Cálculo Diferencial II - Aula 02: Limite, Continuidade e Derivada de Funções Vetoriais

Cálculo Diferencial II Aula 02 Limite Continuidade Derivada Comprimento de Arco e Vetores Unitários Tópico 01 Limite Continuidade e Derivada da Função Vetorial de uma Variável VERSÃO TEXTUAL Este tópico é iniciado com a definição de limite de funções vetoriais é a definição básica para introduzir os conceitos de continuidade e derivada a serem efetivados em seguida O tópico é finalizado com os conceitos de velocidade e aceleração no movimento curvilíneo ambos usados em Física Seja f A R Rn n 23 r uma função vetorial definida em todos os valores de t num intervalo aberto contendo to exceto possivelmente em to Então dizse que o vetor w é o limite de quando t tende a to indicase através símbolo se para qualquer número real ε 0 existe um número real δ 0 tal que 0 t to δ ft w ε Ou seja é possível tornar o comprimento do vetor ft w arbitrariamente pequeno desde que se tome t suficientemente próximo de to É possível mostrar que a existência do limite de uma função vetorial é equivalente a existência do limite das suas funções coordenadas neste caso o limite da função vetorial é o vetor cujas coordenadas são os limites das suas funções coordenadas a demonstração está sugerida no exercício 11 do exercitando deste tópico Assim por exemplo se f é definida por ft f1tf2t então Seja to um valor no domínio de uma função vetorial f A R Rn dizse que f é contínua emto se Assim temse f é contínua em to se e somente se suas funções coordenadas são contínuas em to a demonstração está sugerida no exercício 12 do exercitando deste tópico Seguese ainda que se f e g são funções vetoriais contínuas em to então fg fg e f x g definidas por fgt ft gt fgt ftgt e f x gt ft x gt respectivamente são contínuas em to a demonstração está sugerida no exercício 13 do exercitando deste tópico Se f não é contínua em to dizse que f é descontínua em to A função vetorial f é contínua num subconjunto I do seu domínio se f é contínua em todos os valores de I sendo I um intervalo fechado ou semifechado à esquerda ou à direita nos valor es extremo s do intervalo pertencente ao intervalo conforme seja a continuidade no valor é apenas à direita ou à esquerda A função vetorial f é contínua se for contínua em seu domínio A derivada primeira ou simplesmente a derivada de uma função vetorial f em relação a t é a função vetorial indicada e definida num valor de t no domínio de f por desde que este limite exista A notação Dfft também é usada para indicar a derivada de f num valor t A interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial f será de grande relevância por isso ela será feita a seguir A diferença é um vetor para cada valor de t logo é o vetor vezes o número real portanto é um vetor com a mesma direção de e seu limite quando é o vetor Por outro lado se C é a curva definida por f então o vetor tem origem e extremidade nas extremidades de e respectivamente isto é está na direção da reta secante à curva C nas extremidades de e logo também está na direção dessa reta secante Como a posição limite da secante quando se existe é tangente à curva C no ponto P onde concluíse que o vetor é tangente à curva C em P Em geral os vetores estão com a origem na origem do sistema de coordenadas então a posição tangente de à curva C em P é obtida se for efetuada uma translação de para o ponto P Clique aqui CLIQUE AQUI A figura ilustra a curva C alguns dos vetores mencionados na interpretação geométrica de f1 e o vetor fqt com a origem em P Uma função vetorial f é dita derivável num valor se f existe no valor A função vetorial f é derivável num subconjunto I do seu domínio se f é derivável em todos os valores de I e derivável se for derivável no seu domínio A derivada de uma função vetorial pode ser dada em termos das coordenadas da função Assim se e obtémse ou seja se e são deriváveis Analogamente sendo temse se e são deriváveis Portanto foi concluído Uma função vetorial f é derivável se e somente se suas funções coordenadas são deriváveis e neste caso a derivada da função vetorial tem como coordenadas as derivadas das suas funções coordenadas correspondentes EXEMPLO RESOLVIDO 1 Representar geometricamente o vetor tangente à curva definida por ft cos t sen t no ponto em que SOLUÇÃO O vetor tangente em qualquer ponto da curva é dado por Logo no ponto em que ou seja em temse A curva definida por f é uma circunferência de centro em 00 e raio 1 Assim na figura seguinte está a curva definida por f e o vetor tangente à curva no ponto P Clique aqui CLIQUE AQUI Como já foi mencionado o vetor tangente encontrado tem o ponto inicial na origem assim sua representação geométrica tangente à circunferência é obtida através de uma translação para o ponto sobre a curva Exemplo Proposto 1 Mostrar que o vetor tangente à curva definida por ft sen t cos t no ponto em que está posicionado como na figura seguinte Sejam f A R Rn e g B R Rn n 23 r funções vetoriais deriváveis e α uma função real derivável então 5 Regra da Cadeia Se α definida por t αu então Dufoαu Dfftαu 1 Dtft gt Dtft Dtgt 2 Dtαt ft αtDtft αtDtft 3 Dtft gt ft Dtgt Dtft gt 4 Dtft x gt ft x Dtgt Dtft x gt 5 Regra da Cadeia Se α definida por t αu então Dufoαu Dfftαu COMO ILUSTRAÇÃO A PROPRIEDADE 4 SERÁ DEMONSTRADA Sendo somando e subtraindo temse aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial dada em 052 pág 31 obtémse dividindo ambos os membros por h e tomando o limite quando h tende a zero achase O que conclui a demonstração Como a derivada de uma função vetorial pode ser obtida derivando as suas funções coordenadas a propriedade 5 é uma consequência da regra da cadeia para funções reais tratada no primeiro curso de Cálculo A derivada segunda de uma função vetorial f é a função vetorial indicada e definida num valor t no domínio de f por desde que este limite exista Em geral a representação geométrica de ft não tem uma posição particular em relação à curva definida por f como acontece com ft entretanto se ft é constante mostrase que ft e ft são ortogonais em cada ponto da curva isto é ft é normal à curva definida por f Veja o exemplo resolvido 2 a seguir Se a curva definida por uma função vetorial f é interpretada como a trajetória do deslocamento de uma partícula e o parâmetro t da curva como o tempo vt ft é a velocidade linear e vt é a velocidade escalar da partícula no tempo t além disso at ft é a aceleração linear e at é a aceleração escalar da partícula no tempo t No exercício 19 do exercitando deste tópico estão definidas a velocidade e aceleração angular de uma partícula EXEMPLO RESOLVIDO 2 Mostrar que se uma partícula tem velocidade escalar constante então sua aceleração é ortogonal a sua velocidade em cada ponto da trajetória SOLUÇÃO Seja f a função vetorial que define a trajetória da partícula então ft c em cada instante t onde c é uma constante ou seja ft ft c2 Derivando em relação a t ambos os membros desta última equação e usando a fórmula de derivação 3 tem se isto é ft é ortogonal a ft em cada instante t onde ft 0 Observe que nestas condições sendo ft tangente à trajetória da partícula e ft ortogonal a ft então ft é perpendicular ou normal à trajetória da partícula Exemplo Proposto 2 Se f A R Rn é derivável provar que e portanto é a projeção de fu na direção de fu ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2c d e 3 do exercitando são os respectivos itens a e b da questão 1 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar As questões 2 até 5 do trabalho serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Diferencial II Aula 02 Limite Continuidade Derivada Comprimento de Arco e Vetores Unitários Tópico 02 Comprimento de Arco Este tópico é iniciado com o desenvolvimento da fórmula usada para calcular o comprimento da parte de uma curva posteriormente tal fórmula será usada para definir um parâmetro chamado de parâmetro comprimento de arco quando o parâmetro original da curva é tal parâmetro os cálculos dos elementos associados à curva definidos no tópico anterior ficam bastante simplificados Seja C a curva definida pela função f A R Rn n 2 3 e a b A então se S é a parte de C correspondente ao intervalo ab dizse que S é um arco da curva C Para definir um número L que meça o comprimento de um arco de curva S definido por ft com a t b seja uma divisão arbitrária de ab em n subintervalos ti1 ti i 1 2 n onde a to e b tn considere Pi i 1 2 n o ponto de S correspondente ao vetor fti então fti fti1 é o comprimento do segmento de Pi1 a Pi onde P0 e Pn são as extremidades dos vetores fa e fb respectivamenteClique aqui CLIQUE AQUI A figura mostra a curva dividida pelos arcos correspondentes a divisão do intervalo a b e os segmentos com pontos extremos nas extremidades dos arcos Assim a soma dos comprimentos dos n segmentos é Se existe o limite de Sn quando Δt máx Δit ti ti1 i 1 2 n tende a zero definese o comprimento do arco S como o valor desse limite e tal valor é indicado pela letra L ou seja Dizse que um arco é retificável se existe o limite de Sn quando Δt tende a zero O teorema seguinte estabelece as hipóteses necessárias para que um arco de uma curva seja retificável e dá uma formulação simples para encontrar o número L que mede o comprimento de tal arco Teorema Seja S um arco de curva definido por f com a t b onde f tem derivada contínua em ab então S é retificável e DEMONSTRAÇÃO A demonstração será feita no caso em que S é um arco de uma curva em R2 caso S R3 a demonstração é análoga Então seja S é definido por Como e são contínuas em e deriváveis em pelo teorema do valor médio de Lagrange visto no primeiro curso de Cálculo existem e em tais que onde assim Por outro lado como f tem derivada contínua no intervalo ab a função definida por é contínua em ab logo o limite da soma onde quando tende a zero existe e é dado por Portanto para concluir a demonstração basta provar que e têm o mesmo valor limite quando ou seja pode ser arbitrariamente pequeno para n suficientemente grande e suficientemente pequeno Mas sendo f contínua em ab as funções são também contínuas em ab logo uniformemente contínuas em ab conforme o teorema 2 do texto complementar indicado no final do tópico 3 da aula 3 de Matemática I assim dado qualquer existe tal que para cada divisão de ab na qual e cada e em também existe tal que para cada divisão de ab na qual e cada em Assim para o dado existe tal que para cada divisão de ab na qual Logo temse Como é qualquer este pode ser considerado arbitrariamente pequeno O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular o comprimento do arco da hélice cilíndrica definido por ft a cos t a sen t bt com 0 t 2π SOLUÇÃO Como ft a sen t a cos t b é contínua em 0 2π o comprimento do arco é então dado por Exemplo Proposto 1 Mostrar que o comprimento do arco da curva definida por gu u cos u u sen u u com é igual a Seja C a curva definida por uma função f A R Rn n 2 3 onde f é contínua em todo valor de t no domínio de f Considere Po um ponto fixo de C correspondente a um valor to e P um ponto qualquer de C correspondente a um valor t Supondo que a distância de Po a P sobre C aumenta quando t cresce a medida do comprimento do arco da curva C de Po a P é uma função de t chamada função comprimento de arco e é definida por A curva C definida por uma função vetorial f é dita uma curva regular ou então que a função f é regular se f possui derivada contínua e não nula em todo valor do seu domínio Se C é uma curva regular então é possível mudar o seu parâmetro t para o parâmetro comprimento de arco s Para justificar tal fato seja f regular então sendo f contínua f também é contínua logo pelo lema do teorema fundamental do Cálculo dado no tópico 1 da aula 2 de Matemática II assim s é derivável e tem derivada positiva em todo valor de t no domínio de f pois f é regular daí s é uma função contínua e crescente ou seja s é invertível Supondo que define a inversa de s então a função vetorial g definida por também define a curva C Observe que embora g e f definam a mesma curva C g e f têm domínios distintos o domínio de g é o intervalo 0L onde L é o comprimento de C desde que C tenha comprimento finito e o domínio de f é o correspondente a variação de t Clique aqui CLIQUE AQUI A figura mostra como é trocada a variável t da função que define a curva para a variável s da nova função que também define a curva Dizse que a curva C definida por g fhs está parametrizada pelo comprimento de arco Devese observar por exemplo que fs não é obtida de f t pela simples troca de t por s mas de t por hs EXEMPLO RESOLVIDO 2 Parametrizar pelo comprimento de arco a circunferência definida por ft r cos t r sen t SOLUÇÃO Como t 0 está no domínio de f podese considerar assim Sendo s rt a inversa de s é definida por Assim é a parametrização da circunferência pelo comprimento de arco Exemplo Proposto 2 Provar que a parametrização pelo comprimento de arco da curva definida por O exemplo seguinte mostra que se uma curva C esta parametrizada pelo comprimento de arco então o vetor tangente unitário coincide com a derivada da função que define C o que não acontece quando o parâmetro de C não é o comprimento de arco EXEMPLO RESOLVIDO 3 Seja C a curva definida pela função f t e f s a parametrização de C pelo comprimento de arco Provar que f s é unitário e tangente a C SOLUÇÃO Pela regra da cadeia enunciada dada no tópico 1 da aula 6 de Matemática I mas logo isto é f s é unitário O fato de f s ser tangente a C decorre da interpretação geométrica da definição de derivada Exemplo Proposto 3 Considerando a curva C do exemplo anterior mostrar que f s é normal a C em cada ponto ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios do exercitando 2 13 e 14 são os respectivos itens a b e c da questão 2 21 e 23 são os respectivos itens a e b da questão 3 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar As questões 4 e 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Diferencial II Aula 02 Limite Continuidade Derivada Comprimento de Arco e Vetores Unitários Tópico 03 Vetores Tangente e Normais Unitários O objetivo deste tópico é determinar um conjunto de vetores ortonormais que ao serem transladados para um ponto de uma curva apresentam certas particularidades em relação à curva tais vetores são utilizados em Física no estudo do movimento de partículas além de terem grande importância em estudos posteriores ORTONORMAIS Os vetores A B e C são ditos ortonormais se eles são unitários e dois a dois ortogonais Neste caso qualquer vetor V do R3 pode ser escrito na forma V V AA V BB V C C Pois sendo A B e C ortonormais o conjunto ABC é linearmente independente logo qualquer vetor V do R3 pode ser escrito como combinação de A B e C sendo V aA bB cC então VA aA bB cCA aA A b0 c0 aA2 a analogamente b V B e C V C Seja C uma curva do Rn n 2 3 definida por f A R Rn Sendo P o ponto final do vetor ft isto é P é um ponto da curva C então se ft 0 o vetor ft é tangente à curva C em P assim o vetor é unitário e tangente a C em P Evidentemente que em cada ponto de C onde existe um vetor tangente há também dois vetores tangentes e unitários mas o vetor T t é citado como o vetor tangente unitário de C em P O vetor curvatura de C em P é definido por e o seu comprimento kt Kt é chamado a curvatura de C em P A função curvatura definida por é uma função real da variável real t e em cada ponto P de C dá uma medida da mudança de direção da curva C em P isto é dá uma medida do quanto a curva deixa de ser reta numa vizinhança de cada um de seus pontos a demonstração deste fato está no exemplo resolvido 3 deste tópico Além disso num ponto em que o vetor curvatura existe e é não nulo sua representação está do lado em que a curva se fecha isto é do lado oposto em que localmente a reta tangente à curva nesse ponto se encontra a prova está sugerida no exemplo proposto 3 deste tópico O inverso da curvatura dado por é chamado o raio de curvatura de C em P Efetuando o produto escalar dos vetores K t e T t obtémse Kt Tt ft1 Tt Tt como Tt 1 temse TtTt 0 daí o vetor curvatura e o vetor tangente unitário são ortogonais isto é o vetor curvatura é normal à curva C em P e o vetor é unitário e normal à curva C em P Observe que substituindo o vetor curvatura e a curvatura o vetor Nt pode ainda ser dado por vetor Nt é chamado o vetor normal unitário ou ainda o vetor principal de C em P Observe que sendo Nt paralelo a Kt e kt 0 a representação do vetor Nt é também do lado em que a curva se fechaClique aqui CLIQUE AQUI A figura mostra a curva C juntamente com os vetores tangente T e normal N unitários com ponto inicial no ponto final de ft Sendo C uma curva em R3 como os vetores Tt e Nt são unitários e ortogonais obtémse Tt x Nt 1 Logo o vetor Tt x Nt é unitário e da definição do produto vetorial é ortogonal a Tt e Nt O vetor é chamado o vetor binormal unitário de C em P LEITURA COMPLEMENTAR O conjunto dos vetores unitários e mutuamente ortogonais Tt Nt e Bt são chamados o triedro de FrenetSerret Observe que Tt Nt Bt é um terno positivo TERNO POSITIVO Um terno ABC de vetores A B e C do R3 é dito um terno positivo ou um terno negativo conforme o produto misto ABC seja positivo ou negativo respectivamente Seguese que sendo ABC um terno positivo então os ternos BCA e CAB são positivos e os ternos ACB CBA e BAC são negativos Observe que e1 e2 e3 é um terno positivo Seguese ainda que a Se A e B são vetores linearmente independentes então A B A x B é um terno positivo b Sejam A B e C vetores ortonormais tais que o terno ABC seja positivo então A x B C B x C A e C x A B Clique aqui NULLA MOLLIT EST ELIT A figura mostra a curva C juntamente com os vetores tangente T e normais N e B unitários com ponto inicial no ponto P da curva EXEMPLO RESOLVIDO 1 Encontrar o triedro de FrenetSerret e o raio de curvatura da hélice cilíndrica definida no exemplo resolvido 2 do tópico 1 desta aula num ponto qualquer SOLUÇÃO Sendo temse assim e consequentemente é o vetor tangente unitário Sendo então o vetor curvatura é dado por daí a curvatura é Logo o vetor normal unitário é e o vetor binormal unitário é Como é a curvatura o raio de curvatura é Observe que a função curvatura da hélice cilíndrica é uma função constante isto é a hélice cilíndrica se curva de forma constante ao longo de sua trajetória Exemplo Proposto 1 Para a curva do exemplo proposto 2 do tópico da aula 01 mostrar que O plano que contém o ponto P da curva C e é paralelo aos vetores Tt e Nt isto é o plano que contém P e tem Bt como vetor normal é chamado o plano osculador de C em P Existem ainda dois planos contendo o ponto P da curva C a serem considerados é o plano retificante de C em P paralelo aos vetores Tt e Bt e o plano normal de C em P paralelo aos vetores Nt e Bt A reta que contém o ponto P de C e é paralela ao vetor Nt é chamada a reta normal principal de C em P O ponto que está sobre esta reta normal a uma distância igual ao raio de curvatura e do lado em que aponta o vetor Nt é dito o centro de curvatura e C em P A circunferência osculatriz de C em P é a circunferência no plano osculador de C em P de centro no centro de curvatura e raio igual ao raio de curvatura de C em P EXEMPLO RESOLVIDO 2 Determinar a circunferência osculatriz da curva definida por no ponto em que t 0 e representar geometricamente a curva e a circunferência osculatriz SOLUÇÃO Num ponto qualquer o vetor curvatura é assim K0 0 1 e p0 1 O ponto da curva correspondente a t 0 é 00 Como K0 e2 o sentido do vetor N0 é o sentido positivo do eixo Y assim a circunferência osculatriz é a circunferência de centro em 01 e raio 1 logo de equação x2 y 12 1 Observe que a curva definida por f é a parábola de equação no plano XY Na figura seguinte aparecem a parábola e a circunferência osculatriz da parábola em 00Clique aqui CLIQUE AQUI Exemplo Proposto 2 Se C é a curva definida por gt t t1 provar que x 22 y 22 2 é a equação da circunferência osculatriz de C no ponto 11 e que as representações geométricas de C e da circunferência estão na figura seguinte Clique aqui CLIQUE AQUI EXEMPLO RESOLVIDO 3 Seja C a curva definida pela função ft e fs a parametrização de C pelo comprimento de arco Provar que a curvatura é uma medida da mudança de direção de C SOLUÇÃO Seja a curva C em R2 Como Ts 1 temse Ts cos θe1 sen θe2 onde é a medida do ângulo determinado pelo lado positivo do eixo X e o vetor Ts no sentido antihorário Então Dθ Ts sen θe1 cos θe2 daí Dθ Ts 1 por outro lado a regra da cadeia dada no tópico 1 da aula 6 de Matemática I estabelece que Ts Dθ Ts Dsθ assim Ts Dsθ Mas da definição de curvatura dada neste tópico temse pois fs 1 da parte a portanto κs Dsθ Como Dsθ é a taxa de variação de θ em relação a s conforme visto no tópico 3 da aula 4 de Matemática I seguese a afirmação Exemplo Proposto 3 Considerando a curva C do exemplo anterior mostrar que a representação do vetor curvatura está do lado em que a curva se fecha Sugestão usando Ts na forma do exemplo resolvido 3 verifique que Ns DθTs conforme Dsθ seja 0 ou 0 LEITURA COMPLEMENTAR Texto Complementar Aula 2 FÓRMULAS DE FRENETSERRET No texto Fórmulas de Frenet Serret Visite a aula online para realizar download deste arquivo continuamos o nosso breve estudo sobre a teoria das curvas é sugestivo uma boa leitura para conhecer um pouco mais sobre o assunto ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios do exercitando 3a e 9c são os respectivos itens a e b da questão 4 16 e 17 são os respectivos itens a e b da questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaniado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens