Primeira Forma Fundamental Geometria Diferencial Calculo de Medidas em Superficies

Geometria Diferencial I Responsável pelo Conteúdo Profª Dra Ana Lucia Nogueira Junqueira Revisão Textual Profª Dra Selma Aparecida Cesarin Primeira Forma Fundamental Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Primeira Forma Fundamental Apresentar a primeira forma fundamental que permite o cálculo de medidas sobre a super fície sem menção necessária ao espaço ambiente em que se encontra a superfície Estudar superfícies isométricas e algumas aplicações conformes OBJETIVOS DE APRENDIZADO Introdução A Forma Quadrática Primeira Forma Fundamental Questões Métricas em Superfícies Área de uma Região em Superfície Alguns Conceitos da Geometria Intrínseca Isometria e Aplicação Conforme Cruzeiro do Sul Educacional Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Determine um horário fixo para estudar Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Aproveite as indicações de Material Complementar Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Seja original Nunca plagie trabalhos Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem UNIDADE Primeira Forma Fundamental Introdução Até aqui tratamos as superfícies sob o ponto de vista da diferenciabilidade Nesta Unidade vamos tratar do estudo de outras estruturas geométricas associadas às super fícies Talvez a mais importante delas seja a primeira forma fundamental Acerca de alguns aspectos do desenvolvimento da Geometria Gorodski 2009 relata Por volta de 1820 Gauss foi chamado pelo governo de Hanover para supervisionar um levantamento topográfico do reino e vários aspectos dessa tarefa incluindo exaustivo trabalho de campo e tediosas triangula ções ocuparamno por vários anos mas propiciaram o estímulo que o conduziu às idéias de sua obra Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827 Já comentamos que Euler havia percebido que as coor denadas x y z de um ponto de uma superfície podem ser consideradas como funções de duas variáveis independentes u v mas é Gauss quem utiliza tal representação paramétrica sistematicamente As variáveis u e v são chamadas de coordenadas curvilíneas sobre a superfície Gauss introduz a forma diferencial quadrática ds2 hoje conhecida como pri meira forma fundamental que essencialmente exprime as distâncias sobre a superfície e escreve ds2 em termos de três funções E F e G de u e v o que lhe permite escrever equações para as curvas geodésicas GORODSKI 2009 p 45 Seu estudo tem aplicações em nosso mundo pois às vezes precisamos determinar distâncias entre dois pontos e áreas da superfície em que vivemos A primeira forma fundamental nos possibilita fazer tais medições pois é uma estrutura geométrica asso ciada à superfície e nos possibilita resolver problemas métricos de uma superfície sem fazer referência ao ambiente no qual S está mergulhada Vamos apresentar também exemplos nos quais é possível aplicar a primeira forma fundamental no cálculo de curvas e áreas em superfícies A Forma Quadrática Primeira Forma Fundamental O produto interno natural do 3 onde está imersa a superfície regular S induz em cada plano tangente p T S um produto interno que indicamos por p da seguinte for ma se 1 2 p w w T S então 1 2 p w w é igual ao produto interno de 1 2 w w como vetores do 3 A esse produto interno que é uma forma bilinear e simétrica ou seja 1 2 p w w é linear em 1 w e 2 w e 1 2 2 1 p p w w w w o que corresponde a uma forma quadrática p p I T S dada por 2 p p I w w w w 8 9 Definição 1 Seja 2 3 X U uma superfície parametrizada regular para todo p U a apli cação p p I T X tal que 2 p p I w w w w é denominada primeira forma qua drática de X em p A forma quadrática pI em p T S indicada é também chamada de primeira forma fun damental da superfície regular 3 S em p S Portanto a primeira forma fundamental é simplesmente a expressão de como a su perfície regular S herda o produto interno natural do 3 Geometricamente veremos como a primeira forma fundamental nos possibilita fazer medidas sobre a superfície como comprimento de curvas ângulo entre vetores tangentes e áreas de regiões sem ter de fazer menção ao espaço ambiente 3 onde está a superfície Vamos agora expressar a primeira forma fundamental na base u v X X associada a uma parametrização X u v de S em p Como p w T S é o vetor tangente a uma curva pa rametrizada t x t y t z t α t sendo 0 0 0 p X u v α obtemos 0 0 0 p u v u v p p I X u X v X u X v α α α 2 2 2 u u u v v v p p p X X u X X u v X X v 2 2 2 E u Fu v G v Sendo que os valores das funções envolvidas são calculados em t 0 e 0 0 u u p E u v X X 0 0 u v p F u v X X 0 0 v v p G u v X X São os coeficientes da primeira forma fundamental na base u v X X de p T S Fa zendo p variar na vizinhança coordenada correspondente a X u v obtemos funções E u v F u v G u v que são diferenciáveis nessa vizinhança De agora em diante como simplificação de escrita omitiremos o subíndice p da notação do produto interno e indicaremos também o produto interno de 3 sempre que ficar claro o contexto ou não causar ambiguidade Exemplo 1 Um sistema de coordenadas para um plano 3 P passando por um ponto 0 0 0 0 p x y z e contendo os seguintes vetores 1 1 2 3 w a a a e 2 1 2 3 w b b b é dado por com 2 u v 0 1 2 X u v p uw vw 9 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Para calcular os coeficientes da primeira forma fundamental para um ponto arbitrário de P observe que 1 Xu w e 2 Xv w e como esses dois vetores são unitários ortogonais as funções E F G são constantes dadas por 1 0 1 E F G Nesse caso trivial a primeira forma fundamental é exatamente o Teorema de Pitágoras no plano P ou seja o quadrado do comprimento de um vetor w com coordenadas a b na base u v X X é igual a 2 a 2 b Exemplo 2 Considere a superfície regular dada pela parametrização cos X u v u senu v 2 u v que descreve o cilindro circular reto que pode ser expresso por S 3 2 2 1 x y z x y Como cos 0 Xu senu u e 001 Xv os coeficientes da primeira forma qua drática são também dados por 2 2 1 0 1 E sen u cos u F G Observe que o plano e o cilindro têm as mesmas coordenadas da primeira forma fundamental Voltaremos a isso mais à frente Exemplo 3 Seja a parametrização da esfera centrada na origem de raio a 0 dada por 3 X V com 0 0 2 V θ ϕ θ π ϕ π definida por cos cos X asen asen sen a θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ Tal parametrização é conhecida como a parametrização com coordenadas geográfi cas de 2 S Então os coeficientes da primeira forma fundamental são assim calculados sen θ θ ϕ θ ϕ θ X acos cos acos sen os asen sen asen 0 Portanto obtemos 2 2 2 2 2 2 2 1 E X X a cos vcos a cos sen sen θ θ ϕ θ ϕ θ 2 2 cos sen 0 0 θ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ F X X a cos sen a cos sen cos sen 2 2 2 2 2 2 2 2 0 G X X a sen sen a sen cos a sen ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θ Resumindo 2 2 1 0 E F G a sen θ 10 11 Para dar continuidade ao nosso raciocínio vamos relembrar agora o que é vetor normal a uma superfície num ponto dela Dada uma parametrização X u v de uma superfície regular S e um ponto 0 0 p u v S dizemos que um vetor do 3 é normal em p se é ortogonal a p T S isto é ortogonal a todos os vetores tangentes a X em p Assim os vetores ortonormais orto gonais e unitários em p são dados por u v u v X X N p p X X Sabendo disso se X u v X h u v é uma reparametrização de X pela mu dança de parâmetros h então para todo p u v os planos tangentes p T X e Th p X coincidem Entretanto N p N h p onde N resp N é o vetor normal unitário a X resp X em p resp h p O sinal é positivo resp negativo se o determinante da matriz jacobiana de h é positivo resp negativo De fato se X u v X h u v denotando por u v h u v e p u v temos u u v u v X p X h p p X h p p u u v u v u v X p X h p p X h p p v v Portanto como o determinante da matriz jacobiana de h J h não se anula temos que u v X p X p e u v X h p X h p são bases do mesmo plano de 3 Além disso temos u v u v X X p X X h p det J h Daí concluímos que N p N h p se 0 det J h e que N p N h p se 0 det J h Com essas informações observe agora que uma mudança de parâmetros embora modifique os coeficientes da primeira forma quadrática mantém invariante a primeira forma quadrática De fato se X u v X h u v é uma reparametrização de X pela mudança de parâmetros h então para p u v os planos tangentes p T X e Th p X coincidem Portanto se w pertence a esse plano temos 2 p h p I w I w w Sendo que I e I denotam as primeiras formas quadráticas de X e X respectivamente 11 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Questões Métricas em Superfícies Como mencionado a importância da primeira forma fundamental vem do fato de que conhecendo a forma quadrática pI podemos tratar questões métricas sobre uma superfície regular sem fazer referência ao espaço ambiente 3 Assim o comprimento de arco s de uma curva parametrizada α definida num inter valo real com valores em S α I é dado por 0 0 α t t p s t t dt I a t dt Em particular se t X u t v t α está contida em uma vizinhança coordenada correspondente à parametrização X u v podemos calcular o comprimento de arco digamos de 0 a t por 2 2 0 2 t s t E u Fu v G v dt Por vezes encontramos a referência ao termo elemento de comprimento de arco ds de S à expressão 2 2 2 2 ds Edu Fdudv Gdv com o seguinte significado se t X u t v t α é uma curva em S e s s t é seu comprimento de arco então 2 2 2 2 ds du du dv dv E F G dt dt dt dt dt O ângulo θ de duas curvas parametrizadas I S α β que se intersectam em t 0 t é dado por 0 0 0 0 t t cos t t α β θ α β Em particular o ângulo ϕ das curvas coordenadas de uma parametrização X u v é dado por u v u v X X F cos X X EG ϕ 12 13 Decorre daí que as curvas coordenadas de uma parametrização são ortogonais se e somente se F u v 0 para todo u v Uma tal parametrização é chamada de para metrização ortogonal Observe que as parametrizações dadas nos exemplos 1 2 e 3 são parametrizações ortogonais vez que F 0 nas respectivas parametrizações Exemplo 4 Voltemos à parametrização da esfera do exemplo 3 agora unitária ou seja com a 1 0 0 2 θ π ϕ π dada por cos cos X sen sen sen θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ Já tínhamos calculado no exemplo 3 os coeficientes da primeira forma fundamen tal 2 1 0 E F G sen θ Portanto se w é um vetor tangente à esfera em um ponto X u v dado na base X X θ ϕ associada à parametrização X é assim expresso w kX lX θ ϕ com k l constantes Então o quadrado da norma de w é 2 2 2 2 2 2 2 w I w Ek Fkl Gl k l sen θ Como aplicação vamos determinar as curvas nessa vizinhança coordenada da esfera que fazem ângulo constante β com os meridianos definidos por α constantes Essas curvas são chamadas loxodrômicas curvas de rumo da esfera Vamos supor que a curva procurada t α é a imagem por X de uma curva t t θ ϕ do plano θϕ Em um ponto X t t θ ϕ a curva encontra o meridiano ϕ constante Então temos 2 2 2 X t t t cos X t t t sen θ θ α θ β α θ ϕ θ Pois na base X X θ ϕ o vetor α t tem coordenadas t t θ ϕ e o vetor Xθ tem coordenadas 10 A partir disso segue que 2 2 2 2 0 t tg t sen θ β ϕ θ Ou de forma mais simplificada sen tg θ ϕ θ β 13 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Segue daí que por integração obtemos a equação das loxodrômicas 2 log tg c cotg θ ϕ ϕ sendo a constante de integração c determinada pelo ponto 0 0 X θ ϕ por onde passa a curva Loxodromia é a linha que na superfície da Terra faz ângulo constante com os meridianos Tal linha cuja direção geográfica conhecida como azimute é constante com os meridianos resulta do erro original de tentar se assentar um plano numa superfície esférica ou seja quando ao assentar uma linha reta numa superfície esférica ela se encurva como corte de uma laranja tendendo a se espiralar em direção aos polos Esse fato foi reconhecido pela primeira vez pelo matemático português Pedro Nunes no Tratado de Defesa da Carta de Marear incluído em sua obra O Tratado da Esfera de 1537 Embora não represente o caminho mais curto entre dois pontos na esfera a loxodromia é o trajeto mais simples e normalmente empregado em mapas rodoviários e marítimos desde que não se tenham acidentes geográficos de relevância A razão disso está no fato de as orientações dos navios e aeronaves serem realizadas com base nas cartas náuticas forne cidas pelas projeções azimutais por bússolas magnéticas e giroscópicas sobre coordenadas deformadas que atendem o sentido de orientação da Terra projetada num mapa plano O acréscimo de distância decorrente do emprego da loxodromia é normalmente desprezível em pequenos percursos mas não para longas distâncias quando se segue a projeção de Mercator do início ao fim da rota Por exemplo a partir do Estreito de Magalhães em direção à Austrália desprezase a ortodromia deformação do círculo máximo e se corre o risco de se chegar no mar do Norte do Japão em vez de se chegar ao Sul em águas da Nova Zelândia O trajeto planeado segundo a ortodromia é decomposto em pequenos segmentos de loxo dromia cada um com pequenas correções do rumo para completar o trajeto Área de uma Região em Superfície Outra questão métrica que pode ser tratada com a primeira forma fundamental é o cálculo da área de uma região limitada de uma superfície regular S Para tal vamos definir alguns conceitos Definição 2 Um domínio regular de S é um subconjunto aberto e conexo de S cuja fronteira é a imagem de um círculo por um homeomorfismo diferenciável que é regular isto é sua diferencial não se anula exceto em um número finito de pontos 14 15 Definição 3 Uma região de 3 S é limitada se está contida em alguma bola aberta de 3 Já a compacidade é uma propriedade topológica O conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação Definição 4 Dizse que um espaço topológico X é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff ou seja quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas e qualquer recobrimento de abertos admite um subrecobrimento finito Seja agora uma região compacta Q no 2 que está contida numa vizinhança coor denada X U S Então X Q é uma região limitada em S A função u v X X definida em U representa a área do paralelogramo gerado pelos vetores pelos vetores u X e v X Vamos mostrar que a integral Q u v X X dudv não depende da parametrização X De fato seja 2 X U S uma outra parametrização com X U e vamos de finir 1 Q X Assim u v u v é o jacobiano de mudança de coordenadas dada por 1 h X X Então pelo teorema de mudança de variáveis para integrais múltiplas temos u v u v u v Q Q Q u v X X du dv X X du dv X X dudv u v Assim mostramos a independência de parametrização Definição 5 Seja S uma região limitada de uma superfície regular contida em uma vizinhança coordenada de uma parametrização 2 X U S Sendo 1 Q X chamamos de área de ao valor positivo dado por u v Q A X X dudv Observe agora que pela identidade de Lagrange temos 2 2 2 2 u v u v u v X X X X X X Ou equivalentemente 2 2 u v X X F EG 2 2 u v X X EG F E portanto 2 u v X X EG F 15 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Dessa forma em coordenadas da primeira forma fundamental temos 2 u v Q Q A X X dudv EG F dudv A identidade de Lagrange descoberta por Joseph Louis Lagrange é uma fórmula que trans forma um produto de somas de quadrados em outra soma de quadrados com consequências importantes nas propriedades do produto vetorial Usando o produto externo vetorial a identidade de Lagrange pode ser escrita da seguinte forma 2 2 a a b b a b a b Ou seja em três dimensões a identidade de Lagrange relaciona o produto vetorial e o pro duto escalar 2 2 2 2 a b a b a b Exemplo 5 Vamos calcular a área do toro Para isso consideramos a vizinhança coordenada correspondente à parametrização dada por cos X u v a rcosu v a rcosu senv rsenu com 0 2 u π e 0 2 v π que cobre o toro exceto por um meridiano e um paralelo Vamos calcular as coordenadas da primeira forma fundamental cos Xu rsenu v rsenu senv rcosu 0 Xv a rcosu senv a rcosu cosv 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u E X X r sen ucos v r sen usen v r cos u r 0 u v F X X a rcosu rsenucosvsenv rsenu senvcosv 2 2 2 2 v v G X X a rcosu sen v cos v a rcosu Agora vamos calcular a área de uma região ε dada pela imagem por X da região Qε sendo ε 0 pequeno dada por 2 0 2 0 2 Q u v u v ε ε π ε ε π ε Logo 2 EG F EG r a rcosu Assim temos 2 2 2 0 0 cos π π ε ε Q A r rcosu a dudv r u ra du dv 2 2 2 2 2 2 2 r sen sen ra π π π 16 17 Fazendo 0 na expressão acima obtemos 2 0 lim 4 A A π ra O valor obtido é o mesmo quando se utiliza o Teorema de Pappus para área de superfície de revolução Alguns Conceitos da Geometria Intrínseca Isometria e Aplicação Conforme Vimos que a primeira forma fundamental permite calcular conceitos métricos sobre uma superfície regular S como comprimento ângulo e área O ponto importante é que tais cálculos podem ser feitos conhecendo os coeficien tes da primeira forma fundamental sem sair da superfície Por causa disso dizse que esses conceitos são intrínsecos à superfície S Entretanto a Geometria intrínseca não se limita apenas àqueles cálculos mais elementares Ela abrange muitos outros concei tos e aplicações Claro que aqui não vamos esgotar esse assunto mas nesse tópico veremos outros dois conceitos importantes da Geometria Intrínseca a saber isometria e aplicação conforme Nos exemplos 1 e 2 vimos uma peculiaridade Embora o plano e o cilindro sejam superfícies distintas elas apresentaram as mesmas coordenadas da primeira forma fun damental pelo menos para as parametrizações lá definidas sistemas de coordenadas considerados Isso significa que relativamente a questões métricas intrínsecas o plano e o cilindro se comportam localmente da mesma maneira Isso pode até ser intuitivo já que se cortarmos o cilindro ao longo de uma de suas diretrizes ele pode se desenrolar num plano Veremos que outros conceitos importantes associados a uma superfície re gular também dependem apenas da primeira forma fundamental Isometria Definição 6 Uma aplicação S S ϕ é uma isometria se ϕ é um difeomorfismo e para todo p S e para todos os pares de vetores 1 2 p w w T S temos 1 2 1 2 p p p p w w d w d w ϕ ϕ ϕ Nesse caso dizse que as superfícies S e S são isométricas Em outras palavras um difeomorfismo ϕ é uma isometria se a diferencial dϕ preserva o produto interno 17 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Portanto se ϕ é uma isometria segue para todo p w T S que p p p p p p I w d w d w I d w ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Reciprocamente se um difeomorfismo ϕ preserva a primeira forma fundamental ou seja p p p I w I d w ϕ ϕ para todo p w T S então como temos que 1 2 1 2 1 2 pI w w w w w w 1 1 1 2 2 2 2 w w w w w x 1 1 2 2 2 p p I w w w I w Podemos então expressar 1 2 1 2 1 2 2 p p p w w I w w I w I w 1 2 1 2 p p p p p p I d w w I d w I d w ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 2 2 p p p d w d w ϕ ϕ ϕ Portanto ϕ é uma isometria Definição 7 Uma aplicação V S ϕ de uma vizinhança V de p S é uma isometria local em p se existir uma vizinhança V de p S ϕ tal que V V ϕ é uma isometria Se existir uma isometria local em S para todo p S dizse que a superfície S é localmente isomé trica a S Dizemos que S e S são localmente isométricas se S é localmente isométrica a S e S é localmente isométrica a S Claro que se V S ϕ é um difeomorfismo e uma isometria local para todo p S então ϕ é uma isometria globalmente Mas pode acontecer que duas superfícies sejam localmente isométricas sem que sejam globalmente isométricas Exemplo 6 Seja ϕ uma aplicação de uma vizinhança coordenada X U do cilindro do exemplo 2 sobre o plano X 2 do exemplo 1 assim definida por 1 X X ϕ observe que tro camos X por X na parametrização do cilindro Então ϕ é uma isometria local De fato cada vetor w tangente ao cilindro em um ponto p X U é tangente a uma curva X u t v t com u t v t sendo uma curva em 2 U Logo w pode ser escrito da forma u v w X u X v Por outro lado d ϕ w é tangente à curva X u t v t X u t v t ϕ Portanto temos u v d w X u X v ϕ 18 19 Como E E F F G G obtemos 2 2 2 2 2 2 p p p I w E u Fu v G v E u Fu v G v I d w ϕ ϕ Isso completa o que afirmamos Segue então que o cilindro é localmente isométrico a um plano Confira na Figura a seguir y z x y 0 x 2π φ Figura 1 Isometria do cilindro menos uma reta sobre a faixa plana 02 π Fonte Adaptada de DELGADO FRENSEL sd p 253 ParaTodosVerem Na Figura 1 podemos ver à esquerda a representação de um cilindro no 3 em azul claro com centro na origem e eixo coincidente com o eixo OZ tendo a geratriz reta vertical à esquerda do cilindro pontilhada em vermelho significando sua exclusão na aplicação que transforma o cilindro na imagem à direi ta de uma faixa plana também em azul claro com bordas verticais pontilhadas em vermelho obtida pelo produto cartesiano do intervalo aberto 02π pela reta conformando a isometria local ϕ indicada numa seta encurvada ao alto e ao centro mas não global entre as duas superfícies por causa de exclusão da geratriz do cilindro equivalente a um meridiano do cilindro Fim da descrição Entretanto a isometria não pode ser estendida ao cilindro inteiro pois o cilindro não é homeomorfo o plano De forma intuitiva podemos dizer que qualquer curva simples e fechada no plano pode ser encolhida a um ponto sem deixar o plano propriedade que seria preservada por homeomorfismo Mas isso não ocorre no cilindro Por exemplo um paralelo no cilindro uma circunferência na horizontal da superfície cilíndrica não tem essa propriedade o que contradiz a existência de um homeomorfismo entre o plano e o cilindro Confira na Figura a seguir 19 UNIDADE Primeira Forma Fundamental C P Figura 2 Comparativo entre curvas simples e fechadas nas superfícies do plano e do cilindro Fonte Adaptada de DELGADO FRENSEL sd p 254 ParaTodosVerem Na figura 2 podese identificar à esquerda a imagem de um plano em azul contendo uma configuração de curvas simples concêntricas em vermelho evidenciando que no plano é possível essas curvas serem encolhidas até chegarem num único ponto sem sair do plano À direita da figura temos a imagem de um cilindro circular reto em azul claro na posição vertical contendo uma cir cunferência em vermelho representativa de um paralelo do cilindro evidenciando que essa curva embora simples e fechada não se contrai num ponto da superfície cilíndrica Em outras palavras a figura evidencia que no plano as curvas fechadas simples são contráteis a um ponto enquanto no cilindro os paralelos não são con tráteis a um ponto Fim da descrição Proposição 1 Sejam as parametrizações X U S e X U S tais que satisfazem E E F F G G em U Então a aplicação 1 X X X U S ϕ é uma isometria local Demonstração Seja p X U e p w T S Então w é tangente a uma curva X α t em t 0 sendo t u t v t α é uma curva em U Assim w pode ser escrito como t 0 u v w X u X v Por definição o vetor d p w ϕ é o vetor tangente à curva 1 X X X α t isto é à curva X α t em t 0 Logo temos que u v d w X u X v ϕ Como 2 2 2 pI w E u Fu v G v 2 2 2 p I p d w E u Fu v G v ϕ ϕ 20 21 Podemos concluir p p p I w I d w ϕ ϕ para todo p X U e todo p w T S e portanto ϕ é uma isometria local Exemplo 7 Seja S uma superfície de revolução e seja a parametrização de S dada por X u v f v cosu f v senu g v 0 2 0 a v b u f v π Dessa forma temos cos 0 Xu f v senu f v u cos Xv f v u f v senu g v Assim as coordenadas da primeira forma fundamental são 2 2 2 2 2 u u E X X f v sen u f v cos u f v cos cos 0 u v F X X f v f v senu u f v f v u senu 2 2 2 2 2 2 2 v v G X X f v cos u f v sen u g v f v g v Em particular a superfície de revolução da catenária dada por acosh x v z av v E tem a seguinte parametrização cos acosh X u v acohv u v senu av 0 2 π u v Portanto os coeficientes da primeira forma fundamental são 2 2 2 2 2 2 0 1 E a cosh v F G a senh v a cosh v Essa superfície de revolução é chamada catenoide Vamos mostrar que o catenoide é localmente isométrico ao helicoide Para tal considere a parametrização do helicoide dada por cos 0 2 X u v v u v senu au u v π Vamos fazer a seguinte mudança de parâmetros 0 2 π u u v asenhv u v 21 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Isso é possível pois a aplicação é bijetiva e o jacobiano u v acohv u v nunca se anula Dessa forma uma nova parametrização do helicoide é cos X u v a senhv u a senhv senu au Calculando os coeficientes da primeira forma fundamental encontramos 2 2 2 2 0 E a cosh v F G a cosh v Então pela Proposição 1 o catenoide e o helicoide são superfícies localmente isométricas A noção de isometria é o conceito natural de equivalência para propriedades métricas de superfícies regulares Da mesma maneira que superfícies difeomorfas são equivalen tes sob o ponto de vista da diferenciabilidade as superfícies isométricas são equivalentes sob o ponto de vista métrico Ao lidarmos com problemas relacionados a funções analíticas de variáveis comple xas é importante introduzir a equivalência conforme Aplicações Conformes As transformações conformes no plano complexo além de configurarem um campo à parte da Matemática têm várias utilidades e aplicações tanto na Matemática quanto na Física apresentamse em vários tipos e constituem basicamente em transformar o domínio em que o problema é apresentado em outro domínio mais simples tornando a resolução de problemas mais fácil por meio de técnicas que se baseiam nas propriedades da função analítica Aqui vamos nos restringir a um tipo de aplicação conforme Definição 8 Um difeomorfismo S S ϕ é chamado uma aplicação conforme se para todo p S e quaisquer 1 2 p v v T S temos 2 1 2 1 2 p p p p d v d v p v v ϕ ϕ ϕ λ com 2 λ sendo uma função diferenciável em S que nunca se anula Nesse caso as super fícies S e S são denominadas conformes Uma aplicação S S ϕ de uma vizinhança V de p S em S é uma aplicação conforme local em p se existir uma vizinhança V de ϕ p tal que V V ϕ é uma aplicação conforme Se para cada p S existir uma aplicação conforme local em p a superfície S é localmente conforme a S 22 23 O significado geométrico de aplicações conformes é que ângulos mas não necessa riamente comprimentos são preservados Vejamos Seja I S α e I S β duas curvas em S que se intersectam digamos que em t 0 O ângulo θ entre elas em t 0 é dado por 0 cos α β θ θ π α β Uma aplicação conforme S S ϕ aplica essas curvas em curvas I S ϕ α e I S ϕ β que se intersectam em t 0 fazendo um ângulo dado por 2 2 d d cos cos d d ϕ α ϕ β λ α β θ θ λ α β ϕ α ϕ β Essa propriedade caracteriza aplicações conformes Proposição 2 Seja X U S e X U S parametrizações satisfazendo em U as relações 2 E λ E 2 F λ F 2 G λ G com 2 λ uma função diferenciável em U que nunca se anula Então a aplicação 1 X X X U S é uma aplicação conforme local A demonstração é similar à da proposição 1 adequando ao conceito de aplicação conforme local e é deixada como exercício Teorema Duas superfícies regulares quaisquer são localmente conformes Demonstração A demonstração é delicada e longa além de exigir outros conceitos que ainda não vimos mas é baseada na possibilidade de parametrizar uma vizinhança de qualquer ponto de uma superfície regular de tal modo que os coeficientes da primeira forma fundamental satisfaçam as condições 2 2 0 0 λ λ E u v F G u v Tal sistema de coordenadas é denominado isotérmico Então admitindo a existência de um sistema de coordenadas isotérmico para uma superfície regular S isto implica S ser localmente conforme a um plano e por composição ser localmente conforme a qualquer outra superfície regular 23 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Exemplo 8 Toda isometria é uma aplicação conforme mesmo que localmente Mas a recíproca nem sempre é verdadeira Vejamos Seja a esfera unitária 2 definida por 2 2 2 1 x y z e considerando a projeção es tereográfica dada por 1 2 2 001 σN 1 1 x y x y z z z Vejamos que pode ser vista como uma aplicação de 2 001 no plano horizontal do 3 da seguinte forma 2 3 001 0 f x y z z 0 1 1 x y x y z z z Vamos mostrar que f é uma aplicação conforme Para tal considere a parametriza ção global de 2 001 dada por 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 σ N u v u v u v u v u v u v u v Os coeficientes da primeira forma fundamental são 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 0 1 1 E u v F u v G u v u v u v Por outro lado a primeira forma fundamental do mapa 0 N f u v u v σ do pla no horizontal tem coeficientes 2 2 2 1 0 1 E u v F u v G u v Então podemos concluir para 2 2 2 1 u v λ que 2 2 2 1 2 1 2 1 2 E E F F G G λ λ λ Portanto f é uma aplicação conforme No entanto não é uma isometria como já tínhamos visto Uma projeção estereográfica é uma transformação conforme o ângulo entre duas retas tangentes no mesmo ponto da esfera é igual ao ângulo entre suas projeções Veja mais sobre isso no Material Complementar 24 25 Em Síntese Assim chegamos ao fim desta Unidade e da Disciplina Na Unidade apresentamos a primeira forma fundamental que permite o cálculo de me didas sobre a superfície sem menção necessária ao espaço ambiente em que se encon tra a superfície evidenciando as propriedades fundamentais inerentes à primeira forma fundamental e por isso carrega esse nome com comentários e exemplos aplicados Em seguida enfatizamos alguns conceitos importantes da Geometria intrínseca relativa aos temas abordados como isometria e aplicação conforme evidenciando suas proprie dades e diferenças a saber as isometrias preservam a métrica e a aplicações conformes os ângulos entre curvas claro desde que atendam às condições especificadas em cada caso Obviamente há situações em que ambos os conceitos ocorrem até porque estão muito relacionados à primeira forma fundamental Esperamos que você tenha aproveitado e compreendido os conceitos e propriedades dos temas aqui abordados Não deixe de ver o Material Complementar que pelo próprio nome tem a função de mostrar ilustrar e ou aprofundar os conceitos e aplicações aqui tratados 25 UNIDADE Primeira Forma Fundamental Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Site Ilustrando a Projeção Estereográfica httpsbitly3WRPIm2 Vídeos Geometria Diferencial Coeficientes da Primeira Forma Fundamental httpsyoutubepOv2V1adAY Primera Forma Fundamental httpsyoutubeM4YySXyJzM0 Deformação de um Helicoide em um Catenoide httpswwwbitly3X3bbst Projeção Estereográfica Animação Mostrando muitos Detalhes httpsyoutubeI2K3dZutGXM 26 27 Referências ARAÚJO P V Geometria Diferencial 3 ed Rio de Janeiro IMPA 2015 224p DELGADO J FRENSEL K Geometria Diferencial I Departamento de Matemá tica sl Universidade Federal FluminenseUFF sd 393p Disponível em https wwwprofessoresuffbrkatiafrenselwpcontentuploadssites115delightfuldownloa ds201909gdifpdf Acesso em 05112022 DO CARMO M P Elementos de Geometria Diferencial Rio de Janeiro Ao Livros Técnico 1971 205p Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 6 ed Rio de Janeiro SBM 2012 608p GORODSKI C Um breve panorama histórico da Geometria Matemática Universitá ria Rio de Janeiro n 44 p 1429 2009 PICADO J Apontamentos de Geometria Diferencial Coimbra Departamento de MatemáticaUniversidade de Coimbra 2003 TENENBLAT K Introdução à Geometria Diferencial 2 ed São Paulo Blücher 2008 270p VELASCO W Geometria Diferencial Curitiba Intersaberes 2020 211p 27 Cruzeiro do Sul Educacional