Geometria Diferencial Ll

Analise as afirmativas a seguir como sendo verdadeiras V ou falsas F I É um fato básico de Geometria Euclidiana que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus ou π radianos Quando consideramos um triângulo geodésico numa superfície isto é um triângulo cujos lados são geodésicas a soma de seus ângulos internos em radianos e π não precisam coincidir pode haver uma diferença II Gauss introduziu a forma diferencial quadrática ds² hoje conhecida como primeira forma fundamental que exprime essencialmente as distâncias sobre a superfície e representamos ds² em termos de três funções E F e G de u e v o que permite escrever equações para as curvas geodésicas III Bonnet generalizou o teorema de Gauss relativo à área de um triângulo geodésico e também de outras contribuições Outra contribuição importante de Bonnet à teoria de superfícies foi estabelecer o que nós chamamos hoje de teorema fundamental de existência de superfícies Assinale a alternativa CORRETA A F F V B V V V C V V F D V F V E F V V Pergunta 1 025 Pontos Seja Xx₁ x₂ R² R² um campo vetorial diferenciável e α R² uma curva simples e fechada do plano tal que a orientação positiva de α seja no sentido antihorário Dado um ponto p α considere o vetor Xp então quando p percorre a curva α no sentido positivo a direção de Xp vai mudando continuamente Considere a função contínua T α S² S² a esfera unitária definida por Txy x₁xy x₂xy x₁xy x₂xy xy α observe que T aplica os vetores tangentes a α em S² pela aplicação de Gauss Quando o ponto p percorre uma volta completa em α no sentido antihorário o vetor Tp percorrerá um número inteiro de voltas em S² Tal número é chamado de grau da aplicação de T Definese o índice de rotação do campo de vetores X sobre a curva α denotado por IXα como o grau número de voltas da aplicação T De posse de todas essas informações resolva a seguinte situação Considere o campo de vetores X R² R² dado por Xxy xy e a curva α 02π XR² definida por α cos t sen t sabendo que um ponto p percorre uma volta completa em α no sentido antihorário Para calcular IXα denomine os seguintes pontos b₀ 10 b₁ 01 b₂ 10 b₃ 01 da curva α e encontre os vetores tangentes correspondentes Tbi 0 i 3 na esfera unitária Verifique como Tp percorre uma volta completa em S² Assinale a alternativa que traz o índice de rotação IXα Assinale a alternativa que traz o índice de rotação IXα A IXα 1 B IXα 2π C IXα 1 D IXα 2π E IXα 0 Pergunta 2 025 Pontos Analise as afirmativas a seguir como sendo verdadeiras V ou falsas F I O cálculo da característica de Euler não é preciso pois ele conta as arestas mais de uma vez II A característica de Euler de uma superfície com g quantidade de buracos é dada por 21 g III A característica de Euler do poliedro tetraedro é 2 Assinale a alternativa CORRETA A V V V B F V F C F F V D V V F E F V V Pergunta 4 025 Pontos Acerca do Teorema de GaussBonnet analise as afirmativas a seguir I O Teorema de GaussBonnet relaciona as curvaturas geodésicas e gaussianas a menos de constantes II Não existe uma formulação do Teorema de GaussBonnet para ângulos internos III O teorema de GaussBonnet tem duas formulações uma local e outra global Assinale a alternativa CORRETA A Apenas a afirmativa III é verdadeira B As afirmativas I II e III são verdadeiras C Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras D Apenas a afirmativa I é verdadeira E Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras Pergunta 4 025 Pontos Acerca do Teorema de GaussBonnet analise as afirmativas a seguir I O Teorema de GaussBonnet relaciona as curvaturas geodésicas e gaussianas a menos de constantes II Não existe uma formulação do Teorema de GaussBonnet para ângulos internos III O teorema de GaussBonnet tem duas formulações uma local e outra global Assinale a alternativa CORRETA A Apenas a afirmativa III é verdadeira B As afirmativas I II e III são verdadeiras C Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras D Apenas a afirmativa I é verdadeira E Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras Pergunta 1 025 Pontos Seja Xx1 x2 R2 R2 um campo vetorial diferenciável e α R2 uma curva simples e fechada do plano tal que a orientação positiva de α seja no sentido antihorário Dado um ponto p α considere o vetor Xp então quando p percorre a curva α no sentido positivo a direção de Xp vai mudando continuamente Considere a função contínua T α S2 S2 a esfera unitária definida por Tx y x1x y x2x y x1x y x2x y x y α observe que T aplica os vetores tangentes a α em S2 pela aplicação de Gauss Quando o ponto p percorre uma volta completa em α no sentido antihorário o vetor Tp percorrerá um número inteiro de voltas em S2 Tal número é chamado de grau da aplicação de T Definese o índice de rotação do campo de vetores X sobre a curva α denotado por IX α como o grau número de voltas da aplicação T De posse de todas essas informações resolva a seguinte situação Considere o campo de vetores X R2 R2 dado por Xx y x y e a curva α 0 2π XR2 definida por αt cos t sen t sabendo que um ponto p percorre uma volta completa em α no sentido antihorário Para calcular IX α denomine os seguintes pontos b0 1 0 b1 0 1 b2 1 0 b3 0 1 da curva α e encontre os vetores tangentes correspondentes Tbi 0 i 3 na esfera unitária Verifique como Tp percorre uma volta completa em S2 Assinale a alternativa que traz o índice de rotação IX α A IX α 1 B IX α 2π C IX α 1 D IX α 2π E IX α 0 Pergunta 2 025 Pontos Analise as afirmativas a seguir como sendo verdadeiras V ou falsas F I O cálculo da característica de Euler não é preciso pois ele conta as arestas mais de uma vez II A característica de Euler de uma superfície com g quantidade de buracos é dada por 21g III A característica de Euler do poliedro tetraedro é 2 Assinale a alternativa CORRETA A V V V B F V F C F F V D V V F E F V V Analise as afirmativas a seguir como sendo verdadeiras V ou falsas F I É um fato básico de Geometria Euclidiana que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus ou π radianos Quando consideramos um triângulo geodésico numa superfície isto é um triângulo cujos lados são geodésicas a soma de seus ângulos internos em radianos e π não precisam coincidir pode haver uma diferença II Gauss introduziu a forma diferencial quadrática ds2 hoje conhecida como primeira forma fundamental que exprime essencialmente as distâncias sobre a superfície e representamos ds2 em termos de três funções E F e G de u e v o que permite escrever equações para as curvas geodésicas III Bonnet generalizou o teorema de Gauss relativo à área de um triângulo geodésico e também de outras contribuições Outra contribuição importante de Bonnet à teoria de superfícies foi estabelecer o que nós chamamos hoje de teorema fundamental de existência de superfícies Assinale a alternativa CORRETA A F F V B V V V C V V F D V F V E F V V