Funções Analíticas em Variáveis Complexas - Definição, Propriedades e Aplicações

VARIÁVEIS COMPLEXAS Cristiane da Silva 1 Funções analíticas Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir funções analíticas Reconhecer as propriedades das funções analíticas Identificar a importância das funções analíticas no estudo das variáveis complexas Introdução As funções analíticas são uma parte da matemática com grande relevância em razão das suas aplicações em áreas como cartografia hidrodinâmica aerodinâmica elasticidade eletromagnetismo etc Neste capítulo você conhecerá as funções analíticas aprenderá a encontrar soluções para funções complexas e conhecerá teoremas importantes Definição Dizemos que uma função f de uma variável complexa z é analítica em um conjunto aberto S se f tiver uma derivada em cada ponto desse conjunto Além disso a função será analítica em um ponto z0 se for analítica em alguma vizinhança de z0 Cabe destacar que na literatura também são utilizados os termos regular ou holomorfa em vez de analítica No caso de uma função que é analítica em um conjunto S que não é aberto entendese que essa função é analítica em algum conjunto aberto que contém S Chamamos de inteira uma função analítica em cada ponto de todo o plano complexo BROWN CHURCHILL 2015 02996VariaveisComplexasindb 47 21032018 151748 A função é analítica em cada ponto não nulo do plano finito pois a sua derivada existe em um tal ponto A função não é analítica em ponto algum pois a sua derivada existe apenas em z 0 e não em todos os pontos de alguma vizinhança Como a derivada de um polinômio existe em toda parte segue que qualquer polinômio é uma função inteira Fonte Brown e Churchill 2015 p 72 Outro ponto importante é que uma condição necessária para uma função ser analítica em um domínio D é a continuidade dessa função em cada ponto de D Além disso a validade das equações de CauchyRiemann também é necessária embora não suficiente Outras condições suficientes vêm das regras de derivação As derivadas da soma e do produto das duas funções existem em cada ponto em que cada uma dessas funções tiver derivada BROWN CHURCHILL 2015 Brown e Churchill 2015 p 74 destacam ainda que se uma função não for analítica em um ponto z0 mas for analítica em cada ponto de alguma vizinhança de z0 z0 é uma singularidade ou ponto singular de f O ponto z 0 é uma singularidade da função Por outro lado a função não tem singularidades por não ser analítica em ponto algum Funções analítica real versus função analítica complexa Uma função real f fx pode ter a primeira derivada contínua mas não possuir a segunda derivada Já no sistema complexo isso não ocorre pois se f fz temse a primeira derivada e também todas as outras derivadas Vejamos um exemplo em relação à analiticidade Funções analíticas 48 02996VariaveisComplexasindb 48 21032018 151749 Podemos exibir uma função real f f x que não é analítica mas cuja equivalente complexa f f z é analítica Por exemplo a função real definida por f0 0 e se x 0 não é analítica mas a função complexa definida por f 0 0 e se z 0 é analítica em todo o plano complexo Fonte Toffoli 2006 Propriedades Brown e Churchill 2015 apontam algumas propriedades das funções analíti cas Os autores explicam que se duas funções são analíticas em um domínio D então a soma e o produto dessas funções são funções analíticas em D A composição de duas funções analíticas é analítica o que pode ser visto a partir da regra da cadeia da derivada de uma função composta Outra propriedade útil das funções analíticas é que se em cada ponto de um domínio D então f z é constante em D Funções harmônicas Brown e Churchill 2015 p 77 grifo nosso defi nem funções harmônicas da seguinte forma Dizemos que uma função real H de duas variáveis reais x e y é harmônica em um dado domínio do plano xy se as derivadas parciais de segunda ordem de H existirem em forem contínuas em cada ponto do domínio e satisfize rem a equação diferencial parcial Hxx xy Hyy xy 0 conhecida como equação de Laplace Essas funções possuem aplicações matemáticas importantes Por exemplo as temperaturas Txy de placas finas do plano xy são muitas vezes harmô nicas A função Vxy que representa um potencial eletrostático que varia somente com x e y no interior de alguma região do espaço tridimensional livre de cargas também é harmônica BROWN CHURCHILL 2015 Vejamos um exemplo de função harmônica 49 Funções analíticas 02996VariaveisComplexasindb 49 21032018 151749 É fácil verificar que a função Txy ey sen x é harmônica em qualquer domínio do plano xy e em particular na faixa vertical semiinfinita 0 x πy 0 Os valores dessa função nas arestas da faixa estão indicados na figura abaixo Essa função satisfaz todas as condições Que descrevem as temperaturas estacionárias Txy de uma placa homogênea fina do plano xy sem fontes ou poços de calor e que esteja isolada exceto pelas condições indicadas ao longo das arestas Fonte Brown e Churchill 2015 p 7778 Brown e Churchill 2015 p 78 destacam um teorema que é fonte de funções harmônicas é o seguinte Se uma função fz uxy ivxy é analítica em um domínio D então suas funções componentes u e v são harmônicas em D Bourchtein e Bourchtein 2014 definem uma função harmônica na região D como aquela que satisfaz à equação de Laplace Princípio da reflexão Essa é uma propriedade de algumas funções analíticas Por exemplo as fun ções z 1 e z2 têm essa propriedade em todo o plano complexo mas isso não acontece com as funções z i e iz2 O teorema conhecido como princípio da Funções analíticas 50 02996VariaveisComplexasindb 50 21032018 151749 refl exão fornece uma maneira de detectar quando vale Vejamos o teorema e a sua demonstração BROWN CHURCHILL 2015 p 8384 Teorema Suponha que uma função f seja analítica em algum domínio D que contém um segmento do eixo x e cuja metade inferior é a refl exão da metade superior em relação a esse eixo Então em que cada ponto z do domínio se e somente se fx é real em cada ponto x do segmento Começamos a demonstração supondo que fx seja real em cada ponto x do segmento Para obter a equação 1 mostramos que a função é analítica em D Para estabelecer a analiticidade de Fz escrevemos e observamos que Segue da equação 2 que os componentes de Fz e fz estão relacionados pelas equações e em que t y Como fx it é uma função analítica de x it as derivadas parciais das funções uxt e vxt são contínuas em D e satisfazem as equações de CauchyRiemann 51 Funções analíticas 02996VariaveisComplexasindb 51 21032018 151750 Além disso pelas equações 4 temos E segue dessas equações e da primeira das equações de 5 que Ux Vy Analogamente E a segunda das equações 5 nos diz que Uy Vx Já que verificamos que as derivadas de primeira ordem de Uxy e vxy satisfazem as equações de CauchyRiemann e como essas derivadas parciais são contínuas estabelecemos que a função Fz é analítica em D Além disso como fx é real no segmento do eixo real contido em D sabemos que vx0 0 nesse segmento em vista das equações 4 isso significa que Assim em cada ponto do segmento Disso segue que a equação 6 é válida em D pois uma função analítica defi nida em um domínio D é determinada de maneira única por seus valores em qualquer segmento de reta contido em D Pela defi nição 2 da função Fz segue então que O que corresponde à equação 1 Funções analíticas 52 02996VariaveisComplexasindb 52 21032018 151750 Para provar a recíproca do teorema vamos supor que valha a equação 1 Observe que pela equação 3 a forma 7 da equação 1 pode ser reescrita como Em particular se x0 for um ponto do segmento do eixo real que está contigo em D então E igualando as partes imaginárias vemos que vx0 0 Logo fx é real no segmento do eixo real contido em D Funções analíticas e variáveis complexas A teoria das funções analíticas apresenta grandes riquezas em termos de propriedades e formalidade Além disso tem fundamental importância em aplicações à física e à técnica Trataremos aqui da representação de funções analíticas por séries Convergência Brown e Churchill 2015 explicam que uma sequência infi nita z1 z2 zn de números complexos tem um limite z se dado qualquer número positivo ε existir algum inteiro positivo n0 tal que Ou seja com valores suficientemente grandes de n os pontos zn estão em qualquer vizinhança dada de z como mostra a Figura 1 53 Funções analíticas 02996VariaveisComplexasindb 53 21032018 151750 Figura 1 Convergência Fonte Adaptada de Brown e Churchill 2015 p 180 Podemos escolher ε tão pequeno quanto quisermos assim os pontos zn estarão arbitrariamente próximos de z à medida que os seus índices crescem O valor de n0 que é necessário depende em geral do valor de ε Uma sequên cia tem no máximo um limite Dizse que a sequência converge a z quando o limite z existir BROWN CHURCHILL 2015 Podemos representar da seguinte forma Se uma sequência não tiver limite ela diverge Brown e Churchill 2015 p 179180 destacam o seguinte teorema Su ponha que e Então se e só se e Vejamos dois exemplos um de uma sequência que converge outro de uma que diverge Funções analíticas 54 02996VariaveisComplexasindb 54 21032018 151750 Exemplos Exemplo 1 A sequência converge a 1 pois Também podemos usar a definição 1 para obter esse resultado Mais precisamente É necessário ser cuidadoso na adaptação do teorema a coordenadas polares Exemplo 2 Considerando a mesma sequência do exemplo anterior Usando coordenadas polares em que Argzn denota os argumentos principais Vemos que mas É evidente que não existe o limite de se n tender ao infinito Fonte Brown e Churchill 2015 p 181 55 Funções analíticas 02996VariaveisComplexasindb 55 21032018 151750 1 No que diz respeito à definição de função analítica é correto afirmar que a Uma função f de uma variável complexa z é analítica em um conjunto aberto S se f tiver uma derivada em cada ponto desse conjunto b A função é analítica em um ponto z0 apenas se não for analítica em alguma vizinhança de z0 c Se f for analítica em um ponto z0 então f não será analítica em cada ponto de alguma vizinhança de z0 d Uma função só será analítica em um conjunto S aberto e Uma função não é analítica em um conjunto aberto que contém S 2 Para uma função ser analítica é necessário a e suficiente a validade das equações de CauchyRiemann b que considerando um domínio D haja a descontinuidade dessa função em cada ponto de D c lembrar das condições suficientes que vêm das regras de antiderivação d lembrar das condições que vêm das regras de radiciação e a validade das equações de CauchyRiemann embora isso por si só não seja suficiente 3 No que diz respeito às funções analítica real e analítica complexa analise a afirmativa correta a Uma função real f fx precisa necessariamente ter a primeira derivada contínua e também possuir a segunda derivada b No sistema complexo f fz temse apenas a primeira derivada c A função complexa definida por f0 0 e fz e1z se z 0 é analítica em todo o plano complexo d Uma função real f fx que não é analítica não terá equivalente complexa analítica e A função complexa definida por f0 0 e fz e1z se z 0 não é analítica em todo o plano complexo 4 Considerando a função exponencial ex com x real as propriedades básicas são Se desejarmos uma função exponencial complexa ez com as mesmas propriedades escrevemos z x iy Então é correto afirmar que a b c d e Funções analíticas 56 02996VariaveisComplexasindb 56 21032018 151751 BOURCHTEIN L BOURCHTEIN A Teoria das funções de variável complexa Rio de Janeiro LTC 2014 BROWN J W CHURCHILL R V Variáveis complexas e aplicações 9 ed Porto Alegre McGrawHill 2015 TOFFOLI S F L Variáveis complexas derivadas de funções complexas 2006 Disponível em httpwwwuelbrprojetosmatessencialsuperiorvcvc06htm Acesso em 15 mar 2018 5 As funções analíticas podem ser representadas por séries Brown e Churchill 2015 explicam que uma sequência infinita z1 z2 zn de números complexos tem um limite z se dado qualquer número positivo Ɛ existir algum inteiro positivo n0 tal que zn z Ɛ se n n0 Nesse contexto é correto afirmar que a uma sequência pode ter vários limites b uma sequência diverge de z quando o limite z existir c uma sequência converge a z quando não tiver limite d uma sequência pode ser convergente e divergente ao mesmo tempo e uma sequência tem no máximo um limite 57 Funções analíticas 02996VariaveisComplexasindb 57 21032018 151752 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo sa gah SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS 15