Aula 05: Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície

Cálculo Integral II Aula 05 Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície Tópico 01 Parametrização de Superfície O termo superfície tem sido utilizado sem que se tenha definido precisamente o que é uma superfície como ocorreu no curso de Cálculo anterior quando foi escrito que uma superfície poderia ser o conjunto das soluções ou gráfico de uma equação da forma Fx y z 0 ou da forma z fx y ou ainda como a imagem de subconjunto do domínio de uma função F A R2 R3 OLHANDO DE PERTO Neste tópico será justificado que sob determinadas restrições uma superfície pode ser definida através das três formas mencionadas além disso será estabelecida a base da integral sobre superfície Um subconjunto S R3 é dito uma superfície parametrizada se existem uma região compacta A R2 com uma fronteira suave por partes e uma função g A R2 R3 tal que S é a imagem de A através de g REGIÃO COMPACTA Tratase de uma região fechada e limitada A função g é dita uma parametrização de S as variáveis u e v de g são denominadas os parâmetros de S e a região A é dita o domínio dos parâmetros de S Cada ponto uv na região A corresponde a um ponto guv em R3 logo se a parametrização de S é definida por gu v g1u v g2u v g3u v as equações são chamadas de equações paramétricas de S Se C é a fronteira de A a imagem de C através de g é uma curva ou várias curvas contidas em S tal imagem é chamada de bordo de S Quando uv movese ao longo da fronteira C de A onde C está orientada com A à esquerda a sua imagem guv percorre o bordo de S e define a orientação positiva do bordo de S segundo a parametrização g O bordo de S positivamente orientado é indicado por δS Na figura seguinte C C1 C2 e δS gC1 gC2 Uma superfície S parametrizada por g A R2 R3 é dita simples se g é injetiva no interior de A unido possivelmente com uma parte da fronteira de A suave se existe um conjunto aberto B A tal que g é de classe C1 em B e regular se os vetores guu v e gvu v são linearmente independentes isto é guu v x gv u v 0 para cada uv no interior de A unido possivelmente com uma parte da fronteira de A Uma superfície S em R3 é dita fechada se ela divide o espaço em duas sub regiões uma limitada chamada de região interna a S e outra ilimitada que é chamada de região externa a S Doravante será usado o termo superfície para indicar uma superfície parametrizada simples suave e regular caso contrário será estabelecido Agora é possível justificar que sob as restrições a serem mencionadas uma superfície S pode ser definida por UMA DAS TRÊS FORMAS CITADAS NO INÍCIO DESTE TÓPICO Se S é definida por zfxy isto é S está definida explicitamente então escrevendo temse S definida implicitamente supondo agora que S está definida implicitamente por e é contínuo e não nulo Por exemplo Fz 0 então pelo teorema da função implícita visto no curso anterior de Cálculo z pode ser explicitada numa vizinhança de cada ponto xy como uma função f de x e y Para finalizar se S está definida explicitamente por z fxy fazendo x u y v e z fu v S estará definida parametricamente por gu v uv fuv se S está parametrizada por guv g1uvg2uvg3 uv então como guuo vo x gvuo vo 0 em algum ponto uo vo no interior de A por exemplo em uo vo pelo teorema da função implícita as equações xo g1uo vo e yo g2uo vo para u e v podem ser resolvidas numa vizinhança V de xo g1 uo vo e yo g2 uovo para u e v como funções de x e y suponha que u f1xy e v f2xy para x y V substituindo u e v em z g3uv temse z g3f1xyf2xy temse z g3f1xyf2xy que define localmente S explicitamente Isto conclui a prova da afirmação Os exemplos seguintes ilustram algumas das superfícies mais comuns com as suas respectivas parametrizações DICA É recomendável uma boa leitura do texto Superfície e Curva Visite a aula online para realizar download deste arquivo EXEMPLO RESOLVIDO 1 Encontrar uma parametrização para a esfera de centro na origem e raio r Veja o exemplo resolvido 1 da terceira parte do texto Superfície e Curva SOLUÇÃO A esfera de centro na origem e raio r está ilustrada na figura seguinte Como está indicado na figura considere v a medida do ângulo determinado pelo eixo Z e o raio da esfera e u a medida do ângulo determinado pela projeção do raio no plano XY e o eixo X Sendo assim um ponto Px y z qualquer da esfera tem coordenadas dadas por por x r cos u sen v yr sen u sen v e zr cosv onde 0 u 2π e 0 v π logo uma parametrização da esfera é dada por gu v r cos u sen v r sen u sen v r cos v com 0 u 2π e 0 v π EXEMPLO PROPOSTO 1 Encontrar uma parametrização para a parte da esfera de centro na origem e raio r no primeiro octante EXEMPLO RESOLVIDO 2 Determinar uma parametrização para o elipsóide de centro na origem e eixos contidos nos eixos coordenados Veja a quarta parte do texto Superfície e Curva SOLUÇÃO Seja o elipsóide dado por Uma parametrização deste elipsóide pode ser obtida usando a parametrização da esfera de centro na origem dada no exemplo resolvido 1 de acordo com o esquema da figura seguinte Na figura h é a parametrização da esfera dada no exemplo resolvido 1 logo fazendo r1 isto é hu v cos u sen v sen u sen v cos v então h transforma o retângulo A na esfera de raio igual a um e pode ser verificado facilmente que fx y z ax by cz transforma a esfera no elipsóide logo g foh dada por gu v a cos u sen v b sen u sen v c cos v transforma o retângulo A dado por 0 u 2π e 0 v π no elipsóide EXEMPLO PROPOSTO 2 Achar uma parametrização para a parte do elipsóide do exemplo resolvido 2 acima do plano XY EXEMPLO RESOLVIDO 3 Se uma reta perpendicular a um plano P movese ao longo de uma curva C contida em P conforme foi visto na segunda parte do texto Superfície e Curva gera uma superfície cilíndrica ou um cilindro Achar uma parametrização para o cilindro a Se P é o plano XY e a curva é parametrizada por fu f1u f2u 0 com a u b b Se P é o plano XZ e C é a circunferência parametrizada por fu cos u 0 sen u com 0 u 2 π SOLUÇÃO a A figura seguinte dá uma ilustração do cilindro Se Qxy0 é um ponto qualquer de C então x f1u e y f2u com a u b logo Rxyz é um ponto qualquer da reta passando por Q daí x f1u y f2 u e z v para algum v Como R é um ponto arbitrário do cilindro S as equações paramétricas de S são x f1u y f2u e z v portanto guv f1 uf2uv com a u b e v é uma parametrização do cilindro b Seguindo um raciocínio análogo ao do ítem a obtémse uma parametrização do cilindro dada por guv cosu v sen u onde 0 u 2π e v EXEMPLO PROPOSTO 3 Achar uma parametrização da arte do cilindro y z2 1 com y 0 e 1 x 1 EXEMPLO RESOLVIDO 4 Seja C uma curva num dos planos coordenados P que não intercepta o eixo E de P Conforme foi visto na terceira parte do texto Superfície e Curva quando C gira em torno do eixo E gera uma superfície de revolução Achar uma parametrização da superfície de revolução a Se P é o plano XY o eixo X é o eixo de revolução e a curva C é parametrizada por fu f1u f2u 0 com a u b b Se P é o plano XY o eixo X é o eixo de revolução e C é a circunferência com centro em 0 R 0 e raio r onde R r SOLUÇÃO a A figura seguinte dá uma ilustração da superfície de revolução Sendo um ponto qualquer de com a u b Considere Rxyz obtido pela revolução de em torno do eixo X segundo o ângulo de medida v então x f1u y f2ucosv e z f2usen v onde 0 v 2π Como R é um ponto arbitrário da superfície cilíndrica S as equações paramétricas de S são x f1u y f2ucosv e z f2usenv com a u b e 0 v 2π assim uma parametrização de S é dada por gu v f1u f2u cos v f2u sen v com a u b e 0 v 2π b A circunferência é parametrizada por fu r cosu R rsen u 0 com 0 v 2π Seguindo um raciocínio análogo ao do ítem a obtémse uma parametrização da superfície de revolução dada por guv r cosu R rsen u sen v onde 0 u 2π e 0 v 2π A superfície de revolução é chamada toro de revolução EXEMPLO PROPOSTO 4 Considerando e enunciado do exemplo resolvido 4 achar a superfície de revolução se P é o plano YZ o eixo Y é o eixo de revolução e a curva C é parametrizada por fu com a u b EXEMPLO RESOLVIDO 5 Determinar uma parametrização para o parabolóide elíptico de vértice na origem e eixo igual ao eixo Z Veja a quarta parte do texto Superfície e Curva SOLUÇÃO Seja o parabolóide dado por A figura seguinte ilustra um parabolóide elíptico A função h u v u cos v u sen v u2 transforma a faixa 0 u e 0 v 2 π no parabolóide de revolução z x2 y2 e fxyz ax by z transforma o parabolóide de revolução no parabolóide elíptico assim g u v fohu v au cos v bu sen v u2 com 0 u e 0 v 2 π é uma parametrizaçãodo parabolóide elíptico EXEMPLO PROPOSTO 5 Determinar uma parametrização para o cone elíptico de vértice na origem e eixo igual ao eixo Z onde 0 z c EXEMPLO RESOLVIDO 6 Considere f A R2 R uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região compacta A A parte do gráfico de f corresponde a A é uma superfície do R3 Achar uma parametrização de tal superfície SOLUÇÃO A figura seguinte ilustra a parte do gráfico S de f e sua projeção A no plano XY Cada ponto Qxy0 em A corresponde a um ponto Px y fxy na parte S do gráfico de f assim x u y v e z fu v com u v A são exemplos de equações paramétricas de S ou seja gu v u v fuv onde uv A é uma parametrização de S EXEMPLO PROPOSTO 6 Determinar uma parametrização da parte do plano x y z 1 no primeiro octante Um conjunto S é uma superfície suave por partes se S é constituída por um número finito de superfícies suaves tendo em comum apenas partes de seus bordos Para efeito de simplificação a partir deste momento ao ser escrito que uma superfície S é suave por partes significa que S é constituída por uma única parte suave isto é S é suave ou por um número finito n n 2 de partes suaves Por exemplo o funil obtido pela junção da parte cone x2 y2 z2 onde 2 z 3 com a parte do cilindro x2 y2 4 onde 0 z 2 é uma superfície suave por partes ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 e 4 são os respectivos itens a e b da 1ª questão do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões de 2 até 5 do trabalho serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Integral II Aula 05 Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície Tópico 02 Área e Integral de uma Função Real sobre uma Superfície VERSÃO TEXTUAL Este tópico é iniciado com o conceito de área de uma superfície usando uma parametrização da superfície posteriormente será definida e integral de uma função real de três variáveis sobre uma superfície Este último conceito á básico para chegar na integral de um campo vetorial sobre uma superfície a ser tratado no tópico seguinte desta aula Seja g A R2 R3 uma parametrização de uma superfície S fazendo as variáveis u e v atuarem uma de cada vez como um único parâmetro isto é fixando v ou u respectivamente obtémse as curvas uparâmetro e vparâmetro sobre S assim os vetores guu v e gvu v são tangentes a essas curvas em g u v ou seja tangentes as curvas na extremidade de gu v daí tangentes a S em gu v Logo num ponto u v A onde os vetores guu v e gvu v são linearmente independentes eles determinam um plano tangente a S em gu v e guu v x gvu v é a área do paralelogramo determinado por guu v e gvu v nesse plano tangente Se guu v e gvu v são linearmente dependentes numa vizinhança de um ponto uo vo e guuo vo 0 0 0 ou gvuo vo 0 0 0 então g parametriza localmente uma curva passando por guo vo e guuo vo é tangente à curva em guo vo DICA Veja o exercício 31 do exercitando do tópico anterior EXEMPLO RESOLVIDO 1 Determinar a equação cartesiana do plano tangente ao parabolóide z x2 y2 no ponto 1 1 2 SOLUÇÃO Uma parametrização para o parabolóide z x2 y2 é dada por guv u v u2 v2 Assim guuv 1 0 2u e gvuv012v logo guu v x gvu v 2u 2v 1 é normal ao parabolóide para cada uv Temse que g1 1 1 1 2 logo o vetor gu11 x gv1 1 2 2 1 é normal ao parabolóide em 1 1 2 Portanto equação do plano tangente é 2 2 1 x y z 1 1 2 0 isto é 2x 2v z 2 EXEMPLO PROPOSTO 1 Achar a equação do plano tangente ao parabolóide hiperbólico z x2 y2 no ponto 110 PARA DEFINIR A ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE S Considere A o domínio dos parâmetros da superfície S traçando retas paralelas aos eixos U e V a região A é coberta com um número finito de sub regiões retangulares pois A é limitada suponha que seja n o número mínimo dessas subregiões e que R1 R2 Rn sejam as partes dessas subregiões contidas em A Sejam ui vi A um ponto num dos vértices do retângulo de Ri i 1 2 n Δiu e Δiv e os comprimentos dos lados desse retângulo então a área Δiσ da parte de S que corresponde a imagem de Ri através de g é aproximadamente igual a área do paralelogramo tangente a S determinado pelos vetores guui viΔiu e gv ui viΔiv e isto é Δiσ é aproximadamente igual a gu ui vi x gv ui viΔiu Δiv Logo temse que é uma aproximação para a área da superfície S Somas deste tipo estarão mais próximas da área de S quanto maior for o valor de n e menor for a diagonal Δid de cada retângulo Ri assim é intuitivo definir a área da superfície S por onde Δd máxΔid i 1 2 n mas este limite é a integral da função gu u vx gvu v sobre a região A logo O elemento de área da superfície S que é indicado pelo símbolo dσ dσ guu vx gvu v dA Usando a identidade a x b2 a ab b a b2 obtémse uma maneira simples de calcular gu x gv Sendo assim considere E gu gv F gu gv e G gu gv então Logo o elemento de área da superfície S assume a forma e a sua área é Para mostrar que a última fórmula está bem definida resta provar que diferentes parametrizações de uma superfície S conduzem ao mesmo valor σS quando encontrado através da mencionada fórmula Antes é necessária a seguinte consideração sejam S1 e S2 superfícies parametrizadas por f A1 R2 R3 e g A2 R2 R2 respectivamente então têm o mesmo conjunto de pontos se existe uma função α A2 R2 R2 chamada função mudança de parâmetro tal que αA2 A1 isto é A1 e a imagem de A2 através de α e gu v fαu v para todo u v A2 Se α não é a função identidade S1 e S2 têm parametrizações e domínios de parâmetros distintos mas tais superfícies são iguais por terem o mesmo conjunto de pontos TEOREMA Sejam S1 e S2 superfícies com o mesmo conjunto de pontos onde a função mudança de parâmetro α A2 R2 R2 é de classe C1 num conjunto contendo A2 além disso α é injetiva e det αu v 0 em A2 então αS1 αS2 DEMONSTRAÇÃO Sejam f e g como mencionadas por último então Logo usando o corolário do teorema 1 do tópico 1 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla temse mas do tópico 1 desta aula onde guv g1uv g2u v g3u v além disso Onde fr s f1r s f2r s f3r s decorrente da seguinte afirmação vista como aplicação da regra da cadeia ou calculando diretamente e usando a regra da cadeia ou seja pois portanto O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 2 Encontrar a área da esfera x2 y2 z2 4 SOLUÇÃO Uma parametrização desta esfera é dada por gu v 2 cos u sen v 2 sen u sen v 2 cos v com 0 u 2π e 0 v π Assim guu v 2 sen sen v 2 cos u sen v 0 e gvu v 2 cos u cos v 2 sen u cos v 2 sen v Logo E 4 sen2 v F 4 e G 0 Portanto EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a área da parte do parabolóide z x2 y2 interno ao cilindro x2 y2 1 A área de uma superfície suave por partes é definida como a soma das áreas de cada uma das partes suaves Se f B R3 R é uma função tal B contém uma superfície suave S parametrizada g A R2 R3 a integral da função f sobre S é indicada e definida por onde gu ui vi x gv ui viΔiu Δi está sendo considerado como no limite que dá a área de S sendo que ui vi é um ponto arbitrário de Ri Se f é uma função contínua sobre a superfície S este limite se reduz a integral da função fgu v gu ui vi x gv ui vi sobre a região A assim EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular a integral da função sobre a parte do cone x2 y2 z2 entre os planos z 0 e z 1 SOLUÇÃO Uma parametrização de tal superfície é dada por guv u cos v u sen v u com 0 u 1 e 0 v 2 π Assim E 2 F u2 G 0 e f gu v u Portanto EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular a integral da função sobre a parte do parabolóide hiperbólico z x2 y2 interno ao cilindro x2 y2 1 Considere uma lâmina delgada na forma de uma superfície S constituída por um material distribuído uniformemente A superfície ou a lâmina é dita homogênea se a sua massa é diretamente proporcional a sua área Em outras palavras uma superfície S de área σS e massa MS é homogênea se MS cσS A constante de proporcionalidade c á chamada de densidade de área da superfície S Se S é uma superfície nãohomogênea isto é S apresenta uma densidade de área variável definese a densidade de área da superfície no ponto xi yi zi por ΔiM é a massa da parte de S que tem área Δiσ xi yi zi pertence a esta parte de S e Δσ máx Δiσ i 1 2 n EXEMPLO RESOLVIDO 4 Se a densidade de área em qualquer ponto x y z de uma superfície S é uma função contínua ρ de x y z mostrar que pode ser interpretada como a massa da superfície S SOLUÇÃO Suponha que S seja parametrizada por g com domínio A Decompondo a região A em subregiões Ri i 1 2 n do modo que se procedeu para determinar a área de S decompõese também a superfície S em partes Si Si é a imagem de Ri através da função g Se Ui vi é um ponto qualquer de Ri em A então ρgui viΔiσ é uma aproximação da massa de Si onde é a área de Si Assim a massa MS da superfície é aproximadamente igual a Tomando o limite desta soma quando Δσ máx Δiσ i 1 2 n 0 temse a massa de S dada por EXEMPLO PROPOSTO 4 Encontrar para uma superfície suave por partes a Os momentos de massa em relação aos planos coordenados b O centro de massa A integral de uma função real sobre uma superfície suave por partes é definida como a soma das integrais da função sobre cada uma das partes suaves ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 4 e 16 do exercitando são os respectivos itens a e b da questão 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar As questões 3 até 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Integral II Aula 05 Parametrização de Superfície e Integral sobre Superfície Tópico 03 Integral de um Campo Vetorial sobre uma Superfície No tópico anterior foi introduzida a integral de uma função real de três variáveis sobre uma superfície este parágrafo mostra como usar esse tipo de integral para considerar a integral de campo vetorial de três variáveis sobre uma superfície Uma aplicação dessa integral em Física por exemplo é o cálculo do fluxo do campo através da superfície Para definir a integral de um campo vetorial sobre uma superfície S é necessário atribuir a S uma orientação algo semelhante ao que foi feito para definir a integral de uma função ou de um campo vetorial sobre uma curva Numa curva suave C descrita uma única vez uma dada parametrização define uma orientação para C ou seja define um campo vetorial unitário e tangente a C que varia ao longo de C no sentido em que C está orientada Uma maneira de atribuir a uma superfície suave S uma orientação é determinar um campo vetorial N contínuo unitário e normal a S assim dizse que S é orientável quando existe tal campo vetorial Se é escolhida uma parametrização g A R2 R3 para uma superfície suave S tal que os vetores gu u v e gv são linearmente independentes para todo uv no interior de A então g define uma orientação para S onde o campo N é dado por com uv no interior de A É importante alguns comentários sobre orientação Se g B R3 R é uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas são orientáveis todas as superfícies em R3 definidas implicitamente por fx y z c onde c é uma constante tal que fx y z 0 0 0 para xyz na superfície um campo vetorial unitário e normal a superfície por exemplo é o campo vetorial unitário no sentido do gradiente de f Como exemplos de tais superfícies temse esferas cilindros superfícies de revolução e em geral todas as superfícies quádricas Um exemplo clássico de uma superfície suave não orientável é a superfície chamada de faixa de Mobius esta superfície pode ser construída da seguinte maneira considere uma faixa de papel retangular fazendo uma torsão no papel e juntando os vértices opostos do papel a superfície resultante é a faixa de Mobius NULLA MOLLIT EST ELIT August Ferdinand Möbius 1790 1868 astrônomo e matemático alemão descobriu a faixa ou fita de Möbius em 1858 quando pesquisava questões sobre geometria de poliédros propostas a ele pela Academia de Paris Para provar que a faixa de Mobius S não é orientável basta provar que qualquer campo vetorial G contínuo e normal a S anulase em algum ponto de S assim nesse ponto G não define um vetor normal unitário Sendo assim seja C uma curva fechada sobre S como a que está indicada na figura anterior com pontos inicial P e final Q isto é P Q então variando G de P a Q sobre C temse que GP GQ e assim GP é nulo Dizse que uma superfície suave por partes S é orientável quando cada parte suave de S é orientável e tal que as curvas em comum dos bordos de duas partes suaves podem ser orientadas em sentidos opostos As duas figuras a seguir ilustram superfícies suaves por partes orientadas a primeira referese a duas partes de planos a segunda é a parte de um cilindro circular reto com fundo e tampa Observe que a faixa de Mobius pode ser decomposta em duas partes S1 e S2 orientáveis mas quando as partes S1 e S2 se juntam para formar a faixa os bordos comuns de uma das junções não têm orientações opostas Agora é possível definir a integral de um campo vetorial sobre uma superfície Seja F B R3 R3 um campo vetorial tal que B contém uma superfície orientada S Considere N um campo vetorial unitário e normal a S em cada ponto xyz supondo que N defina a orientação de S então a componente normal de F sobre S ou seja a projeção de F em cada direção normal a S dada por FNx y z Fx y z Nx y z é uma função real definida em S O elemento vetorial de área da superfície S que é indicado pelo símbolo dS é definido por dS Ndσ onde dσ é o elemento de área de S A integral da função FN sobre S é dita a integral do campo vetorial F sobre a superfície S e é indicada por isto é Suponha que F é contínuo em S e g A R2 R3 é uma parametrização de S Sendo o campo N dado por unitário e normal a S em cada ponto Nuv define uma orientação para S logo mas logo Ao definir a integral de uma função real sobre uma superfície S não foi levado em consideração a orientação de S uma vez que o valor da integral independe de tal orientação a razão disto é que o elemento de área dσ da superfície S não muda quando muda a orientação de S Entretanto a integral de um campo vetorial sobre uma superfície muda de sinal se a orientação da superfície for invertida pois uma inversão na orientação da superfície muda de sentido o elemento vetorial de área isto é muda de sinal a componente normal do campo vetorial Como diferentes parametrizações de uma superfície podem definir orientações distintas para a superfície a partir deste momento a superfície que tem o mesmo conjunto de pontos de uma superfície orientada S mas com orientação oposta será indicada por EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral do campo F x y z z x 3y2z sobre a parte S do cilindro x2 y2 4 com 0 z 3 e no primeiro octante orientada de forma que os vetores normais apontem para o eixo do cilindro SOLUÇÃO Uma parametrização da parte do cilindro é dada por gu v 2 cos u 2 sen u v com Assim Fgu v v 2 cos u 12 v sen2 u e gu x gvu v 2 cos u 2 sen u 0 Como gu x gv aponta no sentido contrário ao que o problema indica g é uma parametrização de Logo temse EXEMPLO PROPOSTO 1 Calcular a integral do campo Gx y z x y z x y sobre a parte S do parabolóide z x2 y2 com 0 z 2 e no primeiro octante orientada de forma que os vetores normais apontem para o exterior do parabolóide A integral de um campo vetorial F sobre uma superfície suave por partes S é definida como a soma das integrais do campo F sobre cada uma das partes suaves da superfície S EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral do campo Fx y z x y x 2z sobre a calha orientada S dada por y z 0 e 0 x z 1 com 0 x z 1 e y z 0 com 0 x z 1 SOLUÇÃO Sejam S1 e S2 as partes dos planos y z 0 e y z 0 respectivamente de forma que S S1 S2 esteja orientada por exemplo com os bordos de S1 e S2 positivamente orientados Então uma parametrização para S1 é gu v u v v com 0 u v 1 e uma parametrização para S2 é hu v u v v com 0 u v 1 e 1 v 0 Temse Fgu v u v u 2v e guu v x gvu v 0 1 1 assim Temse ainda Fgu v u v u 2v e huu v x hvu v 0 1 1 daí Logo obtémse EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral do campo Gx y z y z z x y sobre a superfície orientada S formada pelo parabolóide z 1 x2 y2 no primeiro octante a parte do plano y 0 interna ao parabolóide com x e z 0 e a parte do plano x 0 com y e z 0 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Considere F B R3 R3 um campo vetorial contínuo representando a velocidade e o sentido do escoamento de um fluido através de uma superfície suave S Mostrar que pode ser interpretada como o fluxo ou taxa de escoamento do fluido através de S SOLUÇÃO Se R é uma região plana e F é um campo constante o fluxo é igual a θR FNAR FNAR onde Fn é a componente de F na direção normal a R e AR é a área de R Seja g A R2 R3 uma parametrização de S Traçando retas paralelas aos eixos U e V com as curvas uparâmetro e vparâmetro correspondentes a tais retas decompõe S em pequenas superfícies S1 S2Sn de áreas iguais a Δ1σ Δ2σ Δnσ respectivamente Seja guivi um ponto arbitrário de Si i 1 2 n então o fluxo de F através de Si é aproximadamente igual a Fgu vNΔiσ Logo uma aproximação para o fluxo θS de F através de S é dado por Tomando o limite desta última soma quando Δσ máx Δiσ i 1 2 n 0 e com Si tendendo ao ponto gui vi obtémse o fluxo de F através de S dado por EXEMPLO PROPOSTO 3 Mostrar que se uma superfície S se contrai a um ponto w então onde N é um vetor unitário e normal a S em w e F é um campo contínuo sobre S São comuns certas aplicações em Física em que são usadas as seguintes integrais de superfícies Aplicação 01 A integral de um campo vetorial F sobre uma superfície S em relação a dσ elemento de área dada por onde Fx y z px y z qx y z rx y z Aplicação 02 A integral de uma função real f sobre uma superfície S em relação a dS elemento vetorial de área é definida por onde N é um campo vetorial unitário e normal a S isto é a integral de f sobre S é a integral do campo vetorial fN sobre S em relação a dσ Aplicação 03 A integral de um campo vetorial F sobre uma superfície S em relação a dS dada por ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 4 e 10 do exercitando são as respectivas questões 3 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens