Cálculo Integral II - Conteúdos e Aulas

Disciplina Cálculo Integral II Coordenador da Disciplina Prof Jorge Carvalho Brandão 15ª Edição Copyright 2010 Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito dos autores Créditos desta disciplina Realização Autor Prof Ms Celso Antonio Silva Barbosa Colaborador Prof JoserlanPerote da Silva Sumário Aula 01 Integral Iterada e Múltipla 01 Tópico 01 Integral Iterada 01 Tópico 02 Integral Múltipla 14 Aula 02 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla e Integral Imprópria 20 Tópico 01 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla 20 Tópico 02 Integral Múltipla Imprópria 28 Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas 33 Tópico 01 Parametrização de Curva 33 Tópico 02 Integral de Linha em Relação ao Comprimento de Arco 41 Tópico 03 Integral de um Campo Vetorial sobre uma Curva 49 Tópico 04 Integral de um Campo Vetorial Independente do Caminho 53 Aula 04 Teorema de Green e Aplicações 60 Tópico 01 Teorema de Green 60 Tópico 02 Aplicações do Teorema de Green 67 Aula 05 Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície 72 Tópico 01 Parametrização de Superfície 72 Tópico 02 Área e Integral de uma Função Real sobre uma Superfície 80 Tópico 03 Integral de um Campo Vetorial sobre uma Superfície 87 Aula 06 Teoremas de Stokes e de Gauss 94 Tópico 01 Teorema de Stokes 94 Tópico 02 Teorema de Gauss101 Cálculo Integral II Aula 01 Integral Iterada e Múltipla Tópico 01 Integral Iterada Em Cálculo Integral I estudouse as integrais de funções reais de uma variável e aplicações nesta aula será feito um estudo análogo para as funções reais de várias variáveis dando ênfase às funções reais de duas e três variáveis O objetivo desta aula é introduzir as integrais relativas a essas funções e mostrar como tais integrais são aplicadas somente para calcular a área de uma região no plano e o volume de um sólido embora sejam comuns aplicações em Física como por exemplo calcular centro de massa de uma lâmina ou sólido estudar força de gravidade e campo elétrico tais aplicações em Física podem ser encontradas na referência REFERÊNCIA Cálculo Diferencial e Integral Vol 2 Barbosa Celso Antonio Silva Barbosa REALCE Editora Ind Gráfica Ltda FortalezaCE 2008 Seja B é o retângulo limitado pelas retas RETÂNGULO É comum tal região ser chamada apenas de retângulo embora o retângulo seja o quadrilátero dado pelas retas este texto usará também esta designação isto é B x y R2 a x b e c y d ou na forma simplificada A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA O RETÂNGULO B 1 Considere uma função F A R2 R contínua no retângulo B a integral definida da função f dependendo só da variável y isto é considerando x fixa indicase por define uma função F dada por A integral definida de F em ab dada por é chamada de integral iterada de f sobre o retângulo B na ordem yx São comuns as notações seguintes para representar a integral mencionada Analogamente definese a integral iterada de f sobre o retângulo B na ordem xy dada por onde a primeira integral definida é em relação a x mantendo y fixa e a segunda é a integral da função de y resultante da primeira integral EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular as integrais iteradas de fx y 2x2y 3xy sobre o retângulo SOLUÇÃO Inicialmente considere a integral iterada de f sobre B na ordem yx ou seja A integral iterada de f sobre B na ordem xy é 2 EXEMPLO 1 Calcular as integrais iteradas de fx y 2x2y 3xy sobre o retângulo As integrais iteradas de uma função F A R2 R podem ainda ser definidas sobre dois tipos de regiões mais gerais do que retângulo Neste caso a primeira integral definida em relação a uma variável da integral iterada terá pelo menos um dos limites de integração dependendo da outra variável As regiões e as definições serão formuladas a seguir Seja b1 a região limitada pelas retas x a e x b e as curvas y αx e βx onde α e β são funções contínuas em a b e αx βx x a b para isto é B1 é definida pelas desigualdades a x b e αx y βx A região B1 também é indicada na forma abreviada A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA A REGIÃO Se f é contínua em B1 a integral iterada de f sobre B1 que é efetuada somente na ordem yx é dada por Seja B2 a região limitada pelas retas y c e y d e as curvas x θy e x Φy onde θ e Φ são funções contínuas em c d e θy Φy para y c d ou seja B2 é definida pelas desigualdades c y d e θy Φy A região B2 é ainda indicada na forma A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA A REGIÃO 3 Então se f é contínua em B2 a integral iterada de f sobre B2 que é efetuada somente na ordem xy é dada por Uma região do R2 que pode ser definida numa das formas de B1 ou B2 é dita uma região compacta elementar do R2 O exemplo seguinte ilustra o cálculo das integrais das duas últimas definições além disso mostra como fazer uma inversão na ordem de integração isto é possível porque certas regiões podem ser definidas simultaneamente pelas desigualdades que definem B1 e B2 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Se B é a região no primeiro quadrante limitada pela parábola y 1 x2 e os eixos coordenados calcular as integrais iteradas de fx y x 2y sobre B SOLUÇÃO A Rregião B está ilustrada na figura seguinte A região B pode ser definida nas formas 4 Para calcular a integral iterada na ordem yx usase B definida em a assim Para calcular a integral iterada na ordem xy usase B definida em b assim EXEMPLO 2 Se B é a região no segundo quadrante limitada pela parábola y 1 x2 e os eixos coordenados calcular as integrais iteradas de fx y x 2y sobre B Observe que as integrais do exemplo resolvido 1 são iguais assim como também as do exemplo resolvido 2 posteriormente será visto no teorema 2 do tópico 2 desta aula que sob certa condiçãoo valor da integral iterada independe da ordem de integração Se uma região B pode ser decomposta em um número finito de subregiões dos tipos B1 e B2 tais que duas subregiões possam ter em comum apenas parte de suas fronteiras a integral iterada de f sobre B é a soma das integrais sobre cada uma das subregiões Uma integral iterada numa ordem pode resultar na soma de duas ou mais integrais iteradas na outra ordem como acontece no exemplo resolvido 3 a seguir isto acontece quando a região não pode ser definida simultaneamente nas formas B1 e B2 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Mudar a ordem de integração em e calcular as integrais 5 SOLUÇÃO Para formar a integral iterada na outra ordem isto é na ordem xy é necessária a definição conveniente da região Com tal finalidade é sugestivo fazer um esboço da região de integração Da integral proposta temse 2 x 1 e x2 y 2 x assim a região está na figura seguinte A reta y1 decompõe a região nas subregiões R1 e R2 indicados na figura anterior assim Logo a integral iterada na ordem xy é a soma EXEMPLO 3 Mudar a ordem de integração em e calcular as integrais É possível mostrar que a área de uma região e o volume de um sólido conforme foram estudados em Cálculo Integral I podem ser calculados usando integrais iteradas TEOREMA 1 Se B é uma região compacta elementar definida como no início deste tópico a área de B é 6 respectivamente DEMONSTRAÇÃO Basta calcular a primeira integral definida de cada integral iterada para chegar nas formulações dadas Cálculo Integral I EXEMPLO RESOLVIDO 4 Se B é a região limitada pela curva y x3 3x e a reta y x calcular a área de B SOLUÇÃO A região B está ilustrada na figura seguinte Devido à simetria de B em relação ao eixo Y a área da parte à direta do eixo Y é a metade da área total assim EXEMPLO 4 Se B é a região abaixo da reta y4 e acima da parábola y x2 calcule a área de B TEOREMA 2 Sejam B uma região compacta elementar definida como neste tópico fx y 0 e contínua em B Então o volume do sólido S sob o gráfico de f e que tem como base a região B é dado por 7 DEMONSTRAÇÃO O sólido S com base B1 ou B2 é um sólido de seções planas paralelas conhecidas conforme discussões realizadas em Calculo Integral I As figuras seguintes ilustram o sólido S e indicam uma seção plana arbitrária do sólido Seja B1 a base do sólido S A seção plana de S perpendicular ao eixo X no ponto X0 0 0 está sob à parte da curva com αxo y βxo e acima do plano XY logo sua área é Assim a área de uma seção plana qualquer A x é dada por Ou seja Se B2 é a base do sólido S considerando as seções planas de S perpendiculares ao eixo Y concluise analogamente que EXEMPLO RESOLVIDO 5 Calcular o volume do sólido S interior ao cilindro x2 y2 4 acima do plano XY e abaixo do plano y z 0 SOLUÇÃO O sólido está sob o plano y z 0 que é o gráfico de z f x y y tem como base a região B no plano XY no primeiro e segundo quadrantes e limitada pela circunferência x2 y2 4 8 Como a região ocupada pelo sólido é simétrica em relação ao plano YZ o volume da parte do sólido no primeiro octante é a metade do volume total Assim EXEMPLO 5 Calcular o volume do sólido S limitado pela esfera x2 y2 z2 1 Sugestão calcular o volume de um oitavo de S no primeiro octante Seja B o paralelepípedo retângulo dado por isto é B é a região limitada pelos planos x a1 x b1 y a2 y b3 e z b3 A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA O PARALELEPÍPEDO B Se uma função F A R3 R é contínua em B a integral definida de f dependendo somente da variável z isto é mantendo x e y fixas define a função 9 A integral iterada de Gx y sobre o retângulo definido por a1 x b1 e a2 x b2 dada por é chamada de integral iterada de f sobre B na ordem zyx Analogamente é possível definir a integral iterada de f sobre o paralelepípedo B em mais cinco ordens distintas EXEMPLO RESOLVIDO 6 Calcular as integrais iteradas de fx y z xz2 y2 sobre o paralelepípedo retângulo em duas ordens distintas SOLUÇÃO A integral iterada de f sobre paralelepípedo na ordem zyx é Na ordem yzx por exemplo é EXEMPLO 6 10 Resolver o exemplo anterior através de duas ordens distintas que não foram efetuadas no exemplo Existem seis tipos de regiões em R3 mais gerais do que o paralelepípedo retângulo onde é possível definir a integral iterada de uma função F A R3 R A região B mais geral onde é definida a integral iterada de f sobre B na ordem zyx é dada por onde α e β são funções contínuas em ab θ e Φ são funções contínuas na região em que a x b e αx y β isto é B é a região limitada abaixo e acima pelas superfícies z θx y e z Φx y respectivamente lateralmente pelas superfícies cilíndricas y αx e βx e pelos planos x a e x b A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA A REGIÃO B Neste caso a integral mencionada é Uma região do R3 que pode ser definida na forma de B ou numa das cinco outras formas análogas é dita uma região compacta elementar do R3 EXEMPLO RESOLVIDO 7 Calcular em três ordens distintas as integrais iteradas da função fx y z 2xy sobre a região B no primeiro octante limitada pelo parabolóide z x2 y2 e o plano z 1 SOLUÇÃO A região está ilustrada na figura seguinte 11 Escolhendo as ordens zyx xzy yzx é necessário definir B nas respectivas formas Assim na ordem zyx a integral é Na ordem xzy a integral é EXEMPLO 7 Resolver o exemplo anterior através das três ordens que não foram efetuadas no exemplo 12 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO As cinco questões do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar serão indicadas no topico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar 13 Cálculo Integral II Aula 01 Integral Iterada e Múltipla Tópico 02 Integral Múltipla Os seguintes conceitos são necessários para formular a definição de integral múltipla um subconjunto B Rm m 2 3 é um conjunto limitado se é finita a distância da origem a qualquer ponto de B uma função f A Rm R é uma função limitada num subconjunto B A se existe um número c tal que fP c para todo P B Seja f A R2 R uma função limitada num subconjunto limitado B A Como B é limitado B está contido numa região retangular R Traçando retas paralelas aos eixos coordenados R é dividida em sub regiões retangulares e B é coberto pela união de um número finito n de subregiões retangulares Sejam R1 R2 Rn os retângulos cuja união cobrem B e xi yi um ponto arbitrário em Ri i 1 2 n então a soma onde fxi yi 0 sexi yi B e Δi A é a área de Ri é chamada uma soma de Riemann para f sobre B Tal soma depende da divisão da região retangular que contém B e da escolha dos pontos fxi yi em cada retângulo Ri Seja Δd máx Δdi Δi é a diagonal de Ri isto é Δd Δdi para i 1 2 n suponha que independente da forma com que for dividida a região retangular que contém B e da escolha dos pontos xi yi Ri esta soma tem um único valor limite L quando Δd 0 dizse que f é integrável sobre B e L é a integral dupla de f sobre B isto é A notação é usada para indicar a integral dupla de f sobre B ou seja 14 Em termos da definição de limite esta última igualdade significa que dado qualquer ε 0 existe ε 0 tal que para qualquer divisão da região retangular que contém B com Δd δ e qualquer escolha dos pontos xi yi Se a função constante fx y 1 é integrável num conjunto limitado B a área de B é definida por Considere agora B um subconjunto limitado do R3 e f A R3 R uma função limitada em B Como B é limitado B está contido num paralelepípedo retângulo R através de planos paralelos aos planos coordenados R é dividido em pequenos paralelepípedos e B é coberto pela união de um número finito n desses paralelepípedos Sendo R1 R2 Rn os paralelepípedos cuja união cobrem B e xi yi zi um ponto em Ri i 1 2 n uma soma de Riemann para f sobre B é dada por onde fxi yi zi 0 se xi yi zi B e Δi V é o volume de Ri Seja Δd máx Δdi Δdi é a diagonal de Ri então se independente da maneira com que é dividido o paralelepípedo que contém B é da escolha dos pontos xi yi zi Ri esta soma tem um único valor limite L quando Δd 0 dizse que f é integrável sobre B e L é a integral triplade f sobre B ou seja A notação é usada para indicar a integral tripla de f sobre B ou seja Em termos da definição de limite esta última igualdade significa que dado qualquer ε 0 tal que para qualquer divisão do paralelepípedo que contém B com Δd δ e qualquer escolha dos pontos xi yi zi Ri Se B é um conjunto limitado do R3 sobre a qual a função constante fx y z 1 é integrável o volume de B é definido por Uma integral dupla ou tripla de uma função é chamada de integral múltipla da função Os teoremas e propriedades referentes a integrais aplicamse a integrais duplas e triplas devido a isso o símbolo 15 será usado para indicar a integral múltipla de uma função sobre um conjunto B As demonstrações dos teoremas e propriedades a seguir não fazem parte dos objetivos deste texto mas poderão ser encontradas nas referências REFERÊNCIAS Pág 223 e Mathematical Analysis Aposto Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company 1960 Teorema do Valor Intermediário Generalizado Seja f A Rm R uma função contínua num conjunto conexo B A Considere P e Q B e r R tais que f P r fQ então existe um ponto Po B tal que fPo r Um conjunto suave em Rm é a imagem de um conjunto compacto do RL através de uma função F D RL Rm de classe C1 onde L m portanto se L 1 e m 2 ou 3 tal conjunto poderá ser uma arco de curva conforme foi visto em Cálculo Diferencial II e se L 2 e m 3 tal conjunto poderá ser uma superfície como foi visto em Cálculo Diferencial II DICA No Teorema 1 enunciado a seguir a hipótese sobre a continuidade de f em B pode ser suprimida de um número finito de pontos ou de um número finito de conjuntos suaves contidos em B Veja a referência Mathematical Analysis Apostol Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company l960 O teorema seguinte dá as condições para que uma função seja integrável TEOREMA 1 Seja f A Rm R m 2 3 uma função contínua num conjunto limitado B A Então se a fronteira de B está contida num número finito de conjuntos suaves em Rm f é integrável sobre B isto é IBf existe O cálculo da integral múltipla de uma função sobre um conjunto através da definição por mais simples que sejam a função e o conjunto é sempre muito trabalhosa entretanto é de interesse no nível deste texto as integrais múltiplas que podem ser calculadas por meio de integrais iteradas conforme o teorema seguinte TEOREMA 2 Seja B uma região do Rm m 2 3 onde as integrais iteradas de f A Rm R m 2 ou 3 sobre B estão definidas e existem Então se f é integrável sobre B o valor da integral iterada independe da ordem de integração e é igual a IBf DICA 16 A simples existência das integrais iteradas não implica na existência da integral múltipla Um exemplo de tal fato poderá ser encontrado no exercício 109 da pág 299 da referência Mathematical Analysis Apostol Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company l960 Observe que as definições de área e volume ocorreram duas vezes nesta aula no tópico anterior tais definições foram dadas para regiões e aqui para conjuntos o teorema 2 permite justificar a equivalência de tais definições quando um conjunto é uma região Seja B uma região do R2 sobre a qual está definida a integral iterada de uma função f isto é B é uma região compacta elementar ou é a união de um número finito de tais regiões e suponha que IBf existe então Suposição 01 Se fx y 1 a área de B é onde a primeira igualdade decorre do teorema do teorema 1 do tópico 1 desta aula e as duas últimas do teorema 2 deste tópico isto mostra a equivalência dos conceitos de área Suposição 02 Se fx y 0 para x y em B o volume do sólido S sob o gráfico de f e que tem a região B como base é Se B é uma região do R3 sobre a qual está definida a integral iterada de fx y z 1 por exemplo e que Ib1 existe isto ocorre em particular se α e β têm derivadas contínuas em c d e θ e Φ são de classe C1 em a x b e αx y βx conforme o teorema 1 então pelo teorema 2 deste tópico o volume do sólido que ocupa a região B ou o volume de B é A integral múltipla tem as seguintes propriedades 1 Seja f e g funções integráveis sobre B então IB f g IBf IBg 17 2 Se f 0 e é integrável sobre B então IBf 0 3 Se m 1 f P m2 para todo P B e f integrável sobre B então m1IB1 IBf m2IB1 4 Se B B1 B2 onde interseção B2 está contido em um número finito de conjunto suaves e f é integrável sobre Bentão IBf IB1f IB2f O teorema seguinte é uma generalização do teorema do valor médio para integrais definidas visto em Cálculo Integral I TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS MÚLTIPLAS 3 Seja f A Rm R m 2 3 contínua e integrável num conjunto compacto B A então existe um ponto tal que onde CB é o conteúdo de B isto é CB é a área de B se m 2 é o volume de B se m 3 DEMONSTRAÇÃO Se f é constante a demonstração é trivial Seja f não constante então f tem valores mínimo e máximo absolutos em B sejam m1 fP1 e m2 fP2 tais valores respectivamente Então m1 fP m2 para todo P B daí pela propriedade 3 da integral IBm1 Igf Igm2 e assim ou seja Portanto pelo Teorema do Valor Intermediário visto em Cálculo Diferencial II existe tal que É comum aplicações da integral múltipla de um campo vetorial F A Rm Rm sobre um conjunto B Rm m 2 3 tal integral é definida como o vetor cujas coordenadas são as integrais das funções coordenadas de F sobre B Assim por exemplo se Fx y px y qx y temse ATIVIDADE DE PORTFÓLIO 18 Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 e 5 são os respectivos itens a e b da questão 1 10 e 12 são os respectivos itens a e b da questão 2 18 é a questão 3 26 é a questão 4 34 é a questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens 19 Cálculo Integral II Aula 02 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla e Integral Imprópria Tópico 01 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla O objetivo deste tópico é estender para integral múltipla o seguinte resultado que pode ser usado para mudar a variável numa integral definida se y fx é contínua em ab e x αu tem derivada contínua em cd onde αc a e αd b então Tal fato se justifica da seguinte forma Do teorema fundamental do Cálculo visto em Cálculo Integral I obtémse onde F é uma integral de f Além disso pela regra da cadeia vista em Cálculo Diferencial I temse Foα u F αu αu f αu αu para u c d isto é é uma integral de foα α logo usando o teorema fundamental do Cálculo O que prova a igualdade das integrais O objetivo da mudança de variável numa integral definida consiste apenas em obter um integrando mais fácil de integrar e não se tem qualquer preocupação com os domínios de integração nas duas integrais da fórmula uma vez que estes são intervalos Na integral múltipla a mudança de variáveis tem dois objetivos um simplificar o integrando para efeito de integração o outro é tornar a região de integração mais simples O teorema a seguir estabelece a fórmula de mudança de variáveis na integral múltipla sua demonstração está fora dos objetivos deste tópico uma demonstração pode ser encontrada na referência REFERÊNCIA Cálculo de Funções Vetoriais Williamson Richard E Crowell Richard H Trotter Hale F Vol 2 Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro RJ 1976 TEOREMA 01 Sejam f A Rm R uma transformação de classe C1 e B um conjunto compacto contido no interior de A e com fronteira constituída por um número finito de conjuntos suaves Suponha ainda que F é injetiva e F 0 em B então 20 PARADA OBRIGATÓRIA Neste tópico o teorema é usado em integrais duplas e triplas assim em tais casos particulares o teorema 1 está enunciado a seguir como corolários Corolário 1 Sejam F A R2 R2 uma transformação de classe C1 e B um conjunto compacto contido no interior de A e com fronteira constituída por um número finito de curvas suaves Se F é injetiva e detF 0 em B então onde f é contínua em FB A figura seguinte ilustra geometricamente o enunciado do corolário 1 As notações dAuv e dAxy indicam os elementos de área no domínio e contradomínio de F respectivamente OLHANDO DE PERTO Observe que o uso da fórmula do teorema 1 depende essencialmente em estabelecer a relação geométrica entre uma região B e sua imagem FB através da transformação F uma vez que a integral proposta tem FB como região de integração A fórmula contínua válida se nas hipóteses do teorema a injetividade de F em B e detF 0 em B não forem satisfeitas em um número finito de pontos ou em um número finito de arcos de curvas suaves contidos em B No caso particular da hipótese injetividade se esta não for verificada na curva fechada C que limita a região B isto é na fronteira de B pelo menos a imagem através de F de uma parte S de C onde F é injetiva deverá ser uma curva fechada FS limitando FB além disso se quandouv descreve C uma única vez a imagem correspondente Fuv descreve FC um número inteiro n de vezes a integral à esquerda da fórmula ficará multiplicada por n A continuidade da função f em FB é exigida apenas para garantir que f seja integrável em FB desta forma se f é limitada em FB a hipótese sobre a continuidade de f em FB pode ser suprimida de um número finito de pontos ou de arcos de curvas suaves contidos em FB 21 Tais afirmações são baseadas em resultados que são tratados em textos mais avançados entretanto são praticadas normalmente neste nível OLHANDO DE PERTO Os exemplos 1 a 3 a seguir ilustrarão a aplicação da fórmula da mudança de variáveis na integral dupla EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral da função sobre a imagem da região retangular B dada por 0 u 1 e 0 v 1 através da transformação Fu v u2 v2 u2 v2 SOLUÇÃO A imagem da região B através de F está ilustrada na figura seguinte Embora detFuv 8uv seja igual a zero nos segmentos u 0 com 0 v 1 e v 0 com 0 u 1 que estão na região B o teorema 1 pode ser aplicado pois tais segmentos são arcos de curvas suaves Logo temse EXEMPLO PROPOSTO 1 Resolver o exemplo anterior se B é triângulo de vértices nos pontos 00 10 e 01 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral da função 22 sobre a região R limitada pela circunferência x2 y2 r2 SOLUÇÃO A transformação coordenadas polares definida por Fuv u cos vu sen v transforma a região retangular B definida por 0 u r e 0 v 2π na região R Embora F não seja injetiva sobre o retângulo que limita a região B e detFuv u seja igual a zero no lado inferior do retângulo com base nas observações já mencionadas a fórmula da mudança de variável pode ser aplicada pois os lados do retângulo são arcos de curvas suaves Assim temse EXEMPLO PROPOSTO 2 Resolver o exemplo anterior se R é a região limitada pela circunferência x2 y2 4 no primeiro quadrante EXEMPLO RESOLVIDO 3 Determinar a área da região R limitada pela elipse SOLUÇÃO A transformação dada por Guv a ub v transforma a região limitada pela circunferência u2 v2 1 na região R Já a transformação coordenadas polares dada por Trθ r cos θ r sen θ transforma a região retangular B definida por 0 r 1 e 0 θ 2π na região limitada pela circunferência u2v21 23 Logo a transformação dada por Fr Gt ar cos br sen transforma B em R Portanto a área de R é EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular a área da região R limitada pela elipse Corolário 2 Sejam F A R3 R3 é uma transformação de classe C1 e B um conjunto compacto contido no interior de A e com fronteira constituída por um número finito de superfícies suaves Se F é injetiva e detF 0 em B então onde f é uma função contínua em FB As observações feitas ao corolário 1 aplicamse ao corolário 2 onde arcos de curvas suaves são substituídos por conjuntos suaves Os exemplos 4 a 6 a seguir ilustrarão a aplicação da fórmula da mudança de variáveis na integral tripla EXEMPLO RESOLVIDO 4 24 Encontrar o volume da imagem do paralelepípedo B definido por 0 u 1 0 v 1 e 0 w r através da transformação Fu v w 2u 2w u 3v 2w 2v 3w SOLUÇÃO A imagem da região B através da transformação F está ilustrada na figura seguinte O volume da região FB é dado por EXEMPLO PROPOSTO 4 Resolver o exemplo anterior se B é o tetraedro limitado pelo plano x y z 1 e os planos coordenados EXEMPLO RESOLVIDO 5 Calcular a integral da função sobre a região R limitada pelo cilindro x2 y2 1 e os planos z 0 e z 2 SOLUÇÃO A transformação coordenadas cilíndricas definida por Tuvw u cos v u sen v w transforma o paralelepípedo B dado por 0 u 1 0 v 1 e 0 w 2 na região R Observe que embora T não seja injetiva no conjunto de pontos formado pelas faces de B e deTuvwu seja nulo na face que está no plano VW com base nas observações já mencionadas a fórmula da mudança de variáveis pode ser aplicada pois as faces de B são superfícies suaves Portanto temse 25 EXEMPLO PROPOSTO 5 Resolver o exemplo anterior se a região de integração é a parte à direita do plano XZ da região desse exemplo EXEMPLO RESOLVIDO 6 Calcular a integral da função sobre a região R entre as esferas x2 y2 z2 1 e x2 y2 z2 4 acima do plano XY SOLUÇÃO A transformação coordenadas esféricas dada por Tuvw u cos v sen w u sen v sen w u cos w transforma o paralelepípedo B dado por na região R Calculando o determinante da matriz jacobiana de T encontrase deTuvw u2 sen w Observe que T é injetiva em B exceto no conjunto de pontos constituído pelas faces de B e deTuvw se anula na face de B que se encontra no plano UV Como as faces de B são superfícies suaves a fórmula da mudança de variáveis pode ser aplicada Logo temse 26 EXEMPLO PROPOSTO 6 Resolver o exemplo anterior se a região de integração é a parte da região desse exemplo no primeiro octante ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 4 é a questão 1 18 e 27 são os respectivos itens a e b da questões 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individualdo ambiente Solar As questões 3 a 5 do trabalho desta aula serão indicadas no tópico seguinte É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agendado ambiente Solar 27 Cálculo Integral II Aula 02 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla e Integral Imprópria Tópico 02 Integral Múltipla Imprópria Na definição de integral múltipla de uma função f A Rm R sobre um conjunto B A foi suposto que B era um conjunto limitado e f limitada em B O objetivo deste tópico e considerar B ilimitado ou f ilimitada em B e usando limite definir IBf neste caso tal integral é chamada de integral múltipla imprópria Seja f A Rm R definida não necessariamente limitada num subconjunto não necessariamente limitado B A a integral múltipla imprópria ou simplesmente a integral imprópria de f sobre B é definida por onde Bt é qualquer família crescente de subconjuntos Bt de B isto é Bt1 Bt2 se t1 t2 que converge para B e que f é integrável sobre Bt A variável t do limite tende a um valor finito ou a infinito de forma que Bt tenda ao conjunto B A integral imprópria é dita convergente se ela existe e tem o mesmo valor para qualquer família Bt nas condições da definição caso contrário a integral é dita divergente O teorema seguinte dá as condições para que uma integral imprópria seja convergente e independente da família de subconjuntos convergentes TEOREMA Se f é não negativa em B e é finito para alguma família Bt crescente de subconjuntos de B que converge para B então a integral imprópria IBf converge e A demonstração do teorema é omitida deste tópico uma demonstração pode ser encontrada na referência REFERÊNCIA Cálculo de Funções Vetoriais Williamson Richard E Crowell Richard H Trotter Hale F Vol 2 Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro RJ 1976 Os exemplos seguintes ilustram o cálculo de integrais impróprias 28 EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral da função sobre a região B dada por 0 x 1 e 0 y 1 SOLUÇÃO A região B é limitada mas f não é limitada em B uma vez que fx y se xy0y logo a integral de f sobre B é imprópria Seja a família Bt onde Bt é o retângulo dado por t x 1 e 0 y 1 onde 0 t 1 então BtB se t0 Como fx y 0 em B pelo teorema temse mas logo EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar se converge a integral da função sobre a região B dada por 1 x 1 e 0 y 1 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral da função sobre a região B dada por x2 y2 1 29 SOLUÇÃO A região B é limitada mas g não é limitada em B pois ou seja a integral de g sobre B é imprópria Com o objetivo de aplicar o teorema para calcular seja a decomposição de B nas partes B1 à esquerda e B2 à direita do eixo Y onde g é negativa e positiva respectivamente Sendo assim temse Como gxy é positiva em B1 e gxy é nãonegativa em B2 o teorema pode ser aplicado ao cálculo das integrais à direita da última igualdade Sejam as famílias B1t e B2t onde e u e v são as coordenadas polares então e logo EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral da função sobre a região B dada por x2 y2 1 30 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular a integral da função sobre o R3 SOLUÇÃO Seja a família Bt onde então BtR3 se t Como hxyz 0 para todo xyz temse Mudando as coordenadas x y e z para as coordenadas esféricas u v e w obtémse logo EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular a integral da função sobre a região B x2 y2 z2 1 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 e 4 são os respectivos itens a e b da questão 3 12 é a questão 4 20 é a questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar 31 EXEMPLO RESOLVIDO 7 Calcular em três ordens distintas as integrais iteradas da função fx y z 2xy sobre a região B no primeiro octante limitada pelo parabolóide z x2 y2 e o plano z 1 Fontes das Imagens 32 Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 01 Parametrização de Curva Uma curva já foi definida de várias formas em Cálculo Diferencial I como gráfico de uma equação de duas variáveis ou de uma função real de uma variável real em Cálculo Integral I como gráfico de uma equação polar em Cálculo Diferencial II como a imagem de uma função vetorial de uma variável chamada de parametrização da curva ainda em Cálculo Diferencial II num texto de apoio Superfície e Curva como a interseção de duas superfícies dadas por equações de três variáveis No restante das aulas deste Módulo uma curva será usada somente na forma parametrizada assim é necessário parametrizar uma curva se ela não estiver na forma parametrizada e fazer as discussões necessárias para estabelecer a base para as integrais sobre curva Seja C uma curva parametrizada por uma função f A R Rn n 2 3 então a curva C é dita a contínua Se a função f é contínua em seu domínio A b suave ou lisa se a função f tem derivada contínua em A c suave por partes ou lisa por partes se a função f é contínua e deixa de ter derivada contínua em apenas um número finito de valores em A A partir deste momento ao ser mencionado que C é uma curva suave por partes significa que C pode ser formada somente por uma parte suave isto é C é suave ou pode ser constituída por um número finito de partes suaves Geometricamente uma curva suave por partes pode ser uma curva quebrada isto é apresentando cantos em um número finito n 1 de pontos A figura ilustra uma curva com cinco partes suaves Considere uma curva contínua C ou arco de curva parametrizada por f A R Rn n 2 3 onde A a b os pontos de C correspondentes a u a e u b são chamados de ponto inicial e ponto final de C respectivamente A curva C é dita fechada quando seus pontos inicial e final coincidem Dizse que a 33 curva C é simples se ela não se autointercepta com provável exceção nos pontos extremos ou seja para u1 e u2 em ab ou ab com u1 u2 implica que fu1 fu2 OLHANDO DE PERTO Por exemplo a circunferência e a elipse são curvas fechadas simples a lemniscata é fechada mas não é simples o laço na última das quatro figuras a seguir não é fechado e nem é simples VEJA AS FIGURAS Definese o sentido da curva C como a forma em que C é descrita à medida que seu parâmetro u cresce isto é o sentido de C é do seu ponto inicial para seu ponto final desde que tais pontos existam Isto significa que se C é uma curva suave por partes parametrizada por f uisto é C é definida por f e tem parâmetro u então o vetor tangente f u à C em cada ponto varia no sentido de C à medida que u cresce no domínio de f Pode ocorrer com o crescimento do parâmetro que alguma parte de C possa ser descrita mais de uma vez isto é um ponto que descreve C percorre uma parte de C num sentido até uma certa posição e volta ou então percorre uma parte de C mais de uma vez no mesmo sentido caso C seja fechada nestas condições dizse que tal curva não está descrita uma única vez VEJA AS FIGURAS 34 Dada uma curva caso seja determinado um sentido para a curva dizse que ela está orientada Assim sob o aspecto da orientação uma curva tem duas caracterizações distintas Particularmente uma curva C simples fechada contida no R2 é dita orientada positivamente se ela está parametrizada de forma que seja descrita no sentido antihorário caso contrário dizse que a curva está orientada negativamente EXEMPLO RESOLVIDO 1 Mostrar que as curvas parametrizadas por fu u u2 para 2 u 2 e gt t t2 para 2 u 2 são iguais mas têm orientações opostas SOLUÇÃO As equações paramétricas da curva C1 parametrizada por f são x u e y u2 eliminando o parâmetro temse y x2 assim a curva parametrizada por f é o gráfico da equação y x2 com 2 u 2 Analogamente a curva C2 parametrizada por g é o gráfico da equação y x2 com 2 u 2 Logo foi provado que f e g são parametrizações da mesma curva Os pontos inicial e final de C1 são f2 24 e f2 24 respectivamente Os pontos inicial e final de C2 são g2 24 e g2 24 respectivamente Portanto foi demonstrado que C1 e C2 têm orientações opostas EXEMPLO PROPOSTO 1 Provar que são iguais as curvas parametrizadas por ft sen t cos t com 0 t 2π e gu cos u sen u com 0 u 2π 35 Sejam C1 e C2 curvas parametrizadas por f A1 R Rn n 2 3 e f A2 R Rn n 2 3 respectivamente então as curvas C1 e C2 têm a mesma trajetória se existe uma função α A2 R R tal que αA2 A1 isto éA1 é imagem de A2 através de α e gt f αt para todo t A2 A figura a seguir ilustra a situação quando n 2 OLHANDO DE PERTO Observe que C1 e C2 são iguais pois C1 e C2 têm o mesmo conjunto de pontos entretanto C1 e C2 têm parametrizações diferentes e parâmetros distintos desde que α não seja a função identidade além disso C1 e C2 podem ter orientações contrárias A função α A2 R R é chamada de função de mudança de parâmetro TEOREMA Sejam C1 e C2 curvas orientadas suaves e com a mesma trajetória onde a função mudança de parâmetro α é tal que α é contínua e não se anula no seu domínio A2 então C1 e C2 têm a A mesma orientação se e somente se αt 0 para todo t A2 b Orientações opostas se e somente se αt 0 para todo t A2 DEMONSTRAÇÃO Sejam f e g parametrizações de C1 e C2 respectivamente então considerando gtfat temse gt f at at Logo at0 se e somente se os vetores fat e gt tangentes a C e C2 são paralelos de mesmo sentido isto é at 0 se e somente se C1 e C2 têm a mesma orientação Também at 0 se e somente se os vetores tangentes a C1 e C2 são paralelos de sentidos opostos ou seja at 0 se e somente se C1 e C2 têm orientações opostas O que conclui a demonstração Corolário Se C e são curvas suaves e parametrizadas por f u com a u b e gt fa b c com a t b respectivamente então C e têm a mesma trajetória porém com orientações opostas 36 DEMONSTRAÇÃO Que C e têm a mesma trajetória decorre da definição onde at a b t Sendo at a b t temse que at 1 0 para todo t a b logo pelo teorema C e têm orientações opostas O que conclui a demonstração A partir deste momento a curva que tem a mesma trajetória da curva orientada C mas com orientação oposta será indicada por Se a curva C é o gráfico de uma equação da forma y gx com a x b então um conjunto de equações paramétricas de C pode ser dado por x u e y gx de maneira que uma parametrização de C é definida por fu u gu com a u b Analogamente se a curva C é o gráfico de uma equação da forma x hy com c y d então uma parametrização de C é dada por fu hu u Os exemplos 2 e 3 a seguir ilustram como fazer a parametrização de curvas de equações cartesianas EXEMPLO RESOLVIDO 2 Determinar uma parametrização para a parte da parábola C dada por y x2 2 com 2 x 2 usando a primeira coordenada como parâmetro Achar uma parametrização de SOLUÇÃO Usando a primeira coordenada como parâmetro as equações paramétricas de C são xu e yu22 daí fu uu22 com 2 x 2 37 Pelo corolário uma parametrização de é gt f2 2 t ft t t22 com 2 t 2 EXEMPLO Achar uma parametrização da parte da parábola cúbica C dada por y x3 1 com 1 x 2 usando a primeira coordenadas como parâmetro E encontrar uma parametrização de EXEMPLO RESOLVIDO 3 Encontrar uma parametrização para a curva C do exemplo resolvido 2 usando a segunda coordenada como parâmetro SOLUÇÃO Na equação y x2 2 colocando x como função de y temse que com 2 y 2 dá a parte C1 de C à esquerda do eixo Y e com 2 y 2 dá a parte C2 de C à direita do eixo Y Observe que fu com 2 u 2 parametriza Logo EXEMPLO PROPOSTO 3 Encontrar uma parametrização para a curva C do exemplo proposto 3 usando a segunda coordenada como parâmetro Parametrizações de segmentos de reta serão úteis inclusive para obter parametrizações de polígonos como triângulo retângulo etc EXEMPLO RESOLVIDO 4 38 Mostrar que a função vetorial ft 1 tA tB com 0 y 1 é uma parametrização do segmento que vai da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B SOLUÇÃO Conforme foi visto em Cálculo Diferencial II uma equação vetorial da reta contendo as extremidade de A e B é dada por onde P é um ponto arbitrário da reta mas e logo substituindo em daí isto é com é uma parametrização da reta indicando os vetores apenas por A e B escrevese ft 1 tA tB Para obter um segmento da reta basta considerar t variando num intervalo isto é como f0 A e f1 B temse que ft 1 tA tB com 0 t 1 EXEMPLO PROPOSTO 4 Mostre que a função definida por com é uma parametrização do segmento de reta da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B Curvas polares podem ser parametrizadas usando a coordenada polar como parâmetro de acordo como no exemplo a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 5 Achar uma parametrização da pétala da rosácea r 2 sen 2θ no primeiro quadrante SOLUÇÃO As equações paramétricas da rosácea tendo θ como parâmetro são obtidas substituindo r nas relações x r cos θ e y r sen θ ou seja x2 sen 2 θ cos θ e y 2 sen 2θ sen θ são as equações paramétricas Somente a pétala é obtida fazendo Portanto a função EXEMPLO PROPOSTO 5 Determinar uma parametrização da pétala superior da rosácea r 2 cos 2θ 39 Conforme foi visto no texto de apoio indicado no tópico 1 da aula 1 de Cálculo Diferencial II a interseção de duas superfícies definidas por equações de três variáveis pode definir uma curva no espaço uma parametrização da curva pode ser obtida usando uma das variáveis como parâmetro de acordo como no exemplo a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 6 Determinar uma parametrização do arco da curva do ponto 100 ao ponto 011 SOLUÇÃO A curva é dada por podese usar x como parâmetro fazendo x t obtémse z 1 t2 e uma vez que y z y 1 t2 Logo x t y 1 t2 e z 1 t2 são equações paramétricas da curva portanto ft t 1 t21 t2 é uma parametrização da curva Como f0 0 1 1 e f1 1 0 0 a função ft t 1 t21 t2 com 0 t é uma parametrização do arco de 011 a 001 usando a função de mudança de orientação dada no corolário do teorema desta seção pág 369 temse que gt f0 1 t 1 t 2t t2 2t t2 com é uma parametrização do arco EXEMPLO PROPOSTO 6 Calcular uma parametrização do arco da curva dada do ponto 100 ao ponto 001 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 14 17 21 e 26 são os respectivos itens a até d da questão 1 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões 2 até 5 do trabalho serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar 40 Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 02 Integral de Linha em Relação ao Comprimento de Arco VERSÃO TEXTUAL Na aula 1 foi considerada a integral de uma função real sobre uma região do plano ou espaço cartesiano este tópico introduz um outro tipo de integral de uma função real só que agora é sobre uma curva do plano ou espaço cartesianos Dentre as aplicações dessa integral em Física por exemplo pode ser mencionado o cálculo da massa dos momentos e centro de massa de um fio na forma de uma curva Sejam C uma curva definida pela função f A R Rm m 2 3 e contínua em ab Considere uma divisão de ab em n subintervalos ti 1 t1 com i 1 2 n onde a to e b tn além disso sejam αi ti 1 t1 e Δis o comprimento do arco de C correspondente ao intervalo ti 1 t1 Inicialmente seja C R2 dada por ft f1t f2t com a t b e considere xi f1αi e yi f2αi Sendo B R2 R uma função cujo domínio contém a curva C considere a soma Se para qualquer partição de ab e αi ti 1 t1 esta soma tem um único valor limite quando Δs máx Δis i 1 2 n 0 dizse que esse valor limite é a integral de linha ou a integral curvilínea de g em relação a s sobre C indicase por Seja agora C R3 parametrizada por ft f1t f2 t f3t com a t b e considere xi f1 αi yi f2 αi e zi f3 αi Sendo g B R3 R uma função contínua cujo domínio contém a curva C temse a soma 41 Se para qualquer divisão de ab e αi ti 1 t1 esta soma tem um único valor limite quando Δs máx Δis i 1 2 n 0 dizse que esse valor limite é a integral de linha ou a integral curvilínea de g em relação a s sobre Cindicase por O teorema seguinte estabelece as condições para que a integral curvilínea de uma função possa ser calculada através de uma integral definida TEOREMA 1 Seja g B Rm R m 23 uma função contínua sobre uma curva suave C parametrizada por f t com a t b então onde P xy ou P xyz conforme seja m 2 ou m 3 respectivamente DEMONSTRAÇÃO A demonstração será feita no caso em que C R2 caso C R3 a demonstração e análoga Considerando uma partição de ab em n subintervalos ti1ti i12n e Como f é continua em ab logo contínua em ti1t1 existe ti1ti tal que Sejam um valor qualquer em ti1t1 xif1 e yif2 Logo sendo temse Por outro lado como as funções g e f são contínuas e a função comprimento de arco s tem derivada contínua em ab o limite da soma quando existe e é a integral de gf f em ab isto é Portanto para concluir a demonstração basta provar que sn e Sn têm o mesmo limite quando ou seja que Snsn pode ser arbitrariamente pequeno para n suficientemente grande e suficientemente pequeno 42 Sendo gof contínua em ab logo uniformemente contínua em ab conforme teorema 2 do texto complementar 2 indicado no final do tópico 3 da aula 3 de Cálculo Diferencial I para qualquer tal que para cada divisão de ab em que assim mas sendo f contínua em ab f é limitada em ab isto é existe m 0 tal que f m assim Como é qualquer pode ser considerado arbitrariamente pequeno e assim a demonstração está concluída EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular onde C é a curva parametrizada por ft 2 2 cos t 3 2 sen t com 0 t 2π SOLUÇÃO Como a função p gxy x2 y2 e a curva C satisfazem as hipóteses do teorema 1 temse pois ft 2 assim EXEMPLO PROPOSTO 1 Calcular a integral da função do exemplo resolvido 1 sobre a curva parametrizada por gt 2 2 cos t 3 2 sen t com 0 t 2 π 43 O teorema seguinte dá as condições para que o valor da integral curvilínea seja independente da parametrização da curva TEOREMA 2 Sejam C1 e C2 curvas suaves e com a mesma trajetória Se g B Rm R m 2 3 é uma função contínua sobre C1 logo também contínua sobre C2 então DEMOSTRAÇÃO Sejam f a b R Rm e α c d R R parametrizações de C1 e C2 respectivamente então existe α c d R R tal que α c d a b e ht fα t para t cd pois C1 e C2 têm a mesma trajetória A integral de g sobre é dada por Se C1 e C2 têm a mesma trajetória e αt0 em cd isto é α é crescente em c d então αca e αd b Logo fazendo uαt na última integral obtémse Mas em cd pois αt0 em cd logo Se C1 e C2 têm orientações opostas σt 0 em cd ou seja σé decrescente em cd daí σc b e σd a Assim fazendo u σt em temse sendo gof contínua em a b logo uniformemente contínua em a b conforme teorema 2 do texto complementar 2 indicado no final do tópico 3 da aula 3 de Cálculo Diferencial I para qualquer ε 0 existe δ 0 tal que Para cada divisão de a b em que assim 44 mas sendo f contínua em a b f é limitada em ab isto é existe m 0 tal que f m assim Como é qualquer ε pode ser considerado arbitrariamente pequeno e assim a demonstração está concluída Observe que a definição de integral curvilínea e a fórmula dada no teorema 1 para calcular o valor da integral curvilínea referemse a uma curva constituída somente por uma parte suave A integral curvilínea sobre uma curva suave por partes é definida como a soma das integrais sobre cada uma das partes suaves EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 11 a 00 e de 00 a 23 SOLUÇÃO 1 Sejam C1 e C2 as partes de C que vão de 11 a 00 e de 00 a 23 respectivamente A equação da reta que contém os pontos 00 e 11 é y x logo uma parametrização de é dada por fu u u com 0 u 1 Analogamente uma parametrização de C2 é dada por gu com 0 u 2 Assim pelo teorema 2 e logo SOLUÇÃO 2 45 Conforme exemplo resolvido 4 do tópico 1 desta aula a função ft 1 tA tB com é uma parametrização do segmento da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B Assim uma parametrização para C1 é dada por ft 1 t 1 1 t0 0 1 t 1 t com 0 t 1 e uma parametrização para C2 é dada por gt 1 t 0 0 t2 3 com 0 t 1 onde C1 e C2 são como na primeira solução Logo e portanto EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 02 a 20 e de 20 a 31 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 100 a 010 e de 010 a 001 SOLUÇÃO Sejam C1 e C2 as partes de C que vão de 100 a 010 e de 010 a 001 respectivamente Usando a função ft 1 tA tB com 0 T 1 para parametrizar o segmento da extremidade do vetor A até a extremidade do vetor B temse que uma parametrização para C1 é dada por ft 1 t1 0 0 t0 0 0 1 t 0 0 com 0 t 1 e uma parametrização para C2 é dada por gt 1 t0 1 0 t0 0 1 0 1 t t com 0 T 1 Logo 46 e portanto EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular onde C é formada pelos segmentos de 100 a 001 e de 001 a 010 Uma aplicação imediata da integral curvilínea em relação ao comprimento de arco referese ao cálculo da massa de um fio de espessura desprezível na forma de uma curva Se um fio é representado por uma curva suave C e a densidade do fio em qualquer ponto xy é uma função contínua ρ de x e y podese mostrar que pode ser interpretado como a massa do fioÉ possível chegar ainda aos seguintes conceitos Conceito 01 Momentos de massa do fio em relação aos eixos X e Y são dados por respectivamente Conceito 02 Centro de massa do fio são dados por Conceito 03 Momentos de inércia do fio em relação aos eixos X e Y e em relação à origem são dados por 47 respectivamente ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 4 e 8 são os respectivos itens a e b da questão 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente SolarAs questões 3 até 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar 48 Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 03 Integral de um Campo Vetorial sobre uma Curva No tópico anterior foi introduzida a integral de uma função real de duas ou três variáveis sobre uma curva do plano ou espaço cartesianos respectivamente Este tópico mostra como usar esse tipo de integral para considerar a integral de campo vetorial de duas ou três variáveis sobre uma curva no plano ou espaço cartesianos respectivamente Uma aplicação dessa integral em Física por exemplo é o cálculo do trabalho realizado por uma força para deslocar uma partícula numa determinada trajetória tal procedimento foi visto no curso anterior de Cálculo Integral no caso particular em que o movimento da partícula é retilíneo Seja F B Rm Rm m 2 3 um campo vetorial cujo domínio contém uma curva suave orientada C Rm Considere T um campo vetorial unitário e tangente a C em cada ponto Pxy ou Pxyz conforme seja m 2 ou m 3 respectivamente e suponha que T varia ao longo de C no sentido em que C está orientada A projeção de F em cada direção tangente a C dada por FTP FP TP é uma função real definida em C O elemento vetorial de arco da curva C que é indicado pelo símbolo dr é definido por drTds onde s é o parâmetro comprimento de arco A integral da função FT em relação a s sobre C é dita a integral do campo vetorial F sobre a curva C e é indicada por ou seja Seja F um campo contínuo sobre uma curva orientada suave C e f a b R Rm uma parametrização de C O campo T dado por para cada t a b onde ft 0 é unitário tangente a C e varia de acordo com a orientação de C assim ds ft e dr ft dt Portanto do teorema 1 do tópico anterior temse mas FT ft ft F ft Ttft F ft ft logo onde df ft dt Se ocorrer que ft 0 para um número finito de valores t a b nos pontos correspondentes de C definese FT 0 assim a última formulação para calcular a integral de F sobre C pode ainda ser considerada EXEMPLO RESOLVIDO 1 49 Calcular a integral do campo Fx y xy x y sobre a curva C parametrizada por gt t 1 t2 1 para 0 t 1 SOLUÇÃO Temse assim Embora a integral curvilínea de uma função real em relação à s sobre uma curva orientada não mude de valor com a mudança de parametrização mesmo com a reversão da orientação da curva isto não ocorre com a integral de um campo vetorial O teorema seguinte estabelece tal fato TEOREMA Sejam C1 e C2 curvas orientadas suaves e com a mesma trajetória Se F B Rm Rm m 2 3 é um campo vetorial contínuo sobre C1 logo sobre C2 então a se C1 e C2 têm a mesma orientação b se C1 e C2 têm orientações opostas DEMOSTRAÇÃO Sejam f a b R Rm e h c d R Rm parametrizações de C1 e C2 respectivamente e α c d R R defina por uαt uma função de mudança de parâmentro então ht fαt com t cd A integral do campo F sobre C1 é dada por Se C1 e C2 têm a mesma orientação αt 0 em cd αca e αd b logo usando α para mudar da variável u para t nesta última integral O que demonstra o item a Se C1 e C2 têm orientações opostas αt 0 em cd αc b e αd a logo procedendo como anteriormente 50 O que conclui a demonstração do teorema EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral do campo Fx y x y x y sobre a circunferência x2 y2 4 orientada negativamente SOLUÇÃO Sejam x 2cost e y 2sen t então ft 2cost 2 sent com 0 t 2Π é uma parametrização da circunferência c orientada positivamente Sendo a circunferência orienteada negativamente temse EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral do campo Fx y z xyz 2x2y 3yz2 sobre a circunferência C obtida pela interseção do cilindro x2 y 2 4 com o plano z 1 onde C está orientada positivamente quando observada do plano XY Sendo Fx y px y q x y um campo vetorial contínuo sobre uma curva orientada e suave C onde C é parametrizada por ft f1t f2t com a t b temse As integrais definidas à direita da última igualdade são chamadas de integrais curvilíneas das funções p em relação a x sobre C e q em relação a y sobre C respectivamente ou seja tais integrais são indicadas e dadas por 51 Desta forma temse as definições das integrais curvilíneas de uma função real em relação a x e em relação a y sobre uma curva Fazendo dr dx dy temse Fx y dr px y dx q x y dy assim Agora sendo Fx y z px y z q x y z r x y z um campo vetorial contínuo sobre uma curva orientada e suave C onde C é parametrizada por ft f1t f2t f3t com a t b analogamente define se as integrais curvilíneas das funções p q e r em relação a x y e z sobre C que são respectivamente indicadas e dadas por e Fazendo dr dx dy dz temse Fx y z px y zdx qx y zdy rx y zdz isto permite escrever que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO As questões 3 até 5 restantes do trabalho desta aula serão indicadas no tópico seguinte desta aula 52 Cálculo Integral II Aula 03 Parametrização de Curva e Integrais Curvilíneas Tópico 04 Integral de um Campo Vetorial Independente do Caminho Para um campo vetorial F B Rm Rm as seguintes notações são utilizadas significa a integral do campo sobre a curva C orientada do ponto M até o ponto N particularmente se m 2 e C R2 é uma curva fechada simples e orientada representa a integral sobre C orientada positivamente e indica a integral sobre C orientada negativamente Seja o campo vetorial F B Rm Rm m 2 3 dizse que a integral independe da curva C ou independe do caminho C em B se para qualquer outra curva S em B ligando M a N temse OLHANDO DE PERTO O teorema seguinte estabelece as condições necessárias e suficientes para que a integral de um campo vetorial seja independe do caminho sua demonstração mostra uma maneira simples de encontrar o valor da integral neste caso e dá uma forma alternativa de encontrar um potencial escalar de um campo vetorial conservativo TEOREMA 2 Seja o campo vetorial F B Rm Rm m 2 3 contínuo numa região aberta R B então as seguintes afirmações são equivalentes a O campo F é conservativo isto é tem um potencial real em R b A integral independe do caminho suave por partes em R 53 c A equação se verifica para qualquer curva fechada e suave por partes C em R DEMONSTRAÇÃO Inicialmente será demonstrado que a b Suponhamos que F é um campo conservativo com um potencial real g definido em R então para P R Logo se C é uma curva suave em R parametrizada por h a b R Rm temse mas pelo corolário do teorema 2 Do tópico 2 da aula 5 assim onde gM gN e gN ghb Portanto a integral depende apenas dos valores de g nos pontos M e N não da curva que liga os pontos Suponha agora que C é constituída por n partes suaves e sejam C1 C2Cn as partes suaves de C ligando M a P1 P1 a P2 Pn1 a N respectivamente Então pelo que foi demonstrado inicialmente Somando membro a membro estas igualdades a soma do lado esquerdo é a integral de F sobre C e a soma do lado direito é gN gM Isto mostra que a b Para mostrar que b c suponha que a integral do campo F independe da curva suave por partes em R Inicialmente considere C uma curva suave por partes fechada e simples em R Sejam M e N pontos distintos de C C1 E C2 as partes de C que ligam o ponto M e N então sem perda de generalidade Como a integral do campo F independe da curva em R temse Assim obtémse 54 Se a curva C não é simples sejam C1 C2Cn as curvas fechadas simples que formam C Pelo que foi demonstrado inicialmente temse Orientando cada curva Ci de forma conveniente encontrase Isto conclui que b c Para finalizar falta mostrar que c a A demonstração será feita para o campo F B Rm Rm se m 2 quando m 3 a demonstração é análoga Sejam Moxoyo um ponto fixo e Nxy um ponto arbitrário em R então para qualquer curva suave por partes C em R a função g dada por está definida em R pois F é um campo contínuo em R Será demonstrado que g é um potencial de F Seja Qxt y com t 0 um ponto num disco de centro em N e contido em R tal disco existe pois R é uma região aberta e N R Considere Se o segmento de N a Q e S uma curva suave por partes ligando Mo a Q então isto é Portanto temse 55 onde Fxy pxyqxy Analogamente mostrase que O que conclui a demonstração TEOREMA 3 Se F B Rm Rm m 2 3 é um campo vetorial de classe C1 numa região aberta R B e independe da curva suave por partes C R então x FP 0 para todo P R DEMONSTRAÇÃO Suponha que m 2 e Fx y px y qxy Pelo teorema 2 existe uma função real g definida em R tal que em R Como p e q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em R tem se de corolário de um teorema do Cálculo Diferencial que COROLÁRIO DE UM TEOREMA DO CÁLCULO DIFERENCIAL Teorema Seja f A R2 R uma função definida numa Bxo yo r tal que fx fy fxy e fyx também estejam definidas em Bxo yo r Se além disso fxy e fyx são contínuas em xo yo então fxy xo yo fyx xo yo Colorário Se as hipóteses do teorema valem num conjunto aberto B A então fxyx y fyxx y para todo x y B em RO que conclui a demonstração 56 A recíproca do teorema 3 não é verdadeira para qualquer tipo de região aberta R por exemplo se então em qualquer região R que não contém a origem entretanto sendo C a circunferência temse isto mostra conforme o teorema 1 que a integral depende da curva em R DICAS Em tópicos posteriores serão definidos tipos de regiões onde vale uma recíproca parcial do teorema 3 e tais recíprocas do teorema 3 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Mostrar que se F representa um campo de forças contínuo então pode ser interpretada como o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma partícula sobre uma curva suave C SOLUÇÃO Se uma força constante F age sobre uma partícula para deslocála do ponto M até o ponto N e ao longo do segmento então o trabalho realizado W é dado por O deslocamento da partícula sobre C pode ser aproximado através de vários deslocamentos pequenos ao longo de segmentos consecutivos com pontos inicial e final sobre C Seja f a b R Rm uma parametrização de C Considere uma partição do intervalo a b em n subintervalos ui 1 ui Então o trabalho realizado pelo campo F para descolar a partícula do ponto Pi1 ao ponto Pi sobre C é aproximadamente igual a Ffui 1 fui fUi 1 57 Assim uma aproximação para o trabalho W realizado pelo campo F para deslocar a partícula ao longo de C é Sendo por exemplo Fxy pxy qxy e fu f1uf2u então F fui 1 fui fUi 1 p fui 1 f1ui f1ui 1 qfui 1 f2ui f2ui 1 e do teorema do valor médio de Lagrange dado em Cálculo Diferencial I existem αi e βi em ui1ui tais que f1ui f1ui 1 f1αi Δiu e f2ui f2ui 1 f2 βiΔiu onde Δiu ui ui 1 logo tal aproximação será melhor quanto menor for Δiu mas sendo Δiu máxΔiu i 1 2 n temse e portanto Sendo Fx y z px y qx y rx y z analogamente chegase na mesma última conclusão EXEMPLO PROPOSTO 3 58 Uma partícula com 10 unidades de massa está sob ação do peso P e a atração T exercida por uma força localizada na origem de intensidade igual a 5 unidades Calcular o trabalho exercido pela força resultante F para deslocar a partícula do ponto 333 ao ponto 111 Aplicação 01 A integral de uma função real f sobre uma curva C em relação a r por exemplo para F A R3 R é dada por Aplicação 02 A integral de um campo vetorial sobre uma curva C em relação a uma variável do campo por exemplo sendo Fx y z px y z qx y z rx y z a integral de F em relação a x é dada por Aplicação 03 A integral de um campo vetorial F sobre uma curva C em relação a r onde dr dx dy dz é dada por isto é a integral é o vetor cujas coordenadas são as integrais de cada função coordenada de F x dr sobre C ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 8 24 e 28 são as respectivas questões 3 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens 59 Cálculo Integral II Aula 04 Teorema de Green e Aplicações Tópico 01 Teorema de Green O objetivo tópico é estabelecer as condições a fim de que a integral de linha de um campo vetorial sobre certas curvas fechadas possa ser calculada através da integral dupla de uma função que depende das funções coordenadas do campo vetorial sobre a região limitada pelas curvas tal resultado é conhecido como o Teorema de Green TEOREMA DE GREEN George Green 17931841 matemático e físico inglês Conforme foi definido no tópico 1 da aula 1 uma região compacta elementar A R2 é definida simultaneamente pelas desigualdades onde a curva fechada que constitui a fronteira de A é contínua e nesta aula ela será suave por partes É possível considerar um tipo de região mais geral que uma região compacta elementar tal região é união de um número finito de regiões compactas elementares Uma região desse tipo pode ter todos os pontos internos de uma única curva fechada simples ou pode estar entre curvas fechadas simples como nas figuras seguintes respectivamente Orientando positivamente a fronteira de cada subregião compacta elementar de uma região A que é a união de tais subregiões as partes comuns das fronteiras de duas subregiões compactas elementares 60 são orientadas em sentidos contrários apenas as partes não comuns têm uma única orientação isto é apenas a fronteira de A tem apenas uma única orientação OLHANDO DE PERTO Observe nas curvas fechadas que constituem a fronteira de A que a curva externa é orientada positivamente e as curvas internas são orientadas negativamente isto significa que caminhando sobre a fronteira de A e seguindo sua orientação o lado esquerdo é mantido sobre o interior de A Quando a fronteira de uma região A está orientada desta forma dizse que ela está orientada com A à esquerda e é indicada por δA TEOREMA DE GREEN 1 Seja A R2 uma região decomponível num número finito de subregiões compactas elementares Se Fx y px y qx y é de classe C1 em A então DEMONSTRAÇÃO Inicialmente suponha que A é uma região compacta elementar Neste caso a fronteira de A é uma única curva fechada simples δA C orientada positivamente Inicialmente suponha que A é definida por αx x βx com a x b então ou seja Mesmo que além dos gráficos das funções α e β um ou mais segmentos paralelos ao eixo Y façam parte de C como está ilustrado na primeira figura deste tópico a última igualdade ainda vale pois a integral de p em relação a x sobre esses segmentos são iguais a zero Analogamente sendo A definida por θ y x Φy com c y d obtémse 61 Somando membro a membro as duas últimas igualdades temse a demonstração do teorema neste caso particular Suponha agora que a região A possa ser decomposta em um número finito de subregiões compactas elementares A1A2An Sejam C1 C2Cn as fronteiras de A1A2An respectivamente orientadas positivamente Aplicando o resultado obtido inicialmente a cada subregião compacta elementar e a sua fronteira obtémse Somando membro a membro as n igualdades obtidas temse O lado esquerda desta última equação é pois as integrais ao longo de cada arco comum às fronteiras de duas subregiões compactas elementares são feitas duas vezes uma em cada sentido logo quando somadas se cancelam e a soma das integrais sobre a parte restante da fronteira de cada subregião dá a integral de pdx qdy sobre δA O lado direito desta última equação é a integral de sobre A O que conclui a demonstração OLHANDO DE PERTO Observe que se C é a elipse então o teorema de Green não pode ser aplicado para se encontrar o valor da integral dada por 62 pois o campo não é de classe C1 na região limitada por C entretanto posteriormente no exemplo resolvido 2 do tópico 2 desta aula será usada uma aplicação do teorema de Green para obter o valor desta integral de uma forma simples EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral do campo Fx y x2y3 x3y2 sobre a elipse C dada por 4x2 9y2 36 e orientada positivamente SOLUÇÃO Temse Como o campo F a curva C e a região A limitada por C têm as hipótesis do teorema 1 obtémse EXEMPLO PROPOSTO 1 Seja C a fronteira da regão retangular de vértices 00 20 21 e 01 orientada negativamente Calcular a integral do campo Gx y x y3 x2 y sobre C A maioria das aplicações do teorema de Green neste estágio referemse a regiões decomponíveis em um número finito de subregiões compactas elementares entretanto o teorema de Green pode ser estendido para um tipo de região mais geral que uma região decomponível num número finito de sub regiões compactas elementares tal tipo de região será definida a seguir Uma curva fechada simples C em R2 divide o plano em duas subregiões uma limitada que é a subregião interna a C e outra ilimitada que é a subregião exterior a C Uma região A R2 é dita simplesmente conexa se para qualquer curva fechada simples C contida em A a subregião interna a C está contida em A isto é C pode ser contraída a um ponto de forma que a todo instante C permaneça inteiramente contida em A Uma região compacta elementar é uma região simplesmente conexa OLHANDO DE PERTO 63 Nas figuras seguintes a primeira região é simplesmente conexa já a segunda que não contém os pontos da região interna à curva D não é simplesmente conexa Uma região A R2 que pode ser decomposta em um número finito de subregiões simplesmente conexas é dita uma região multiplamente conexa Para efeito de simplificação ao ser escrito que A é multiplamente conexa significa inclusive que A pode ser simplesmente conexa Em particular se A pode ser decomposta em duas subregiões simplesmente conexas A é dita uma região duplamente conexa como a região A ilustrada na última figura à direita e também a seguir onde A1 e A2 são as partes simplesmente conexas de A TEOREMA DE GREEN GENERALIZADO 2 Seja A R2 uma região multiplamente conexa e compacta em que cada sub região simplesmente conexa de A tem como fronteira uma curva suave por partes Se Fx y pxy qxy é de classe C1 em A então onde δA é a fronteira de A orientada com A à esquerda A demonstração do teorema de Green generalizado se A é simplesmente conexa está fora dos objetivos deste tópico uma demonstração pode ser encontrada na referência Se A é decomposta em duas ou mais subregiões simplesmente conexas aplicase o resultado a cada subregião simplesmente conexa e usase o argumento utilizado no final da demonstração do teorema 1 REFERÊNCIA Mathematical Analysis Apostol Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company l960 64 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Se uma região A R2 e sua fronteira δA têm as hipóteses do teorema de Green mostrar que a área de A é dada por SOLUÇÃO Como o campo Fx y y x é de classe C1 em qualquer região do R2 aplicando o teorema de Green obtémse Área de A portanto a área de A é EXEMPLO PROPOSTO 2 Se A é a região do exemplo resolvido 2 mostrar que a área de A pode ainda ser dada por Os resultados do corolário a seguir são geralmente mencionados como os teoremas de Stokes e de Gauss no plano respectivamente Os teoremas de Stokes e Gauss no espaço serão tratados posteriormente neste módulo Corolário Se o campo Fx y p x y qx y a região A e a fronteira δA de A têm as hipóteses do teorema de Green então Hipótese 01 onde T varia conforme a orientação de δA Hipótese 02 onde N aponta para o exterior de A 65 De acordo com a teoria já tratada a fórmula do item a é apenas outra notação para a fórmula do teorema de Green A fórmula do item b é obtida observando que e aplicando o teorema de Green ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Observe nas curvas fechadas que constituem a fronteira de A que a curva externa é orientada positivamente e as curvas internas são orientadas negativamente isto significa que caminhando sobre a fronteira de A e seguindo sua orientação o lado esquerdo é mantido sobre o interior de A Quando a fronteira de uma região A está orientada desta forma dizse que ela está orientada com A à esquerda e é indicada por δA 66 Cálculo Integral II Aula 04 Teorema de Green e Aplicações Tópico 02 Aplicações do Teorema de Green Esta aula é finalizada com algumas aplicações importantes do teorema de Green usadas inclusive para simplificar o cálculo de algumas integrais de linha complexas OLHANDO DE PERTO O teorema 1 a seguir cuja demonstração usa essencialmente o teorema de Green é uma recíproca parcial do teorema 3 do tópico Integral de um Campo Vetorial sobre uma Curva Observe que este teorema juntamente com o teorema 2 do tópico mencionado afirmam a equivalência entre campos vetoriais de duas variáveis conservativos e irrotacionais numa região aberta simplesmente conexa TEOREMA 1 Seja Fx y p x y qx y um campo de classe C1 numa região aberta e simplesmente conexa então independe da curva suave por partes C em R DEMONSTRAÇÃO Seja S uma curva qualquer suave por partes em R ligando os pontos M e N Suponha inicialmente que C e S não se cruzem Seja E a curva fechada simples formada por C e S orientada positivamente e A a região interna a E Então pelo teorema de Green pois sem perda de generalidade é possível considerar sendo assim 67 portanto Suponha agora que C e S se interceptem nos pontos M PoP1 P2 Pn N veja a figura em que n 6 Considere Ci e Si i 1 2 n 1 e os arcos de C e S respectivamente do ponto pi ao ponto pi 1 Aplicando o resultado demonstrado inicialmente obtémse VEJA A FIGURA Somando membro a membro as igualdades obtidas a soma do lado sequerdo é a integral de Fx y sobre C e a soma do lado direito é a integral de sobre S O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular onde C é qualquer curva ligando 0 0 a 2 2 SOLUÇÃO Como o campo Fxy 2x2 y3 3xy2 y é de classe C1 em qualquer região do R2 Sendo pxy 2x2 y3 e qxy 3xy2 y temse para todo xy logo a integral independe da curva C isto é podese escolher qualquer curva S ligando 00 a 22 para obter o valor da integral sobre C Seja S por exemplo a curva parametrizada por fu uu com 0u2 então 68 EXEMPLO PROPOSTO 1 Resolver o exemplo anterior usando o Teorema 2 Seja o campo vetorial F B Rm R m 2 3 contínuo numa região aberta R B então as seguintes afirmações são equivalentes a O campo F é conservativo isto é tem um potencial real em R b A integral independe do caminho suave por partes em R c A equação se verifica para qualquer curva fechada e suave por partes C em R O teorema seguinte dá as condições necessárias para que a integral de um campo vetorial possa ser calculada sobre duas curvas fechadas distintas sem que o seu valor fique inalterado TEOREMA 2 Seja Fx y p x y qx y um campo de classe C1 numa região compacta R Se R está entre duas curvas fechadas simples suaves por partes C1 e C2 onde a fronteira de R é formada por C1 e C2 então se C2 está na região interna a C1 E mais se na região R então DEMONSTRAÇÃO Se C2 está na região interna a C1 a região R é duplamente conexa e a fronteira de R orientada com R à esquerda é constituída pela curva C1 orientada positivamente e a curva C2orientada negativamente Assim aplicando o teorema de Green temse a primeira fórmula Se na região R então decorrente da primeira fórmula 69 O que conclui a demonstração O exemplo resolvido a seguir referese às observações mencionadas no tópico anterior e a respeito da integral do campo sobre a elipse EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular onde a curva C é a elipse SOLUÇÃO Sejam e então para todo xy 00 Logo pelo teorema 2 temse Para qualquer curva fechada simples S contida na região interna ou externa a elipse sejam r tal que a circunferência x2 y2 r2 esteja na região interna ou externa a elipse e S como sendo esta circunferência orientada positivamente ou negativamente Uma parametrização para tal circunferência é dada por ft r cost r sen t com 0 t 2π caso S esteja orientada positivamente logo EXEMPLO PROPOSTO 2 Use o teorema de Green para calcular onde C é a fronteira da região B entre a circunferência x2 y2 1 e a elipse 9x2 4 x2 36 orientada com B à esquerda 70 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 5 10 14 e 22 são as respectivas questões 1 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens 71 Cálculo Integral II Aula 05 Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície Tópico 01 Parametrização de Superfície O termo superfície tem sido utilizado sem que se tenha definido precisamente o que é uma superfície como ocorreu no curso de Cálculo anterior quando foi escrito que uma superfície poderia ser o conjunto das soluções ou gráfico de uma equação da forma Fx y z 0 ou da forma z fx y ou ainda como a imagem de subconjunto do domínio de uma função F A R2 R3 OLHANDO DE PERTO Neste tópico será justificado que sob determinadas restrições uma superfície pode ser definida através das três formas mencionadas além disso será estabelecida a base da integral sobre superfície Um subconjunto S R3 é dito uma superfície parametrizada se existem uma região compacta A R2 com uma fronteira suave por partes e uma função g A R2 R3 tal que S é a imagem de A através de g REGIÃO COMPACTA Tratase de uma região fechada e limitada A função g é dita uma parametrização de S as variáveis u e v de g são denominadas os parâmetros de S e a região A é dita o domínio dos parâmetros de S Cada ponto uv na região A corresponde a um ponto guv em R3 logo se a parametrização de S é definida por gu v g1u v g2u v g3u v as equações são chamadas de equações paramétricas de S Se C é a fronteira de A a imagem de C através de g é uma curva ou várias curvas contidas em S tal imagem é chamada de bordo de S Quando uv movese ao longo da fronteira C de A onde C está 72 orientada com A à esquerda a sua imagem guv percorre o bordo de S e define a orientação positiva do bordo de S segundo a parametrização g O bordo de S positivamente orientado é indicado por δS Na figura seguinte C C1 C2 e δS gC1 gC2 Uma superfície S parametrizada por g A R2 R3 é dita simples se g é injetiva no interior de A unido possivelmente com uma parte da fronteira de A suave se existe um conjunto aberto B A tal que g é de classe C1 em B e regular se os vetores guu v e gvu v são linearmente independentes isto é guu v x gv u v 0 para cada uv no interior de A unido possivelmente com uma parte da fronteira de A Uma superfície S em R3 é dita fechada se ela divide o espaço em duas sub regiões uma limitada chamada de região interna a S e outra ilimitada que é chamada de região externa a S Doravante será usado o termo superfície para indicar uma superfície parametrizada simples suave e regular caso contrário será estabelecido Agora é possível justificar que sob as restrições a serem mencionadas uma superfície S pode ser definida por UMA DAS TRÊS FORMAS CITADAS NO INÍCIO DESTE TÓPICO Se S é definida por zfxy isto é S está definida explicitamente então escrevendo temse S definida implicitamente supondo agora que S está definida implicitamente por e é contínuo e não nulo Por exemplo Fz 0 então pelo teorema da função implícita visto no curso anterior de Cálculo z pode ser explicitada numa vizinhança de cada ponto xy como uma função f de x e y 73 Para finalizar se S está definida explicitamente por z fxy fazendo x u y v e z fu v S estará definida parametricamente por gu v uv fuv se S está parametrizada por guv g1uvg2uvg3 uv então como guuo vo x gvuo vo 0 em algum ponto uo vo no interior de A por exemplo em uo vo pelo teorema da função implícita as equações xo g1uo vo e yo g2uo vo para u e v podem ser resolvidas numa vizinhança V de xo g1 uo vo e yo g2 uovo para u e v como funções de x e y suponha que u f1xy e v f2xy para x y V substituindo u e v em z g3uv temse z g3f1xyf2xy temse z g3f1xyf2xy que define localmente S explicitamente Isto conclui a prova da afirmação Os exemplos seguintes ilustram algumas das superfícies mais comuns com as suas respectivas parametrizações DICA É recomendável uma boa leitura do texto Superfície e Curva Visite a aula online para realizar download deste arquivo EXEMPLO RESOLVIDO 1 Encontrar uma parametrização para a esfera de centro na origem e raio r Veja o exemplo resolvido 1 da terceira parte do texto Superfície e Curva SOLUÇÃO A esfera de centro na origem e raio r está ilustrada na figura seguinte 74 Como está indicado na figura considere v a medida do ângulo determinado pelo eixo Z e o raio da esfera e u a medida do ângulo determinado pela projeção do raio no plano XY e o eixo X Sendo assim um ponto Px y z qualquer da esfera tem coordenadas dadas por por x r cos u sen v yr sen u sen v e zr cosv onde 0 u 2π e 0 v π logo uma parametrização da esfera é dada por gu v r cos u sen v r sen u sen v r cos v com 0 u 2π e 0 v π EXEMPLO PROPOSTO 1 Encontrar uma parametrização para a parte da esfera de centro na origem e raio r no primeiro octante EXEMPLO RESOLVIDO 2 Determinar uma parametrização para o elipsóide de centro na origem e eixos contidos nos eixos coordenados Veja a quarta parte do texto Superfície e Curva SOLUÇÃO Seja o elipsóide dado por Uma parametrização deste elipsóide pode ser obtida usando a parametrização da esfera de centro na origem dada no exemplo resolvido 1 de acordo com o esquema da figura seguinte Na figura h é a parametrização da esfera dada no exemplo resolvido 1 logo fazendo r1 isto é hu v cos u sen v sen u sen v cos v então h transforma o retângulo A na esfera de raio igual a um e pode ser verificado facilmente que fx y z ax by cz transforma a esfera no elipsóide logo g foh dada por gu v a cos u sen v b sen u sen v c cos v transforma o retângulo A dado por 0 u 2π e 0 v π no elipsóide 75 EXEMPLO PROPOSTO 2 Achar uma parametrização para a parte do elipsóide do exemplo resolvido 2 acima do plano XY EXEMPLO RESOLVIDO 3 Se uma reta perpendicular a um plano P movese ao longo de uma curva C contida em P conforme foi visto na segunda parte do texto Superfície e Curva gera uma superfície cilíndrica ou um cilindro Achar uma parametrização para o cilindro a Se P é o plano XY e a curva é parametrizada por fu f1u f2u 0 com a u b b Se P é o plano XZ e C é a circunferência parametrizada por fu cos u 0 sen u com 0 u 2 π SOLUÇÃO a A figura seguinte dá uma ilustração do cilindro Se Qxy0 é um ponto qualquer de C então x f1u e y f2u com a u b logo Rxyz é um ponto qualquer da reta passando por Q daí x f1u y f2 u e z v para algum v Como R é um ponto arbitrário do cilindro S as equações paramétricas de S são x f1u y f2u e z v portanto guv f1 uf2uv com a u b e v é uma parametrização do cilindro b Seguindo um raciocínio análogo ao do ítem a obtémse uma parametrização do cilindro dada por guv cosu v sen u onde 0 u 2π e v EXEMPLO PROPOSTO 3 Achar uma parametrização da arte do cilindro y z2 1 com y 0 e 1 x 1 EXEMPLO RESOLVIDO 4 76 Seja C uma curva num dos planos coordenados P que não intercepta o eixo E de P Conforme foi visto na terceira parte do texto Superfície e Curva quando C gira em torno do eixo E gera uma superfície de revolução Achar uma parametrização da superfície de revolução a Se P é o plano XY o eixo X é o eixo de revolução e a curva C é parametrizada por fu f1u f2u 0 com a u b b Se P é o plano XY o eixo X é o eixo de revolução e C é a circunferência com centro em 0 R 0 e raio r onde R r SOLUÇÃO a A figura seguinte dá uma ilustração da superfície de revolução Sendo um ponto qualquer de com a u b Considere Rxyz obtido pela revolução de em torno do eixo X segundo o ângulo de medida v então x f1u y f2ucosv e z f2usen v onde 0 v 2π Como R é um ponto arbitrário da superfície cilíndrica S as equações paramétricas de S são x f1u y f2ucosv e z f2usenv com a u b e 0 v 2π assim uma parametrização de S é dada por gu v f1u f2u cos v f2u sen v com a u b e 0 v 2π b A circunferência é parametrizada por fu r cosu R rsen u 0 com 0 v 2π Seguindo um raciocínio análogo ao do ítem a obtémse uma parametrização da superfície de revolução dada por guv r cosu R rsen u sen v onde 0 u 2π e 0 v 2π A superfície de revolução é chamada toro de revolução EXEMPLO PROPOSTO 4 Considerando e enunciado do exemplo resolvido 4 achar a superfície de revolução se P é o plano YZ o eixo Y é o eixo de revolução e a curva C é parametrizada por fu com a u b EXEMPLO RESOLVIDO 5 Determinar uma parametrização para o parabolóide elíptico de vértice na origem e eixo igual ao eixo Z Veja a quarta parte do texto Superfície e Curva 77 SOLUÇÃO Seja o parabolóide dado por A figura seguinte ilustra um parabolóide elíptico A função h u v u cos v u sen v u2 transforma a faixa 0 u e 0 v 2 π no parabolóide de revolução z x2 y2 e fxyz ax by z transforma o parabolóide de revolução no parabolóide elíptico assim g u v fohu v au cos v bu sen v u2 com 0 u e 0 v 2 π é uma parametrizaçãodo parabolóide elíptico EXEMPLO PROPOSTO 5 Determinar uma parametrização para o cone elíptico de vértice na origem e eixo igual ao eixo Z onde 0 z c EXEMPLO RESOLVIDO 6 Considere f A R2 R uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região compacta A A parte do gráfico de f corresponde a A é uma superfície do R3 Achar uma parametrização de tal superfície SOLUÇÃO A figura seguinte ilustra a parte do gráfico S de f e sua projeção A no plano XY 78 Cada ponto Qxy0 em A corresponde a um ponto Px y fxy na parte S do gráfico de f assim x u y v e z fu v com u v A são exemplos de equações paramétricas de S ou seja gu v u v fuv onde uv A é uma parametrização de S EXEMPLO PROPOSTO 6 Determinar uma parametrização da parte do plano x y z 1 no primeiro octante Um conjunto S é uma superfície suave por partes se S é constituída por um número finito de superfícies suaves tendo em comum apenas partes de seus bordos Para efeito de simplificação a partir deste momento ao ser escrito que uma superfície S é suave por partes significa que S é constituída por uma única parte suave isto é S é suave ou por um número finito n n 2 de partes suaves Por exemplo o funil obtido pela junção da parte cone x2 y2 z2 onde 2 z 3 com a parte do cilindro x2 y2 4 onde 0 z 2 é uma superfície suave por partes ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 e 4 são os respectivos itens a e b da 1ª questão do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões de 2 até 5 do trabalho serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar 79 Cálculo Integral II Aula 05 Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície Tópico 02 Área e Integral de uma Função Real sobre uma Superfície VERSÃO TEXTUAL Este tópico é iniciado com o conceito de área de uma superfície usando uma parametrização da superfície posteriormente será definida e integral de uma função real de três variáveis sobre uma superfície Este último conceito á básico para chegar na integral de um campo vetorial sobre uma superfície a ser tratado no tópico seguinte desta aula Seja g A R2 R3 uma parametrização de uma superfície S fazendo as variáveis u e v atuarem uma de cada vez como um único parâmetro isto é fixando v ou u respectivamente obtémse as curvas uparâmetro e vparâmetro sobre S assim os vetores guu v e gvu v são tangentes a essas curvas em g u v ou seja tangentes as curvas na extremidade de gu v daí tangentes a S em gu v Logo num ponto u v A onde os vetores guu v e gvu v são linearmente independentes eles determinam um plano tangente a S em gu v e guu v x gvu v é a área do paralelogramo determinado por guu v e gvu v nesse plano tangente Se guu v e gvu v são linearmente dependentes numa vizinhança de um ponto uo vo e guuo vo 0 0 0 ou gvuo vo 0 0 0 então g parametriza localmente uma curva passando por guo vo e guuo vo é tangente à curva em guo vo DICA Veja o exercício 31 do exercitando do tópico anterior EXEMPLO RESOLVIDO 1 Determinar a equação cartesiana do plano tangente ao parabolóide z x2 y2 no ponto 1 1 2 80 SOLUÇÃO Uma parametrização para o parabolóide z x2 y2 é dada por guv u v u2 v2 Assim guuv 1 0 2u e gvuv012v logo guu v x gvu v 2u 2v 1 é normal ao parabolóide para cada uv Temse que g1 1 1 1 2 logo o vetor gu11 x gv1 1 2 2 1 é normal ao parabolóide em 1 1 2 Portanto equação do plano tangente é 2 2 1 x y z 1 1 2 0 isto é 2x 2v z 2 EXEMPLO PROPOSTO 1 Achar a equação do plano tangente ao parabolóide hiperbólico z x2 y2 no ponto 110 PARA DEFINIR A ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE S Considere A o domínio dos parâmetros da superfície S traçando retas paralelas aos eixos U e V a região A é coberta com um número finito de sub regiões retangulares pois A é limitada suponha que seja n o número mínimo dessas subregiões e que R1 R2 Rn sejam as partes dessas subregiões contidas em A Sejam ui vi A um ponto num dos vértices do retângulo de Ri i 1 2 n Δiu e Δiv e os comprimentos dos lados desse retângulo então a área Δiσ da parte de S que corresponde a imagem de Ri através de g é aproximadamente igual a área do paralelogramo tangente a S determinado pelos vetores guui viΔiu e gv ui viΔiv e isto é Δiσ é aproximadamente igual a gu ui vi x gv ui viΔiu Δiv Logo temse que 81 é uma aproximação para a área da superfície S Somas deste tipo estarão mais próximas da área de S quanto maior for o valor de n e menor for a diagonal Δid de cada retângulo Ri assim é intuitivo definir a área da superfície S por onde Δd máxΔid i 1 2 n mas este limite é a integral da função gu u vx gvu v sobre a região A logo O elemento de área da superfície S que é indicado pelo símbolo dσ dσ guu vx gvu v dA Usando a identidade a x b2 a ab b a b2 obtémse uma maneira simples de calcular gu x gv Sendo assim considere E gu gv F gu gv e G gu gv então Logo o elemento de área da superfície S assume a forma e a sua área é Para mostrar que a última fórmula está bem definida resta provar que diferentes parametrizações de uma superfície S conduzem ao mesmo valor σS quando encontrado através da mencionada fórmula Antes é necessária a seguinte consideração sejam S1 e S2 superfícies parametrizadas por f A1 R2 R3 e g A2 R2 R2 respectivamente então têm o mesmo conjunto de pontos se existe uma função α A2 R2 R2 chamada função mudança de parâmetro tal que αA2 A1 isto é A1 e a imagem de A2 através de α e gu v fαu v para todo u v A2 Se α não é a função identidade S1 e S2 têm parametrizações e domínios de parâmetros distintos mas tais superfícies são iguais por terem o mesmo conjunto de pontos TEOREMA 82 Sejam S1 e S2 superfícies com o mesmo conjunto de pontos onde a função mudança de parâmetro α A2 R2 R2 é de classe C1 num conjunto contendo A2 além disso α é injetiva e det αu v 0 em A2 então αS1 αS2 DEMONSTRAÇÃO Sejam f e g como mencionadas por último então Logo usando o corolário do teorema 1 do tópico 1 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla temse mas do tópico 1 desta aula onde guv g1uv g2u v g3u v além disso Onde fr s f1r s f2r s f3r s decorrente da seguinte afirmação vista como aplicação da regra da cadeia ou calculando diretamente e usando a regra da cadeia ou seja pois portanto 83 O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 2 Encontrar a área da esfera x2 y2 z2 4 SOLUÇÃO Uma parametrização desta esfera é dada por gu v 2 cos u sen v 2 sen u sen v 2 cos v com 0 u 2π e 0 v π Assim guu v 2 sen sen v 2 cos u sen v 0 e gvu v 2 cos u cos v 2 sen u cos v 2 sen v Logo E 4 sen2 v F 4 e G 0 Portanto EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a área da parte do parabolóide z x2 y2 interno ao cilindro x2 y2 1 A área de uma superfície suave por partes é definida como a soma das áreas de cada uma das partes suaves Se f B R3 R é uma função tal B contém uma superfície suave S parametrizada g A R2 R3 a integral da função f sobre S é indicada e definida por onde gu ui vi x gv ui viΔiu Δi está sendo considerado como no limite que dá a área de S sendo que ui vi é um ponto arbitrário de Ri Se f é uma função contínua sobre a superfície S este limite se reduz a integral da função fgu v gu ui vi x gv ui vi sobre a região A assim EXEMPLO RESOLVIDO 3 84 Calcular a integral da função sobre a parte do cone x2 y2 z2 entre os planos z 0 e z 1 SOLUÇÃO Uma parametrização de tal superfície é dada por guv u cos v u sen v u com 0 u 1 e 0 v 2 π Assim E 2 F u2 G 0 e f gu v u Portanto EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular a integral da função sobre a parte do parabolóide hiperbólico z x2 y2 interno ao cilindro x2 y2 1 Considere uma lâmina delgada na forma de uma superfície S constituída por um material distribuído uniformemente A superfície ou a lâmina é dita homogênea se a sua massa é diretamente proporcional a sua área Em outras palavras uma superfície S de área σS e massa MS é homogênea se MS cσS A constante de proporcionalidade c á chamada de densidade de área da superfície S Se S é uma superfície nãohomogênea isto é S apresenta uma densidade de área variável definese a densidade de área da superfície no ponto xi yi zi por ΔiM é a massa da parte de S que tem área Δiσ xi yi zi pertence a esta parte de S e Δσ máx Δiσ i 1 2 n EXEMPLO RESOLVIDO 4 Se a densidade de área em qualquer ponto x y z de uma superfície S é uma função contínua ρ de x y z mostrar que pode ser interpretada como a massa da superfície S SOLUÇÃO Suponha que S seja parametrizada por g com domínio A Decompondo a região A em subregiões Ri i 1 2 n do modo que se procedeu para determinar a área de S decompõese também a superfície S em partes Si Si é a imagem de Ri através da função g Se Ui vi é um ponto qualquer de Ri em A então ρgui viΔiσ é uma aproximação da massa de Si onde é a área de Si Assim a massa MS da superfície é aproximadamente igual a 85 Tomando o limite desta soma quando Δσ máx Δiσ i 1 2 n 0 temse a massa de S dada por EXEMPLO PROPOSTO 4 Encontrar para uma superfície suave por partes a Os momentos de massa em relação aos planos coordenados b O centro de massa A integral de uma função real sobre uma superfície suave por partes é definida como a soma das integrais da função sobre cada uma das partes suaves ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 4 e 16 do exercitando são os respectivos itens a e b da questão 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões 3 até 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar 86 Cálculo Integral II Aula 05 Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície Tópico 03 Integral de um Campo Vetorial sobre uma Superfície No tópico anterior foi introduzida a integral de uma função real de três variáveis sobre uma superfície este parágrafo mostra como usar esse tipo de integral para considerar a integral de campo vetorial de três variáveis sobre uma superfície Uma aplicação dessa integral em Física por exemplo é o cálculo do fluxo do campo através da superfície Para definir a integral de um campo vetorial sobre uma superfície S é necessário atribuir a S uma orientação algo semelhante ao que foi feito para definir a integral de uma função ou de um campo vetorial sobre uma curva Numa curva suave C descrita uma única vez uma dada parametrização define uma orientação para C ou seja define um campo vetorial unitário e tangente a C que varia ao longo de C no sentido em que C está orientada Uma maneira de atribuir a uma superfície suave S uma orientação é determinar um campo vetorial N contínuo unitário e normal a S assim dizse que S é orientável quando existe tal campo vetorial Se é escolhida uma parametrização g A R2 R3 para uma superfície suave S tal que os vetores gu u v e gv são linearmente independentes para todo uv no interior de A então g define uma orientação para S onde o campo N é dado por com uv no interior de A É importante alguns comentários sobre orientação Se g B R3 R é uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas são orientáveis todas as superfícies em R3 definidas implicitamente por fx y z c onde c é uma constante tal que fx y z 0 0 0 para xyz na superfície um campo vetorial unitário e normal a superfície por exemplo é o campo vetorial unitário no sentido do gradiente de f Como exemplos de tais superfícies temse esferas cilindros superfícies de revolução e em geral todas as superfícies quádricas Um exemplo clássico de uma superfície suave não orientável é a superfície chamada de faixa de Mobius esta superfície pode ser construída da seguinte maneira considere uma faixa de papel retangular fazendo uma torsão no papel e juntando os vértices opostos do papel a superfície resultante é a faixa de Mobius NULLA MOLLIT EST ELIT 87 August Ferdinand Möbius 1790 1868 astrônomo e matemático alemão descobriu a faixa ou fita de Möbius em 1858 quando pesquisava questões sobre geometria de poliédros propostas a ele pela Academia de Paris Para provar que a faixa de Mobius S não é orientável basta provar que qualquer campo vetorial G contínuo e normal a S anulase em algum ponto de S assim nesse ponto G não define um vetor normal unitário Sendo assim seja C uma curva fechada sobre S como a que está indicada na figura anterior com pontos inicial P e final Q isto é P Q então variando G de P a Q sobre C temse que GP GQ e assim GP é nulo Dizse que uma superfície suave por partes S é orientável quando cada parte suave de S é orientável e tal que as curvas em comum dos bordos de duas partes suaves podem ser orientadas em sentidos opostos As duas figuras a seguir ilustram superfícies suaves por partes orientadas a primeira referese a duas partes de planos a segunda é a parte de um cilindro circular reto com fundo e tampa Observe que a faixa de Mobius pode ser decomposta em duas partes S1 e S2 orientáveis mas quando as partes S1 e S2 se juntam para formar a faixa os bordos comuns de uma das junções não têm orientações opostas 88 Agora é possível definir a integral de um campo vetorial sobre uma superfície Seja F B R3 R3 um campo vetorial tal que B contém uma superfície orientada S Considere N um campo vetorial unitário e normal a S em cada ponto xyz supondo que N defina a orientação de S então a componente normal de F sobre S ou seja a projeção de F em cada direção normal a S dada por FNx y z Fx y z Nx y z é uma função real definida em S O elemento vetorial de área da superfície S que é indicado pelo símbolo dS é definido por dS Ndσ onde dσ é o elemento de área de S A integral da função FN sobre S é dita a integral do campo vetorial F sobre a superfície S e é indicada por isto é Suponha que F é contínuo em S e g A R2 R3 é uma parametrização de S Sendo o campo N dado por unitário e normal a S em cada ponto Nuv define uma orientação para S logo mas logo Ao definir a integral de uma função real sobre uma superfície S não foi levado em consideração a orientação de S uma vez que o valor da integral independe de tal orientação a razão disto é que o elemento de área dσ da superfície S não muda quando muda a orientação de S Entretanto a integral de um campo vetorial sobre uma superfície muda de sinal se a orientação da superfície for invertida pois uma inversão na orientação da superfície muda de sentido o elemento vetorial de área isto é muda de sinal a componente normal do campo vetorial Como diferentes parametrizações de uma superfície podem definir orientações distintas para a superfície a partir deste momento a superfície que tem o mesmo conjunto de pontos de uma superfície orientada S mas com orientação oposta será indicada por 89 EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral do campo F x y z z x 3y2z sobre a parte S do cilindro x2 y2 4 com 0 z 3 e no primeiro octante orientada de forma que os vetores normais apontem para o eixo do cilindro SOLUÇÃO Uma parametrização da parte do cilindro é dada por gu v 2 cos u 2 sen u v com Assim Fgu v v 2 cos u 12 v sen2 u e gu x gvu v 2 cos u 2 sen u 0 Como gu x gv aponta no sentido contrário ao que o problema indica g é uma parametrização de Logo temse EXEMPLO PROPOSTO 1 Calcular a integral do campo Gx y z x y z x y sobre a parte S do parabolóide z x2 y2 com 0 z 2 e no primeiro octante orientada de forma que os vetores normais apontem para o exterior do parabolóide A integral de um campo vetorial F sobre uma superfície suave por partes S é definida como a soma das integrais do campo F sobre cada uma das partes suaves da superfície S EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral do campo Fx y z x y x 2z sobre a calha orientada S dada por y z 0 e 0 x z 1 com 0 x z 1 e y z 0 com 0 x z 1 SOLUÇÃO Sejam S1 e S2 as partes dos planos y z 0 e y z 0 respectivamente de forma que S S1 S2 esteja orientada por exemplo com os bordos de S1 e S2 positivamente orientados Então uma parametrização para S1 é gu v u v v 90 com 0 u v 1 e uma parametrização para S2 é hu v u v v com 0 u v 1 e 1 v 0 Temse Fgu v u v u 2v e guu v x gvu v 0 1 1 assim Temse ainda Fgu v u v u 2v e huu v x hvu v 0 1 1 daí Logo obtémse EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral do campo Gx y z y z z x y sobre a superfície orientada S formada pelo parabolóide z 1 x2 y2 no primeiro octante a parte do plano y 0 interna ao parabolóide com x e z 0 e a parte do plano x 0 com y e z 0 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Considere F B R3 R3 um campo vetorial contínuo representando a velocidade e o sentido do escoamento de um fluido através de uma superfície suave S Mostrar que pode ser interpretada como o fluxo ou taxa de escoamento do fluido através de S SOLUÇÃO Se R é uma região plana e F é um campo constante o fluxo é igual a θR FNAR FNAR onde Fn é a componente de F na direção normal a R e AR é a área de R Seja g A R2 R3 uma parametrização de S Traçando retas paralelas aos eixos U e V com as curvas uparâmetro e vparâmetro correspondentes a tais retas decompõe S em pequenas superfícies S1 S2Sn de áreas iguais a Δ1σ Δ2σ Δnσ respectivamente Seja guivi um ponto arbitrário de Si i 1 2 n então o fluxo de F através de Si é aproximadamente igual a Fgu vNΔiσ Logo uma aproximação para o fluxo θS de F através de S é dado por 91 Tomando o limite desta última soma quando Δσ máx Δiσ i 1 2 n 0 e com Si tendendo ao ponto gui vi obtémse o fluxo de F através de S dado por EXEMPLO PROPOSTO 3 Mostrar que se uma superfície S se contrai a um ponto w então onde N é um vetor unitário e normal a S em w e F é um campo contínuo sobre S São comuns certas aplicações em Física em que são usadas as seguintes integrais de superfícies Aplicação 01 A integral de um campo vetorial F sobre uma superfície S em relação a dσ elemento de área dada por onde Fx y z px y z qx y z rx y z Aplicação 02 A integral de uma função real f sobre uma superfície S em relação a dS elemento vetorial de área é definida por onde N é um campo vetorial unitário e normal a S isto é a integral de f sobre S é a integral do campo vetorial fN sobre S em relação a dσ Aplicação 03 A integral de um campo vetorial F sobre uma superfície S em relação a dS dada por 92 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 4 e 10 do exercitando são as respectivas questões 3 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens 93 Cálculo Integral II Aula 06 Teoremas de Stokes e de Gauss Tópico 01 Teorema de Stokes O teorema de Stokes é uma extensão do corolário a do teorema 2 do tópico Teorema de Green portanto uma extensão do teorema de Green veja o exercício 20 do exercitando deste tópico este determina a igualdade da integral do rotacional de um campo sobre uma superfície com a integral do campo sobre o bordo da superfície TEOREMA DE STOKES George Gabriel Stokes 18191903 físico e matemático irlandês A primeira formulação conhecida desse teorema é devida ao físico e matemático inglês William Thomson 18241907 aparece numa correspondência enviada a Stokes COROLÁRIO A DO TEOREMA 2 DO TÓPICO TEOREMA DE GREEN Corolário Se o campo F x y p x y qx y a região A e a fronteira δA de A têm as hipótesis do teorema de Green então a onde T varia conforme a orientação de δA b onde N aponta para o exterior de A Conforme ficou estabelecido no tópico 1 da aula anterior ao ser escrito que uma superfície S é suave por partes significa que S é constituída por uma única parte suave isto é S é suave ou por um número finito n n 2 de partes suaves além disso conforme definido no tópico 3 da aula anterior S é orientável quando cada parte suave de S é orientável e tal que as curvas em comum dos bordos de duas partes suaves podem ser orientadas em sentidos opostos TEOREMA DE STOKES 1 SSeja S uma superfície em R3 suave por partes e orientada onde cada parte suave tem uma parametrização gi Ai R2 R3 de classe C2 emAi Suponha que Ai é uma região multiplamente conexa e compacta onde cada subregião simplesmente conexa de Ai tem uma fronteira suave por partes Se F é um campo vetorial de classe C1 sobre S então onde δS é o bordo de S positivamente orientado 94 DEMONSTRAÇÃO Seja S uma superfície em R3 suave por partes e orientada onde cada parte suave tem uma parametrização gi Ai R2 R3 de classe C2 em Ai Suponha que Ai é uma região multiplamente conexa e compacta onde cada subregião simplesmente conexa de Ai tem uma fronteira suave por partes Se F é um campo vetorial de classe C1 sobre S então onde δS é o bordo de S positivamente orientado Demonstração Seja F x y p x y Z qx y Z rx y Z então para provar o teorema de Stokes devese mostrar que Será provado que as demonstrações de que decorrem de maneira análoga A soma destas três últimas equações membro a membro dá fórmula do teorema de Stokes Suponha inicialmente que a superfície S é suave e parametrizada por g A R2 R3 Considere a fronteira da região A parametrizada por ht u t vt para a t b e com A orientada à esquerda então ght com a t b é uma parametrização de Assim Se a fronteira de A é suave por partes com mais de uma parte ou formada por várias curvas suaves por partes seja hit ui t vit com a t bi e i 1 2 n e a parametrização de cada uma das partes então 95 onde u ui t e v vi t Esta última integral é sobre a fronteira da região A aplicando o teorema de Green resulta que Como g é de classe C2 em A e F é de classe C1 em S esta última integral sobre A existe O integrando à direita desta última integral é onde é o determinante jacobiano da transformação Substituindo o integrando calculado na última integral obtémse veja o exercício 12 do exercitando do tópico anterior desta aula daí Se a superfície S é suave por partes sejam S1S2Sn as partes suaves de S Pelo que foi demonstrado inicialmente temse assim Nesta última igualdade a soma do lado esquerdo é a integral do x F sobre S enquanto que a soma do lado direito é a integral de F sobre δS O que conclui a demonstração 96 EXEMPLO RESOLVIDO 1 Verificar o teorema de Stokes para o campo F definido por Fx y z 2x y yz2 y2z e a parte da esfera x2 y2 1 onde z 0 SOLUÇÃO Inicialmente seja a integral do x F sobre a parte da esfera S Uma parametrização de S é dada por gu v cos v sen u sen v sen u cos u onde A é a região retangular 0 u π2 e 0 v 2 π Como temse Considere agora a integral de F sobre o bordo positivamente orientado de S Para isto é necessário encontrar antes o bordo positivamente orientado de S encontrando a imagem através de g de cada um dos segmentos que constituem a fronteira da região A orientada com A à esquerda Uma parametrização para o segmento que vai de 0 0 e π2 0 é dada por f1t t 0 com 0 t π2 com logo uma parametrização para sua imagem é dada por gf1t sen t cos t que é a parte da circunferência sobre a semi esfera que vai de 001 A 100 Analogamente determinase a imagem dos outros segmentos orientados resultando no seguinte o segmento que vai de π2 0 a π2 2π tem como imagem a circunferência sobre a semiesfera no plano XY e orientada positivamente o segmento que vai de π2 2π a 0 2π tem como imagem a parte da circunferência sobre a semiesfera que vai de 100 A 001 e o segmento que vai de 0 2π a 0 0 tem como imagem o ponto 001 Logo para encontrar a integral de F sobre δS basta integrar sobre a circunferência de centro na origem e raio igual a um no plano XY e positivamente orientada Uma parametrização para tal circunferência é dada por ft cos t sent t 0 com O t 2 π assim 97 EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar o teorema de Stokes para o campo G definido por Gx y z yz xz xy e a parte do parabolóide z x2 y2 1 ondez 0 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Dar uma interpretação para o x F onde F é um campo vetorial de classe C1 num conjunto aberto A em R3 SOLUÇÃO Sejam D um disco contido em A com centro w e raio r N um vetor unitário com ponto inicial w e normal a D Aplicando o teorema de Stokes a F sobre D e seu bordo C temse O valor da integral curvilínea é a circulação de F ao longo de C e mede a intensidade do campo tangencial a C Assim quando r tende a zero a circulação de F ao longo de C é a medida da intensidade do campo F em w ao girar em torno do eixo determinado por N De acordo com o exemplo 3 do tópico 3 da aula 5 a integral de superfície quando r tende a zero é aproximadamente igual ao x Fw NσD Mas x F w NσD x Fw cos θσD logo a circulação de F em torno de w será maior a medida que o sentido do vetor x Fw se aproxime do sentido do vetor N Portanto o x Fw determina a direção e o sentido em torno da qual a circulação de F é maior possível nas proximidades de w e x Fw mede aproximadamente a intensidade desta circulação EXEMPLO PROPOSTO 2 Mostre que para qualquer superfície fechada S suave por partes e campo vetorial F de classe C1 sobre S 98 Uma região A contida em R3 é dita simplesmente conexa se toda curva fechada C contida em A pode ser contraída continuamente a um ponto de maneira que a todo instante C permaneça inteiramente contida em A Como exemplos de regiões simplesmente conexas tem se Como exemplos de regiões que não são simplesmente conexas temse a região interna a uma esfera a região interna a uma esfera da qual foram excluídos todos os pontos de um diâmetro um paralelepípedo a região interna a um toro de revolução etc a região interna a um cilindro circular reto a região entre duas esferas concêntricas etc Uma região A R3 que pode ser decomposta em um número finito de subregiões simplesmente conexas é dita multiplamente conexa O teorema 2 a seguir cuja demonstração usa o teorema de Stokes é uma recíproca parcial do Teorema 3 do tópico Integral de um Campo Vetorial Independente do Caminho Este teorema juntamente com o teorema 2 do tópico citado por último afirmam a equivalência entre campos vetoriais de três variáveis conservativos e irrotacionais numa região aberta e simplesmente conexa TEOREMA 3 DO TÓPICO INTEGRAL DE UM CAMPO VETORIAL INDEPENDENTE DO CAMINHO Teorema 3 Se F B Rm Rm m 2 3 é um campo vetorial de classe C1 numa região aberta R B e independe da curva suave por partes C R então x FP para todo P R TEOREMA 2 Seja F B R3 R3 um campo de classe C1 numa região aberta e simplesmente conexa R Se x F 0 em R então a integral do campo F independe da curva suave por partes em R 99 PARADA OBRIGATÓRIA A demonstração é análoga a do teorema 1 do tópico Aplicações do Teorema de Green só que inicialmente considere a curva fechada formada por dois caminhos distintos ligando dois pontos de R como bordo de uma superfície contida em R A demonstração está sugerida no exercício 20 do exercitando deste tópico ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 5 e 12 do exercitando são as respectivas itens questões 1 e 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões 3 a 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar 100 Cálculo Integral II Aula 06 Teoremas de Stokes e de Gauss Tópico 02 Teorema de Gauss O teorema de Gauss é uma extensão do corolário b do teorema 2 do tópico 1 da aula Teorema de Green e Aplicações portanto como o teorema de Stokes também é uma extensão do teorema de Green veja o exercício 11 do exercitando deste tópico este dá as condições para que a integral do divergente de um campo vetorial sobre um tipo de região compacta em R3 seja igual a integral desse campo sobre a fronteira da região TEOREMA DE GAUSS Johann Carl Friedrich Gauss 17771855 físico e matemático alemão É também conhecido como teorema do divergente teorema de Ostrogradsky ou teorema de OstrogradskyGauss COROLÁRIO B DO TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA TEOREMA DE GREEN E APLICAÇÕES Corolário Se o campo Fx y px y qx y a região A e a fronteira δS de A têm as hipótesis do teorema de Green então a onde T varia conforme a orientação de δS b onde N aponta para exterior de A Conforme foi definido no tópico 1 da aula Integral Iterada e Múltipla sendo A uma região compacta elementar do R3 então A pode ser definida pelas desigualdades onde a projeção de A no plano XY é uma região compacta elementar do plano XY e os gráficos de θ1 e θ2 são superfícies suaves em R3 É possível considerar ainda um tipo de região em R3 que pode ser decomponível num número finito de subregiões compactas elementares uma região desse tipo pode ser a região interna a uma superfície fechada simples ou pode estar entre superfícies fechadas simples Uma região decomponível em um número finito de subregiões compactas elementares é um caso particular de uma região multiplamente conexa e compacta 101 Sejam S uma superfície fechada simples suave por partes que constitui a fronteira ou parte da fronteira de uma região A em R3 dizse que S está orientada positivamente se os vetores normais a cada parte suave de S são exteriores a A Orientando positivamente a fronteira de cada subregião compacta elementar de uma região A dizse que fronteira de A está orientada positivamente neste caso as partes comuns das fronteiras de duas subregiões compactas elementares são orientadas em sentidos opostos somente as partes não comuns têm uma única orientação ou seja somente a fronteira de A tem apenas uma única orientação A fronteira de A orientada positivamente será indicada por δA TEOREMA DE GAUSS Seja A uma região em R3 decomponível em um número finito de subregiões compactas elementares Se F é um campo vetorial de classe C1 em A então DEMONSTRAÇÃO Seja Fx y z px y z qx y z rx y z então para provar o teorema de Gauss devese mostrar que Será provado que as demonstrações de que são análogas A soma destas três últimas equações membro a membro dá fórmula do teorema de Gauss Inicialmente suponha que A é uma região compacta elementar então a fronteira de A é uma única superfície fechada simples δA S orientada positivamente e A pode ser definida como foi citado Seja A definida por como está ilustrada na figura seguinte 102 Então Por outro lado seja S S1 S2 mais possivelmente algumas partes de cilindros gerados por segmentos paralelos ao eixo Z onde S1 e S2 são os gráficos das funções z θ1x y e z Φ1x y com x y Axy respectivamente Então uma parametrização para pois e para S2 é logo onde Si i34n é a parte de um cilindro gerado por um segmento paralelo ao eixo Z ou seja pois uma vez que a terceira coordenada de qualquer vetor normal a Si é igual a zero daí Assim foi provado que Suponha agora que a região A possa ser decomposta em um número finito de subregiões compactas elementares A1 A2An com fronteiras S1S2Sn respectivamente orientadas positivamente Aplicando o resultado obtido inicialmente a cada subregião Ai i 12n e sua fronteira Si temse 103 Logo membro a membro obtémse portanto O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 1 Verificar o teorema de Gauss para o campo Fx y z x2y y2z xz2 e a região entre as esferas x2 y2 z2 1 e x2 y2 z2 4 SOLUÇÃO Sejam A a região e S a sua fronteira positivamente orientada Inicialmente seja a integral do divergente do campo F sobre a região R entre as esferas Assim Seja agora a integral do campo F sobre S Temse onde S1 e S2 são as esferas de raios 1 e 2 respectivamente com os campos normais exteriores a A Observe que os vetores normais a esfera S1 devem apontar para o centro da esfera Uma parametrização para gu v cos v sen vu sen v sen u cos u com 0 u π e 0 v 2 π e uma parametrização para S2 com o vetor normal exterior é dada por assim e Portanto 104 EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar o teorema de Gauss para o campo Fx y z x2y y2z xz2 e a região exterior a esfera x2 y2 z2 1 interior ao cilindro x2 y2 1 e entre os planos z 0 e z 1 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral do campo Gx y z x2yz xy2z xyz2 sobre a superfície do paralelepípedo dado por 0 x 1 e 0 y z 2 orientado positivamente SOLUÇÃO Do teorema de Gauss temse onde A é o paralelepípedo Assim EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral do campo Gx y z x2y y2z yz2 sobre a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x y z 1 orientado positivamente EXEMPLO RESOLVIDO 3 Se uma região A em R3 e sua fronteira δA têm as hipóteses do teorema de Gauss mostrar que o volume de A é dado por SOLUÇÃO Do teorema de Gauss temse 105 portanto EXEMPLO PROPOSTO 3 Se A é a região do exemplo resolvido 3 mostrar que o volume de A pode ainda ser dado por EXEMPLO RESOLVIDO 4 Se F é um campo vetorial de classe C1 num conjunto aberto A em R3 dar a interpretação para Fw onde w pertence a região A SOLUÇÃO Seja R uma região contendo w no interior de A com R interna a uma superfície fechada suave por partes S positivamente orientada Do teorema de Gauss obtémse Do teorema do valor médio para integrais isto é o teorema 3 d tópico 2 da aula 7 existe tal que onde VR é o volume de R ou seja Tomando o limite nos dois membros desta última equação quando VR tende a zero de maneira que w permaneça no interior da região R temse Portanto o divergente de um campo vetorial num ponto é a razão do fluxo do campo em torno do ponto por unidade de volume 106 EXEMPLO PROPOSTO 4 Seja A a região compacta e entre duas superfícies fechadas suaves por partes S1 e S2 onde S1 está na região interna a S2 ou viceversa Se F é um campo de classe C1 em A e F é solenoidal em A mostre que onde os campos normais a S1 e S2 são exteriores a região A A maioria das aplicações do teorema de Gauss neste estágio referemse a regiões em decomponíveis em um número finito de subregiões compactas elementares entretanto o teorema de Gauss vale para uma região A R3 multiplamente conexa e compacta em que cada subregião simplesmente conexa de A tem como fronteira uma superfície suave por partes Uma versão do teorema de Gauss para regiões até mais gerais do que a mencionada pode ser encontrada na referência Doravante o teorema de Gauss será usado para regiões multiplamente conexas e compactas REFERÊNCIA VOL2 Lima Elon Lages Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPQ Rio de Janeiro 1999 PARADA OBRIGATÓRIA Para concluir este tópico serão vistos dois exemplos onde o primeiro mostra que o fato de um campo ser solenoidal em geral não implica que ele tenha um potencial vetorial como foi visto no estudo do divergente o segundo exemplo referese a lei de Gauss para o campo elétrico tratase de um importante resultado muito utilizado na Teoria Eletromagnética Não serão dados exemplos propostos correspondentes mas é bom lembrar só aprende Matemática aquele que resolve exercícios EXEMPLO RESOLVIDO 5 Seja A R3 0 0 0 e Fx y z r3 r onde r x e1 y e2 z e3 mostrar que F é solenoidal em A mas F não tem um potencial vetorial em A SOLUÇÃO Através de cálculo direto do divergente de F temse Fx y z 0 para x y z 0 0 0 logo F é solenoidal em A Considere agora A1 uma região compacta interna a uma superfície fechada suave por partes S e de forma que 000 seja um ponto interior de A1 então existe uma esfera S1 de centro em 000 e raio a contida em A além disso a região compacta entre S1 e S é simplesmente conexa e F é de classe C1 em Logo pelo teorema de Gauss 107 onde está orientada com os vetores normais a S1 apontando para a origem e com os vetores normais a S apontando para o exterior de S1 assim veja o exemplo proposto 4 deste tópico Portanto não existe um campo vetorial G tal que F x G em A pois se existisse uma vez que S é fechada Veja o exemplo proposto 2 do tópico anterior deste aula EXEMPLO RESOLVIDO 6 Se E é o campo elétrico produzido pelas cargas q1 q2 qn a lei de Gauss para o campo elétrico estabelece que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada suave por partes S é Qε se as cargas estão no interior da região compacta A interna a S e é 0 se as cargas estão fora de A onde Q q1 q2 qn é a carga total Demonstrar a lei de Gauss para o campo elétrico SOLUÇÃO O fluxo do campo elétrico roduzido pela carga é dado por veja o exemplo resolvido 3 do tópico 3 da aula anterior O fluxo do campo elétrico E é a soma dos fluxos que cada carga produz Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com a carga q1 localizada no ponto Px i yi zi então CAMPO ELÉTRICO A interação elétrica entre duas cargas isto é partículas carregadas em repouso é dada pela lei de Coulomb tal lei que decorre de observações experimentais estabelece que a intesidade da força elétrica F que atua numas das cargas q1 e q2 é igual a F 14π q1 q2d2 onde ε é uma constante chamada de permissividade do meio e d é a distância entre cargas Uma região onde a carga experimenta um força é chamada de campo elétrico tal força decorre de outras cargas na região A intensidade do campo elétrico E num ponto é definida como a força dividida pela carga colocada no ponto isto é E Fq1 e q1 é a carga colocada no ponto Considerando F q1 q4πεd2 a intesidade da força produzida pela carga q sobre q1 à distância d de q intensidade do campo elétrico no ponto onde q1 é colocada é E q4πεd2 108 Suponha inicialmente que A não contém Pi isto é qi está fora de A então pelo teorema de Gauss mas Ei 0 para x y z xi yi zi logo portanto o fluxo de E através de S é igual a zero Se qi está no interior de A então não é possível aplicar diretamente o teorema de Gauss para determinar o fluxo pois Ei não está definida em Pi Para calcular o fluxo de Ei através de S sejam Si uma esfera de raio r com centro em Pi de forma que Si esteja no interior da região A e a região entre Si e S sendo assim temse onde está orientada positivamente como obtém se Portanto encontrouse que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 9 e 14 do exercitando são as respectivas questões 3 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens 109