Aplicações Conformes - Variáveis Complexas e Transformações

VARIÁVEIS COMPLEXAS Cristiane da Silva Aplicações conformes Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir aplicações conformes Reconhecer as diferentes aplicações conformes transformações de Möbius e transformação de SchwarzChristoffel Identificar a importância das aplicações conformes em problemas aplicados Introdução O estudo das variáveis complexas é relevante porque tem aplicações importantes na física na engenharia na mecânica etc Neste capítulo você vai estudar a definição de aplicações conformes por meio de representações gráficas e conhecerá os diferentes tipos de aplicações conformes A proposta é que você possa além de reconhecer os teoremas e conceitos identificar a importância dessas aplicações em diferentes situações Além disso você será direcionado a problemas relacionados ao conteúdo Definição Brown e Churchill 2015 mostram o seguinte Considerando C um arco regular representado pela equação z zt com a t b e fz e uma função defi nida em todos os pontos z de C A equação w fzt com a t b é uma representação paramétrica da imagem Γ de C pela transformação w fz Supondo que C passe por um ponto z0 zt0 com a t0 b no qual f seja analítica tal que fz0 0 Pela regra da cadeia se w fzt então 02996VariaveisComplexasindb 105 21032018 151810 Isso significa que A equação 2 permite relacionar as direções de C e Γ nos pontos z0 e w0 fz0 Mais especificamente sejam θ0 o valor de zt0 e Ø0 o valor de wt0 O número θ0 é o ângulo de inclinação de uma reta orientada que é tangente a C em z0 e Ø0 é o ângulo de inclinação de uma reta orientada que é tangente a Γ no ponto w0 fz0 Portanto existe um valor ψ0 de arg fzt0 tal que Dessa forma Ø0 θ0 ψ0 Além disso os ângulos Ø0 e θ0 diferem pelo ângulo de rotação Vejamos essa definição representada na Figura 1 Figura 1 Definição Fonte Brown e Churchill 2015 p 346 Sejam C1 e C2 dois arcos regulares passando por z0 e sejam θ1 e θ2 os ângulos de inclinação de retas orientadas tangentes a C1 e C2 em z0 As Aplicações conformes 106 02996VariaveisComplexasindb 106 21032018 151811 quantidades Ø1 ψ0 θ1 e Ø2 ψ0 θ2 são os ângulos de inclinação de retas orientadas tangentes no ponto w0 fz0 às curvas Γ1 e Γ2 que são imagens de C1 e C2 Assim Ø2 Ø1 θ2 θ1 ou seja o ângulo Ø2 Ø1 de Γ1 até Γ2 é igual em magnitude e em orientação ao ângulo θ2 θ1 de C1 até C2 Vejamos na Figura 2 esses ângulos que estão identificados por Figura 2 Ângulos de inclinação de retas orientadas Fonte Brown e Churchill 2015 p 346 Em função dessa propriedade de preservação de ângulos podemos dizer que a transformação w fz é conforme em um ponto z0 se f for analítica nesse ponto com fz0 0 Ela é conforme em cada ponto de alguma vi zinhança de z0 Ela deve ser analítica em uma vizinhança de z0 e como a derivada f é contínua nessa vizinhança existe também alguma vizinhança de z0 na qual vale fz 0 BROWN CHURCHILL 2015 Segundo Brown e Churchill 2015 346 dizemos que uma transformação w fz definida em um domínio D é conforme ou uma aplicação conforme se for conforme em cada ponto de D Ou seja a aplicação é conforme em D se f for analítica nesse domínio e a sua derivada f não tiver zeros em D 107 Aplicações conformes 02996VariaveisComplexasindb 107 21032018 151811 Transformações conformes As transformações conformes são bastante comuns na física Brown e Churchill 2015 p 365 destacam que na teoria da condução do calor o fluxo através de uma superfície no interior de um corpo sólido em um ponto dessa superfície é a quantidade de calor que flui em um sentido especificado que é normal à superfície por unidade de tempo por unidade de área no ponto Portanto o fluxo é medido em unidades do tipo calorias por segundo por centímetro quadrado Denotamos por o fluxo que varia com a derivada normal da temperatura T no ponto da superfície ou seja φ K dTdN K 0 Essa relação é conhecida como Lei de Fourier e a constante K é chamada condutividade térmica do material do corpo sólido homogêneo BROWN CHURCHILL 2015 É possível associar coordenadas retangulares do espaço tridimensional aos pontos do sólido Consideraremos o caso em que a temperatura T varia apenas com as coordenadas x e y Como T não varia com a coordenada ao longo do eixo perpendicular ao plano xy o escoamento do calor é bidimensional e paralelo a esse plano Vamos supor que T não varia com o tempo A função temperatura Txy e as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordens são contínuas em cada ponto do sólido BROWN CHURCHILL 2015 Considerando um elemento de volume no interior do sólido que tenha a forma de um prisma retangular de altura unitária perpendicular ao plano xy e base medindo Δx por Δy como mostra a Figura 3 a taxa de variação do escoamento do calor para a direita através da face esquerda é KTx xyΔy e para a direita através da face direita é KTxx Δx yΔy Ao subtrair a primeira taxa da segunda temos a taxa líquida de perda de calor do elemento através dessas duas faces BROWN CHURCHILL 2015 A taxa resultante pode ser escrita da seguinte forma K Txx Δx yΔx ΔxΔy Ou ainda K Txxx y ΔxΔy Se x for muito pequeno Figura 3 Exemplo de elemento de volume no interior do sólido Fonte Brown e Churchill 2015 p 366 Assim a taxa resultante da perda de calor através das outras duas faces perpendiculares ao eixo y é O calor entra ou sai desse ele mento apenas por essas quatro faces e as temperaturas são estacionárias no interior do elemento Por isso a soma das expressões será zero Veja Portanto a função temperatura satisfaz a equação de Laplace em cada ponto no interior do sólido T é uma função harmônica de x e y no domínio que representa o interior do corpo sólido Potencial eletrostático Brown e Churchill 2015 conceituam intensidade e potencial 109 Aplicações conformes 02996VariaveisComplexasindb 109 21032018 151812 A intensidade de um campo de forças elétrico em um ponto é um vetor que repre senta a força exercida sobre uma unidade de carga positiva colocada nesse ponto Já o potencial eletrostático é uma função escalar das coordenadas do espaço tal que em cada ponto sua derivada direcional em qualquer direção é igual ao oposto do componente da intensidade do campo naquela direção Dada qualquer região livre de cargas é possível mostrar que o potencial devido a uma distribuição de cargas fora dessa região satisfaz a equação de Laplace no espaço tridimensional Considerando as condições em que o potencial V é o mesmo em todos os planos paralelos ao plano xy então em regiões livres de cargas V será uma função harmônica das variáveis x e y BROWN CHURCHILL 2015 Podemos expressar por Brown e Churchill 2015 destacam que o vetor intensidade em cada ponto é paralelo ao plano xy em que os seus componentes são e O vetor é o oposto do vetor gradiente de Vxy Transformação de SchwarzChristoffel A transformação de SchwarzChristoffel leva o eixo x e o semipleno superior do plano z sobre um dado polígono fechado simples e o interior desse polígono no plano w Essa transformação é utilizada em problemas da teoria do escoa mento de fl uidos e do potencial eletrostático BROWN CHURCHILL 2015 Brown e Churchill 2015 p 395 expressam a transforma ção de SchwarzChristoffel da seguinte forma Na expressão da derivada de uma função que leva o eixo x sobre um polígono supomos que os fatores representam ramos de funções potência com cortes se estendendo abaixo desse eixo Escrevemos Aplicações conformes 110 02996VariaveisComplexasindb 110 21032018 151812 z xjkj expkj logz xj expkjlnz xj iθj z xjkj z xjkj expikjθj π2 θj 3π2 em que θj argz xj e j 12 n 1 Com isso fz é analítica em todo o semiplano y 0 exceto nos n 1 pontos de ramificação xj Se z0 for um ponto nessa região de analiticidade que denotamos por R então a função Fz z0z fsds é uma função analítica nessa região sendo que o caminho de integração é tomado de z0 até z ao longo de qualquer caminho inteiramente contido em R Além disso Fz fz BROWN CHURCHILL 2015 A função cuja derivada é dada pela equação fz Az x1k1 z x2k2 z xn1kn1 pode ser escrita como fz Fz B em que B é uma constante complexa A transformação resultante w A z0z s x1k1 s x2k2 s xn1kn1 ds B é a transformação de SchwarzChristoffel Transformação de Möbius A transformação de Möbius é uma função complexa expressa por fz az bcz d em que a b c d ℂ e ad bc 0 sendo que a condição ad bc 0 é garantia para que a função fz não seja constante o que descaracterizaria uma função de transformação PEREIRA 2013 Com z ℂ sejam z 1 e a cb d duas matrizes Ao multiplicarmos essas matrizes teremos a matriz az b cz d e dividindo o primeiro elemento pelo segundo chegamos à expressão fz azbczd Portanto a matriz a cb d está associada à transformação de Möbius fz azbczd com a b c d ℂ e ad bc 0 A inversa dessa matriz é d cb a PEREIRA 2013 Pereira 2013 destaca Se fz é uma transformação de Möbius f é uma composição de um número finito de translações dilatações contrações e inversões Vejamos exemplos das transformações de translação dilatação contração rotação e o caso da inversão apresentadas por Pereira 2013 que considera em todos os casos c 0 nas matrizes e realiza as transformações sobre triângulos Translação Uma translação preserva ângulos e distâncias Assim ao aplicarmos esse tipo de transformação em um triângulo teremos um novo triângulo congruente ao primeiro A matriz utilizada é do tipo com Desse modo fz z b Sejam z1 1 2i z2 2 3i e z3 3 2i três números complexos com as imagens sendo vértices de um triângulo e b 2 2i Consideremos a função com k 123 Assim causando então uma translação Figura 4 Translação Aplicações conformes 112 02996VariaveisComplexasindb 112 21032018 151813 Cada vértice do triângulo sofreu um deslocamento igual a que cor responde ao módulo do complexo b 2 2i Dilatação ou contração Ao utilizarmos matrizes do tipo com teremos uma função transformação que aplicadas a um triângulo podem gerar uma contração ou dilatação de acordo com o coefi ciente Para teremos um efeito de dilatação e o novo triângulo terá medidas maiores que as medidas do triângulo inicial preservando os ângulos internos sendo portanto triângulos semelhantes com razão Para teremos um efeito de contração com o novo triângulo com medidas menores que as medidas do primeiro triângulo e da mesma forma que o anterior triângulos semelhantes com razão Sejam e três números complexos com as suas imagens sendo vértices de um triângulo Considerando a 2 e d 1 em temos com k 123 Assim causando a dilatação Figura 5 Dilatação 113 Aplicações conformes 02996VariaveisComplexasindb 113 21032018 151813 Unidade imaginária i como operadora de rotação A forma trigonométrica do número complexo z a bi é dada pela expressão z pcosθ senθ onde e θ 90º para a 0 Dados os complexos z p1cosθ1 isenθ1 e w p2cosθ2 isenθ2 temos a igualdade Vejamos duas situações A forma trigonométrica de w i é Para zw temos a igualdade A forma trigonométrica de w i é Para zw temos a igualdade Observando esses dois casos podemos concluir que ao multiplicarmos um número complexo z por i teremos o número zi obtido por uma rotação de no sentido antihorário sobre o complexo z assim como ao multiplicarmos o número z por i teremos o número zi obtido por uma rotação sobre z também no sentido antihorário As matrizes associadas a essa transformação são do tipo com e geram a função As rotações são isometrias isto é funções do plano que preservam distâncias Sejam z1 2 i z2 1 i e z3 2i três números complexos com as suas imagens sendo vértices de um triângulo Para d i temos aqui uma função com k 123 Assim Aplicações conformes 114 02996VariaveisComplexasindb 114 21032018 151814 Causando a rotação como mostra a figura abaixo Figura 6 Rotação Inversão Em um domínio complexo D a inversão é uma transformação obtida por meio da função tal que A matriz associada a essa transformação é da função Para z x iy D e w u iv temos Portanto 115 Aplicações conformes 02996VariaveisComplexasindb 115 21032018 151814 A inversão tem a particularidade de modificar algumas curvas podendo transformar por exemplo circunferências em retas Dado um conjunto temos que 1 Se a 0 K será uma circunferência ou um conjunto vazio 2 Se a 0 K será uma reta ou um conjunto vazio Para z x iy temos que e Podemos então escrever Aplicando a inversão sobre K com e obtemos a imagem dada por Multiplicando todos os termos por obtemos a expressão Substituindo w por u iv obtemos o conjunto Observando as expressões das curvas K e fK vimos que a inversão transforma 1 Uma circunferência que passa pela origem d 0 e a 0 em uma reta que não passa pela origem 2 Uma circunferência que não passa pela origem d 0 e a 0 em uma circunferência que não passa pela origem 3 Uma reta que não passa pela origem a 0 e d 0 em uma circunfe rência que passa pela origem Aplicações conformes 116 02996VariaveisComplexasindb 116 21032018 151814 4 Uma reta que passa pela origem a 0 e d 0 em uma reta que passa pela origem A curva K x2 y2 4x 3 0 é uma circunferência de raio 1 e centro A 20 não passando pela origem Como a 1 0 b 4 c 0 e d 3 0 a imagem fK será onde Portanto fK é uma circunferência de centro e raio que também não passa pela origem Observe na figura abaixo que o ponto C 10 é denominado ponto fixo da transformação pois fC C Figura 7 Inversão Fonte Pereira 2013 p 3843 117 Aplicações conformes 02996VariaveisComplexasindb 117 21032018 151815 Problemas aplicados As transformações conformes são bastante importantes na física Vamos aqui ver dois exemplos aplicados trazidos por Brown e Churchill 2015 Exemplos Exemplo 1 Seja r0 um número real qualquer maior do que 1 O problema de Dirichlet mostrado à esquerda da figura abaixo pode ser resolvido usando a solução do problema à direita da Figura Para o problema à direita podemos usar a solução em séries em que Para resolver o primeiro problema de valores de fronteira na figura acima introdu zimos o ramo da função logaritmo Examinando as imagens de partes apropriadas de raios a partir da origem no plano z podemos ver que a transformação é uma aplicação injetora da região semicircular na primeira figura sobre a região retangular naquela figura Também temos os pontos de fronteira correspondentes conforme indicado Como as partes real e imaginária u e v da função são harmônicas os teoremas garantem que Aplicações conformes 118 02996VariaveisComplexasindb 118 21032018 151815 Exemplo 2 Considere um escoamento no primeiro quadrante x 0 y 0 que desce paralela mente ao eixo y mas é forçado a desviar de um canto na origem conforme a figura abaixo Para determinar esse escoamento devemos lembrar que a transformação w z2 x2 y2 i2xy leva o primeiro quadrante sobre o semiplano superior do plano uv e a fronteira do quadrante sobre todo o eixo u Sabemos que o potencial complexo de um escoamento uniforme para a direita na metade superior do plano w é dado por F Aw em que A é uma constante real positiva Logo o potencial no quadrante é E segue que a função corrente do escoamento é ψ 2Axy É claro que essa função é harmônica no primeiro quadrante sendo nula na fronteira As curvas de corrente são ramos das hipérboles regulares 2Axy c2 Assim a velocidade do fluido é A velocidade escalar de uma partícula é proporcional à distância à origem O valor da função corrente em um ponto xy pode ser interpretado como a taxa de escoamento através de um segmento de reta que se estende da origem a esse ponto Fonte Brown e Churchill 2015 119 Aplicações conformes 02996VariaveisComplexasindb 119 21032018 151816 1 No que diz respeito à transformação conforme w fz é correto afirmar que a a transformação pode ser conforme em um ponto z0 mesmo se f não for analítica nesse ponto b a transformação não precisa ser necessariamente conforme em cada ponto de alguma vizinhança de z0 c ela deve ser analítica em uma vizinhança de z0 mas a derivada f não é contínua nessa vizinhança d não existe alguma vizinhança de z0 na qual vale fz 0 e em função da propriedade de preservação de ângulos podemos dizer que a transformação w fz é conforme em um ponto z0 se f for analítica nesse ponto com fz0 0 2 Brown e Churchill 2015 p365 destacam que na teoria da condução do calor o fluxo através de uma superfície no interior de um corpo sólido em um ponto dessa superfície é a quantidade de calor que flui em um sentido especificado que é normal à superfície por unidade de tempo por unidade de área no ponto Portanto o fluxo é medido em unidades do tipo calorias por segundo por centímetro quadrado Denotamos por ɸ o fluxo que varia com a derivada normal da temperatura T no ponto da superfície ou seja Essa relação é conhecida como a lei de Fourier b lei dos Senos c lei de Riemann d lei de Green e lei de Gauss 3 Tratandose do potencial eletrostático podemos afirmar que a ele é um vetor que representa a força exercida sobre uma unidade de carga positiva colocada em determinado ponto b ele é uma função escalar das coordenadas do espaço c a derivada direcional do potencial eletrostático em qualquer direção é igual ao componente da intensidade do campo naquela direção d considerando uma região livre de cargas o potencial devido a uma distribuição de cargas fora dessa região não satisfaz a equação de Laplace no espaço tridimensional e a conceituação de potencial é exatamente a mesma de intensidade 4 Sobre a transformação de Schwarz Christoffel é correto afirmar que a ela leva o eixo x e o semiplano superior do plano z sobre um dado polígono aberto e o interior desse polígono no plano w b em problemas envolvendo a teoria do escoamento de fluidos a transformação de Schwarz Christoffel não é aplicável Aplicações conformes 120 02996VariaveisComplexasindb 120 21032018 151816 BROWN J W CHURCHILL R V Variáveis complexas e aplicações 9 ed Porto Alegre McGrawHill 2015 PEREIRA H R Números complexos e a transformação de Möbius 48 f 2013 Dissertação Mestrado Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística 2013 Disponível em httpsrepositoriobcufgbrtedebitstreamtede30945 Pereira2c20Helder20Rodrigues20202013pdf Acesso em 19 mar 2018 c ela leva o eixo x e o semiplano superior do plano z sobre um dado polígono fechado simples e o interior desse polígono no plano w d ela leva o eixo z ao semiplano superior do plano x sobre um dado polígono simples e a Transformação de Schwarz Christoffel não possui relevante importância em problemas aplicados 5 A transformação de Möbius é uma função complexa expressa por em que e ad bc 0 A condição ad bc 0 é garantia para que a função fz não seja constante o que descaracterizaria uma função de transformação Além disso Pereira 2013 destaca que Se fz é uma transformação de Möbius f é uma composição de um número finito de translações dilatações contrações e inversões Nesse contexto é correto afirmar que a uma translação nem sempre preserva ângulos e distâncias b ao utilizarmos matrizes do tipo ao utilizarmos matrizes do tipo com teremos uma função transformação que aplicadas a um triângulo podem gerar uma inversão c em um domínio complexo D a contração é uma transformação obtida pela função tal que obtida pela função A matriz associada a essa transformação é d a unidade imaginária i não pode ser uma operadora de rotação e uma translação preserva ângulos e distâncias assim ao aplicarmos esse tipo de transformação em um triângulo teremos um novo triângulo congruente ao primeiro 121 Aplicações conformes 02996VariaveisComplexasindb 121 21032018 151817 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS