Derivação e Integração Complexa - Variáveis Complexas e Aplicações

VARIÁVEIS COMPLEXAS Tiago Loyo Silveira Conteúdo SAGAH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS Derivação e integração complexa Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir derivada de funções complexas Conceituar integral de uma função complexa Determinar a derivada e a integral de algumas variáveis complexas Introdução Neste capítulo você verá os conceitos de derivadas e integrais de funções de variáveis complexas Em muitos aspectos ambas são semelhantes às derivadas e integrais reais mas é justamente o que as diferencia que constitui a importância para as funções de variáveis complexas Você verá que as integrais complexas diferentemente das reais não representam uma área mas um contorno ou traçado Dessa forma as funções complexas traçam caminhos que de certa forma podem parecer irregulares mas têm diversas aplicações práticas desde o simples períme tro de curvas irregulares até aplicações nas engenharias relacionadas à eletricidade e aos comprimentos de onda que podem ser convergentes ou divergentes Derivada de funções complexas A derivada de uma função de variável complexa é similar a uma função de variável real em quase todos os aspectos Uma das diferenças fi ca por conta do limite existente na defi nição da derivada Nas funções de variáveis com U N I D A D E 2 02996VariaveisComplexasindb 33 21032018 151744 plexas é de dimensão dois A defi nição de derivada de uma função de variável complexa é dada por Se existe esse limite a função f possui derivada Uma mesma re presentação simplificada para seria Observe ainda que Δz é a variação Dessa forma a definição da derivada complexa ainda pode ser escrita da seguinte forma Usando propriedades básicas de limites e derivadas podemos citar algumas derivações complexas Sendo z um número complexo e funções deriváveis de z c uma constante complexa e Temos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Derivação e integração complexa 34 02996VariaveisComplexasindb 34 21032018 151744 10 11 uma função composta onde existe no ponto e existe Condições necessárias e condições suficientes para a existência da derivada Vamos enunciar dois teoremas O primeiro trata das condições necessárias para que uma função de uma variável complexa seja derivável e o segundo traz as condições para a existência da derivada da função As condições são sobre as partes real e imaginária da função complexa decomposta em duas funções reais de variáveis reais Condições necessárias Se a derivada de uma função fz uxy ivxy existe em um ponto z então as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y de cada uma das partes u e v existem nesse ponto e satisfazem às condições de CauchyRiemann e Além disso a derivada da função f é dada por Condições suficientes Sejam u uxy e v vxy funções reais com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um ponto Se essas derivadas satisfazem as condições de CauchyRiemann e Então nesse ponto a derivada da função f u iv existe sendo z x yi e 35 Derivação e integração complexa 02996VariaveisComplexasindb 35 21032018 151745 Conheça mais sobre as equações de CauchyRiemann INSTITUTO GOIANO DE MA TEMÁTICA 2010 IEEEACADEMIC 2014 httpsgooglpxeWXF httpsgooglXQdHsH Integral de funções complexas Sabemos que nas funções de variáveis reais uma integração representa a determinação de uma área Nos números complexos isso não ocorre Na verdade não há uma interpretação geométrica para a integral de uma função de variáveis complexas Defi nese a integral de uma função de variáveis complexas como um caminho ou curva Escrevemos uma função f de variáveis complexas na sua forma decomposta em duas funções de variáveis reais ft ut ivt onde u uxy e v vxy Sendo uma curva contínua A integral de f no intervalo ab é definida da seguinte forma Ou seja a integral da função de variáveis complexas é igual à soma das integrais das funções de variáveis reais Nas integrais complexas valem as seguintes propriedades 1 2 3 Derivação e integração complexa 36 02996VariaveisComplexasindb 36 21032018 151745 4 onde c é uma constante 5 Dissemos que a diferença na integral de uma função de variáveis reais e uma função de variáveis complexas é que essa última é um caminho ou curva Então vamos definir caminhos e curvas Sejam x xt e y yt funções contínuas de uma variável t definidas para t o intervalo ab Denominase curva o conjunto de todos os pontos xy determinado pelas equações x xt e y yt As equações x xt e y yt são chamadas equações paramétricas da curva e t é o seu parâmetro Quando x e y possuem derivadas contínuas para todo t no intervalo ab dizemos que a curva em questão é suave Um exemplo de curva suave são as circunferências Observe a representação de uma circunferência parametrizada de centro na origem Dizemos que uma curva parametrizada é fechada se xa xb e ya yb Se em cada ponto da curva corresponder um único valor t exceto quando t a e t b dizemos que a curva é simples Polígonos não entrelaçados como triângulos quadriláteros ou circunferências são exemplos de curvas fechadas simples Consideramos sentido positivo sobre uma curva C o sentido no qual a curva é traçada quando o parâmetro t cresce de a para b O sentido oposto é chamado de negativo Nesse caso utilizamos C para representar a curva no sentido negativo Já um caminho será definido por uma cadeia contínua e finita de curvas suaves Figura 1 37 Derivação e integração complexa 02996VariaveisComplexasindb 37 21032018 151745 Figura 1 Caminho composto de 5 curvas Integrais de curvas Sejam C uma curva representada por x xt y yt com e f uma função da variável complexa z x yi contínua em C A integral cur vilínea de f ao longo de C que denotamos por é defi nida como Note que a integral pode ser escrita como As propriedades da integral de curva são semelhantes às propriedades das integrais definidas Nas propriedades a seguir vamos considerar que C é suave e que são funções contínuas sobre C onde c é uma constante onde C é um caminho de E até F e de F até G Derivação e integração complexa 38 02996VariaveisComplexasindb 38 21032018 151745 Figura 2 Soma de integrais de caminhos suaves Se para todo z em C então onde L é o comprimento de C ou seja Derivadas e integrais de funções de variáveis complexas Agora conhecemos os processos básicos que envolvem a derivação e a integração de funções complexas Sabemos que derivação e integração caminham de paralelamente então vejamos o seu desenvolvimento nos exemplos abaixo 39 Derivação e integração complexa 02996VariaveisComplexasindb 39 21032018 151746 Derivadas de funções de variáveis complexas Mostre que Solução Calcule a derivada da função em um ponto qualquer Solução Usando as propriedades do cubo de uma soma temos Como em nosso limite inicial então as parcelas tendem a zero Logo a derivada da função para um ponto qualquer é Integrais de funções de variáveis complexas Considere a função Calcule o valor da integral onde C é o segmento reto de z 0 a z 1 i Derivação e integração complexa 40 02996VariaveisComplexasindb 40 21032018 151746 Solução Graficamente nosso caminho deve ser conforme a Figura 3 Figura 3 Caminho Uma possível parametrização para a curva C é Usando Temos 41 Derivação e integração complexa 02996VariaveisComplexasindb 41 21032018 151746 Se C é o contorno do quadrado com vértices nos pontos z 0 z 1 z 1 i e z i mostre que Solução Para calcular a integral dividimos C em quatro caminhos conforme mostra a Figura 4 Figura 4 Caminho de integração Dessa forma temos como equações paramétricas Em todos as equações Como podemos escrever Usando temos Derivação e integração complexa 42 02996VariaveisComplexasindb 42 21032018 151747 Então Reveja as parametrizações de curvas e a sua representação no plano cartesiano O MATEMÁTICO 2014 httpsgoogldkntst A constante de Euler tem diversas aplicações em funções naturais No vídeo do link abaixo você poderá relembrar os conceitos desse irracional e acompanhar a sua aplicação em funções de variáveis complexas AMARAL 2016 httpsgooglAu6uBv 43 Derivação e integração complexa 02996VariaveisComplexasindb 43 21032018 151747 1 Dada a função com z 0 Qual é o valor de a b c d e 2 Calcule a derivada da função polinomial a b c d e 3 Calcule a primeira derivada da função a b c d e 4 Calcule a integral da função ao longo do caminho C de função caminho retilíneo ligando os pontos 00 a 24 a b c d e 5 Calcule a integral ao longo do caminho C onde com conforme a Figura de suporte abaixo a b c d i e Derivação e integração complexa 44 02996VariaveisComplexasindb 44 21032018 151748 AMARAL B A Exponencial Complexa YouTube 2016 Disponível em httpswww youtubecomwatchvKvWuu2xT74 Acesso em 21 fev 2018 IEEEACADEMIC PORTUGAL As equações de CauchyRiemann I YouTube 2014 Disponí vel em httpswwwyoutubecomwatchvTREDJwsdNFs Acesso em 21 fev 2018 INSTITUTO GOIANO DE MATEMÁTICA Equações de CauchyRiemann Goiânia 2010 Disponível em httpwwwigmmatbraplicativosindexphpoptioncomcon tentviewarticleid4453Acauchycatid383AconteudosfvcItemid40 Acesso em 21 fev 2018 O MATEMÁTICO Grings Gráfico de curvas paramétricas Aula 1 YouTube 2014 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvtGzAQBSXwng Acesso em 21 fev 2018 Leituras recomendadas JESUS D V Aplicações do teorema do resíduo 2007 79 f Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em Matemática Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2007 Disponível em httpsrepositorioufscbrbitstreamhandle12345678996550 Daynittipdfsequence1 Acesso em 20 fev 2018 MORICONI M Variáveis complexas e aplicações a vida é mais simples no plano com plexoNiterói UFF 2018 Disponível em httpprofsifuffbrmoriconicomplex complexpdf Acesso em 20 fev 2018 SANTOS J C S O Análise complexa resolução de alguns exercícios do capítulo 2 Porto Universidade do Porto 2017 Disponível em httpwwwfcupptmpjcsantos PDFanalisecomplexasolucao2pdf Acesso em 21 fev 2018 ZANI S L Funções de uma variável complexa São Paulo USP 2018 Disponível em httpconteudoicmcuspbrpessoasszanicomplexapdf Acesso em 20 fev 2018 45 Derivação e integração complexa 02996VariaveisComplexasindb 45 21032018 151748 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra