Singularidades e Resíduos em Variáveis Complexas - Teoria e Aplicações

VARIÁVEIS COMPLEXAS Tiago Loyo Silveira Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS Resíduos e polos Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer o resíduo de uma função na singularidade isolada Identificar um polo de ordem m e um polo simples na singularidade isolada Utilizar resíduos para calcular integrais Introdução No estudo das funções de variáveis complexas as funções analíticas e funções que possuem expansão em série de Laurent possuem lugar especial já que permitem a manipulação do seu domínio e possível remoção de pontos singulares internos ao contorno da função Neste capítulo vamos expandir os conceitos sobre os pontos singula res Veremos a sua classificação e manipulação Ainda veremos que o polo é uma singularidade relevante ao nosso estudo e por fim concluiremos com o uso das singularidades para a resolução de integrais Singularidades e resíduos Os conceitos de funções analíticas e expansões em série de Laurent são de grande importância para a compreensão de singularidades Portanto vamos relembrar esses conceitos Funções analíticas Dizemos que uma função f de variáveis complexas é analítica se ela está defi nida em um conjunto aberto Temos ainda que f é diferenciável e holomorfa ou seja uma função f é analítica se puder ser representada por Cap6VariaveisComplexasindd 1 01032018 151600 uma série de potências O termo holomorfa nos diz que f é diferenciável em algum disco aberto C pertencente ao domínio de f e centrado em um ponto z0 Singularidades Até agora estudamos as funções analíticas e funções que podem ser expressas como séries de potências Porém dado o domínio de uma função f é possível que haja um ponto onde f não é analítica ou um disco centrado nesse ponto Esse ponto é denominado singularidade Ponto singular Sejam um aberto conexo uma função complexa e Dizemos que é um ponto singular de f se e somente se ou não existe Singularidade isolada Sejam um aberto conexo uma função complexa e um ponto singular de f Dizemos que é um ponto singular isolado se e somente se existe um disco aberto de centro em tal que é o único ponto singular de f que pertence ao disco Caso contrário é dito um ponto singular não isolado Sendo um ponto singular isolado interior de f Da definição de ponto singular isolado existe uma vizinhança na qual f é analítica exceto no próprio ponto digamos Então nessa região a função f pode ser representada pela Série de Laurent Essa região tem representação gráfica circular com o seu contorno definido por um número complexo Figura 1 Resíduos e polos 2 Cap6VariaveisComplexasindd 2 01032018 151600 Figura 1 Função analítica representada por uma série de Laurent onde os coefi cientes são dados por e onde C é um contorno fechado contido em envolvendo uma vez no sentido positivo No desenvolvimento acima o coeficiente do termo é chamado resíduo de f no ponto e escrevemos 3 Resíduos e polos Cap6VariaveisComplexasindd 3 01032018 151600 Existem três tipos de singularidades isoladas singularidade removível uma singularidade é chamada de removível se a sua série de potências possuir apenas termos nulos ou de expoente positivos Seja a expressão Se todas as parcelas tiverem os coeficientes a b c e d iguais a zero o que vem na sequência será uma singularidade removível Outra análise pode ser feita se no ponto singular p existir o limite Ou seja o cálculo do limite de f tendendo ao ponto de singularidade nos dirá se a singularidade é ou não removível Considere a função Essa função é analítica em todos os pontos fora da origem mas na origem é des contínua pois Dessa forma a expansão em séries de fz ao redor do disco na origem removível é Nesse caso não aparecem potências negativas de z Então basta definirmos f0 1 para conseguirmos que f seja analítica em todos os pontos polo de ordem m se um ponto z0 é uma singularidade isolada da função f o ponto z0 será dito polo de ordem m com se e somente se for finito e diferente de zero onde m é o maior expoente dos denominadores da expansão em série de potências Resíduos e polos 4 Cap6VariaveisComplexasindd 4 01032018 151601 Considere a função Nesse caso teremos como série de potências uma série de Laurent do tipo Dizemos que essa função possui um polo de ordem 4 em z 0 Nesse caso a expansão em séries de potência só é válida fora do disco que possua o polo z 0 O disco pode ser tão pequeno quanto for preciso desde que ele possua o polo z 0 no seu interior singularidade essencial quando ocorre para um número infinito de valores de n Considere a função A sua série de Laurent será Temos que o ponto z 0 é uma singularidade essencial Polos Seja uma função f tal que possa ser expressa na forma de uma série de Laurent em torno de um ponto singular isolado A sua representação em série de potência possui um número fi nito de potências negativas de forma que possa ser expressa por 5 Resíduos e polos Cap6VariaveisComplexasindd 5 01032018 151601 quando para algum número r 0 O ponto é chamado de polo de ordem m da função f Quando m 1 dizemos que é um polo simples Observe que os denominadores do coeficiente possuem expoente negativo na sua representação decimal Esse quantitativo de deno minadores é finito enquanto a expansão em série do coeficiente an vai para Vejamos a seguinte proposição Se um ponto z0 é uma singularidade isolada da função f o ponto z0 será dito polo de ordem m com se e somente se for finito e diferente de zero Veja a demonstração De z0 polo de ordem m temos quando para algum número r 0 Vamos multiplicar os termos da equação por Aplicando o limite obtemos Portanto o limite é finito e diferente de zero Como z0 é um ponto singular isolado então tal que onde Resíduos e polos 6 Cap6VariaveisComplexasindd 6 01032018 151601 Vamos multiplicar os termos da equação por Aplicando o limite obtemos Entretanto sabemos que o somatório vai para zero quando Então restanos analisar o somatório quando Vamos dividir em casos 1 Se n m então 2 Se n m então 3 Se n m então Mas por hipótese temos Então devemos ter Logo bm 0 e bm1 bm2 0 Dessa forma z0 é polo de ordem m 7 Resíduos e polos Cap6VariaveisComplexasindd 7 01032018 151602 Seja a expressão Se nas parcelas existirem coeficientes a b c e d diferentes de zero dizemos que o expoente da parcela de maior grau é também a ordem do polo Ou seja na expressão dada se a 0 dizemos que o polo é de ordem 4 Se uma função possui polo de ordem maior ou igual a 2 podemos obter o resíduo por meio da expressão onde n é o expoente da ordem máxima do polo Se a função f é do tipo e possuir um polo simples em z0 então o seu resíduo pode ser obtido pela expressão Resíduos em integrais complexas Como defi nimos o coefi ciente da série de Laurent é denominado resíduo da função fz no ponto z0 e escrevemos Vimos que z0 será uma singularidade removível se e somente se existir Nesse caso fz não possui resíduo no ponto z0 e escrevemos Por outro lado se z0 é um polo de ordem m Então se m 1 Resíduos e polos 8 Cap6VariaveisComplexasindd 8 01032018 151602 Dessa forma se uma função fz singularidades a exemplo z0 é analítica no interior de um contorno C com a remoção da singularidade Então ao redor de cada singularidade pertencente ao contorno C existe um disco definido por uma série de Laurent com raios diferentes mas que convergem para o ponto singular Para calcular a integral em cada ponto singular z0 podemos nos utilizar do resíduo no ponto De forma que Ou pelo somatório de todos os resíduos Exemplo 1 Determine o resíduo da função onde a b c são números reais e Solução Para determinar os pontos singulares façamos az2 bz c 0 Temos que as raízes dessa equação são e Como podemos reescrever as raízes como e Escrevendo onde pz 1 e temos e e Ou seja Portanto z0 é polo simples e o resíduo é Para z1 se segue de forma análoga 9 Resíduos e polos Cap6VariaveisComplexasindd 9 01032018 151602 Exemplo 2 Calcule a integral Solução Certamente um dos polos é z 0 Fazendo portanto com Mas observe que se qualquer que seja k 0 o ponto não faria mais parte do contorno logo nosso único polo é z 0 g0 0 e z 0 resfz 0 ou simplesmente resf0 Saiba mais sobre as séries de Laurent e a sua representação nas funções de variáveis complexas SÉRIES 2018 httpsgooglUu27Hx Saiba mais sobre as funções analíticas e a sua importância para nosso estudo de variáveis complexas RAMOS 2013 httpsgooglhznDEp Acompanhe uma aula sobre a classificação das singularidades IEEEACADEMIC 2014 httpsgooglKLLgjG Resíduos e polos 10 Cap6VariaveisComplexasindd 10 01032018 151603 1 Qualais ésão os resíduos da função a e b e c i d i e e 2 Qual é o tipo de singularidade e o resíduo da função a Singularidade removível resf 0 b Polo simples resf 1 c Singularidade removível resf 1 d Polo simples resf 2 e Singularidade essencial resf 0 3 Determine a integral ao longo do círculo C de raio a b 2 c 1 d 1 e 0 4 Na função um dos polos de ordem 1 tem singularidade z i Qual é o seu resíduo a ei b ei 13 9i c 103ei 13 9i d e ei 5 Calcule os resíduos da função a b 2 c 0 d 1 e 1 IEEEACADEMIC PORTUGAL Classificação de singularidades YouTube 2014 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvFQTmGLwjZQk Acesso em 21 fev 2018 RAMOS P Variáveis complexas funções analíticas YouTube 2013 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvbNdFLs0ZaSY Acesso em 21 fev 2018 SERIES de Laurent Aracaju CESADUFS 2018 Disponível em httpwwwcesadufs combrORBIpublicuploadCatalago19154416022012VariC3A1veisComple xas10pdf Acesso em 20 fev 2018 11 Resíduos e polos Cap6VariaveisComplexasindd 11 01032018 151605 Leituras recomendadas JESUS D V Aplicações do teorema do resíduo 2007 79 f Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em Matemática Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2007 Disponível em httpsrepositorioufscbrbitstreamhandle12345678996550 Daynittipdfsequence1 Acesso em 20 fev 2018 MORICONI M Variáveis complexas e aplicações a vida é mais simples no plano com plexoNiterói UFF 2018 Disponível em httpprofsifuffbrmoriconicomplex complexpdf Acesso em 20 fev 2018 PIRES G E Notas em análise complexa Lisboa Instituto Superior Técnico 1998 Dis ponível em httpswwwmathtecnicoulisboaptgpiresComplexacomplexa pdf Acesso em 21 fev 2018 SINGULARIDADES e Resíduos Lisboa Instituto Superior Técnico 2018 Disponível em httpsfenixtecnicoulisboaptdownloadFile3779572089125acedapontamentos sec6pdf Acesso em 21 fev 2018 Resíduos e polos 12 Cap6VariaveisComplexasindd 12 01032018 151605 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra