Funcoes de Variaveis Complexas - Definição Domínio e Aplicações

VARIÁVEIS COMPLEXAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir funções no conjunto dos números complexos Descrever o domínio de funções complexas Ilustrar imagens e curvas de aplicações complexas Introdução Neste capítulo você vai estudar os conceitos fundamentais relacionados às funções de variáveis complexas Inicialmente você vai ver uma definição formal desse tipo de função Em seguida vai conhecer os principais tipos de funções de variáveis complexas e algumas de suas propriedades Posteriormente você vai estudar o domínio de uma função de variáveis complexas a representação desse domínio e sua determinação Além disso vai conhecer o conceito de gráfico de uma função de variáveis complexas suas curvas e sua determinação A ideia é que ao final do capítulo você esteja familiarizado com os conceitos e definições fundamentais relacionadas às funções de variáveis complexas Isso vai permitir que você aprofunde seus estudos e que aplique os conceitos assimilados aqui a diferentes áreas do conhecimento Funções de variáveis complexas Fabio Santiago Definição de função de variáveis complexas Nesta seção inicial você vai ver a definição formal de uma função de variáveis complexas Então para começar veja a definição apresentada por Zani 20 se D é um subconjunto dos números complexos ℂ uma função f a valores complexos sobre o subconjunto D consiste em uma relação que associa a cada elemento z D um único elemento de ℂ denotado por fz Matematicamente representase a função definida em D que toma valores em ℂ por F D ℂ Além disso as funções z ℝfz e z 𝕚fz são chamadas respectivamente de parte real de f e parte imaginária de f ℂonsiderando a definição apresentada bem como a identificação de z x iy x y sendo x y ℝ é possível definir as funções u v D ℝ por u x y ℝfx iy vx y 𝕚fx iy as quais são funções de variáveis a valores reais ℂomo observam Brown e ℂhurchill 2015 para que uma função de variáveis complexas esteja bem definida é necessária a identificação de um domínio e de uma regra para f Nesse sentido quando nada for dito se assumirá o maior conjunto possível para o domínio A partir do que você viu até aqui é possível ilustrar o conceito de uma função de variáveis complexas por meio de uma relação entre conjuntos Veja na Figura 1 a seguir Figura 1 ℂonceito de uma função de variáveis complexas Funções de variáveis complexas 2 Agora que você já conhece o conceito formal de uma função de variáveis complexas a seguir vai conhecer os principais tipos e algumas das proprieda des desse tipo de função O exemplo a seguir trata de uma função desse tipo ℂonsidere a seguinte função definida sobre os conjuntos dos números complexos fz 3z2 sendo z x yi fz fx yi 3x yi2 3 x2 y2 2xyi 3x2 3y2 6xyi fz 3x2 3y2 6xyi A partir da última igualdade podese identificar a parte real e a imaginária respectivamente dadas por ux y 3x2 3y2 e vx y 6xy A partir da definição de uma função de variáveis complexas polinomial é possível definir as funções de variáveis complexas do tipo racional Aqui será adotada a definição de Zani 20 Veja se p e q são funções de variáveis complexas polinomiais então a função para todo z ℂ tal que qz 0 é considerada do tipo racional ℂonsidere a função fz 1z definida para todo z 0 ℂ Determine a parte real e a imaginária para essa função Veja a solução inicialmente considere z x yi e seu conjugado z x yi sendo x y ℝ Assim temse Funções de variáveis complexas 3 Portanto as partes reais e imaginárias são dadas respectivamente por Além das funções polinomiais e racionais também é possível definir no conjunto dos números complexos as funções exponenciais Veja a definição seja z ℂ então a função expz é dada por expz excosy 𝕚 seny x ℝz y 𝕚z A função exponencial de variável complexa satisfaz às propriedades lis tadas a seguir Se z1 z2 ℂ e fz expz então são válidas as propriedades 1 expz1 z2 expz1expz2 z1 z2 ℂ 2 expz eℝz para todo z ℂ em particular expz 0 3 expzn expnz para todo z ℂ com n inteiro 4 expz A seguir veja a demonstração das propriedades ℂonsidere inicialmente a primeira propriedade se z1 x1 iy1 e z2 x2 iy2 são tais que x1 x2 y1 y2 ℝ considerando a fórmula para o produto temse expz1 z2 expx1 x2 iy1 y2 ex1 x2 cosy1 y2 iseny1 y2 ex1 cosy1 iseny1 ex2 cosy2 iseny2 expz1 expz2 Não há quaisquer dificuldades para a demonstração da segunda pro priedade pois basta observar que cosy i seny 1 e eℝz 0 Assim será demonstrada a terceira propriedade ℂomo expz 0 para todo n Z então temse expzn ex cosy isenyn enx cosny isenny expnx iny expbz Funções de variáveis complexas 4 Agora considere a quarta propriedade se z x iy com x y ℝ então é válida a seguinte igualdade Se fz zez sendo z x iy determine a parte real e a imaginária de fz Veja a solução fz x yiexyi x yiexeyi x yiexcosy iseny exxcosy yseny iexxseny ycosy Portanto as partes reais e imaginárias são dadas respectivamente por ux y exxcosy yseny vx y exxseny ycosy O conjunto dos números complexos também permite a definição das funções trigonométricas a valores reais Veja a definição se z ℂ então as funções senz e cosz são dadas por Além de serem definidas a valores reais as funções seno e cosseno podem ser definidas a valores complexos satisfazendo às propriedades a seguir Se z0 z1 z2 ℂ então são válidas as seguintes igualdades 1 cos2z sen2z 1 2 cosz 3 senz 4 cosz cosz 5 senz senz Funções de variáveis complexas 5 6 cosz1 z2 cosz1cosz2 senz1senz2 7 senz1 z2 senz1cosz2 senz2cosz1 8 cosz1 z2 cosz1cosz2 senz1senz2 9 senz1 z2 senz1cosz2 senz2cosz1 10 cosz 2π cosz 11 senz 2π senz A seguir você vai ver algumas das propriedades anteriores As demais podem ser encontradas em Zani 20 p 33 Inicialmente será demonstrada a primeira propriedade Agora veja a demonstração da segunda propriedade De forma análoga podese demonstrar a quarta propriedade Funções de variáveis complexas 6 Por fim você vai ver como demonstrar a sexta e a sétima propriedades Veja a demonstração da sexta propriedade Por sua vez a sétima propriedade é demonstrada da seguinte forma Funções de variáveis complexas 7 Até este ponto você conheceu os conceitos e definições fundamen tais das funções elementares de variáveis complexas Você pode encontrar mais detalhes sobre esse tipo de função em Brown e ℂhurchill 2015 Domínio de uma função de variáveis complexas Na seção anterior você viu a definição formal de uma função de variáveis complexas bem como algumas das principais funções clássicas e suas pro priedades Nesta seção você vai estudar o domínio de uma função de variável complexa Para isso você precisa ter em mente a definição dessa função ℂonsidere a definição formulada por Ávila 2008 D é um conjunto de números complexos e f é uma lei que faz corresponder a cada elemento z D um único complexo denotado por fz Nessas condições afirmase que f é uma função com domínio D e o conjunto 𝕚 é chamado de imagem de 𝔻 pela função f A partir da definição apresentada por Ávila 2008 é possível compreender que uma função complexa consiste em uma relação estabelecida por f entre os conjuntos domínio denotado por 𝔻 e imagem denotado por 𝕚 Portanto o conjunto 𝔻 deve ser corretamente determinado de modo que f esteja bem definida É comum apresentar as funções de variáveis complexas por meio de suas expressões analíticas no entanto sem preocupações com a apresentação formal de seu domínio Nesses casos você deve assumir que o domínio é o maior conjunto possível para o qual a expressão analítica de fz faz sentido ℂomo observa Ávila 2008 uma função f1 com domínio D1 é consi derada uma restrição de uma função f2 com domínio D2 se D1 estiver contido em D2 e f1z f2z para todo z em D1 Além disso nessas condições afirmase que f2 é uma extensão de f1 Funções de variáveis complexas 8 Os conceitos de expansão e restrição apresentados por Ávila 2008 são ilustrados pela Figura 2 a seguir Figura 2 ℂonceito de uma função de variáveis complexas Neste ponto você já conhece o conceito de domínio de uma função de variável complexa No entanto você ainda não aprendeu a determinar esse domínio Os exemplos a seguir mostram como fazer isso Exemplo 1 ℂonsidere uma função de variável complexa ou seja z x y i Determine seu domínio Veja a solução se fz é uma função do tipo racional devese garantir que seu denominador seja diferente se zero Portanto z 2i z 9 0 Para que isso ocorra é preciso que z 2i e z 9 Exemplo 2 ℂonsidere a função de variáveis complexas dada por gz 3z3 5z 1 sendo z x y i Determine seu domínio Veja a solução inicialmente é fácil observar que a função gz é uma função de variáveis complexas do tipo polinomial Nesse sentido ela não Funções de variáveis complexas 9 possui nenhum tipo de restrição quanto à sua definição Logo seu domínio é o conjunto dos números complexos ou seja Df ℂ Exemplo 3 ℂonsidere a função de variável complexa dada por sendo z x iy Determine seu domínio Veja a solução inicialmente é importante observar que a função de va riáveis complexas fz é do tipo racional Nesse sentido para que ela esteja bem definida é indispensável que o denominador seja diferente de zero Assim temse z2 4 0o que implica z 2 i Exemplo 4 ℂonsidere uma função de variável complexa ou seja z x iy Determine seu domínio Veja a solução se fz é uma função de variável complexa de tipo racional é fundamental que se tenha o denominador diferente de zero para que ela esteja bem definida Assim temse 4 z2 0 4 x2 y2 0 x2 y2 4 Exemplo 5 ℂonsidere uma função de variáveis complexas ou seja z x y i Determine seu domínio Funções de variáveis complexas 10 Veja a solução se uma função de variável complexa é do tipo racional é indispensável que o denominador dela seja diferente de zero Portanto z z 0 Assim temse z z 0 x y i x y i 0 2x 0 Nos exemplos anteriores você viu a aplicação dos conceitos elementares para a determinação do domínio de uma função complexa A seguir você vai ver como determinar a imagem dessa função Imagem de uma função de variável complexa Ao longo deste capítulo você conheceu a definição de uma função de variável complexa e viu como especificar o domínio dessa função de modo que a função fz esteja bem definida ℂonsidere novamente a definição apresentada na primeira seção Há três elementos que a compõem uma regra fz que relaciona dois conjuntos um deles o domínio e outro a imagem Você já estudou dois dos três elementos presentes na definição Nesta seção você vai estudar o conjunto imagem Os conjuntos domínio e imagem da função fz também são conhe cidos respectivamente como conjunto de partida e conjunto de chegada Segundo Brown e ℂhurchill 2015 a imagem de um ponto z do domínio de definição 𝔻 de uma função complexa w fz é o conjunto das imagens de todos os pontos de um conjunto 𝕚 contido em 𝔻 Ela é denominada imagem de f A seguir você vai ver por meio de exemplos como determinar o conjunto imagem de uma função de variáveis complexas Exemplo 1 ℂonsidere a função de variável complexa fz z2 Mostre que essa função transforma a reta x 1 em uma parábola A seguir veja a solução Funções de variáveis complexas 11 ℂonsidere z 1 y i Assim temse fz 1 y i2 1 y2 2yi Além disso sabese que a função fz pode ser escrita da seguinte forma fz ux y vx y i Portanto para a função em questão temse ux y 1 y2 vx y 2y Ou ainda ux y 1 v22 Na Figura 3 a seguir veja a curva gerada pela imagem da função fz do exemplo anterior Figura 3 Imagem de fz z2 quando z 1 y i Exemplo 2 ℂonsidere a função complexa dada por fz z2 Determine a imagem do triângulo de vértices 0 1 i A seguir veja a solução Inicialmente com a substituição dos valores de z1 0 z2 1 i e z3 1 i na função f temse f0 02 f1 i 1 i2 2i f1 i 1 i2 2i Funções de variáveis complexas 12 Na Figura 4 a seguir veja o triângulo de vértices z1 0 z2 1 i e z3 1 i pela função fz Figura 4 Imagem do triângulo A B ℂ pela função fz z2 Exemplo 3 ℂonsidere o conjunto S z ℂ z 2e 0 argz 𝜋2 Determine a imagem desse conjunto pela função fz z3 A seguir veja a solução ℂonsidere os dados do exercício r 2 e 0 𝜃 𝜋2 Assim temse w z3 r3e3iθ Portanto r 2 r3 8 Além disso 0 3 𝜃 3𝜋2 Na Figura 5 a seguir veja a curva gerada pela imagem da função fz do exemplo anterior Figura 5 Imagem do conjunto S z ℂ z 2e 0 argz 𝜋2 pela função fz z3 Funções de variáveis complexas 13 ℂom esses últimos exemplos você encerra os seus estudos sobre os três elementos que compõem a definição de uma função complexa fz Esses elementos estão resumidos no Quadro 1 a seguir Quadro 1 Elementos de uma função complexa Elemento Definição Domínio Df Maior conjunto possível em que fz está bem definida Aplicação fz ℝegra que associa para cada elemento pertencente a Df um único elemento em 𝕝f Imagem 𝕝f ℂonjunto formado por todos os w tal que fz w para um único z Referências ÁVILA G Variáveis complexas e aplicações 3 ed ℝio de Janeiro LTℂ 2008 BℝOWN J W ℂHUℝℂHILL ℝ V Funções analíticas In BℝOWN J W ℂHUℝℂHILL ℝ V Variáveis complexas e aplicações 9 ed Porto Alegre AMGH 2015 p 3782 ZANI S L Algumas funções elementares In ZANI S L Funções de uma variável com plexa Sl sn 20 2020 Disponível em httpssitesicmcuspbrszanicomplexa pdf Acesso em 27 nov 2020 Leituras recomendadas EXPZ é analítica em todo plano complexo S l s n 2012 1 vídeo 7 min Publi cado pelo canal Fernando Deeke Sasse Disponível em httpswwwyoutubecom watchvV9SklM8nOyE Acesso em 27 nov 2020 FUNÇÕES seno e cosseno complexas S l s n 2012 1 vídeo 12 min Publicado pelo canal Fernando Deeke Sasse Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvVX oo3g8P1jwlistPL1AFF04DBF2784ℂ22index20abchannelFernandoDeekeSasse Acesso em 27 nov 2020 LOGAℝITMO complexo exemplo 1 S l s n 2013 1 vídeo 3 min Publicado pelo canal Fernando Deeke Sasse Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvSY dt1kMcxkslistPL1AFF04DBF2784ℂ22index23abchannelFernandoDeekeSasse Acesso em 27 nov 2020 ZILL D G SHANAHAN PD A first course in complex analysis with applications Boston Jones and Bartlett 2003 Funções de variáveis complexas 14 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Funções de variáveis complexas 15 Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS