Função Real de Várias Variáveis e Gráfico - Aula 03

Cálculo Diferencial II Aula 03 Função Real de Várias Variáveis e Gráfico Tópico Único Função Real de Várias Variáveis e Gráfico VERSÃO TEXTUAL No inicio do primeiro curso de Cálculo foi introduzido o conceito de função em geral o objetivo inicial deste tópico é apresentar a função real de várias variáveis posteriormente será definido gráfico de tal função e sua representação geométrica quando possível A parte teórica é finalizada tratando da composição da função real de várias variáveis com outras funções já apresentadas Uma função real de m m 23r variáveis f A R uma função onde o seu domínio A é um subconjunto do Rm O símbolo f A Rm R também é usado para que não haja dúvida sobre o conjunto universo que contém A entretanto se A Rm indicase apenas f R Rm Logo uma função real f de m variáveis associa cada ponto P A Rm a um único número real w que é indicado por As variáveis x1 x2 xm são chamadas de variáveis independentes e w de variável dependente da função f A imagem fAde f é o subconjunto dos números reais constituído pelos valores de w tais que w fx1 x2 xm e x1 x2 xm A ou seja É comum se referir a uma função real de várias variáveis mencionando apenas o domínio A e a equação lei de formação ou regra que determina como são definidos os valores de w para x1 x2 xm A se na definição da função apenas a equação for dada ou seja o domínio não for indicado significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pontos do Rm onde a equação tem sentido Definindo uma função através de uma equação é indispensável estabelecer quais são as variáveis da equação que serão independentes assim determinando também a variável dependente Por exemplo a equação x 2y 2z 1 pode definir três funções de duas variáveis com domínio igual ao R2 ou seja fazendo como variáveis independentes x e y que dá como variável dependente y e z que conduz a x 1 2y 2z como variável dependente e x e z que determina como variável dependente Nas funções de duas variáveis é comum usar x e y como variáveis independentes assim resta z ser a variável dependente três variáveis normalmente se utiliza x y e z como variáveis independentes e w fica como variável dependente por exemplo EXEMPLO RESOLVIDO 1 Achar o domínio das seguintes funções e ilustrar através de uma figura SOLUÇÃO ITEM A a O domínio de f é o conjunto dos pares ordenados xy para os quais x y 0 ou seja x y Logo o domínio de f é o conjunto dos pontos que estão sobre e abaixo da reta y x e está na figura seguinte SOLUÇÃO ITEM B b Um par ordenado xy está no domínio de g se x2 y2 1 0 ou seja se x2 y2 1 Assim o domínio de g é o conjunto dos pontos exteriores ao círculo de centro na origem e raio unitário O domínio de g está na figura seguinte SOLUÇÃO ITEM C c O domínio de h é o conjunto das triplas xyz tais que x y 0 isto é x y Como y 0 define um plano em R3 o domínio de h é o R3 menos os pontos deste plano O domínio de h está ilustrado na seguinte Exemplo Proposto 1 Mostrar que o domínio da função dada está na figura abaixo Uma função polinomial de duas variáveis f é uma função em que fxy é uma soma de termos da forma amnxmyn onde amn é um número real fixo e m e n são inteiros não negativos O grau da função polinomial de variáveis x e y é o maior dos números dentre as somas dos expoentes de x e y em cada termo O domínio de uma função polinomial de duas variáveis é o R2 Por exemplo fx y 2x4y2 x2y3 x y 1 é uma função polinomial de grau seis Uma função racional de duas variáveis g é definida por onde p e q são funções polinomiais de duas variáveis O domínio de g é o conjunto dos pares xy para os quais qx y 0 Por exemplo é uma função racional de duas variáveis e o domínio de g é o R2 menos os pontos das retas x1 e y1 O gráfico Gf de uma função f A Rm R é o conjunto de todos os pontos x1 x2 xm w do Rm 1 onde w fx1 x2 xm e x1 x2 xm A isto é Se uma equação nas variáveis x y e z define uma função f então o gráfico de f é também dito de uma superfície do R3 A representação geométrica do gráfico de f é a representação de todos os pontos x y z Gf num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em R3 para efeito de simplificação um esboço de tal representação geométrica será doravante mencionado como o gráfico de f ou superfície f Cada par xy no domínio de f corresponde a um único valor de z na imagem de f logo o gráfico de f não pode ser interceptado em mais de um ponto por alguma reta paralela ao eixo Z Sejam f A Rm R é e c um valor na imagem de f então o conjunto dos pontos tais que fP c é chamado de conjunto de nível de f correspondente ao nível c Se m 2 e z fxy o conjunto de nível de f correspondente ao nível z c pode definir uma curva no plano XY de equação fxy c quando isto acontece tal conjunto é chamado de curva de nível de f correspondente ao nível z c neste caso observe que tal curva é a projeção no plano XY da curva de interseção do gráfico de f com o plano z c Se m 3 e wfxyz é possível que o conjunto de nível de f correspondente ao nível w c defina uma superfície no R3 de equação fxyz c tal conjunto é chamado de superfície de nível de f correspondente ao nível w c Um método eficiente para visualizar geometricamente o gráfico de uma função real de duas variáveis consiste no seguinte considerando valores de c na imagem da função obtêmse curvas de níveis da função que ao serem elevadas a c unidades ou abaixadas c unidades conforme seja c 0 ou c 0 respectivamente do plano XY determinam curvas do gráfico paralelas ao plano XY isto é curvas do gráfico em planos paralelos ao plano z 0 além disso podem também considerar as curvas de interseções do gráfico com os planos coordenados caso existam Com esse conjunto de curvas do gráfico temse uma visualização geométrica do gráfico da função Se a equação que define uma função real de duas variáveis for uma equação de primeiro grau isto é uma equação de um plano ou uma das equações estudadas no texto Superfície e Curva Visite a aula online para realizar download deste arquivo indicado na ajuda do tópico da aula 1 o gráfico da função é o mesmo gráfico da equação EXEMPLO RESOLVIDO 2 Fazer o gráfico de cada uma das seguintes funções a fx y x y 1 b gx y 4x2 y2 c hx y y2 x2 d jx y lnx2 y2 SOLUÇÃO ITEM A a Seja z x y 1 então se por exemplo z 0 e z 1 obtémse as retas x y 1 e x y 2 no plano XY que são as curvas de níveis de f correspondentes a tais valores Em geral se z c temse a reta x y c 1 no plano XY As interseções do gráfico de f com os planos x 0 e y 0 são as retas e Assim o gráfico de f é o plano que está na figura seguinte De fato como f é definida por uma equação do primeiro grau em x y e z o gráfico de f é uma superfície plana SOLUÇÃO ITEM B b Seja z 4x2 y2 considerando z 0 e z c 0 temse 4x2 y2 0 e 4x2 y2 c Então z 0 corresponde a origem e as curvas de níveis de g correspondentes a z c são elipses com centro na origem e eixos sobre os eixos coordenados Fazendo x 0 e y 0 na equação z 4x2 y2 obtémse z y2 e z 4x2 respectivamente Assim as interseções do gráfico de g com os planos YZ e XZ são as parábolas e Portanto o gráfico de g é o parabolóide elíptico que está na figura seguinte O parabolóide pode também ser obtido observando que a equação z 4x2 y2 é um caso particular da equação dada em Superfícies Quádricas que faz parte do texto Superfície e Curva SOLUÇÃO ITEM C c Seja z y2 x2 considerando z 0 e z c 0 temse y2 x2 0 e y2 x2 c Então as curvas de níveis de h correspondentes a z 0 são as retas y x e y x z c 0 são hipérboles cujos eixos coincidem com o eixo Y z c 0 são hipérboles cujos eixos coincidem com o eixo X Fazendo x 0 e y 0 na equação z y2 x2 temse z y2 e z x2 respectivamente Assim as interseções do gráfico de h com os planos YZ e XZ são as parábolas e Logo o gráfico de h é o parabolóide hiperbólico na figura seguinte O parabolóide hiperbólico ainda pode ser obtido observando que a equação z y2 x2 é um caso particular da equação do item f de Superfícies Quádricas que faz parte do texto Superfície e Curva SOLUÇÃO ITEM D d Sendo jxy ln x2 y2 o domínio de j é o R2 menos a origem pois devese ter x2 y2 0 para que xy esteja no domínio de j Seja z ln x2 y2 então z 0 se 0 x2 y2 1 e z 0 se x2 y2 1 ou seja a imagem de j é o conjunto dos números reais Considerando z 0 e z c 0 temse x2 y2 1 e x2 y2 ec onde 0 ec 1 se c 0 e ec 1 se c 0 Então as curvas de níveis de j são circunferências de centro na origem Assim o gráfico de j é a superfície de revolução gerada pela revolução da curva em torno do eixo Z O gráfico de j encontrase na figura seguinte Exemplo Proposto 2 Mostrar que o gráfico da função dada está na figura abaixo É possível efetuar a composição de uma função real de várias variáveis com outras funções já definidas como segue a Se g I R Rn e f A Rn R então f g é definida por fg fgx e é uma função real de uma unidade variável real b Se g A Rm R e f I R R então fg é definida por fgx1 x2 xm fgx1 x2 xm e é uma função real de m variáveis A fim de exemplificar tal composição considere a situação em b onde e então Em a e b se m 1 é uma função real de uma variável real essa composição foi estudada no primeiro curso de Cálculo ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 7 8 18 25 e 32 do exercitando são as respectivas questões 1 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens