Teorema de Green e suas Aplicações - Aula 04

Cálculo Integral II Aula 04 Teorema de Green e Aplicações Tópico 01 Teorema de Green O objetivo tópico é estabelecer as condições a fim de que a integral de linha de um campo vetorial sobre certas curvas fechadas possa ser calculada através da integral dupla de uma função que depende das funções coordenadas do campo vetorial sobre a região limitada pelas curvas tal resultado é conhecido como o Teorema de Green TEOREMA DE GREEN George Green 17931841 matemático e físico inglês Conforme foi definido no tópico 1 da aula 1 uma região compacta elementar A R2 é definida simultaneamente pelas desigualdades onde a curva fechada que constitui a fronteira de A é contínua e nesta aula ela será suave por partes É possível considerar um tipo de região mais geral que uma região compacta elementar tal região é união de um número finito de regiões compactas elementares Uma região desse tipo pode ter todos os pontos internos de uma única curva fechada simples ou pode estar entre curvas fechadas simples como nas figuras seguintes respectivamente Orientando positivamente a fronteira de cada subregião compacta elementar de uma região A que é a união de tais subregiões as partes comuns das fronteiras de duas subregiões compactas elementares são orientadas em sentidos contrários apenas as partes não comuns têm uma única orientação isto é apenas a fronteira de A tem apenas uma única orientação OLHANDO DE PERTO Observe nas curvas fechadas que constituem a fronteira de A que a curva externa é orientada positivamente e as curvas internas são orientadas negativamente isto significa que caminhando sobre a fronteira de A e seguindo sua orientação o lado esquerdo é mantido sobre o interior de A Quando a fronteira de uma região A está orientada desta forma dizse que ela está orientada com A à esquerda e é indicada por δA TEOREMA DE GREEN 1 Seja A R2 uma região decomponível num número finito de subregiões compactas elementares Se Fx y px y qx y é de classe C1 em A então DEMONSTRAÇÃO Inicialmente suponha que A é uma região compacta elementar Neste caso a fronteira de A é uma única curva fechada simples δA C orientada positivamente Inicialmente suponha que A é definida por αx x βx com a x b então ou seja Mesmo que além dos gráficos das funções α e β um ou mais segmentos paralelos ao eixo Y façam parte de C como está ilustrado na primeira figura deste tópico a última igualdade ainda vale pois a integral de p em relação a x sobre esses segmentos são iguais a zero Analogamente sendo A definida por θ y x Φy com c y d obtémse Somando membro a membro as duas últimas igualdades temse a demonstração do teorema neste caso particular Suponha agora que a região A possa ser decomposta em um número finito de subregiões compactas elementares A1A2An Sejam C1 C2Cn as fronteiras de A1A2An respectivamente orientadas positivamente Aplicando o resultado obtido inicialmente a cada subregião compacta elementar e a sua fronteira obtémse Somando membro a membro as n igualdades obtidas temse O lado esquerda desta última equação é pois as integrais ao longo de cada arco comum às fronteiras de duas subregiões compactas elementares são feitas duas vezes uma em cada sentido logo quando somadas se cancelam e a soma das integrais sobre a parte restante da fronteira de cada subregião dá a integral de pdx qdy sobre δA O lado direito desta última equação é a integral de sobre A O que conclui a demonstração OLHANDO DE PERTO Observe que se C é a elipse então o teorema de Green não pode ser aplicado para se encontrar o valor da integral dada por pois o campo não é de classe C1 na região limitada por C entretanto posteriormente no exemplo resolvido 2 do tópico 2 desta aula será usada uma aplicação do teorema de Green para obter o valor desta integral de uma forma simples EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral do campo Fx y x2y3 x3y2 sobre a elipse C dada por 4x2 9y2 36 e orientada positivamente SOLUÇÃO Temse Como o campo F a curva C e a região A limitada por C têm as hipótesis do teorema 1 obtémse EXEMPLO PROPOSTO 1 Seja C a fronteira da regão retangular de vértices 00 20 21 e 01 orientada negativamente Calcular a integral do campo Gx y x y3 x2 y sobre C A maioria das aplicações do teorema de Green neste estágio referemse a regiões decomponíveis em um número finito de subregiões compactas elementares entretanto o teorema de Green pode ser estendido para um tipo de região mais geral que uma região decomponível num número finito de sub regiões compactas elementares tal tipo de região será definida a seguir Uma curva fechada simples C em R2 divide o plano em duas subregiões uma limitada que é a subregião interna a C e outra ilimitada que é a subregião exterior a C Uma região A R2 é dita simplesmente conexa se para qualquer curva fechada simples C contida em A a subregião interna a C está contida em A isto é C pode ser contraída a um ponto de forma que a todo instante C permaneça inteiramente contida em A Uma região compacta elementar é uma região simplesmente conexa OLHANDO DE PERTO Nas figuras seguintes a primeira região é simplesmente conexa já a segunda que não contém os pontos da região interna à curva D não é simplesmente conexa Uma região A R2 que pode ser decomposta em um número finito de subregiões simplesmente conexas é dita uma região multiplamente conexa Para efeito de simplificação ao ser escrito que A é multiplamente conexa significa inclusive que A pode ser simplesmente conexa Em particular se A pode ser decomposta em duas subregiões simplesmente conexas A é dita uma região duplamente conexa como a região A ilustrada na última figura à direita e também a seguir onde A1 e A2 são as partes simplesmente conexas de A TEOREMA DE GREEN GENERALIZADO 2 Seja A R2 uma região multiplamente conexa e compacta em que cada sub região simplesmente conexa de A tem como fronteira uma curva suave por partes Se Fx y pxy qxy é de classe C1 em A então onde δA é a fronteira de A orientada com A à esquerda A demonstração do teorema de Green generalizado se A é simplesmente conexa está fora dos objetivos deste tópico uma demonstração pode ser encontrada na referência Se A é decomposta em duas ou mais subregiões simplesmente conexas aplicase o resultado a cada subregião simplesmente conexa e usase o argumento utilizado no final da demonstração do teorema 1 REFERÊNCIA Mathematical Analysis Apostol Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company l960 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Se uma região A R2 e sua fronteira δA têm as hipóteses do teorema de Green mostrar que a área de A é dada por SOLUÇÃO Como o campo Fx y y x é de classe C1 em qualquer região do R2 aplicando o teorema de Green obtémse Área de A portanto a área de A é EXEMPLO PROPOSTO 2 Se A é a região do exemplo resolvido 2 mostrar que a área de A pode ainda ser dada por Os resultados do corolário a seguir são geralmente mencionados como os teoremas de Stokes e de Gauss no plano respectivamente Os teoremas de Stokes e Gauss no espaço serão tratados posteriormente neste módulo Corolário Se o campo Fx y p x y qx y a região A e a fronteira δA de A têm as hipóteses do teorema de Green então Hipótese 01 onde T varia conforme a orientação de δA Hipótese 02 onde N aponta para o exterior de A De acordo com a teoria já tratada a fórmula do item a é apenas outra notação para a fórmula do teorema de Green A fórmula do item b é obtida observando que e aplicando o teorema de Green ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Observe nas curvas fechadas que constituem a fronteira de A que a curva externa é orientada positivamente e as curvas internas são orientadas negativamente isto significa que caminhando sobre a fronteira de A e seguindo sua orientação o lado esquerdo é mantido sobre o interior de A Quando a fronteira de uma região A está orientada desta forma dizse que ela está orientada com A à esquerda e é indicada por δA Cálculo Integral II Aula 04 Teorema de Green e Aplicações Tópico 02 Aplicações do Teorema de Green Esta aula é finalizada com algumas aplicações importantes do teorema de Green usadas inclusive para simplificar o cálculo de algumas integrais de linha complexas OLHANDO DE PERTO O teorema 1 a seguir cuja demonstração usa essencialmente o teorema de Green é uma recíproca parcial do teorema 3 do tópico Integral de um Campo Vetorial sobre uma Curva Observe que este teorema juntamente com o teorema 2 do tópico mencionado afirmam a equivalência entre campos vetoriais de duas variáveis conservativos e irrotacionais numa região aberta simplesmente conexa TEOREMA 1 Seja Fx y p x y qx y um campo de classe C1 numa região aberta e simplesmente conexa então independe da curva suave por partes C em R DEMONSTRAÇÃO Seja S uma curva qualquer suave por partes em R ligando os pontos M e N Suponha inicialmente que C e S não se cruzem Seja E a curva fechada simples formada por C e S orientada positivamente e A a região interna a E Então pelo teorema de Green pois sem perda de generalidade é possível considerar sendo assim portanto Suponha agora que C e S se interceptem nos pontos M PoP1 P2 Pn N veja a figura em que n 6 Considere Ci e Si i 1 2 n 1 e os arcos de C e S respectivamente do ponto pi ao ponto pi 1 Aplicando o resultado demonstrado inicialmente obtémse VEJA A FIGURA Somando membro a membro as igualdades obtidas a soma do lado sequerdo é a integral de Fx y sobre C e a soma do lado direito é a integral de sobre S O que conclui a demonstração EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular onde C é qualquer curva ligando 0 0 a 2 2 SOLUÇÃO Como o campo Fxy 2x2 y3 3xy2 y é de classe C1 em qualquer região do R2 Sendo pxy 2x2 y3 e qxy 3xy2 y temse para todo xy logo a integral independe da curva C isto é podese escolher qualquer curva S ligando 00 a 22 para obter o valor da integral sobre C Seja S por exemplo a curva parametrizada por fu uu com 0u2 então EXEMPLO PROPOSTO 1 Resolver o exemplo anterior usando o Teorema 2 Seja o campo vetorial F B Rm R m 2 3 contínuo numa região aberta R B então as seguintes afirmações são equivalentes a O campo F é conservativo isto é tem um potencial real em R b A integral independe do caminho suave por partes em R c A equação se verifica para qualquer curva fechada e suave por partes C em R O teorema seguinte dá as condições necessárias para que a integral de um campo vetorial possa ser calculada sobre duas curvas fechadas distintas sem que o seu valor fique inalterado TEOREMA 2 Seja Fx y p x y qx y um campo de classe C1 numa região compacta R Se R está entre duas curvas fechadas simples suaves por partes C1 e C2 onde a fronteira de R é formada por C1 e C2 então se C2 está na região interna a C1 E mais se na região R então DEMONSTRAÇÃO Se C2 está na região interna a C1 a região R é duplamente conexa e a fronteira de R orientada com R à esquerda é constituída pela curva C1 orientada positivamente e a curva C2orientada negativamente Assim aplicando o teorema de Green temse a primeira fórmula Se na região R então decorrente da primeira fórmula O que conclui a demonstração O exemplo resolvido a seguir referese às observações mencionadas no tópico anterior e a respeito da integral do campo sobre a elipse EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular onde a curva C é a elipse SOLUÇÃO Sejam e então para todo xy 00 Logo pelo teorema 2 temse Para qualquer curva fechada simples S contida na região interna ou externa a elipse sejam r tal que a circunferência x2 y2 r2 esteja na região interna ou externa a elipse e S como sendo esta circunferência orientada positivamente ou negativamente Uma parametrização para tal circunferência é dada por ft r cost r sen t com 0 t 2π caso S esteja orientada positivamente logo EXEMPLO PROPOSTO 2 Use o teorema de Green para calcular onde C é a fronteira da região B entre a circunferência x2 y2 1 e a elipse 9x2 4 x2 36 orientada com B à esquerda ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 5 10 14 e 22 são as respectivas questões 1 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens