Limite e Continuidade de Funções Complexas

1 Sejam A um subconjunto aberto de C e f AC uma função de variáveis complexas Dado z0 A dizse que w A é de f quando z A tende a z0 se para todo ε 0 existe um δ 0 tal que se 0 z z0 δ então fz w0 ε Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna A a perturbação B o limite C o ponto fixo D a derivada E o coeficiente angular 2 O cálculo dos limites envolvendo funções complexas se assemelha ao cálculo dos limites de funções reais No entanto no primeiro caso estáse trabalhando no corpo dos números complexos e no segundo com o corpo dos números reais Considerando a propriedade operatória limzz0 f2zf1z w2w1 Sendo f1 f2 A C e A C calcule limz1i 4z2 8iz2 2z 2 Após o cálculo assinale a alternativa correta A 2 2i B 2 2i C 4 4i D 4 4i E 1 4i 3 Muitas estratégias empregadas para o cálculo dos limites de funções reais também podem ser empregadas para o caso das funções complexas Julgue as afirmações que seguem classificandoas em verdadeiras V ou falsas F O limite limzi z2 3 5z3 é igual a 25i O limite limz1 1z2 1 é igual a 1 O limite limz z3 z2 3z2 z é igual a O limite limz 5z2 z1 3z2 z é igual a 53 Feito isso assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas de cima para baixo A V V F F B V F V F C V V F V D V F V V E F F V V 1 B O limite Por definição dado z₀ A dig se que W₀ A é limite de f quando z A tende a z₀ se para todo ϵ 0 existe um δ 0 tal que se 0 z z₀ δ então fz W₀ ϵ Ou seja lim zz₀ fz W₀ 2 c 4 4i lim z1i z² 8iz² 2z 2 LH lim z1i 8z2z 2 lim z1i 4zz 1 41 ii i4 4iii 4 4i 3 V F V V letra D lim zi z² 35z³ i² 35i³ 25i lim zi 1z² 1 não existe o limite lim z z³ z²3z² z lim z z²z 1z²3 1z lim z z 13 1z o numerador vai para infinito enquanto o denominador para 3 lim z 5z² z3z² z lim z z²5 1zz²3 1z lim z 5 1z3 1z 53 4 c A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa A técnica usada está correta mas há um erro algébrico em II e o correto seria lim z 5z³ 42z³ 1 lim z z³ 5 4z³z³ 2 1z³ lim z 5 4z³2 1z³ 52 Digitalizado com CamScanner O limite de fz tende a L quando z tende ao infinito z se para todo ϵ 0 existir R 0 tal que fz L ϵ sempre que z A e z R Assim ϵ 0 R 0 z A e z R f z L ϵ Julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas I O lim z 5z³42z³1 existe é finito e igual a 52 Porque II lim z 5z³42z³1 lim z z³5 4zz³2 1z lim z 54z21z 52 A respeito das asserções I e II assinale a alternativa correta A As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta da I B As asserções I e II são proposições verdadeiras mas a II não é uma justificativa correta da I C A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa D A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira E As asserções I e II são proposições falsas Sejam A B C abertos considere as funções de variáveis complexas f₁ AC f₂ AC e g BC sendo que f₁ A B Suponha que as funções f₁ e f₂ são ambas contínuas em z₀ A e a função g é contínua em f₁z₀ Nesse contexto julgue as afirmações que seguem I Sejam f₁z f₂z como apresentados então f₁z f₂z f₁ f₂z é contínua II Seja f₁ como apresentado sendo f₁z 0 então 1f₁z é contínua III Sejam f₁z gz como apresentados então g f₁ AC é contínua em z₀ Está correto o que se afirma em A I apenas B I e II apenas C II e III apenas D I e III apenas E I II e III 5 E I II e III Pois a soma de funções contínuas em algum z0 C é ainda contínua quanto a segunda afirmação dado que f1z0 0 e f1 é continua então é válido que 1f1z0 hz0 seja contínua em z0 E por fim a composição de funções contínuas é ainda uma função contínua