Geometria Diferencial - Curvas Planas e Espaciais Cruzeiro do Sul

Geometria Diferencial I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Responsável pelo Conteúdo Profª Dra Ana Lucia N Junqueira Revisão Textual Esp Vinicius Oliveira Curvas Planas e Espaciais Curvas Planas e Espaciais Apresentar os conceitos de curvas no plano e no espaço e de parametrização de curvas pla nas e espaciais em particular a parametrização por comprimento de arco OBJETIVO DE APRENDIZADO Introdução Parametrização de Curvas Vetor Tangente à Curva Parametrização por Comprimento de Arco No text detected UNIDADE Curvas Planas e Espaciais Introdução Geometria Diferencial é o ramo da Geometria no qual os conceitos de Cálculo são aplicados às curvas superfícies e outros objetos geométricos Consiste em aplicações dos métodos da análise local e global a problemas de Geometria A Geometria Diferencial das curvas e superfícies tem dois aspectos local e global O primeiro pode ser chamado de Geometria Diferencial clássica teve início com os pri mórdios do Cálculo e trata do estudo das propriedades locais das curvas e superfícies Por propriedades locais entendemse aquelas que dependem apenas do comportamento das curvas ou superfícies nas proximidades de um ponto e cujos métodos que se reve laram adequados ao estudo foram os métodos do Cálculo Diferencial Por essa razão curvas e superfícies costumam ser definidas por funções que possuem derivadas um certo número de vezes A Geometria Diferencial clássica também usa a geometria de coordenadas como geometria analítica coordenadas cartesianas ou seja basicamente a geometria de espa ços euclidianos O outro aspecto é a chamada Geometria Diferencial global em que se estuda a influência das propriedades locais sobre o comportamento das curvas e super fícies como um todo Embora os primeiros estudos remontem aos primórdios do Cálculo a partir do século XX os métodos de Geometria Diferencial têm sido aplicados a vários campos da Mate mática e a outras áreas do conhecimento como a Relatividade e a Mecânica Celeste Dado o seu caráter interdisciplinar a Geometria Diferencial tem mostrado grande vitali dade e se desenvolvido em várias direções que apresentam um considerável volume de pesquisas nos dias atuais Após essa breve contextualização vamos nos dedicar nesta unidade ao estudo de curvas planas e espaciais Vamos começar falando de uma noção intuitiva de curva Podemos dizer que uma curva pode ser uma reta 2 1 y x ou uma parábola 2 0 y x ou ainda uma circunfe rência 2 2 1 x y Veja na Figura a seguir uma ilustração dessas curvas já conhecidas y 2x 1 y x2 0 x2 y2 1 Figura 1 Representação das curvas Fonte Adaptada de PICADO 2003 8 9 A Figura 1 mostra três curvas representadas no plano cartesiano à esquerda a reta 2 1 y x ao centro a parábola 2 0 y x e à direita a circunferência 2 2 1 x y as quais já são bastante conhecidas na Matemática desde a educação básica Todas essas curvas são descritas por meio da equação cartesiana f x y c sendo f uma função de x e e c uma constante Desse ponto de vista uma curva é um con junto de pontos 2 C x y R f x y c Aliás nesse caso são consideradas também curvas de nível que é o conjunto de pontos x y do plano nos quais a quantidade f x y atinge o nível c Mas pode mos também pensar mais geralmente em curvas no espaço euclidiano 3 que podem ser definidas por um par de equações 1 1 2 2 f x y z c f x y z c Entretanto na maioria das situações existe um modo mais útil de pensar uma curva Consiste em olhar uma curva como o caminho traçado por um ponto a moverse no espaço 3 Portanto se t γ é o vetor posição do ponto no instante t a curva é descrita por uma função de um parâmetro escalar t com valores no espaço vetorial 2 caso a curva seja plana ou no 3 Usamos essa ideia para dar a primeira definição formal de curva no n R embora na maioria das vezes tenhamos 2 n ou 3 n Parametrização de Curvas Definição 1 Uma curva parametrizada no é uma função n γ I definida em um intervalo I Chamamos a imagem γ I de traço ou caminho da curva Exemplo 1 Vamos parametrizar a curva 2 2 0 C x y y x Uma parametrização usual é 2 γ tal que 2 t t t γ Observe que não é a única Veja que 2 ρ com 3 6 t t t ρ é outra parametrização dessa parábola Exemplo 2 Vamos agora parametrizar a circunferência 2 2 1 x y Claro que é tentador fazer x t daí 2 1 y t ou 2 1 y t mas assim estaremos parametrizando apenas a parte superior ou inferior da circunferência Podemos no entanto definir 1 t cost γ e 2 t sent γ dessa forma o par 1 t 2 t γ γ satisfaz 2 2 1 2 1 t t γ γ com 2 γ I 1 2 t t t γ γ γ O intervalo I não é necessário pois assim 9 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais ficaríamos dando infinitas voltas na circunferência Basta por exemplo que 02 I π intervalo semiaberto para dar apenas uma volta completa na circunferência No entanto é fundamental compreender a importância da definição de curva como uma função de um parâmetro t e perceber a distinção entre curva parametrizada e traço da curva Por exemplo suponha que uma formiga caminha de um ponto A até um ponto B Se marcarmos em cada instante t sua posição começando em A com 0 t teremos sua localização demarcada diferente de apenas o percurso total percorrido traço Localização demarcada Percurso total percorrido B A A B 8 7 0 1 2 6 5 4 3 Figura 2 Comparativo entre percurso demarcado e traço da curva Fonte Adaptada de PICADO 2003 Na Figura 2 temos a ilustração de um percurso Partese de um ponto A à direita e se vai para a esquerda realizandose um caminho semelhante a um oito deitado até outro ponto B um pouco acima e à esquerda de A É um percurso aleatório ilustrativo ape nas Esse mesmo percurso está representado na Figura de duas maneiras à esquerda com uma localização demarcada desde 0 em A até 8 em B à direita sem demarcação apenas o percurso A ideia é comparar o percurso demarcado com pontos distribuídos aleatoriamente com o mesmo percurso sem a demarcação apenas com o traço para percebermos a diferença entre o tempo percorrido até cada ponto no percurso Veja ainda este exemplo dado pelas duas parametrizações a seguir 2 2 01 t cos t sen t t α π π 4 4 01 t cos t sen t t β π π Ambos os traços seriam indistinguíveis de uma circunferência de centro na origem e raio 1 mas observe que o movimento teria velocidades diferentes Por isso que em Geometria Diferencial adotase para definição de curva o conceito de curva parametrizada ou seja uma função n γ I Assumese além disso que a função γ é contínua Mas isso ainda não basta Com efeito não seria surpresa para ninguém que as seguintes Figuras são exemplos de imagens de funções contínuas t γ no plano 10 11 Figura 3 Imagem de parametrizações contínuas 2 γ I Fonte Adaptada de PICADO 2003 A Figura 3 mostra quatro curvas nesta ordem da esquerda para a direita um pequeno segmento de reta uma linha dando uma volta com autointerseção uma pequena espiral e uma curva fechada com reentrâncias e saliências todas sem formar quebras nem bicos por isso são curvas contínuas ou suaves Como se isso não bastasse ainda temos alguns casos nada convencionais Em 1890 Peano apresentou um exemplo de uma função contínua definida do intervalo 0 1 em 2 denominada curva de Peano cuja imagem preenche todo o quadrado 0 1 x y o que fica evidentemente fora do âmbito do nosso conceito intuitivo Em 1915 Sierpinski construiu outros dois exemplos famosos de imagens contínuas planas do intervalo 0 1 Na Figura seguinte podemos ver o gráfico de uma dessas curvas ou melhor de uma aproximação dela Figura 4 Triângulo de Sierpinski Fonte Wikimedia Commons Como não é fácil descrever a Figura 4 vou apresentar uma das maneiras de obter um triângulo de Sierpinski com o seguinte algoritmo Comece com qualquer triângulo equilátero em um plano com a base paralela ao eixo horizontal 11 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais Divida cada lado do triângulo em três partes iguais ligue os pontos formando quatro triângulo equiláteros e retire o triângulo do meio Repita o passo 2 para cada triângulo que sobrar sempre retirando o triângulo do meio Repita esse processo indefinidamente A figura que resta é toda vazada de triângulos cada vez menores parecendo uma renda Esses exemplos mostram que teremos de impor às curvas condições adicionais além da continuidade de modo a excluirmos as curvas de Peano e de Sierpinski e nos man termos perto da intuição inicial Definição 2 Dizemos que uma curva parametrizada 2 α I é simples quando a aplicação α é injetora isto é 1 2 t t α α se 1 2 t t I Obviamente as curvas parametrizadas 2 1 t t t α e 2 t t t β para t cujos traços são respectivamente uma reta e uma parábola vide Figura 1 são curvas simples mas a curva t cost sent t γ cujo traço é uma circunferência de centro na origem e raio 1 não é simples pois é periódica de período 2π vide Figura 1 Definição 3 Dizemos que uma curva parametrizada γ é suave se é uma função suave ou seja se todas as derivadas n γ γ γ γ existem ou seja se C γ Exemplo 3 Considere a curva 2 1 y x sen x Podemos parametrizar essa curva da seguinte maneira 2 0 se 0 1 0 t t t t t sen t t α Portanto é uma curva parametrizada mas não diferenciável uma vez que a função 2 0 se 0 1 se 0 x y x x sen x x não é diferenciável de classe C Logo não é uma curva suave Veja na Figura a seguir o gráfico dessa curva 12 13 y x Figura 5 Gráfico de 2 1 0 e 0 0 y x sen x y x x Fonte Adaptada de TENENBLAT 1990 Na Figura 5 temos uma representação no plano cartesiano do gráfico da função enunciada acima Podemos observar que ela tem uma forma senoidal mas vai diminuindo rapidamente sua amplitude à medida que diminui drasticamente seu período quando se aproxima do zero pela direita desse ponto Importante A partir de agora salvo menção em contrário quando usarmos a palavra curva esta remos nos referindo às curvas parametrizadas suaves Vetor Tangente à Curva Definição 4 Sendo 3 γ I chamaremos t γ de vetor tangente à curva γ no ponto t Proposição 1 Se o vetor tangente a uma curva γ é constante o traço de γ é parte de uma reta Definição 5 Chamase reta tangente à curva γ no ponto γ t à reta determinada pelo ponto γ t e pelo vetor tangente γ t Dessa forma a equação cartesiana da reta tangente é 3 P P t t λ γ λγ 13 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais Exemplo 4 A aplicação 2 α dada por 3 4 2 4 t t t t α é uma curva diferenciável regular pois 3 2 42 00 t t t α para todo t Mas não é simples pois 2 2 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 ou 4 4 4 4 2 e 2 t s t t s s t t s s t s t s t s t s α α Para ver um esboço do traço de α observe os sinais das funções coordenadas 3 4 x t t t e 2 4 y t t nos intervalos 2 20 02 2 α2 α2 04 x y Figura 6 Traço da curva α Fonte Adaptada de DELGADO FRENSEL s d Na Figura 6 podemos ver uma curva harmoniosa na forma de um laço de uma única volta com uma única autointersecção na origem seguindo no sentido da esquerda para a direita acima do eixo das abscissas passando pela origem e dando a volta perfeita mente simétrica em relação ao eixo OY cruzando novamente a origem para seguir à direita acima do eixo das abscissas A curva tem o eixo OY como eixo de simetria Observe também que 2 8 4 84 2 α α apesar de termos 2 2 00 α α 2 2 00 α α Assim não faz sentido falar no vetor tangente à curva α no ponto t α e sim no vetor tangente à curva α no ponto t depende do caminho que está sendo percorrido em t Uma das questões fundamentais quando se trata de curvas é como definir seu comprimento Se t δ é muito pequeno a partir do traço de γ entre t γ e t t γ δ é praticamente um segmento de reta logo seu comprimento é aproximadamente t t t γ δ γ Novamente para t δ pequeno tendendo a zero t t t t γ δ γ δ é aproximadamente igual a t γ e portanto t t t t γ δ γ δ é aproximadamente t t γ δ Se queremos calcular o comprimento de uma parte do traço de γ não neces sariamente pequena podemos dividila em segmentos cada um correspondendo a um pequeno incremento t δ em t calculando cada um como mostrado acima e adicionando tudo Daí considerando t δ tendendo a zero devemos obter o valor exato do compri mento Isso motiva a definição a seguir 14 15 Parametrização por Comprimento de Arco Definição 6 Dizemos que o comprimento de arco de uma curva γ a partir de um ponto 0t γ é a função s definida por 0 t t s t u du γ Exemplo 5 Considere a espiral logarítmica que foi estudada por Jacob Bernoulli 16541705 Ele a denominou curva spira mirabilis em latim espiral maravilhosa É a curva que forma com todas as retas situadas no seu plano e passando por um ponto fixo desse plano um angulo constante Figura 7 Espiral logarítmica Fonte Wikimedia Commons Na Figura 7 temos no plano cartesiano o gráfico de uma espiral denominada espiral logarítmica iniciando no ponto 10 no sentido horário curvandose em espiral em torno da origem indefinidamente à medida que t se aproxima do infinito Uma parametrização da espiral logarítmica é dada por 0 t t t e cost e sent t γ Portanto temos t t t e cost sent e sent cost γ 2 2 2 2 2 2 2 t t t t e cost sent e sent cost e γ 15 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais Logo o comprimento de arco de γ a partir do ponto 0 10 γ é dado por 2 0 2 2 1 t u t s t e du e Observe ainda que 0 t t ds d u du t dt dt γ γ portanto se pensarmos em t γ como sendo a posição de um ponto móvel no instante t ds dt é a velocidade do ponto Isso motiva a definição seguinte Definição 7 Sendo 3 γ I uma curva a velocidade de γ no ponto t γ é o número real v t t γ A curva γ dizse parametrizada por comprimento de arco se 1 v t para qualquer t I Veremos muitos resultados que decorrem de uma curva ser parame trizada por comprimento de arco Proposição 2 Em qualquer curva γ parametrizada por comprimento de arco temos que o produto interno 0 t t γ γ para qualquer t I isto é ou 0 γ t ou γ t é perpen dicular a t γ para qualquer t Demonstração Como a curva está parametrizada por comprimento de arco temos que 2 1 t t t γ γ γ para qualquer t Por derivação em relação a t obtemos 0 t t t t γ γ γ γ Em outras palavras 2 0 t t γ γ do que se segue a conclusão Importante Já vimos que uma curva pode ter diversas parametrizações É importante saber qual relação há entre elas Definição 8 Chamase mudança de parâmetro a uma bijeção J I λ entre os intervalos de que é suave bem como sua inversa 1 λ Nessas condições se 3 γ I for uma curva chamase reparametrização de γ a composição γ λ Exemplo 6 No Exemplo 2 vimos uma parametrização t cost sent γ para a circunferência 2 2 1 x y Outra parametrização é t sent cost γ Para vermos que γ é uma 16 17 reparametrização de γ temos de encontrar uma mudança de parâmetro λ tal que cos t sen t sent cost λ λ Uma solução possível é 2 t t π λ Seguem alguns resultados Como a inversa de qualquer mudança de parâmetro também é uma mudança de parâmetro então se α γ λ é uma reparametrização da curva γ também γ é uma reparametrização de α por 1 λ Evidentemente duas curvas que são uma a reparametrização da outra têm o mesmo traço Em qualquer mudança de parâmetros J I λ os intervalos I e J são do mesmo tipo ou seja são simultaneamente abertos fechados ou semiabertos A justificativa se deve ao seguinte fato se I J λ é contínua e injetiva então é estritamente crescente ou estritamente decrescente Uma bijeção suave J I λ é uma mudança de parâmetro se e somente se λ nunca se anula De fato se λ é uma mudança de parâmetro como 1 id λ λ temos que 1 1 1 1 t t λ λ λ λ λ para qualquer t J o que im plica 0 λ t para qualquer t J Por outro lado se J I λ é uma bijeção sua ve que nunca se anula em J então 1 λ é também suave e portanto uma mudança de parâmetro O fato de λ nunca se anular implica que 0 λ t para qualquer t J ou 0 λ t para qualquer t J No primeiro caso dizse que λ preserva a orientação e no segundo caso que inverte a orientação Outra questão fundamental é que esperamos que o comprimento de arco seja uma propriedade geométrica e portanto que não dependa da parametrização É isso o que a proposição a seguir vem confirmar Proposição 3 Sendo 3 c d β uma reparametrização da curva 3 a b α então os com primentos de α e β coincidem Demonstração Sendo λ a mudança de parâmetro tal que β α λ o comprimento de arco c de β em c d é igual a d d d c c c c t dt t t dt t t dt β β α λ λ α λ λ Fazendo a mudança de variável u λ t se 0 λ t para qualquer t temos d d c c c t t dt u du c β α λ λ α α 17 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais Caso contrário se 0 λ t para qualquer t temos d d c c c t t dt u du c β α λ λ α α Observe que trabalhar com a parametrização por comprimento de arco simplifica bem as coisas Precisamos então conhecer quais curvas admitem a parametrização por comprimento de arco Definição 9 Um ponto t γ de uma curva γ é um ponto regular se 0 γ t caso contrário dizse ponto singular Uma curva é regular se todos os seus pontos são regulares Exemplo 7 A curva parametrizada 2 α dada por 3 2 t t t α é diferenciável uma vez que 2 3 2 t t t α mas não é regular Observe que 00 t α para 0 t ou seja 0 t é um ponto singular Observando que as coordenadas dos pontos dessa curva satis fazem à equação 3 2 y x podemos traçar a curva que pode ser vista na Figura a seguir y x Figura 8 Traço da curva 3 2 y x Fonte Adaptada de DELGADO FRENSEL s d Na Figura 8 temos uma curva no plano cartesiano acima do eixo OX simétrica em relação ao eixo OY suave vindo da esquerda para a direita mas que forma um bico na origem É o gráfico da função 3 2 y x Exemplo 8 A curva cujo traço tem a forma do símbolo de infinito é chamada de Lemniscata de Bernoulli e tem uma parametrização dada por 2 2 cos cos 1 1 a t asen t t t sen t sen t β 18 19 Sendo a uma constante Veja o traço dessa curva Figura 9 Lemniscata de Bernoulli Fonte Adaptada de Wikimedia Commons Na Figura 9 temos uma curva perfeitamente simétrica tanto em relação ao eixo OY quanto em relação ao eixo OX na forma do sinal do infinito ou de um oito deitado A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse que é o lugar geométrico de pontos em que a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante A lemniscata de Bernoulli é uma curva algébrica de quarto grau e de equação cartesiana 2 2 2 2 2 2 x y a x y Observe que é uma curva diferenciável Encontre β t e verifique que os possíveis valores de 2 t k k k Z π π não anulam β t com isso a lemniscata de Bernoulli é uma curva regular não tem pontos singulares Exemplo 9 Na geometria a hélice é uma forma tridimensional que pode ser encontrada em molas e na rosca de parafusos e porcas Na natureza pode ser encontrada em alguns vegetais sob a forma de gavinha órgão pênsil presente em algumas plantas como as videiras e no DNA Em matemática a hélice é descrita como uma curva no espaço no tridimensional que combina um movimento de rotação em torno de um ponto com um movimento de translação deste ponto 19 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais Figura 10 Curva helicoidal Fonte Adaptade de Wikimedia Commons Na Figura 10 vemos uma curva no espaço euclidiano no formato de uma hélice perfeitamente espaçada no sentido vertical acima do plano XY Uma parametrização dessa curva helicoidal é cos constantes t a t asen t bt a b t γ Observe que como suas funções componentes são diferenciáveis e não se anulam simultaneamente a curva helicoidal é regular Proposição 4 Qualquer reparametrização de uma curva regular é regular Demonstração Sendo γ γ λ uma reparametrização de uma curva regular γ e derivando ambos os membros da igualdade obtemos t t t γ γ λ λ E como λ nunca se anula isso fica provado Teorema Uma curva possui uma reparametrização por comprimento de arco se e somente se for regular Demonstração Suponhamos primeiramente que uma curva 3 γ I possui uma reparametrização por comprimento de arco 3 γ J Então γ γ λ para alguma mudança de parâ metro I J λ Seguese então que para qualquer t I temos t t t γ γ λ λ 20 21 Logo γ t nunca se anula pois γ estando parametrizada por comprimento de arco satisfaz 1 t γ para qualquer t J e λ é uma mudança de parâmetro Reciproca mente sendo 3 γ I uma curva regular e 0t I vamos definir a curva s I por 0 t t s t u du γ Tratase de uma função diferenciável s I t t γ Como γ é suave é claro que é suave e portanto s é suave A regularidade de γ implica 0 s logo s é crescente e portanto injetiva Sendo J s I assim obtemos uma bijeção s I J que é uma função suave Uma vez que s nunca se anula po demos concluir que s 1 J I é uma mudança de parâmetro e por fim temos que a composição s 1 γ é uma reparametrização por comprimento de arco uma vez que 1 1 1 s t s t s t γ γ 1 1 1 1 1 s s t s t s s t γ γ 1 1 1 1 s t s t γ γ Assim fica demonstrado o teorema Exemplo 10 Para a espiral logarítmica t t t e cost e sent γ do Exemplo 5 vimos que 2 2 2 t t e γ e este número nunca é zero logo γ é regular Vimos também que o comprimento de arco a partir de 0 10 γ é 2 1 t s e Então 1 2 s t ln e uma parametrização por comprimento de arco de γ é 1 1 1 1 2 2 2 2 s s s s s cos ln sen ln γ Embora qualquer curva regular possua uma reparametrização por comprimento de arco pode ser muito complicado até mesmo impossível determinar explicitamente essa parametrização Dois tipos de obstáculos se impõem Em primeiro lugar pode não ser possível exprimir a integral 0 t t s t u du γ em termo de funções familiares como logaritmos e exponenciais funções trigono métricas etc Por exemplo se γ é a elipse dada por 2 t sent cost γ temos que 2 2 2 3 4 2 1 4 t cos u sen u sen u γ que não possui primitiva imediata ou seja 21 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais a integral 0 t u du γ não pode ser calculada diretamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo é um exemplo de integral elíptica Em segundo lugar mesmo que se consiga determinar s t poderá não ser possível encontrar a função inversa s 1 s I J Por exemplo este é o caso se 2 2 t t t γ pois 1 t t γ e portanto 1 2 2 2 0 1 1 1 1 2 s t u du t t ln t t E note que a curva γ é simplesmente uma parábola Importante A parametrização dada pelo teorema é essencialmente a reparametrização por compri mento de arco de uma curva regular Proposição 5 Sendo 3 γ I uma curva regular e 3 α J1 uma reparametrização por com primento de arco de γ então 3 β J2 é também uma reparametrização por compri mento de arco de γ se e só se β α λ para 2 1 J J λ definida por t t c λ ou t t c λ com c uma constante Demonstração É claro que esta condição é suficiente para que β seja também uma parametrização por comprimento de arco 1 1 t t t t β λ α λ α λ Reciprocamente se 2 β γ λ e 1 α γ λ são reparametrizações por compri mento de arco de γ então 1 2 1 2 β γ λ α λ λ Sendo 1 1 2 λ λ λ temos que t t t β λ α λ e t t t β λ α λ Mas para qualquer 2 t J 1 t t β α λ Logo 1 λ t e portanto 1 λ t ou 1 λ t Mas pelo Teorema do Valor Intermediário podemos afirmar mais ou 1 λ t para todo 2 t J ou 1 λ t para todo 2 t J Dessa forma t t c λ ou t t c λ para qualquer 2 t J com c uma constante Por fim observe que uma dada curva pode ter parametrizações regulares e não regulares Por exemplo a parametrização 2 t t t γ da parábola dada por 2 y x é regular mas a parametrização 3 6 t t t γ já não é regular pois 0 0 γ 22 23 Em Síntese Tratamos nesta Unidade da definição de curvas no plano e no espaço de parametrização de curvas em especial de reparametrização pelo comprimento de arco com exemplos e figuras para auxiliar na compreensão desses conceitos Esperamos que você caro alu no e cara aluna tenha aproveitado Não deixe de ver também o material complementar para aprofundar seus estudos do tema e compreender melhor os conceitos estudados 23 UNIDADE Curvas Planas e Espaciais Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Curva helicoidal Helix httpsbitly3XpW6lx Vídeos Geometria Diferencial A Curva Tratriz Não é Regular Veja o por quê httpsyoutubeBTFtprkpwAs Parametrização da Tractriz Funções Vetoriais httpsyoutubeajucsSq5FSs Isto é Matemática T09E05 A Tractriz o Cão e a Corneta httpsyoutubePsanqoKmOqA 24 25 Referências DELGADO J FRENSEL K Geometria Diferencial I Departamento de Matemática Universidade Federal Fluminense UFF s d 393 p Disponível em httpswwwprofes soresuffbrkatiafrenselwpcontentuploadssites115delightfuldownloads201909 gdifpdf Acesso em 05112022 DO CARMO M P Elementos de Geometria Diferencial Rio de Janeiro Ao Livro Técnico 1971 205 p Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 6 ed Rio de Janeiro SBM 2012 608 p PICADO J Apontamentos de Geometria Diferencial Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 2003 TENENBLAT K Introdução à Geometria Diferencial 1 ed Brasília DF Editora UnB 1990 VELASCO W Geometria Diferencial Curitiba Intersaberes 2020 211 p 25 Cruzeiro do Sul Educacional