminho sua demonstração mostra uma maneira simples de encontrar o valor da integral neste caso e dá uma forma alternativa de encontrar um potencial escalar de um campo vetorial conservativo TEOREMA 2 Seja o campo vetorial F B Rm Rm m 2 3 contínuo numa região aberta R B então as seguintes afirmações são equivalentes a O campo F é conservativo isto é tem um potencial real em R b A integral independe do caminho suave por partes em R c A equação se verifica para qualquer curva fechada e suave por partes C em R DEMONSTRAÇÃO Inicialmente será demonstrado que a b Suponhamos que F é um campo conservativo com um potencial real g definido em R então para P R Logo se C é uma curva suave em R parametrizada por h a b R Rm temse mas pelo corolário do teorema 2 Do tópico 2 da aula 5 assim onde gM gN e gN ghb Portanto a integral depende apenas dos valores de g nos pontos M e N não da curva que liga os pontos Suponha agora que C é constituída por n partes suaves e sejam C1 C2Cn as partes suaves de C ligando M a P1 P1 a P2 Pn1 a N respectivamente Então pelo que foi demonstrado inicialmente Somando membro a membro estas igualdades a soma do lado esquerdo é a integral de F sobre C e a soma do lado direito é gN gM Isto mostra que a b Para mostrar que b c suponha que a integral do campo F independe da curva suave por partes em R Inicialmente considere C uma curva suave por partes fechada e simples em R Sejam M e N pontos distintos de C C1 E C2 as partes de C que ligam o ponto M e N então sem perda de generalidade Como a integral do campo F independe da curva em R temse Assim obtémse Se a curva C não é simples sejam C1 C2Cn as curvas fechadas simples que formam C Pelo que foi demonstrado inicialmente temse Orientando cada curva Ci de forma conveniente encontrase Isto conclui que b c Para finalizar falta mostrar que c a A demonstração será feita para o campo F B Rm Rm se m 2 quando m 3 a demonstração é análoga Sejam Moxoyo um ponto fixo e Nxy um ponto arbitrário em R então para qualquer curva suave por partes C em R a função g dada por está definida em R pois F é um campo contínuo em R Será demonstrado que g é um potencial de F Seja Qxt y com t 0 um ponto num disco de centro em N e contido em R tal disco existe pois R é uma região aberta e N R Considere Se o segmento de N a Q e S uma curva suave por partes ligando Mo a Q então isto é Portanto temse onde Fxy pxyqxy Analogamente mostrase que O que conclui a demonstração TEOREMA 3 Se F B Rm Rm m 2 3 é um campo vetorial de classe C1 numa região aberta R B e independe da curva suave por partes C R então x FP 0 para todo P R DEMONSTRAÇÃO Suponha que m 2 e Fx y px y qxy Pelo teorema 2 existe uma função real g definida em R tal que em R Como p e q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em R tem se de corolário de um teorema do Cálculo Diferencial que COROLÁRIO DE UM TEOREMA DO CÁLCULO DIFERENCIAL Teorema Seja f A R2 R uma função definida numa Bxo yo r tal que fx fy fxy e fyx também estejam definidas em Bxo yo r Se além disso fxy e fyx são contínuas em xo yo então fxy xo yo fyx xo yo Colorário Se as hipóteses do teorema valem num conjunto aberto B A então fxyx y fyxx y para todo x y B em RO que conclui a demonstração A recíproca do teorema 3 não é verdadeira para qualquer tipo de região aberta R por exemplo se então em qualquer região R que não contém a origem entretanto sendo C a circunferência temse isto mostra conforme o teorema 1 que a integral depende da curva em R DICAS Em tópicos posteriores serão definidos tipos de regiões onde vale uma recíproca parcial do teorema 3 e tais recíprocas do teorema 3 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Mostrar que se F representa um campo de forças contínuo então pode ser interpretada como o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partícula sobre uma curva suave C SOLUÇÃO Se uma força constante F age sobre uma partícula para deslocála do ponto M até o ponto N e ao longo do segmento então o trabalho realizado W é dado por O deslocamento da partícula sobre C pode ser aproximado através de vários deslocamentos pequenos ao longo de segmentos consecutivos com pontos inicial e final sobre C Seja f a b R Rm uma parametrização de C Considere uma partição do intervalo a b em n subintervalos ui 1 ui Então o trabalho realizado pelo campo F para descolar a partícula do ponto Pi1 ao ponto Pi sobre C é aproximadamente igual a Ffui 1 fui fUi 1 Assim uma aproximação para o trabalho W realizado pelo campo F para deslocar a partícula ao longo de C é Sendo por exemplo Fxy pxy qxy e fu f1uf2u então F fui 1 fui fUi 1 p fui 1 f1ui f1ui 1 qfui 1 f2ui f2ui 1 e do teorema do valor médio de Lagrange dado em Cálculo Diferencial I existem αi e βi em ui1ui tais que f1ui f1ui 1 f1αi Δiu e f2ui f2ui 1 f2 βiΔiu onde Δiu ui ui 1 logo tal aproximação será melhor quanto menor for Δiu mas sendo Δiu máxΔiu i 1 2 n temse e portanto Sendo Fx y z px y qx y rx y z analogamente chegase na mesma última conclusão EXEMPLO PROPOSTO 3 Uma partícula com 10 unidades de massa está sob ação do peso P e a atração T exercida por uma força localizada na origem de intensidade igual a 5 unidades Calcular o trabalho exercido pela força resultante F para deslocar a partícula do ponto 333 ao ponto 111 Aplicação 01 A integral de uma função real f sobre uma curva C em relação a r por exemplo para F A R3 R é dada por Aplicação 02 A integral de um campo vetorial sobre uma curva C em relação a uma variável do campo por exemplo sendo Fx y z px y z qx y z rx y z a integral de F em relação a x é dada por Aplicação 03 A integral de um campo vetorial F sobre uma curva C em relação a r onde dr dx dy dz é dada por isto é a integral é o vetor cujas coordenadas são as integrais de cada função coordenada de F x dr sobre C ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 8 24 e 28 são as respectivas questões 3 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens