Fórmula Integral de Cauchy - Variáveis Complexas e Aplicações

VARIÁVEIS COMPLEXAS Tiago Loyo Silveira Fórmula integral de Cauchy Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir a integral de Cauchy a partir da fórmula comumente utilizada no cálculo Resolver integrais envolvendo variáveis complexas a partir da fórmula de Cauchy Utilizar a fórmula integral de Cauchy em situações aplicadas Introdução Neste capítulo vamos abordar a fórmula da integral de Cauchy que recebe esse nome em homenagem a Augustin Louis Cauchy A fórmula de Cauchy é um importante teorema para a análise complexa A fórmula nos diz que uma função holomorfa definida em uma curva simples fechada C é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva Dessa forma será possível determinar a integral da curva desconsiderando a sua singularidade Integral de Cauchy Seja uma função f analítica em um conjunto aberto em cada ponto de G dessa função existe uma expansão em série de potências Da definição de conjunto conexo temos que um conjunto Ω é conexo se não pode ser dividido em dois subconjuntos fechados simples em que não haja pontos em comum entre eles Ou seja um espaço é conexo se para percorrer os intervalos entre dois pontos quaisquer não for preciso sair do espaço delimitado pelo conjunto U N I D A D E 3 02996VariaveisComplexasindb 73 21032018 151757 Teorema de Cauchy Sejam Ω um conjunto simplesmente conexo um contorno contido em Ω orientado no sentido antihorário Se f é uma função analítica então para todo contido no interior de A integral acima também é comumente representada com o símbolo da integral de linha já que a integral é em um percurso circular Porém esse diferencial é apenas estético e gráfico não prejudicando nosso desenvolvimento Uma generalização para a integral de Cauchy sendo a função analítica é onde n é a derivada nésima no ponto a Essa fórmula é denominada integral de Cauchy generalizada que afirma que uma função é analítica em um ponto então as suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto além de serem analíticas nesse ponto Observe que a integral generalizada para n 1 nos dá a fórmula da integral de Cauchy inicial Decorre o teorema da integral de Cauchy Fórmula integral de Cauchy 74 02996VariaveisComplexasindb 74 21032018 151758 Vamos supor uma função f holomorfa o mesmo que analítica dentro de um caminho regular sendo um caminho simples que faz uma volta em torno do ponto a no sentido antihorário Vamos calcular Como fz está dividido por z a temos que a é uma singularidade de f nesse caso existe uma série de potência de a delimitada Se percorrido o caminho por e usarmos o conceito de ponte para o contorno de a teremos que os caminhos e se anulam já que estão em sentidos contrários Na prática essa ponte ocorre no mesmo ponto da curva O resultado pode ser mostrado pelo integral de fora menos o integral de dentro quando não houver singularidade na área hachurada sendo R o raio da circunferência que circunscreve a 75 Fórmula integral de Cauchy 02996VariaveisComplexasindb 75 21032018 151758 Mas se então e Vamos fazer uma substituição de variável com Quando w tende a zero tende à derivada da função Mas sendo a função holomorfa conforme mencionado no início da demonstração o seu módulo é menor ou igual ao produto do majorante M dividido pelo módulo de 2Π e pelo comprimento da curva de raio R Como R é o raio da circunferência que envolve a singularidade ela está contida na função f então a desigualdade é válida em especial quando R tende a zero Nesse caso o módulo vai para zero Sendo o módulo majorado por zero temos que Nos restando apenas Faremos então Portanto Fórmula integral de Cauchy 76 02996VariaveisComplexasindb 76 21032018 151759 Existem diversas demonstrações para a integral de Cauchy Algumas simples outras elegantes e algumas que acabam precisando do uso de várias ferramentas de cálculo É bom conhecer alguns destes caminhos Demonstração da integral de Cauchy de forma geométrica IEEEACADEMIC 2014a httpsgooglmDZauA Uma demonstração simples da Fórmula Integral de Cauchy PAULA 2014 httpsgooglNTQKXU Integral de Cauchy e números complexos Diferentemente de integrais no plano real em que o comportamento é previsí vel o plano complexo pode apresentar diferentes integrais para determinadas situações como por exemplo percorrer o caminho entre dois pontos Figura 1 Caminho entre dois pontos Para forçarmos que o caminho percorrido entre i e 1 seja o caminho em cinza faremos com parte real x t e parte imaginária y 1 t 77 Fórmula integral de Cauchy 02996VariaveisComplexasindb 77 21032018 151759 Para a integral do caminho dZ dx idy então Como e com 0 t 1 temos que Que tem como primitiva que é a integral procurada Outra forma de calcular a mesma integral é a seguinte Sendo Z t i it então e dZ 1 i dt Portanto Fórmula integral de Cauchy 78 02996VariaveisComplexasindb 78 21032018 151759 Nos importa perceber do exemplo acima que independentemente do caminho sendo Z um número complexo será dado por não importando o caminho Determinar para o mesmo segmento de i até 1 Solução Temos como primitiva Agora vejamos um exemplo com duas singularidades Determinar ou seja uma integral com singularidades em e 3 79 Fórmula integral de Cauchy 02996VariaveisComplexasindb 79 21032018 151800 Vamos usar a soma dos integrais de Cauchy para as duas singularidades de forma que Para ½ Por Cauchy temos Para 3 Por Cauchy temos Como Assim temos que Fórmula integral de Cauchy 80 02996VariaveisComplexasindb 80 21032018 151800 Integral de Cauchy em situações aplicadas As integrais de Cauchy têm diversas aplicações práticas Entretanto o processo de integração é passo necessário ao teorema do resíduo Contudo somente com a fórmula integral de Cauchy já é possível deduzir as suas diversas apli cações práticas e industriais para determinar por exemplo a área de contornos defi nidos por funções que contenham uma singularidade interna Ao longo deste capítulo vimos vários exemplos que poderiam ser traduzidos para esse tipo de situação Acesse o link abaixo ou o código ao lado para ver uma demonstração da fórmula de Cauchy IEEEACADEMIC 2014b httpsgoogluAJ2Fd 1 Qual é o valor de onde a b c 0 d 2 e 2 Qual é o valor de onde a b c 0 d 2 e 81 Fórmula integral de Cauchy 02996VariaveisComplexasindb 81 21032018 151801 IEEEACADEMIC PORTUGAL A fórmula de Cauchy demonstração YouTube 2014b Dispo nível em httpswwwyoutubecomwatchvvemIyEyAFYg Acesso em 20 fev 2018 IEEEACADEMIC PORTUGAL O teorema de Cauchy YouTube 2014a Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv9pMv4eO9eK0 Acesso em 20 fev 2018 PAULA H L Uma demonstração simples da Fórmula Integral de Cauchy 2014 29 f Monografia Especialização em Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte 2014 Disponível em httpwwwbibliotecadigitalufmgbrdspacebitstreamhan dle1843EABA9MFJ8Gmonografiahellenpdfsequence1 Acesso em 20 fev 2018 Leituras recomendadas JESUS D V Aplicações do Teorema do Resíduo 2007 79 f Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em Matemática Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2007 Disponível em httpsrepositorioufscbrbitstreamhandle12345678996550 Daynittipdfsequence1 Acesso em 20 fev 2018 SASSE F D Fórmula Integral de Cauchy exemplo YouTube 2012 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvAmYVez8r8I4 Acesso em 20 fev 2018 WEISSTEIN E W Cauchy Integral Formula Wolfram MathWorld 2018 Disponível em httpmathworldwolframcomCauchyIntegralFormulahtml Acesso em 20 fev 2018 ZANI S L Funções de uma variável complexa São Paulo USP 2018 Disponível em httpconteudoicmcuspbrpessoasszanicomplexapdf Acesso em 20 fev 2018 3 Dado um contorno fechado qual é o valor de a b c d e 4 Dada um contorno fechado qual é o valor de a b c d e 5 Seja um contorno que envolve a origem A integral tendo e é a 0 b 1 c 2 d e Fórmula integral de Cauchy 82 02996VariaveisComplexasindb 82 21032018 151802 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS