Aula 06: Teoremas de Stokes e de Gauss

Cálculo Integral II Aula 06 Teoremas de Stokes e de Gauss Tópico 01 Teorema de Stokes O teorema de Stokes é uma extensão do corolário a do teorema 2 do tópico Teorema de Green portanto uma extensão do teorema de Green veja o exercício 20 do exercitando deste tópico este determina a igualdade da integral do rotacional de um campo sobre uma superfície com a integral do campo sobre o bordo da superfície TEOREMA DE STOKES George Gabriel Stokes 18191903 físico e matemático irlandês A primeira formulação conhecida desse teorema é devida ao físico e matemático inglês William Thomson 18241907 aparece numa correspondência enviada a Stokes COROLÁRIO A DO TEOREMA 2 DO TÓPICO TEOREMA DE GREEN Corolário Se o campo F x y p x y qx y a região A e a fronteira δA de A têm as hipótesis do teorema de Green então a onde T varia conforme a orientação de δA b onde N aponta para o exterior de A Conforme ficou estabelecido no tópico 1 da aula anterior ao ser escrito que uma superfície S é suave por partes significa que S é constituída por uma única parte suave isto é S é suave ou por um número finito n n 2 de partes suaves além disso conforme definido no tópico 3 da aula anterior S é orientável quando cada parte suave de S é orientável e tal que as curvas em comum dos bordos de duas partes suaves podem ser orientadas em sentidos opostos TEOREMA DE STOKES 1 SSeja S uma superfície em R3 suave por partes e orientada onde cada parte suave tem uma parametrização gi Ai R2 R3 de classe C2 emAi Suponha que Ai é uma região multiplamente conexa e compacta onde cada subregião simplesmente conexa de Ai tem uma fronteira suave por partes Se F é um campo vetorial de classe C1 sobre S então onde δS é o bordo de S positivamente orientado DEMONSTRAÇÃO Seja S uma superfície em R3 suave por partes e orientada onde cada parte suave tem uma parametrização gi Ai R2 R3 de classe C2 em Ai Suponha que Ai é uma região multiplamente conexa e compacta onde cada subregião simplesmente conexa de Ai tem uma fronteira suave por partes Se F é um campo vetorial de classe C1 sobre S então onde δS é o bordo de S positivamente orientado Demonstração Seja F x y p x y Z qx y Z rx y Z então para provar o teorema de Stokes devese mostrar que Será provado que as demonstrações de que decorrem de maneira análoga A soma destas três últimas equações membro a membro dá fórmula do teorema de Stokes Suponha inicialmente que a superfície S é suave e parametrizada por g A R2 R3 Considere a fronteira da região A parametrizada por ht u t vt para a t b e com A orientada à esquerda então ght com a t b é uma parametrização de Assim Se a fronteira de A é suave por partes com mais de uma parte ou formada por várias curvas suaves por partes seja hit ui t vit com a t bi e i 1 2 n e a parametrização de cada uma das partes então onde u ui t e v vi t Esta última integral é sobre a fronteira da região A aplicando o teorema de Green resulta que Como g é de classe C2 em A e F é de classe C1 em S esta última integral sobre A existe O integrando à direita desta última integral é onde é o determinante jacobiano da transformação Substituindo o integrando calculado na última integral obtémse veja o exercício 12 do exercitando do tópico anterior desta aula daí Se a superfície S é suave por partes sejam S1S2Sn as partes suaves de S Pelo que foi demonstrado inicialmente temse assim Nesta última igualdade a soma do lado esquerdo é a integral do x F sobre S enquanto que a soma do lado direito é a integral de F sobre δS O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 1 Verificar o teorema de Stokes para o campo F definido por Fx y z 2x y yz2 y2z e a parte da esfera x2 y2 1 onde z 0 SOLUÇÃO Inicialmente seja a integral do x F sobre a parte da esfera S Uma parametrização de S é dada por gu v cos v sen u sen v sen u cos u onde A é a região retangular 0 u π2 e 0 v 2 π Como temse Considere agora a integral de F sobre o bordo positivamente orientado de S Para isto é necessário encontrar antes o bordo positivamente orientado de S encontrando a imagem através de g de cada um dos segmentos que constituem a fronteira da região A orientada com A à esquerda Uma parametrização para o segmento que vai de 0 0 e π2 0 é dada por f1t t 0 com 0 t π2 com logo uma parametrização para sua imagem é dada por gf1t sen t cos t que é a parte da circunferência sobre a semi esfera que vai de 001 A 100 Analogamente determinase a imagem dos outros segmentos orientados resultando no seguinte o segmento que vai de π2 0 a π2 2π tem como imagem a circunferência sobre a semiesfera no plano XY e orientada positivamente o segmento que vai de π2 2π a 0 2π tem como imagem a parte da circunferência sobre a semiesfera que vai de 100 A 001 e o segmento que vai de 0 2π a 0 0 tem como imagem o ponto 001 Logo para encontrar a integral de F sobre δS basta integrar sobre a circunferência de centro na origem e raio igual a um no plano XY e positivamente orientada Uma parametrização para tal circunferência é dada por ft cos t sent t 0 com O t 2 π assim EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar o teorema de Stokes para o campo G definido por Gx y z yz xz xy e a parte do parabolóide z x2 y2 1 ondez 0 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Dar uma interpretação para o x F onde F é um campo vetorial de classe C1 num conjunto aberto A em R3 SOLUÇÃO Sejam D um disco contido em A com centro w e raio r N um vetor unitário com ponto inicial w e normal a D Aplicando o teorema de Stokes a F sobre D e seu bordo C temse O valor da integral curvilínea é a circulação de F ao longo de C e mede a intensidade do campo tangencial a C Assim quando r tende a zero a circulação de F ao longo de C é a medida da intensidade do campo F em w ao girar em torno do eixo determinado por N De acordo com o exemplo 3 do tópico 3 da aula 5 a integral de superfície quando r tende a zero é aproximadamente igual ao x Fw NσD Mas x F w NσD x Fw cos θσD logo a circulação de F em torno de w será maior a medida que o sentido do vetor x Fw se aproxime do sentido do vetor N Portanto o x Fw determina a direção e o sentido em torno da qual a circulação de F é maior possível nas proximidades de w e x Fw mede aproximadamente a intensidade desta circulação EXEMPLO PROPOSTO 2 Mostre que para qualquer superfície fechada S suave por partes e campo vetorial F de classe C1 sobre S Uma região A contida em R3 é dita simplesmente conexa se toda curva fechada C contida em A pode ser contraída continuamente a um ponto de maneira que a todo instante C permaneça inteiramente contida em A Como exemplos de regiões simplesmente conexas tem se Como exemplos de regiões que não são simplesmente conexas temse a região interna a uma esfera a região interna a uma esfera da qual foram excluídos todos os pontos de um diâmetro um paralelepípedo a região interna a um toro de revolução etc a região interna a um cilindro circular reto a região entre duas esferas concêntricas etc Uma região A R3 que pode ser decomposta em um número finito de subregiões simplesmente conexas é dita multiplamente conexa O teorema 2 a seguir cuja demonstração usa o teorema de Stokes é uma recíproca parcial do Teorema 3 do tópico Integral de um Campo Vetorial Independente do Caminho Este teorema juntamente com o teorema 2 do tópico citado por último afirmam a equivalência entre campos vetoriais de três variáveis conservativos e irrotacionais numa região aberta e simplesmente conexa TEOREMA 3 DO TÓPICO INTEGRAL DE UM CAMPO VETORIAL INDEPENDENTE DO CAMINHO Teorema 3 Se F B Rm Rm m 2 3 é um campo vetorial de classe C1 numa região aberta R B e independe da curva suave por partes C R então x FP para todo P R TEOREMA 2 Seja F B R3 R3 um campo de classe C1 numa região aberta e simplesmente conexa R Se x F 0 em R então a integral do campo F independe da curva suave por partes em R PARADA OBRIGATÓRIA A demonstração é análoga a do teorema 1 do tópico Aplicações do Teorema de Green só que inicialmente considere a curva fechada formada por dois caminhos distintos ligando dois pontos de R como bordo de uma superfície contida em R A demonstração está sugerida no exercício 20 do exercitando deste tópico ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 5 e 12 do exercitando são as respectivas itens questões 1 e 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões 3 a 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Integral II Aula 06 Teoremas de Stokes e de Gauss Tópico 02 Teorema de Gauss O teorema de Gauss é uma extensão do corolário b do teorema 2 do tópico 1 da aula Teorema de Green e Aplicações portanto como o teorema de Stokes também é uma extensão do teorema de Green veja o exercício 11 do exercitando deste tópico este dá as condições para que a integral do divergente de um campo vetorial sobre um tipo de região compacta em R3 seja igual a integral desse campo sobre a fronteira da região TEOREMA DE GAUSS Johann Carl Friedrich Gauss 17771855 físico e matemático alemão É também conhecido como teorema do divergente teorema de Ostrogradsky ou teorema de OstrogradskyGauss COROLÁRIO B DO TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA TEOREMA DE GREEN E APLICAÇÕES Corolário Se o campo Fx y px y qx y a região A e a fronteira δS de A têm as hipótesis do teorema de Green então a onde T varia conforme a orientação de δS b onde N aponta para exterior de A Conforme foi definido no tópico 1 da aula Integral Iterada e Múltipla sendo A uma região compacta elementar do R3 então A pode ser definida pelas desigualdades onde a projeção de A no plano XY é uma região compacta elementar do plano XY e os gráficos de θ1 e θ2 são superfícies suaves em R3 É possível considerar ainda um tipo de região em R3 que pode ser decomponível num número finito de subregiões compactas elementares uma região desse tipo pode ser a região interna a uma superfície fechada simples ou pode estar entre superfícies fechadas simples Uma região decomponível em um número finito de subregiões compactas elementares é um caso particular de uma região multiplamente conexa e compacta Sejam S uma superfície fechada simples suave por partes que constitui a fronteira ou parte da fronteira de uma região A em R3 dizse que S está orientada positivamente se os vetores normais a cada parte suave de S são exteriores a A Orientando positivamente a fronteira de cada subregião compacta elementar de uma região A dizse que fronteira de A está orientada positivamente neste caso as partes comuns das fronteiras de duas subregiões compactas elementares são orientadas em sentidos opostos somente as partes não comuns têm uma única orientação ou seja somente a fronteira de A tem apenas uma única orientação A fronteira de A orientada positivamente será indicada por δA TEOREMA DE GAUSS Seja A uma região em R3 decomponível em um número finito de subregiões compactas elementares Se F é um campo vetorial de classe C1 em A então DEMONSTRAÇÃO Seja Fx y z px y z qx y z rx y z então para provar o teorema de Gauss devese mostrar que Será provado que as demonstrações de que são análogas A soma destas três últimas equações membro a membro dá fórmula do teorema de Gauss Inicialmente suponha que A é uma região compacta elementar então a fronteira de A é uma única superfície fechada simples δA S orientada positivamente e A pode ser definida como foi citado Seja A definida por como está ilustrada na figura seguinte Então Por outro lado seja S S1 S2 mais possivelmente algumas partes de cilindros gerados por segmentos paralelos ao eixo Z onde S1 e S2 são os gráficos das funções z θ1x y e z Φ1x y com x y Axy respectivamente Então uma parametrização para pois e para S2 é logo onde Si i34n é a parte de um cilindro gerado por um segmento paralelo ao eixo Z ou seja pois uma vez que a terceira coordenada de qualquer vetor normal a Si é igual a zero daí Assim foi provado que Suponha agora que a região A possa ser decomposta em um número finito de subregiões compactas elementares A1 A2An com fronteiras S1S2Sn respectivamente orientadas positivamente Aplicando o resultado obtido inicialmente a cada subregião Ai i 12n e sua fronteira Si temse Logo membro a membro obtémse portanto O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 1 Verificar o teorema de Gauss para o campo Fx y z x2y y2z xz2 e a região entre as esferas x2 y2 z2 1 e x2 y2 z2 4 SOLUÇÃO Sejam A a região e S a sua fronteira positivamente orientada Inicialmente seja a integral do divergente do campo F sobre a região R entre as esferas Assim Seja agora a integral do campo F sobre S Temse onde S1 e S2 são as esferas de raios 1 e 2 respectivamente com os campos normais exteriores a A Observe que os vetores normais a esfera S1 devem apontar para o centro da esfera Uma parametrização para gu v cos v sen vu sen v sen u cos u com 0 u π e 0 v 2 π e uma parametrização para S2 com o vetor normal exterior é dada por assim e Portanto EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar o teorema de Gauss para o campo Fx y z x2y y2z xz2 e a região exterior a esfera x2 y2 z2 1 interior ao cilindro x2 y2 1 e entre os planos z 0 e z 1 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral do campo Gx y z x2yz xy2z xyz2 sobre a superfície do paralelepípedo dado por 0 x 1 e 0 y z 2 orientado positivamente SOLUÇÃO Do teorema de Gauss temse onde A é o paralelepípedo Assim EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral do campo Gx y z x2y y2z yz2 sobre a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x y z 1 orientado positivamente EXEMPLO RESOLVIDO 3 Se uma região A em R3 e sua fronteira δA têm as hipóteses do teorema de Gauss mostrar que o volume de A é dado por SOLUÇÃO Do teorema de Gauss temse portanto EXEMPLO PROPOSTO 3 Se A é a região do exemplo resolvido 3 mostrar que o volume de A pode ainda ser dado por EXEMPLO RESOLVIDO 4 Se F é um campo vetorial de classe C1 num conjunto aberto A em R3 dar a interpretação para Fw onde w pertence a região A SOLUÇÃO Seja R uma região contendo w no interior de A com R interna a uma superfície fechada suave por partes S positivamente orientada Do teorema de Gauss obtémse Do teorema do valor médio para integrais isto é o teorema 3 d tópico 2 da aula 7 existe tal que onde VR é o volume de R ou seja Tomando o limite nos dois membros desta última equação quando VR tende a zero de maneira que w permaneça no interior da região R temse Portanto o divergente de um campo vetorial num ponto é a razão do fluxo do campo em torno do ponto por unidade de volume EXEMPLO PROPOSTO 4 Seja A a região compacta e entre duas superfícies fechadas suaves por partes S1 e S2 onde S1 está na região interna a S2 ou viceversa Se F é um campo de classe C1 em A e F é solenoidal em A mostre que onde os campos normais a S1 e S2 são exteriores a região A A maioria das aplicações do teorema de Gauss neste estágio referemse a regiões em decomponíveis em um número finito de subregiões compactas elementares entretanto o teorema de Gauss vale para uma região A R3 multiplamente conexa e compacta em que cada subregião simplesmente conexa de A tem como fronteira uma superfície suave por partes Uma versão do teorema de Gauss para regiões até mais gerais do que a mencionada pode ser encontrada na referência Doravante o teorema de Gauss será usado para regiões multiplamente conexas e compactas REFERÊNCIA VOL2 Lima Elon Lages Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPQ Rio de Janeiro 1999 PARADA OBRIGATÓRIA Para concluir este tópico serão vistos dois exemplos onde o primeiro mostra que o fato de um campo ser solenoidal em geral não implica que ele tenha um potencial vetorial como foi visto no estudo do divergente o segundo exemplo referese a lei de Gauss para o campo elétrico tratase de um importante resultado muito utilizado na Teoria Eletromagnética Não serão dados exemplos propostos correspondentes mas é bom lembrar só aprende Matemática aquele que resolve exercícios EXEMPLO RESOLVIDO 5 Seja A R3 0 0 0 e Fx y z r3 r onde r x e1 y e2 z e3 mostrar que F é solenoidal em A mas F não tem um potencial vetorial em A SOLUÇÃO Através de cálculo direto do divergente de F temse Fx y z 0 para x y z 0 0 0 logo F é solenoidal em A Considere agora A1 uma região compacta interna a uma superfície fechada suave por partes S e de forma que 000 seja um ponto interior de A1 então existe uma esfera S1 de centro em 000 e raio a contida em A além disso a região compacta entre S1 e S é simplesmente conexa e F é de classe C1 em Logo pelo teorema de Gauss onde está orientada com os vetores normais a S1 apontando para a origem e com os vetores normais a S apontando para o exterior de S1 assim veja o exemplo proposto 4 deste tópico Portanto não existe um campo vetorial G tal que F x G em A pois se existisse uma vez que S é fechada Veja o exemplo proposto 2 do tópico anterior deste aula EXEMPLO RESOLVIDO 6 Se E é o campo elétrico produzido pelas cargas q1 q2 qn a lei de Gauss para o campo elétrico estabelece que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada suave por partes S é Qε se as cargas estão no interior da região compacta A interna a S e é 0 se as cargas estão fora de A onde Q q1 q2 qn é a carga total Demonstrar a lei de Gauss para o campo elétrico SOLUÇÃO O fluxo do campo elétrico roduzido pela carga é dado por veja o exemplo resolvido 3 do tópico 3 da aula anterior O fluxo do campo elétrico E é a soma dos fluxos que cada carga produz Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com a carga q1 localizada no ponto Px i yi zi então CAMPO ELÉTRICO A interação elétrica entre duas cargas isto é partículas carregadas em repouso é dada pela lei de Coulomb tal lei que decorre de observações experimentais estabelece que a intesidade da força elétrica F que atua numas das cargas q1 e q2 é igual a F 14π q1 q2d2 onde ε é uma constante chamada de permissividade do meio e d é a distância entre cargas Uma região onde a carga experimenta um força é chamada de campo elétrico tal força decorre de outras cargas na região A intensidade do campo elétrico E num ponto é definida como a força dividida pela carga colocada no ponto isto é E Fq1 e q1 é a carga colocada no ponto Considerando F q1 q4πεd2 a intesidade da força produzida pela carga q sobre q1 à distância d de q intensidade do campo elétrico no ponto onde q1 é colocada é E q4πεd2 Suponha inicialmente que A não contém Pi isto é qi está fora de A então pelo teorema de Gauss mas Ei 0 para x y z xi yi zi logo portanto o fluxo de E através de S é igual a zero Se qi está no interior de A então não é possível aplicar diretamente o teorema de Gauss para determinar o fluxo pois Ei não está definida em Pi Para calcular o fluxo de Ei através de S sejam Si uma esfera de raio r com centro em Pi de forma que Si esteja no interior da região A e a região entre Si e S sendo assim temse onde está orientada positivamente como obtém se Portanto encontrouse que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 9 e 14 do exercitando são as respectivas questões 3 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens