Cálculo Diferencial II: Função Vetorial de uma Variável e Curva - Aula 01

Cálculo Diferencial II Aula 01 Função Vetorial de uma Variável e Curva Tópico Único Função Vetorial de uma Variável e Curva VERSÃO TEXTUAL No primeiro curso de Cálculo foi introduzido o conceito de função em seguida foi vista a função real de uma variável foi o único tipo de função estudada nos dois primeiros cursos de cálculo Neste tópico será introduzido outro tipo de função chamada de função vetorial em virtude de sua imagem ser um vetor posteriormente será definido um objeto geométrico relacionado com tal função designado por curva A função vetorial é de fundamental importância não só como base para continuar o Cálculo como também em aplicações da Física Uma função vetorial de uma variável f A Rn n 23 r é uma função onde o seu domínio A é um subconjunto do conjunto dos números reais Portanto tal função associa cada número real t A R a um único vetor ft do Rn Futuramente será definida função com imagem em Rn e A não necessariamente contido em R assim é conveniente usar o símbolo f A R Rn a fim de que não haja dúvida sobre o conjunto universo que contém A mas quando A R indicase apenas f R Rn Assim para n 2 a função f é definida por uma expressão do tipo ft f1t f2t ou ft f1te1 f2te2 onde t A e1 10 e e2 01 Analogamente para n 3 escrevese ft f1t f2t f3t ou ft f1te1 f2te2 f3te3 onde t A e1 1 0 0e2 0 1 0 e e3 0 0 1 Em geral uma função vetorial f A R Rn n 23r é definida por uma expressão da forma ft f1t f2t fnt ou ft f1te1 f2te2 fnten onde t A ei i 1 2 n é o vetor com a iésima coordenada igual a 1 e as demais coordenadas iguais a zero cada ei i 1 2 n é uma função real de variável real e é chamada de iésima função coordenada de f O domínio A da função f está contido no domínio de cada uma das funções coordenadas de f Quando se fizer referência a uma função vetorial apenas através da expressão que a define estará sendo suposto que A é a interseção dos maiores subconjuntos onde estão definidas as funções coordenadas da função vetorial Cada ponto P Rn n 2 3 r corresponde a um único vetor e viceversa para n 2 ou 3 esse vetor tem a origem na origem do sistema de coordenadas e extremidade em P Dada uma função vetorial f A R Rn n 2 3 r e um intervalo I A o conjunto de todos os pontos P Rn tais que P corresponde a f t com t I é dito a curva C em Rn parametrizada ou definida por f isto é A variável da função f é o parâmetro de C Se n 2 ou 3 é comum chamar a representação geométrica da curva C em R2 ou R3 respectivamente também de curva PARÂMETRO A letra t até agora foi usada como parâmetro mas é comum utilizar também as letras s u ou v invés de t sendo que s terá a partir da aula 2 um significado especial e será usada neste Módulo somente a partir desse momento A figura acima ilustra uma curva em Rn n 2 ou 3 parametrizada pela função vetorial f destacando um ponto P correspondente a um valor t pertencente a I Uma curva do Rn pode ainda ser definida por um conjunto de equações paramétricas Assim sendo Uma curva do R2 Se C uma curva do R2 definida por ft f1tf2t as equações paramétricas de C são x f1t e y f2t Uma curva do R3 Se C é uma curva do R3 definida por ft f1tf2tf3t as equações paramétricas de C são x f1 t y f2t e z f3t Exemplo Resolvido 1 Representar geometricamente a curva C parametrizada pela função ft a cost a sen t com a 0 e 0 2π SOLUÇÃO As equações paramétricas de C são x a cos t e y a sen t eliminando o parâmetro t obtémse x2 y2 a2 Logo as coordenadas de todo ponto Px y da curva C satisfazem a equação x2 y2 a ou seja C está contida na circunferência de centro na origem e raio a Sendo x a cos t e y a sen t é a medida do ângulo determinado pelo semieixo X não negativo e o raio da circunferência então como t varia de 0 a 2π a curva C é a circunferência que está na figura seguinte FIGURA SEGUINTE EXEMPLO PROPOSTO 1 Mostrar que a curva definida por ft a sen t a cos t onde 0 t 2 π é a mesma circunferência do exemplo anterior Explicar o significado do parâmetro da curva O procedimento usado no exemplo resolvido 1 baseado na eliminação do parâmetro para encontrar a representação geométrica da curva definida por uma função vetorial é na maioria das vezes muito útil Em geral sempre que for possível eliminar o parâmetro a técnica pode ser usada para encontrar a representação geométrica da curva definida por uma função f A R Rn entretanto devese observar que tal representação geométrica nem sempre é o gráfico da equação cartesiana correspondente O que ocorre é o seguinte A representação geométrica é uma parte toda ou cobre várias vezes o gráfico da equação cartesiana correspondente Por exemplo a função gu u2u4 tem equação cartesiana correspondente y x2 cujo gráfico é uma parábola mas a curva definida por g é apenas a parte dessa parábola no primeiro quadrante juntamente com a origem pois x u2 0 para todo u a função hv cos 2v sen 2v para 0 v 2 π tem equação cartesiana correspondente x2 y2 1 cujo gráfico é a circunferência de centro na origem e raio igual a um porém a curva definida por h cobre duas vezes a circunferência AJUDA Além do conteúdo de Matemática visto em Geometria Analítica e Álgebra Linear para continuar estudando Cálculo a partir do conteúdo de Matemática do segundo curso de Cálculo você vai precisar a partir deste momento de um complemento sobre superfícies e curvas dadas através de equações de três variáveis tais assuntos são estudados em Geometria Analítica Espacial Faça uma leitura atenciosa do texto Superfície e Curva Visite a aula online para realizar download deste arquivo que muito vai ampliar seus conhecimentos básicos O problema das curvas do R3 é um pouco mais complexo que no R2 uma vez que se o parâmetro é eliminado nas equações paramétricas da curva encontrase uma ou duas equações cartesianas com três variáveis Então pode ser afirmado que ao se encontrar uma única equação cartesiana com a eliminação do parâmetro a curva está contida no gráfico da equação quando se obtém duas equações cartesianas com a eliminação do parâmetro a curva está na interseção dos gráficos das equações Os exemplos a seguir ilustram as duas situações Exemplo Resolvido 2 Representar geometricamente a curva C parametrizada por gu a cos u a sen u bu com a 0 b 0 e u SOLUÇÃO As equações paramétricas de C são x a cos u y a sen u e z bu eliminando o parâmetro u obtémse O gráfico da equação x2 y2 a2 é o cilindro circular reto de raio a e cujo eixo é o eixo Z conforme foi visto no texto Ajuda Superfície e Curva Portanto a curva C está contida nesse cilindro Encontrando alguns pontos de C não haverá dificuldade para chegar na seguinte representação geométrica Esta curva é chamada de hélice cilíndrica HÉLICE CILÍNDRICA EXEMPLO PROPOSTO 2 Provar que a curva definida por gu u cos u u sen u y com u 0 está contida no cone x2 y2 z2 e fazer a representação geométrica da curva Exemplo Resolvido 3 Representar geometricamente a curva C parametrizada pela função hv cos v 2 sen v com 0 v 2π SOLUÇÃO As equações paramétricas de C são x cos v y 2 e z sen v eliminando o parâmetro v obtémse x2 z2 1 e y 2 Logo a curva C é a interseção da superfície cilíndrica x2 z2 1 com o plano y 2 ou seja C é a circunferência no plano y 2 de centro em 02 0 e raio 1Clique para ver CLIQUE PARA VER EXEMPLO PROPOSTO 3 Mostrar que a curva parametrizada pela função com 0 v 2 π é uma circunferência de centro na origem e raio r Fazer a representação geométrica da circunferência Dizse que uma curva do R3 é uma curva plana quando todos os seus pontos se encontram em algum plano caso contrário ela é dita uma curva reversa Por exemplo as curvas dos exemplos resolvido e proposto 2 são reversas e as dos exemplos resolvido e proposto 3 são planas pois todos os seus pontos se encontram nos planos y 2 e y x respectivamente É possível considerar a composição de uma função vetorial de uma variável com uma função real assim se g I R R e f A J Rn então fog é definida por fogt fgt Por exemplo se então ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 1 3 9 11 e 15 do exercitando são as respectivas questões 1 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens