Cálculo Integral II - Aula 01: Integral Iterada e Múltipla

Cálculo Integral II Aula 01 Integral Iterada e Múltipla Tópico 01 Integral Iterada Em Cálculo Integral I estudouse as integrais de funções reais de uma variável e aplicações nesta aula será feito um estudo análogo para as funções reais de várias variáveis dando ênfase às funções reais de duas e três variáveis O objetivo desta aula é introduzir as integrais relativas a essas funções e mostrar como tais integrais são aplicadas somente para calcular a área de uma região no plano e o volume de um sólido embora sejam comuns aplicações em Física como por exemplo calcular centro de massa de uma lâmina ou sólido estudar força de gravidade e campo elétrico tais aplicações em Física podem ser encontradas na referência REFERÊNCIA Cálculo Diferencial e Integral Vol 2 Barbosa Celso Antonio Silva Barbosa REALCE Editora Ind Gráfica Ltda FortalezaCE 2008 Seja B é o retângulo limitado pelas retas RETÂNGULO É comum tal região ser chamada apenas de retângulo embora o retângulo seja o quadrilátero dado pelas retas este texto usará também esta designação isto é B x y R2 a x b e c y d ou na forma simplificada A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA O RETÂNGULO B Considere uma função F A R2 R contínua no retângulo B a integral definida da função f dependendo só da variável y isto é considerando x fixa indicase por define uma função F dada por A integral definida de F em ab dada por é chamada de integral iterada de f sobre o retângulo B na ordem yx São comuns as notações seguintes para representar a integral mencionada Analogamente definese a integral iterada de f sobre o retângulo B na ordem xy dada por onde a primeira integral definida é em relação a x mantendo y fixa e a segunda é a integral da função de y resultante da primeira integral EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular as integrais iteradas de fx y 2x2y 3xy sobre o retângulo SOLUÇÃO Inicialmente considere a integral iterada de f sobre B na ordem yx ou seja A integral iterada de f sobre B na ordem xy é EXEMPLO 1 Calcular as integrais iteradas de fx y 2x2y 3xy sobre o retângulo As integrais iteradas de uma função F A R2 R podem ainda ser definidas sobre dois tipos de regiões mais gerais do que retângulo Neste caso a primeira integral definida em relação a uma variável da integral iterada terá pelo menos um dos limites de integração dependendo da outra variável As regiões e as definições serão formuladas a seguir Seja b1 a região limitada pelas retas x a e x b e as curvas y αx e βx onde α e β são funções contínuas em a b e αx βx x a b para isto é B1 é definida pelas desigualdades a x b e αx y βx A região B1 também é indicada na forma abreviada A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA A REGIÃO Se f é contínua em B1 a integral iterada de f sobre B1 que é efetuada somente na ordem yx é dada por Seja B2 a região limitada pelas retas y c e y d e as curvas x θy e x Φy onde θ e Φ são funções contínuas em c d e θy Φy para y c d ou seja B2 é definida pelas desigualdades c y d e θy Φy A região B2 é ainda indicada na forma A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA A REGIÃO Então se f é contínua em B2 a integral iterada de f sobre B2 que é efetuada somente na ordem xy é dada por Uma região do R2 que pode ser definida numa das formas de B1 ou B2 é dita uma região compacta elementar do R2 O exemplo seguinte ilustra o cálculo das integrais das duas últimas definições além disso mostra como fazer uma inversão na ordem de integração isto é possível porque certas regiões podem ser definidas simultaneamente pelas desigualdades que definem B1 e B2 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Se B é a região no primeiro quadrante limitada pela parábola y 1 x2 e os eixos coordenados calcular as integrais iteradas de fx y x 2y sobre B SOLUÇÃO A Rregião B está ilustrada na figura seguinte A região B pode ser definida nas formas Para calcular a integral iterada na ordem yx usase B definida em a assim Para calcular a integral iterada na ordem xy usase B definida em b assim EXEMPLO 2 Se B é a região no segundo quadrante limitada pela parábola y 1 x2 e os eixos coordenados calcular as integrais iteradas de fx y x 2y sobre B Observe que as integrais do exemplo resolvido 1 são iguais assim como também as do exemplo resolvido 2 posteriormente será visto no teorema 2 do tópico 2 desta aula que sob certa condiçãoo valor da integral iterada independe da ordem de integração Se uma região B pode ser decomposta em um número finito de subregiões dos tipos B1 e B2 tais que duas subregiões possam ter em comum apenas parte de suas fronteiras a integral iterada de f sobre B é a soma das integrais sobre cada uma das subregiões Uma integral iterada numa ordem pode resultar na soma de duas ou mais integrais iteradas na outra ordem como acontece no exemplo resolvido 3 a seguir isto acontece quando a região não pode ser definida simultaneamente nas formas B1 e B2 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Mudar a ordem de integração em e calcular as integrais SOLUÇÃO Para formar a integral iterada na outra ordem isto é na ordem xy é necessária a definição conveniente da região Com tal finalidade é sugestivo fazer um esboço da região de integração Da integral proposta temse 2 x 1 e x2 y 2 x assim a região está na figura seguinte A reta y1 decompõe a região nas subregiões R1 e R2 indicados na figura anterior assim Logo a integral iterada na ordem xy é a soma EXEMPLO 3 Mudar a ordem de integração em e calcular as integrais É possível mostrar que a área de uma região e o volume de um sólido conforme foram estudados em Cálculo Integral I podem ser calculados usando integrais iteradas TEOREMA 1 Se B é uma região compacta elementar definida como no início deste tópico a área de B é respectivamente DEMONSTRAÇÃO Basta calcular a primeira integral definida de cada integral iterada para chegar nas formulações dadas Cálculo Integral I EXEMPLO RESOLVIDO 4 Se B é a região limitada pela curva y x3 3x e a reta y x calcular a área de B SOLUÇÃO A região B está ilustrada na figura seguinte Devido à simetria de B em relação ao eixo Y a área da parte à direta do eixo Y é a metade da área total assim EXEMPLO 4 Se B é a região abaixo da reta y4 e acima da parábola y x2 calcule a área de B TEOREMA 2 Sejam B uma região compacta elementar definida como neste tópico fx y 0 e contínua em B Então o volume do sólido S sob o gráfico de f e que tem como base a região B é dado por DEMONSTRAÇÃO O sólido S com base B1 ou B2 é um sólido de seções planas paralelas conhecidas conforme discussões realizadas em Calculo Integral I As figuras seguintes ilustram o sólido S e indicam uma seção plana arbitrária do sólido Seja B1 a base do sólido S A seção plana de S perpendicular ao eixo X no ponto X0 0 0 está sob à parte da curva com αxo y βxo e acima do plano XY logo sua área é Assim a área de uma seção plana qualquer A x é dada por Ou seja Se B2 é a base do sólido S considerando as seções planas de S perpendiculares ao eixo Y concluise analogamente que EXEMPLO RESOLVIDO 5 Calcular o volume do sólido S interior ao cilindro x2 y2 4 acima do plano XY e abaixo do plano y z 0 SOLUÇÃO O sólido está sob o plano y z 0 que é o gráfico de z f x y y tem como base a região B no plano XY no primeiro e segundo quadrantes e limitada pela circunferência x2 y2 4 Como a região ocupada pelo sólido é simétrica em relação ao plano YZ o volume da parte do sólido no primeiro octante é a metade do volume total Assim EXEMPLO 5 Calcular o volume do sólido S limitado pela esfera x2 y2 z2 1 Sugestão calcular o volume de um oitavo de S no primeiro octante Seja B o paralelepípedo retângulo dado por isto é B é a região limitada pelos planos x a1 x b1 y a2 y b3 e z b3 A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA O PARALELEPÍPEDO B Se uma função F A R3 R é contínua em B a integral definida de f dependendo somente da variável z isto é mantendo x e y fixas define a função A integral iterada de Gx y sobre o retângulo definido por a1 x b1 e a2 x b2 dada por é chamada de integral iterada de f sobre B na ordem zyx Analogamente é possível definir a integral iterada de f sobre o paralelepípedo B em mais cinco ordens distintas EXEMPLO RESOLVIDO 6 Calcular as integrais iteradas de fx y z xz2 y2 sobre o paralelepípedo retângulo em duas ordens distintas SOLUÇÃO A integral iterada de f sobre paralelepípedo na ordem zyx é Na ordem yzx por exemplo é EXEMPLO 6 Resolver o exemplo anterior através de duas ordens distintas que não foram efetuadas no exemplo Existem seis tipos de regiões em R3 mais gerais do que o paralelepípedo retângulo onde é possível definir a integral iterada de uma função F A R3 R A região B mais geral onde é definida a integral iterada de f sobre B na ordem zyx é dada por onde α e β são funções contínuas em ab θ e Φ são funções contínuas na região em que a x b e αx y β isto é B é a região limitada abaixo e acima pelas superfícies z θx y e z Φx y respectivamente lateralmente pelas superfícies cilíndricas y αx e βx e pelos planos x a e x b A FIGURA SEGUINTE ILUSTRA A REGIÃO B Neste caso a integral mencionada é Uma região do R3 que pode ser definida na forma de B ou numa das cinco outras formas análogas é dita uma região compacta elementar do R3 EXEMPLO RESOLVIDO 7 Calcular em três ordens distintas as integrais iteradas da função fx y z 2xy sobre a região B no primeiro octante limitada pelo parabolóide z x2 y2 e o plano z 1 SOLUÇÃO A região está ilustrada na figura seguinte Escolhendo as ordens zyx xzy yzx é necessário definir B nas respectivas formas Assim na ordem zyx a integral é Na ordem xzy a integral é EXEMPLO 7 Resolver o exemplo anterior através das três ordens que não foram efetuadas no exemplo ATIVIDADE DE PORTFÓLIO As cinco questões do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar serão indicadas no topico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Cálculo Integral II Aula 01 Integral Iterada e Múltipla Tópico 02 Integral Múltipla Os seguintes conceitos são necessários para formular a definição de integral múltipla um subconjunto B Rm m 2 3 é um conjunto limitado se é finita a distância da origem a qualquer ponto de B uma função f A Rm R é uma função limitada num subconjunto B A se existe um número c tal que fP c para todo P B Seja f A R2 R uma função limitada num subconjunto limitado B A Como B é limitado B está contido numa região retangular R Traçando retas paralelas aos eixos coordenados R é dividida em sub regiões retangulares e B é coberto pela união de um número finito n de subregiões retangulares Sejam R1 R2 Rn os retângulos cuja união cobrem B e xi yi um ponto arbitrário em Ri i 1 2 n então a soma onde fxi yi 0 sexi yi B e Δi A é a área de Ri é chamada uma soma de Riemann para f sobre B Tal soma depende da divisão da região retangular que contém B e da escolha dos pontos fxi yi em cada retângulo Ri Seja Δd máx Δdi Δi é a diagonal de Ri isto é Δd Δdi para i 1 2 n suponha que independente da forma com que for dividida a região retangular que contém B e da escolha dos pontos xi yi Ri esta soma tem um único valor limite L quando Δd 0 dizse que f é integrável sobre B e L é a integral dupla de f sobre B isto é A notação é usada para indicar a integral dupla de f sobre B ou seja Em termos da definição de limite esta última igualdade significa que dado qualquer ε 0 existe ε 0 tal que para qualquer divisão da região retangular que contém B com Δd δ e qualquer escolha dos pontos xi yi Se a função constante fx y 1 é integrável num conjunto limitado B a área de B é definida por Considere agora B um subconjunto limitado do R3 e f A R3 R uma função limitada em B Como B é limitado B está contido num paralelepípedo retângulo R através de planos paralelos aos planos coordenados R é dividido em pequenos paralelepípedos e B é coberto pela união de um número finito n desses paralelepípedos Sendo R1 R2 Rn os paralelepípedos cuja união cobrem B e xi yi zi um ponto em Ri i 1 2 n uma soma de Riemann para f sobre B é dada por onde fxi yi zi 0 se xi yi zi B e Δi V é o volume de Ri Seja Δd máx Δdi Δdi é a diagonal de Ri então se independente da maneira com que é dividido o paralelepípedo que contém B é da escolha dos pontos xi yi zi Ri esta soma tem um único valor limite L quando Δd 0 dizse que f é integrável sobre B e L é a integral triplade f sobre B ou seja A notação é usada para indicar a integral tripla de f sobre B ou seja Em termos da definição de limite esta última igualdade significa que dado qualquer ε 0 tal que para qualquer divisão do paralelepípedo que contém B com Δd δ e qualquer escolha dos pontos xi yi zi Ri Se B é um conjunto limitado do R3 sobre a qual a função constante fx y z 1 é integrável o volume de B é definido por Uma integral dupla ou tripla de uma função é chamada de integral múltipla da função Os teoremas e propriedades referentes a integrais aplicamse a integrais duplas e triplas devido a isso o símbolo será usado para indicar a integral múltipla de uma função sobre um conjunto B As demonstrações dos teoremas e propriedades a seguir não fazem parte dos objetivos deste texto mas poderão ser encontradas nas referências REFERÊNCIAS Pág 223 e Mathematical Analysis Aposto Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company 1960 Teorema do Valor Intermediário Generalizado Seja f A Rm R uma função contínua num conjunto conexo B A Considere P e Q B e r R tais que f P r fQ então existe um ponto Po B tal que fPo r Um conjunto suave em Rm é a imagem de um conjunto compacto do RL através de uma função F D RL Rm de classe C1 onde L m portanto se L 1 e m 2 ou 3 tal conjunto poderá ser uma arco de curva conforme foi visto em Cálculo Diferencial II e se L 2 e m 3 tal conjunto poderá ser uma superfície como foi visto em Cálculo Diferencial II DICA No Teorema 1 enunciado a seguir a hipótese sobre a continuidade de f em B pode ser suprimida de um número finito de pontos ou de um número finito de conjuntos suaves contidos em B Veja a referência Mathematical Analysis Apostol Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company l960 O teorema seguinte dá as condições para que uma função seja integrável TEOREMA 1 Seja f A Rm R m 2 3 uma função contínua num conjunto limitado B A Então se a fronteira de B está contida num número finito de conjuntos suaves em Rm f é integrável sobre B isto é IBf existe O cálculo da integral múltipla de uma função sobre um conjunto através da definição por mais simples que sejam a função e o conjunto é sempre muito trabalhosa entretanto é de interesse no nível deste texto as integrais múltiplas que podem ser calculadas por meio de integrais iteradas conforme o teorema seguinte TEOREMA 2 Seja B uma região do Rm m 2 3 onde as integrais iteradas de f A Rm R m 2 ou 3 sobre B estão definidas e existem Então se f é integrável sobre B o valor da integral iterada independe da ordem de integração e é igual a IBf DICA A simples existência das integrais iteradas não implica na existência da integral múltipla Um exemplo de tal fato poderá ser encontrado no exercício 109 da pág 299 da referência Mathematical Analysis Apostol Tom M Reading Massachusettes Addison Wesley Publishing Company l960 Observe que as definições de área e volume ocorreram duas vezes nesta aula no tópico anterior tais definições foram dadas para regiões e aqui para conjuntos o teorema 2 permite justificar a equivalência de tais definições quando um conjunto é uma região Seja B uma região do R2 sobre a qual está definida a integral iterada de uma função f isto é B é uma região compacta elementar ou é a união de um número finito de tais regiões e suponha que IBf existe então Suposição 01 Se fx y 1 a área de B é onde a primeira igualdade decorre do teorema do teorema 1 do tópico 1 desta aula e as duas últimas do teorema 2 deste tópico isto mostra a equivalência dos conceitos de área Suposição 02 Se fx y 0 para x y em B o volume do sólido S sob o gráfico de f e que tem a região B como base é Se B é uma região do R3 sobre a qual está definida a integral iterada de fx y z 1 por exemplo e que Ib1 existe isto ocorre em particular se α e β têm derivadas contínuas em c d e θ e Φ são de classe C1 em a x b e αx y βx conforme o teorema 1 então pelo teorema 2 deste tópico o volume do sólido que ocupa a região B ou o volume de B é A integral múltipla tem as seguintes propriedades 1 Seja f e g funções integráveis sobre B então IB f g IBf IBg 2 Se f 0 e é integrável sobre B então IBf 0 3 Se m 1 f P m2 para todo P B e f integrável sobre B então m1IB1 IBf m2IB1 4 Se B B1 B2 onde interseção B2 está contido em um número finito de conjunto suaves e f é integrável sobre Bentão IBf IB1f IB2f O teorema seguinte é uma generalização do teorema do valor médio para integrais definidas visto em Cálculo Integral I TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS MÚLTIPLAS 3 Seja f A Rm R m 2 3 contínua e integrável num conjunto compacto B A então existe um ponto tal que onde CB é o conteúdo de B isto é CB é a área de B se m 2 é o volume de B se m 3 DEMONSTRAÇÃO Se f é constante a demonstração é trivial Seja f não constante então f tem valores mínimo e máximo absolutos em B sejam m1 fP1 e m2 fP2 tais valores respectivamente Então m1 fP m2 para todo P B daí pela propriedade 3 da integral IBm1 Igf Igm2 e assim ou seja Portanto pelo Teorema do Valor Intermediário visto em Cálculo Diferencial II existe tal que É comum aplicações da integral múltipla de um campo vetorial F A Rm Rm sobre um conjunto B Rm m 2 3 tal integral é definida como o vetor cujas coordenadas são as integrais das funções coordenadas de F sobre B Assim por exemplo se Fx y px y qx y temse ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 e 5 são os respectivos itens a e b da questão 1 10 e 12 são os respectivos itens a e b da questão 2 18 é a questão 3 26 é a questão 4 34 é a questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar Fontes das Imagens