Coordenadas Polares: Gráfico e Área - Aula 06

Cálculo Integral I Aula 06 Coordenadas Polares Gráfico e Área Tópico 01 Coordenadas polares e gráfico A parte do Cálculo referente a funções reais de uma variável foi efetuada no sistema de coordenadas cartesianas planas entretanto existem outros tipos de coordenadas no plano que também são úteis para o desenvolvimento do Cálculo Este tópico apresenta o primeiro dos tais sistemas outros sistemas serão estudados em cursos posteriores O sistema de coordenadas polares usa como referencial para localizar um ponto no plano um semieixo positivo na horizontal crescente da esquerda para a direita A origem do semieixo é chamada de pólo e o semieixo é dito o eixo polar Se um ponto Pr θ no plano está em coordenadas polares r e onde r 0 então r significa a distância de P ao pólo e θ é a medida em radianos do ângulo orientado isto é é positivo se o ângulo for medido no sentido antihorário e negativo quando medido no sentido horário O plano tendo como referencial o sistema de coordenadas polares é chamado de plano polar As figuras ilustram o eixo polar a origem do sistema polar e um ponto em coordenadas polares chamando atenção para as medidas de ângulo positivos ou negativos Qualquer ponto de coordenadas r e θ 2nπ onde n é inteiro está na mesma posição do ponto Pr θ desta forma um ponto no plano polar tem uma infinidade de pares de coordenadas polares o pólo é determinado por 0 θ onde θ é qualquer número real As figuras ilustram o mesmo ponto P com a segunda coordenada polar tendo valores diferentes obtidos no caso geral n 1 e n 1 A fim de considerar pontos com a primeira coordenada polar negativa convencionase que os pontos Q r θ e P r θ onde r 0 são simétricos em relação ao pólo A figura mostra o ponto Q com a primeira coordenada polar negativa EXEMPLO RESOLVIDO 1 Fazer uma figura mostrando o ponto Determinar pares de coordenadas para A em que a r 0 e 2π θ 0 b a r 0 e 0 θ 2π c r 0 e 2π θ 0 SOLUÇÃO A figura seguinte mostra o ponto A O ângulo é determinado no sentido antihorário pois é positivo e o segmento tem duas unidades de comprimento As figuras seguintes mostram o ponto A nas condições mencionadas em a b e c respectivamente Em a em b e em c EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Fazer uma figura mostrando o ponto e provar que as coordenadas polares de B nas condições dadas são como estão indicadas a seguir a b c Para estabelecer as relações entre as coordenadas cartesianas x y e as coordenadas polares r de um ponto P considere os eixos X e Y nas posições usuais de forma que a origem coincida com o pólo assim o semieixo positivo do eixo X coincide com o eixo polar A figura mostra o ponto P em coordenadas cartesiana e polares Inicialmente observe que se r 0 então x 0 cosθ e y 0 senθ para todo θ R Se então o ponto P está ilustrado na figura anterior assim e daí x r cosθ e y r senθ Sendo r 0 os pontos P r θ e Q r θ estão ilustrados na figura seguinte A figura mostra o ponto P em coordenadas cartesiana e polares quando r 0 Logo ou seja r r cos θ e y r senθ Assim temse as fórmulas de mudança das coordenadas cartesianas para as coordenadas polares dadas por Das relações anteriores temse x2 y2 r2 cos2θ r2 sen2 θ r2 cos2θ sen2θ r2 e y x rsenθrcosθ tgθ isto é as fórmulas de mudança das coordenadas polares para as coordenadas cartesianas são As quatro equações obtidas relacionam as coordenadas cartesianas com as coordenadas polares de um ponto Utilizando estas equações encontramse equações em coordenadas cartesianas equivalentes a equações em coordenadas polares e reciprocamente O exemplo seguinte ilustra o procedimento EXEMPLO RESOLVIDO 2 Dadas as equações encontrar as equações equivalentes no outro tipo de coordenadas a x2 y22 4 x2 y2 b r 2 senθ SOLUÇÃO A a Sendo x2 y2 r2 x r cosθ e y r senθ substituindo x e y na equação dada temse r22 4 r cosθ2 r senθ2 4r2 r cos2θ r sen2θ 4 r2 cos 2 θ assim logo r 0 ou O conjunto dos pontos em que r 0 é formado apenas pelo pólo o conjunto dos pontos em que contém o pólo pois r 0 se Portanto é a equação em coordenadas polares equivalente a equação dada em coordenadas cartesianas SOLUÇÃO B b Temse multiplicando os dois lados da equação por r achase Substituindo ou seja é a equação em coordenadas cartesianas equivalente a equação dada em coordenadas polares EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Mostrar a equivalência dada partindo do lado esquerdo a b Uma equação polar é uma equação Frθ 0 nas coordenadas polares r e θ O gráfico de uma equação polar é a representação no plano polar de todos os pontos tais que suas coordenadas satisfaçam a equação É comum esse gráfico representar uma curva no plano polar Um método para fazer o gráfico de uma equação polar às vezes muito eficaz consiste em fazer o gráfico da equação cartesiana equivalente É óbvio que se uma equação cartesiana é equivalente a uma equação polar então elas têm o mesmo gráfico Portanto a equação r a a constante equivale a x2 y2 a2 assim o gráfico de r a é a circunferência de centro no polo e raio a e θ θo θ constante equivale a isto é tgθox y 0 logo o gráfico de θ θo é uma reta contendo o polo EXEMPLO RESOLVIDO 3 Fazer os gráficos das equações polares dadas SOLUÇÃO A a Sendo temse r2cos θ sen θ 2 ou seja 2 r cos θ r sen θ 2 assim 2x y 2 que é uma reta A reta está na figura seguinte SOLUÇÃO B b Multiplicando os dois lados da equação r 2 sen θ por r obtémse r2 2r senθ dai x2 y2 2y Esta última equação pode ser escrita na forma x 0 2 y 12 1 e seu gráfico é uma circunferência de raio 1 e centro em 01 Assim o gráfico da equação polar dada é a referida circunferência A circunferência está na figura seguinte EXERCÍCIO PROPOSTO 3 Fazer os gráficos das equações polares indicadas Certas equações polares são equivalentes a equações cartesianas bastante complexas como acontece com a equação polar r2 4 cos2θ que é equivalente a equação cartesiana x2 y22 4x2 y2 conforme foi visto no exemplo resolvido 2a Em tais casos não é recomendável usar o método já dado para fazer o gráfico da equação polar isto é devese obter as informações sobre o gráfico da própria equação polar As informações seguintes são úteis para fazer o gráfico de uma equação polar Informação 01 1 Determinar os valores de possíveis de serem atribuídos na equação Informação 02 2 Verificar se o gráfico é simétrico em relação as retas 0 que contém o eixo polar e que é perpendicular ao eixo polar no pólo e ao pólo O gráfico de uma equação polar é simétrico em relação a À reta 0 se uma equação equivalente é encontrada quando r é substituído por b À reta se uma equação equivalente é obtida quando r é substituído por c Ao pólo se uma equação equivalente é achada quando r é substituído por Para verificar as regras de simetrias basta observar as figuras seguintes onde em cada uma aparecem o ponto Q simétrico ao ponto Pr nas situações a b e c respectivamente As figuras ilustram o ponto P e o seu ponto simétrico Q com a mesma primeira coordenada e a primeira coordenada de valor simétrico O Ponto R é somente para achar a coordenada r de Q Informação 03 3 Verificar se o pólo está sobre o gráfico Isto só acontece quando se faz r 0 na equação polar e a equação em tem solução Informação 04 4 Encontrar os intervalos em que r é crescente ou decrescente isto é os intervalos em que o gráfico se afasta ou se aproxima do pólo respectivamente Informação 05 5 Determinar alguns pontos do gráfico O exemplo seguinte ilustra como fazer o gráfico de uma equação polar utilizando as informações obtidas diretamente da equação polar EXEMPLO RESOLVIDO 4 Fazer os gráficos das equações SOLUÇÃO A a Os valores de θ possíveis em r2 4 cos 2θ são aqueles para os quais cos 2θ 0 assim Na equação r2 4 cos 2θ substituindo rθ por r θ temser r2 4cos2π θ 4 cos 2θ Logo o gráfico é simétrico em relação as retas θ 0 e assim fazendo a parte do gráfico correspondente a o restante será obtido pelas simetrias Fazendo r 0 na equação r2 4 cos2θ temse 4cos 2θ 0 cujas soluções são da forma onde n é inteiro logo o polo está no gráfico Como ou seja r é decrescente em Os pontos estão no gráfico da equação Com as informações obtidas fazse o gráfico que está na figura seguinte SOLUÇÃO B b Qualquer valor de θ é possível na equação r 1 senθ Na equação r 1 senθ substituindo r θ por r θ obtémse r 1 senθ 1 sen θ que não é equivalente a equação dada entretanto se deve testar a outra alternativa então substituindo rθ por rπθ temse r 1 senπ θ 1 sen θ que também não é equivalente a equação dada substituindo r θ por rπ θ temse r 1 senπ θ 1 senθ Logo o gráfico não é simétrico em relação à reta θ 0 mas é simétrico em relação à reta Assim fazendo a parte do gráfico correspondente a o restante será obtido pela simetria Fazendo r 0 na equação r 1 sen θ temse 1 sen θ 0 que tem soluções da forma onde n é inteiro assim o pólo está no gráfico Como isto é r é crescente em Os pontos estão no gráfico da equação Com as informações obtidas fazse o gráfico da equação que está na figura seguinte EXERCÍCIO PROPOSTO 4 Mostrar que o gráfico da equação dada é o da figura indicada A seguir estão relacionados os gráficos de algumas equações polares Limaçon Os gráficos das equações r ab cosθ e r ab senθ onde a e b são constantes nãonulas são chamados de limaçon Nos casos seguintes os gráficos são apenas as curvas as posições dos gráficos em relação ao eixo polar dependem da equação e do sinal entretanto o eixo da curva que é a reta na cor laranja está sempre sobre o eixo polar ou é da reta θ π2 e a curva está voltada para direita como nas figuras ou esquerda para baixo ou para cima Se a b o gráfico tem a forma seguinte b Se a b o gráfico tem o nome particular de cardióide e tem a forma seguinte c Se a b o gráfico tem a forma seguinte Lemniscata O gráfico da equação r2 a2 cos2θ onde a é uma constante nãonula é chamado de lemniscata e tem forma seguinte Rosa de duas pétalas O gráfico da equação r2 a2 sen2θ onde a é uma constante nãonula é chamado de rosa de duas pétalas e tem a forma seguinte Rosácea de n pétalas O gráfico de uma equação da forma r a cosnθ ou do tipo ra sennθ onde a é uma constante nãonula e n2 é chamado de rosácea de n pétalas se n é ímpar e rosácea de 2n pétalas se n é par Por exemplo a Se n2 b Se n 3 Espiral parabólica O gráfico da equação ra2 bθ onde a e b0 são constantes é chamado de espiral parabólica e tem a forma seguinte O exemplo seguinte ilustra casos particulares de gráficos das mencionadas equações polares EXEMPLO RESOLVIDO 5 Fazer os gráficos das equações SOLUÇÃO A aTratase de uma limaçon com a b 2 portanto com a informação sobre o modelo de limaçon b podese obter o seu gráfico a partir de alguns pontos Por exemplo os pontos de interseção do gráfico com o eixo polar e a reta Marcando os pontos obtidos e usando a informação sobre o modelo do gráfico temse o gráfico da equação dada na figura a seguir SOLUÇÃO B b O gráfico de é uma rosa de três pétalas com a 2 Os pontos da rosácea mais distantes do pólo são usando tais pontos e o modelo do gráfico obtémse o gráfico da equação dada na figura a seguir EXERCÍCIO PROPOSTO 5 Fazer os gráficos das equações dadas usando os modelos ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo Esta atividade é um trabalho constituído por duas questões retiradas de exercícios do exercitando de acordo como segue 1ª Questão questão 03 2ª Questão questão 31 É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Cálculo Integral I Aula 06 Coordenadas Polares Gráfico e Área Tópico 02 Área de uma Região no Plano Polar Na aula 3 estudouse área de uma região no plano usando coordenadas cartesianas ortogonais com o estudo de gráficos de equações polares Neste tópico será feito um estudo análogo à área de uma região no plano utilizando coordenadas polares Para definir área de uma região no plano polar utilizase o procedimento que foi adotado para definir área de uma região no plano cartesiano que consiste no limite de uma soma de Riemann A fim de formular a soma de Riemann associada a uma região no plano polar será considerada como base a definição de área de um setor circular ÁREA DE UMA REGIÃO ENTRE DUAS RETAS CONTENDO O PÓLO E UMA CURVA Inicialmente seja a região R limitada pela curva dada por r θ e as retas θ α e θ β onde f é uma função contínua em α β e fθ 0 para θ α beta A figura ilustra uma região do tipo definido Considere uma divisão do intervalo α beta em n subintervalos θi 1 θi i 12n onde α θ0 e β θn e ci um valor em θi 1 θ n tal divisão decompões a região R em n subregiões Ri associadas aos subintervalos onde Ri e limitada pela curva r fθ e as retas θ tretai 1 e θ θi A figura ilustra as considerações do último paragrafo A área de Ri é aproximadamente igual a 12fci2 Δiθ assim a área A de R que é a soma das áreas de cada subregião Ri é aproximadamente igual a soma das áreas dos n setores circulares correspondentes as subregiões Ri isto é Desta forma a área pode ser definida por onde Δ máximo Δiθ i 12n ou seja EXEMPLO RESOLVIDO 1 Encontrar a área da região limitada pelo laço menor da limaçon r 1 2 cosθ SOLUÇÃO A Região R está indicada na figura seguinte A região é simétrica em relação ao eixo polar daí sua área é duas vezes a área da parte acima do eixo A fim de formular a integral definida para obter a área do laço menor acima do eixo polar devese achar uma variação de correspondente a esta parte do laço isto é variando de Portanto temse EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que a área da região limitada pelo laço maior da limaçon r 1 2 cosθ e exterior ao laço menor é igual a ÁREA DE UMA REGIÃO ENTRE DUAS RETAS CONTENDO O PÓLO E DUAS CURVAS Considere agora a região R limitada pelas curvas dadas por r gθ e r fθ e as retas θ α e θ β onde f e g são funções contínuas em α β suponha que ainda gθ fθ em α β e os arcos dos gráficos de g e f correspondentes ao intervalos α β estão do mesmo lado do pólo A figura ilustra uma região do tipo definido Procedendo similarmente ao caso tratado inicialmente concluíse que a área A de R pode ser difinida por EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a área da região exterior à circunferência r1 interna à lemniscata r2 2 cos θ e à direita da reta COMANDO LEGAL DO PROCESSO ADMINISTRATIVO A região R está indicada na figura seguinte A região R é simétrica em relação ao eixo polar logo sua área é duas vezes a área da parte acima do eixo polar O ponto de interseção da circunferência e a lemniscata acima do eixo polar à direita da reta Assim fazendo variar de 0 a obtémse os arcos das curvas do eixo polar ao ponto Portanto EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Provar que a área da região exterior à circunferência e interna à circunferência r 2 cosθ é igual a ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é a continuação do trabalho iniciado no tópico anterior constituído por três questões retiradas de exercícios do Exercitando de acordo como segue 3ª Questão questão 05 4ª Questão questão 07 5ª Questão questão 13 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Fontes das Imagens