Mudança de Variáveis em Integral Múltipla e Integral Imprópria - Aula 02

Cálculo Integral II Aula 02 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla e Integral Imprópria Tópico 01 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla O objetivo deste tópico é estender para integral múltipla o seguinte resultado que pode ser usado para mudar a variável numa integral definida se y fx é contínua em ab e x αu tem derivada contínua em cd onde αc a e αd b então Tal fato se justifica da seguinte forma Do teorema fundamental do Cálculo visto em Cálculo Integral I obtémse onde F é uma integral de f Além disso pela regra da cadeia vista em Cálculo Diferencial I temse Foα u F αu αu f αu αu para u c d isto é é uma integral de foα α logo usando o teorema fundamental do Cálculo O que prova a igualdade das integrais O objetivo da mudança de variável numa integral definida consiste apenas em obter um integrando mais fácil de integrar e não se tem qualquer preocupação com os domínios de integração nas duas integrais da fórmula uma vez que estes são intervalos Na integral múltipla a mudança de variáveis tem dois objetivos um simplificar o integrando para efeito de integração o outro é tornar a região de integração mais simples O teorema a seguir estabelece a fórmula de mudança de variáveis na integral múltipla sua demonstração está fora dos objetivos deste tópico uma demonstração pode ser encontrada na referência REFERÊNCIA Cálculo de Funções Vetoriais Williamson Richard E Crowell Richard H Trotter Hale F Vol 2 Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro RJ 1976 TEOREMA 01 Sejam f A Rm R uma transformação de classe C1 e B um conjunto compacto contido no interior de A e com fronteira constituída por um número finito de conjuntos suaves Suponha ainda que F é injetiva e F 0 em B então PARADA OBRIGATÓRIA Neste tópico o teorema é usado em integrais duplas e triplas assim em tais casos particulares o teorema 1 está enunciado a seguir como corolários Corolário 1 Sejam F A R2 R2 uma transformação de classe C1 e B um conjunto compacto contido no interior de A e com fronteira constituída por um número finito de curvas suaves Se F é injetiva e detF 0 em B então onde f é contínua em FB A figura seguinte ilustra geometricamente o enunciado do corolário 1 As notações dAuv e dAxy indicam os elementos de área no domínio e contradomínio de F respectivamente OLHANDO DE PERTO Observe que o uso da fórmula do teorema 1 depende essencialmente em estabelecer a relação geométrica entre uma região B e sua imagem FB através da transformação F uma vez que a integral proposta tem FB como região de integração A fórmula contínua válida se nas hipóteses do teorema a injetividade de F em B e detF 0 em B não forem satisfeitas em um número finito de pontos ou em um número finito de arcos de curvas suaves contidos em B No caso particular da hipótese injetividade se esta não for verificada na curva fechada C que limita a região B isto é na fronteira de B pelo menos a imagem através de F de uma parte S de C onde F é injetiva deverá ser uma curva fechada FS limitando FB além disso se quandouv descreve C uma única vez a imagem correspondente Fuv descreve FC um número inteiro n de vezes a integral à esquerda da fórmula ficará multiplicada por n A continuidade da função f em FB é exigida apenas para garantir que f seja integrável em FB desta forma se f é limitada em FB a hipótese sobre a continuidade de f em FB pode ser suprimida de um número finito de pontos ou de arcos de curvas suaves contidos em FB Tais afirmações são baseadas em resultados que são tratados em textos mais avançados entretanto são praticadas normalmente neste nível OLHANDO DE PERTO Os exemplos 1 a 3 a seguir ilustrarão a aplicação da fórmula da mudança de variáveis na integral dupla EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral da função sobre a imagem da região retangular B dada por 0 u 1 e 0 v 1 através da transformação Fu v u2 v2 u2 v2 SOLUÇÃO A imagem da região B através de F está ilustrada na figura seguinte Embora detFuv 8uv seja igual a zero nos segmentos u 0 com 0 v 1 e v 0 com 0 u 1 que estão na região B o teorema 1 pode ser aplicado pois tais segmentos são arcos de curvas suaves Logo temse EXEMPLO PROPOSTO 1 Resolver o exemplo anterior se B é triângulo de vértices nos pontos 00 10 e 01 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral da função sobre a região R limitada pela circunferência x2 y2 r2 SOLUÇÃO A transformação coordenadas polares definida por Fuv u cos vu sen v transforma a região retangular B definida por 0 u r e 0 v 2π na região R Embora F não seja injetiva sobre o retângulo que limita a região B e detFuv u seja igual a zero no lado inferior do retângulo com base nas observações já mencionadas a fórmula da mudança de variável pode ser aplicada pois os lados do retângulo são arcos de curvas suaves Assim temse EXEMPLO PROPOSTO 2 Resolver o exemplo anterior se R é a região limitada pela circunferência x2 y2 4 no primeiro quadrante EXEMPLO RESOLVIDO 3 Determinar a área da região R limitada pela elipse SOLUÇÃO A transformação dada por Guv a ub v transforma a região limitada pela circunferência u2 v2 1 na região R Já a transformação coordenadas polares dada por Trθ r cos θ r sen θ transforma a região retangular B definida por 0 r 1 e 0 θ 2π na região limitada pela circunferência u2v21 Logo a transformação dada por Fr Gt ar cos br sen transforma B em R Portanto a área de R é EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular a área da região R limitada pela elipse Corolário 2 Sejam F A R3 R3 é uma transformação de classe C1 e B um conjunto compacto contido no interior de A e com fronteira constituída por um número finito de superfícies suaves Se F é injetiva e detF 0 em B então onde f é uma função contínua em FB As observações feitas ao corolário 1 aplicamse ao corolário 2 onde arcos de curvas suaves são substituídos por conjuntos suaves Os exemplos 4 a 6 a seguir ilustrarão a aplicação da fórmula da mudança de variáveis na integral tripla EXEMPLO RESOLVIDO 4 Encontrar o volume da imagem do paralelepípedo B definido por 0 u 1 0 v 1 e 0 w r através da transformação Fu v w 2u 2w u 3v 2w 2v 3w SOLUÇÃO A imagem da região B através da transformação F está ilustrada na figura seguinte O volume da região FB é dado por EXEMPLO PROPOSTO 4 Resolver o exemplo anterior se B é o tetraedro limitado pelo plano x y z 1 e os planos coordenados EXEMPLO RESOLVIDO 5 Calcular a integral da função sobre a região R limitada pelo cilindro x2 y2 1 e os planos z 0 e z 2 SOLUÇÃO A transformação coordenadas cilíndricas definida por Tuvw u cos v u sen v w transforma o paralelepípedo B dado por 0 u 1 0 v 1 e 0 w 2 na região R Observe que embora T não seja injetiva no conjunto de pontos formado pelas faces de B e deTuvwu seja nulo na face que está no plano VW com base nas observações já mencionadas a fórmula da mudança de variáveis pode ser aplicada pois as faces de B são superfícies suaves Portanto temse EXEMPLO PROPOSTO 5 Resolver o exemplo anterior se a região de integração é a parte à direita do plano XZ da região desse exemplo EXEMPLO RESOLVIDO 6 Calcular a integral da função sobre a região R entre as esferas x2 y2 z2 1 e x2 y2 z2 4 acima do plano XY SOLUÇÃO A transformação coordenadas esféricas dada por Tuvw u cos v sen w u sen v sen w u cos w transforma o paralelepípedo B dado por na região R Calculando o determinante da matriz jacobiana de T encontrase deTuvw u2 sen w Observe que T é injetiva em B exceto no conjunto de pontos constituído pelas faces de B e deTuvw se anula na face de B que se encontra no plano UV Como as faces de B são superfícies suaves a fórmula da mudança de variáveis pode ser aplicada Logo temse EXEMPLO PROPOSTO 6 Resolver o exemplo anterior se a região de integração é a parte da região desse exemplo no primeiro octante ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 4 é a questão 1 18 e 27 são os respectivos itens a e b da questões 2 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individualdo ambiente Solar As questões 3 a 5 do trabalho desta aula serão indicadas no tópico seguinte É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agendado ambiente Solar Cálculo Integral II Aula 02 Mudança de Variáveis em Integral Múltipla e Integral Imprópria Tópico 02 Integral Múltipla Imprópria Na definição de integral múltipla de uma função f A Rm R sobre um conjunto B A foi suposto que B era um conjunto limitado e f limitada em B O objetivo deste tópico e considerar B ilimitado ou f ilimitada em B e usando limite definir IBf neste caso tal integral é chamada de integral múltipla imprópria Seja f A Rm R definida não necessariamente limitada num subconjunto não necessariamente limitado B A a integral múltipla imprópria ou simplesmente a integral imprópria de f sobre B é definida por onde Bt é qualquer família crescente de subconjuntos Bt de B isto é Bt1 Bt2 se t1 t2 que converge para B e que f é integrável sobre Bt A variável t do limite tende a um valor finito ou a infinito de forma que Bt tenda ao conjunto B A integral imprópria é dita convergente se ela existe e tem o mesmo valor para qualquer família Bt nas condições da definição caso contrário a integral é dita divergente O teorema seguinte dá as condições para que uma integral imprópria seja convergente e independente da família de subconjuntos convergentes TEOREMA Se f é não negativa em B e é finito para alguma família Bt crescente de subconjuntos de B que converge para B então a integral imprópria IBf converge e A demonstração do teorema é omitida deste tópico uma demonstração pode ser encontrada na referência REFERÊNCIA Cálculo de Funções Vetoriais Williamson Richard E Crowell Richard H Trotter Hale F Vol 2 Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro RJ 1976 Os exemplos seguintes ilustram o cálculo de integrais impróprias EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral da função sobre a região B dada por 0 x 1 e 0 y 1 SOLUÇÃO A região B é limitada mas f não é limitada em B uma vez que fx y se xy0y logo a integral de f sobre B é imprópria Seja a família Bt onde Bt é o retângulo dado por t x 1 e 0 y 1 onde 0 t 1 então BtB se t0 Como fx y 0 em B pelo teorema temse mas logo EXEMPLO PROPOSTO 1 Verificar se converge a integral da função sobre a região B dada por 1 x 1 e 0 y 1 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral da função sobre a região B dada por x2 y2 1 SOLUÇÃO A região B é limitada mas g não é limitada em B pois ou seja a integral de g sobre B é imprópria Com o objetivo de aplicar o teorema para calcular seja a decomposição de B nas partes B1 à esquerda e B2 à direita do eixo Y onde g é negativa e positiva respectivamente Sendo assim temse Como gxy é positiva em B1 e gxy é nãonegativa em B2 o teorema pode ser aplicado ao cálculo das integrais à direita da última igualdade Sejam as famílias B1t e B2t onde e u e v são as coordenadas polares então e logo EXEMPLO PROPOSTO 2 Calcular a integral da função sobre a região B dada por x2 y2 1 EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular a integral da função sobre o R3 SOLUÇÃO Seja a família Bt onde então BtR3 se t Como hxyz 0 para todo xyz temse Mudando as coordenadas x y e z para as coordenadas esféricas u v e w obtémse logo EXEMPLO PROPOSTO 3 Calcular a integral da função sobre a região B x2 y2 z2 1 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 e 4 são os respectivos itens a e b da questão 3 12 é a questão 4 20 é a questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo em PDF ou manuscrito e escaneado no período indicado na Agenda do ambiente Solar EXEMPLO RESOLVIDO 7 Calcular em três ordens distintas as integrais iteradas da função fx y z 2xy sobre a região B no primeiro octante limitada pelo parabolóide z x2 y2 e o plano z 1 Fontes das Imagens