Geometria Diferencial Ll

Pergunta 1 025 Pontos Sejam S uma superfície regular α I S uma curva em S e X I ℝ³ tal que Xt TαtS para todo t I Com essa informação analise as afirmativas seguintes I A derivada covariante de X denotada por DXdt é um campo vetorial ao longo de α tal que para todo t₀ I DXdt t₀ é a projeção de Xt₀ em Tαt₀S II O campo de vetores Xt é chamado de paralelo se DXdt t₀ 0 para todo t₀ I III A derivada covariante é um conceito de geometria intrínseca e que não depende da escolha da curva α Assinale a alternativa CORRETA A Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras B As afirmativas I II e III são verdadeiras C Apenas a afirmativa III é verdadeira D Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras E Apenas a afirmativa I é verdadeira Pergunta 4 025 Pontos Acerca de campos paralelos e transporte paralelo analise as afirmativas a seguir como verdadeiras V ou falsas F I A noção de campo paralelo ao longo de uma curva parametrizada no caso particular do plano reduzse à noção de campo constante de vetores ao longo da curva e por conseguinte tanto o comprimento do vetor quanto o ângulo que ele faz com uma direção fixa são constantes II O campo de vetores tangentes a um paralelo na esfera é um campo paralelo na esfera e a derivada usual de tal campo é normal à esfera III Transporte paralelo é a generalização para espaços curvos do processo de comparação entre vetores pertencentes a feixes tangentes diferentes Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V V B V V V C V F V D F V F E V V F Pergunta 3 025 Pontos Vimos na demonstração do Teorema Egregium de Gauss com o uso dos símbolos de Christoffel e da matriz de Weingarten que a curvatura gaussiana é dada por K eg f² EG F² Use essa informação para encontrar a curvatura gaussiana da superfície regular S cuja parametrização é dada por Xuv ucos v usen v v para u 0 e 0 v 2π Assinale a alternativa que traz a curvatura gaussiana dessa superfície A K 0 1 B K 1 1v²² C K 1 1u² D K 0 1 E K 1 1u²² Pergunta 3 025 Pontos Vimos na demonstração do Teorema Egregium de Gauss com o uso dos símbolos de Christoffel e da matriz de Weingarten que a curvatura gaussiana é dada por K eg f2 EG F2 Use essa informação para encontrar a curvatura gaussiana da superfície regular S cuja parametrização é dada por Xuv ucos v usen vv para u 0 e 0 v 2π Assinale a alternativa que traz a curvatura gaussiana dessa superfície A K 1 B K 1 1v22 C K 1 1u2 D K 1 E K 1 1u22 Pergunta 4 025 Pontos Acerca de campos paralelos e transporte paralelo analise as afirmativas a seguir como verdadeiras V ou falsas F I A noção de campo paralelo ao longo de uma curva parametrizada no caso particular do plano reduzse à noção de campo constante de vetores ao longo da curva e por conseguinte tanto o comprimento do vetor quanto o ângulo que ele faz com uma direção fixa são constantes II O campo de vetores tangentes a um paralelo na esfera é um campo paralelo na esfera e a derivada usual de tal campo é normal à esfera III Transporte paralelo é a generalização para espaços curvos do processo de comparação entre vetores pertencentes a feixes tangentes diferentes Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V V B V V V C V F V D F V F E V V F Pergunta 2 025 Pontos Sobre geodésicas e transporte paralelo analise as seguintes afirmativas I Existem apenas duas geodésicas na esfera unitária S2 passando pelos pontos 22 22 0 e 22 22 0 II Um transporte paralelo em uma superfície regular S entre dois pontos a e b ao longo de uma curva α de S é uma função Pα Tαa S Tαb S tal que para cada wt paralelo ao longo de α com w0 wa é levado em w1 wb III Seja S uma superfície regular e α I S uma curva regular em S Dados dois campos paralelos w1 e w2 ao longo de α então w1 w2 também é um campo paralelo ao longo de α Assinale a alternativa CORRETA A Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras B Apenas a afirmativa II é verdadeira C Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras D Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras E Apenas a afirmativa III é verdadeira Pergunta 1 025 Pontos Sejam S uma superfície regular α I S uma curva em S e X I ℝ³ tal que Xt TαtS para todo t I Com essa informação analise as afirmativas seguintes I A derivada covariante de X denotada por dXdt é um campo vetorial ao longo de α tal que para todo t₀ I dXdt t₀ é a projeção de Xt₀ em Tαt₀S II O campo de vetores Xt é chamado de paralelo se dXdt t₀ 0 para todo t₀ I III A derivada covariante é um conceito de geometria intrínseca e que não depende da escolha da curva α Assinale a alternativa CORRETA A Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras B As afirmativas I II e III são verdadeiras C Apenas a afirmativa III é verdadeira D Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras E Apenas a afirmativa I é verdadeira Pergunta 2 025 Pontos Sobre geodésicas e transporte paralelo analise as seguintes afirmativas I Existem apenas duas geodésicas na esfera unitária S² passando pelos pontos 22 22 0 e 22 22 0 II Um transporte paralelo em uma superfície regular S entre dois pontos a e b ao longo de uma curva α de S é uma função Pα TαaS TαbS tal que para cada wt paralelo ao longo de α com w₀ wa é levado em w₁ wb III Seja S uma superfície regular e α I S uma curva regular em S Dados dois campos paralelos w₁ e w₂ ao longo de α então w₁ w₂ também é um campo paralelo ao longo de α Assinale a alternativa CORRETA A Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras B Apenas a afirmativa II é verdadeira C Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras D Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras E Apenas a afirmativa III é verdadeira