Lista de Exercicios Resolvidos - Geometria Analitica e Algebra Linear

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE RONDÔNIA Campus Porto Velho Calama DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA e ÁLGEBRA LINEAR DOCENTE RODRIGO BRASIL DISCENTE CURSO PeríodoSemestre DATA 2022 4ª Lista de Exercícios 1 Expresse o vetor 𝑢 14 46 ℝ4 como combinação linear dos vetores 𝑣 1 3 310 𝑣 2 01 12 e 𝑣 3 1 100 2 Seja S o subespaço do ℝ4 definido por 𝑆 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ℝ42𝑥 3𝑦 𝑡 0 e 𝑧 0 Perguntase a 1230 𝑆 b 210 1 𝑆 c 1101 𝑆 3 Determine os subespaços do ℝ3 gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 13 b A 132 2 21 c A 101 011 110 d A 12 1 110 301 4 Seja o conjunto A 𝑣 1 𝑣 2 sendo 𝑣 1 13 1 e 𝑣 2 1 24 Determine a O subespaço GA b O valor de k para que o vetor 𝑣 5 𝑘 11 pertença a GA 5 Sejam os vetores 𝑣 1 111 𝑣 2 120 e 𝑣 3 13 1 Se 3 1 𝑘 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 qual o valor de k 6 Determine o subespaço de P2espaço vetorial dos polinômios de grau 2 gerados pelos seguintes vetores 𝑝1 2𝑥 2 𝑝2 𝑥2 𝑥 3 e 𝑝3 𝑥2 2𝑥 7 Verifique se os seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 são LD ou LI a 2 𝑥 𝑥2 4 𝑥 4𝑥2 𝑥 2𝑥2 b 𝑥2 𝑥 1 𝑥2 2𝑥 8 Classifique os seguintes subconjuntos do ℝ2 em LI ou LD a 21 b 21 63 c 3 1 25 9 Classifique os seguintes subconjuntos do ℝ3 em LI ou LD a 1 23 b 1 11 111 c 2 10 130 350 d 12 1 24 2 130 e 1 1 2 211 103 10 Verifique se o conjunto A 2100 1021 120 1 de vetores do ℝ4 são LD ou LI 11 Determine o valor de k para que seja LI o conjunto 212 1 11 𝑘 20 12 Determine k para que 1 0 1 0 1 1 0 0 2 1 𝑘 0 seja LD 13 Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam um base do ℝ2 a 12 13 b 36 2 4 14 Para que valores de k o conjunto 𝛽 1 𝑘 𝑘 9 é base do ℝ2 15 Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do ℝ3 a 11 1 2 10 320 b 101 0 12 21 4 c 21 1 101 001 Question 1 U 2 4 4 6 U aV₁ bV₂ cV₃ V₁ 3 3 1 0 V₂ 0 1 1 2 V₃ 1 1 0 0 a3 3 1 0 b0 1 1 2 c1 1 0 0 U 3a 0b c 2 3a b c 4 a b 0c 4 0a 2b 0c 6 3a c 2 3a b c 4 2 b 4 2b 6 2b 6 b 3 a 4 b a 1 3a c 2 c 1 3a c 1 31 c 2 31 3 2 4 3 3 2 4 6 2 4 4 4 Assum U V₁ 3V₂ 2V₃ Question 2 a V 1 2 3 0 t 0 x 2y z 1 22 3 0 x 2y z 1 4 3 x 2y z 0 Como x 2y t 0 z 0 t 0 Pertence a S b V 2 1 0 1 x 2y t 2 2 1 z 0 x 2y t 3 x 2y t 0 Não pertence a S C V 1 1 0 1 2x 3y t 0 z 0 2x 3y t 21 31 1 2x 3y t 2 3 1 2x 3y t 4 2x 3y t 0 Assum V S Question 3 a A 2 1 3 x y z a 1 3 2 x a y 3a a 1 z 2a x y z ℝ³ x 1 y 3 z 2 b x y z a 1 3 2 b 2 2 1 x y z a 2b 3a 2b 2a b a 2b x 3a 2b y 2a b z x a 2b y 3a 2b x y 2a a x y 2 x a 2b x x y 2 2b 2b x x y 2 b x x y 2 2 b 3x y 4 b 3x y 4 2a b z 2x y 2 3x y 4 z x y 3x y 4 z 1 4x 4 4y 4 3x y 4 4z 4 4x 4y 3x y 4z 7x 5y 47 7x 5y 4z 0 x y z ℝ³ 7x 5y 4z 0 c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 x y z a 1 0 1 b 0 1 1 c 1 1 0 x y z a c b c a b a c x c a x b c y a b z b z a b c y z a a x y z a a x y z x y x y z 0 x y z ℝ³ x y z 0 A 1 2 1 1 1 0 3 0 1 x y z a1 2 1 b1 1 0 c3 0 1 b 3c x 2a b y b y 2a a c z c z a a y 2a 3 z a x a y 2a 3z 3a x y 3z x X y 3z 0 x y z IR³ x y 3z 0 Questão 4 2 Subespaço GA é gerado pela combinação linear V1 V2 x y z a1 3 1 b1 2 4 a b x 3a 2b y a 4b z Θ a b x a 4b z 0 3b x z b z x3 a b x a z x3 x z x3 x a z x 3x 3a a z 4x3 3a 2b y yz 4x3 2z x3 y z 4x 2z 2x y 3 3 3 3 3a 12x3 2z3 2x3 3y3 3 3 3 3 3z 2z 12x 2x 3y z 10x 3y 10x 3y z 0 GA x y z IR³ 10x 3y z 0 b v 5 k 11 10x 3y z 0 105 3k 11 0 3k 11 50 0 k 353 k 13 Questão 5 v1 111 v2 120 v3 131 xyz a v1 b v2 c v3 31k a111 b120 c131 a b c 3 a 2b 3c 1 a c k 1 1 1 a 3 1 2 3 b 1 1 0 1 c k Escalonamento L2 L2 L1 L3 L3 L1 1 1 1 3 0 1 2 4 0 1 2 k3 L1 L1 L2 L3 L3 L2 1 0 1 7 0 1 2 4 0 0 0 k7 a 0b c 7 b 2c 4 0 k7 k7 0 k 7 Questão 6 P1 2x 2 v1 022 P2 x2 x 3 v2 113 P3 x2 2x v3 120 P 2x2 bx c P m P1 n P2 t P3 V m v1 n v2 t v3 abc m022 n113 t120 n t a 2m n 2t b 2m 3n c n t a m c 3n2 t n a 2m n 2t b 2m n 2n a b 2m n 2n 2a b 2m n b 2a 2m 3n c 2m 3n c 2m n b 2a 2n c b 2a n c b 2a2 2m 3c b 2a2 c 2m c 32c b 2a 4m2 c2 3c b 2a2 4m c 3c 3b 6a 4m 2c 3b 6a 2m i c 3b2 3a N c2 b2 a 2m n b 2a c 3b2 3a c2 b2 a b 2a c2 b 2a b 2a 4a c2 0 2x2 bx c 4a c2 0 b 0 R Deviacion 7 a α1112 α24 14 α3210 000 α1 4α2 2α3 0 α1 α2 α3 0 2α1 4α2 0 α1 0 α2 0 α3 0 Como α1 α2 α3 0 LI b α11 2 1 α21 2 0 000 α1 α2 0 α1 2α2 0 α1 0 2α2 0 α2 0 Como α1 α2 0 an two LI Deviacion 8 2 21 221 00 20 LI b 21 63 α121 α263 00 2α1 6α2 0 2α1 3α2 0 α1 3α2 0 α1 3α2 0 α1 α2 0 LI c 31 25 α131 α225 00 3α1 2α2 0 α1 5α2 0 α1 Dα1 D 0 2 3 2 0 0 15 2 0 0 5 1 5 α2 3 0 3 2 0 0 15 2 0 1 0 α1 α2 0 LI Question 3 a 1 2 3 α1 2 3 0 0 0 α 0 2α 2 3α 0 LI b 1 1 1 1 1 1 α₁1 2 1 α₂1 1 1 0 0 0 α₁ α₂ 0 α₁ α₂ 0 α₁ α₂ 0 LI c 2 1 0 1 3 0 3 5 0 α₁2 1 0 α₂1 3 0 α₃3 5 0 0 0 0 2α₁ α₂ 3α₃ 0 α₁ 3α₂ 5α₃ 0 No tan solución única 0α₁ 0α₂ 0α₃ 0 0 ρ LD d 1 2 1 2 4 2 1 3 0 α₁1 2 1 α₂2 4 2 α₃1 3 0 0 0 0 α₁ 2α₂ α₃ 0 2α₁ 4α₂ 3α₃ 0 α₁ 2α₂ 0 α₁ 0 α₁ 2α₂ 4α₂ α₃ 0 α₂ 0 1 0 3 0 4 1 6 3 α₃ 4 0 6 0 0 α₁ α₂ α₃ 0 LI 4 1 6 3 e 1 1 2 2 1 1 1 0 3 α₁1 1 2 α₂2 1 1 α₃1 0 3 0 0 0 α₁ 2α₂ α₃ 0 α₁ α₂ 0α₃ 0 α₁ 2α₂ α₃ 0 α₁ α₂ 0 2α₁ α₂ 3α₃ 0 α₁ α₂ 3α₂ α₃ 0 3α₂ 3α₃ 0 α₂ 0 1 0 9 3 0 3 3 1 α₃ 3 0 0 9 3 3 0 3 3 α₁ α₂ α₃ 0 LI Questão 10 A 2100 1021 1201 α1 2100 α2 1021 α3 1201 0000 2α1 2α2 3α3 0 α1 2α3 0 2α2 0 α2 α3 0 α2 0 α3 α2 0 2α1 0 α1 0 Assim α1 α2 α3 0 LI Questão 11 α1212 α2 111 α3k20 000 2α1 α2 k α3 0 α1 α2 2α3 0 2α1 α2 0 2α1 α2 kα3 0 α1 α2 2α3 0 α2 2α1 2α1 2α1 k α3 0 4α1 k α3 0 k 4α1 α3 k 23 α3 4 α3 2α1 α1 2α3 0 3α1 2α3 α1 23 α3 k² 83 Questão 12 α1 2 0 1 0 α2 1 1 0 0 α3 2 1 k 0 0 0 0 0 α1 α2 2α3 0 α2 α3 0 α2 α3 α1 k α3 0 0 0 α1 3α3 0 α1 k α3 0 0 3α3 k α3 0 k 3 Cluoção 14 1 k k 3 3 x2 0 x2 3 x 3 k 3 Cluo ão 15 a 112 220 320 α1 111 α2 210 α3 320 000 α1 2 α2 3 α3 0 α1 α2 2 α3 0 α1 0 α1 0 2 α2 3 α3 0 α2 2α3 0 α2 0 3 0 2 2 3 1 2 0 43 0 α3 2 0 1 0 2 3 1 2 0 43 0 α1 α2 α3 0 LI antúno é baco IR3 b 101 012 214 α1 101 α2 012 α3 214 000 α1 2 α3 0 α1 2 α3 α2 α3 0 α3 α2 α1 2 α2 4 α3 0 2 α3 2 α3 4 α3 0 α1 2 α3 α2 α3 LD 0 α3 0 N é baco IR3 c 211 101 001 α1 211 α2 101 α3 001 000 2 α1 α2 0 α2 2 α1 0 α1 0 α3 0 α3 α1 α2 0 α1 α2 α3 0 LI é baco IR3 22 Cluo ão 13 a 12 13 a U b V 0 U ba V a 12 b 13 00 2 b 0 a 0 2 a 3b 0 b 0 é LI Entra é baco Q2 b 36 24 a 36 b 24 00 3a 2b 0 3a 2b 0 6 a 4 b 0 3 a 2 b 0 a 23 b Entra é LD Assim n é é baco Q2 2 a 23 b 3 23 b 2 b 0 E LD 2b 2b 0 0 0 24 b 101 012 214 α1 101 α2 012 α3 214 000 α1 2 α3 0 α1 2 α3 α2 α3 0 α3 α2 α1 2 α2 4 α3 0 2 α3 2 α3 4 α3 0 α1 2 α3 α2 α3 LD 0 α3 0 N é baco IR3 c 211 101 001 α1 211 α2 101 α3 001 000 2 α1 α2 0 α2 2 α1 0 α1 0 α3 0 α3 α1 α2 0 α1 α2 α3 0 LI é baco IR3