Formula Integral de Cauchy

1 Qual o valor de γ 1z2 dz onde γ eit 0 t 2π A 12 B 12 12 C 0 D 2 E 2πi 2 Qual o valor de γ 1z2 dz onde γ 2 eit 0 t 2π A 12 12 B 12 12 C 0 D 2 E 2πi 3 Dado um contorno fechado γ z i 1 qual o valor de γ z²z² 2iz 3 dz A π2 π2 B 8π 8π C π π D 18π 18π E π4 π4 Fórmula Integral de Cauchy Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R Então fz0 12πi c fzzz0 dz onde z0 R e C é qualquer contorno fechado simples de R que envolve z0 uma vez no sentido positivo e cujo interior está contido em R 1 Temos que z0 2 e γ eit é o círculo unitário Observe que z0 2 não está dentro do contorno logo γ 1z2 dz 0 Resposta C 2 Neste caso γ 2 eit é o círculo unitário deslocado 2 unidades para direita ou seja é o círculo de raio 1 e centro 20i Observe que fz 1 e z0 2 logo 12πi γ 1z2 dz 2πi Resposta E 3 Temos que γ 12 i 1 1 é o círculo de raio 1 e centro i Para utilizar a fórmula de Cauchy vamos escrever z2z2 2iz 3 como soma de frações parciais Primeiro vamos dividir os polinômios z2z2 2iz 3 ou seja 1 z2 1z2 2iz 3 2iz 3 Ou seja 1z2 2iz 3 1 2iz 3z2 2iz 3 Soma e produto 4 Dado um contorno fechado γ z 4 qual o valor de γ 2zz2 1 dz A 2πi 2πi B πi πi C 2πi 2πi D πi2 πi2 E 4πi 4πi 5 Seja γ um contorno que envolve a origem A integral γ 1z2 dz tendo fz 1 e z0 0 é A 0 B 1 C 2 D π π E 2π 2π Agora considere A2i23i B2i Az 3Ai Bz Bi 2 i2 3i A Bz 3Ai Bi 2 i2 3i Assim A B 2i x i 3Ai Bi 3 Ai Bi 2 2 3Ai Bi 3 4i 4i 4 A 14 i 14 i i4 B 2i B 2i i4 8i i4 9i4 z2z2 2i 3 1zi i4 9i4z3i Observe que 3i está fora da região delimitada por y e que a integral de 1 sobre y é 0 logo integraly z2z2 2i 3 dz integraly i4zi z0 i é fz i4 Logo i4 12πi integraly fzzi dz integraly fzzi dz 2πi i4 i2 π2 π2 Resposta Provavelmente A 4 Temos que y é a circunferência de raio 4 centrada na origem Além disso 2zz2 1 2z z1z1 Az1 Bz1 Az A Bz B z1z1 A Bz A B z1z1 A B 2 2A 2 A 1 A B 0 1 B 2 B 1 Logo 2zz2 1 1z1 1z1 integraly 2zz2 1 dz integraly 1z1 dz integraly 1z1 dz Usando a fórmula integral de Cauchy duas vezes obtemos Z0 1 e fz 1 1 12πi integraly 1z1 dz integraly 1z1 dz 2πi Z0 1 e fz 1 1 12πi integraly 1z1 dz integraly 1z1 dz 2πi integraly 2z dzz2 1 4πi Resposta E 5 Temos que 1z2 ddz 1z logo podemos usar a fórmula integral de Cauchy para derivada integraly fzzz02 dz 2πi fz0 integraly 1z2 dz 2πi f0 2πi0 0 pois fz 1 Resposta A